UNIVERSIDAD METROPOLITANA DE MONTERREY. DIVISION: BACHILLERATO. UNIDAD: PADRE MIERMATRICULA:_________NOMBRE:_____________________________________________GPO:___MATEMATICAS II. TRIGONOMETRIAPROFESOR: ING. ANGEL MARTINEZ1.1 Trigonometra RAZONES TRIGONOMETRICAS significa medicin de tringulos. Considere sus partes: tri significa tres, gono significa ngulo y metria significa medida. As en trigonometra se estudia la medida (o medicin de tringulos).Las siguientes razones estn relacionadas con los lados y los ngulos agudos de un tringulo rectngulo:1. Razn tangente: La tangente (abreviatura tan) de un ngulo agudo es igual a la longitud del cateto opuesto al ngulo dividida entre la longitud del cateto adyacente al ngulo.2. Razn seno: El seno (abreviatura sen) de un ngulo agudo es igual a la longitud del cateto opuesto al ngulo dividida entre la longitud de la hipotenusa.3. Razn coseno: El coseno (abreviatura cos) de un ngulo agudo es igual a la longitud del cateto adyacente al ngulo dividida entre la longitud de la hipotenusa.As, en el tringulo de la figura,

B

a c

C b A

Tan A = = Sen A = = Cos A = = Tan B = = Sen B = = Cos B = = Si A y B son los dos ngulos agudos de un tringulo rectngulo, se tiene que:Sen A = cos B cos A = sen B tan A = tan B = PROBLEMAS1. USO DE LA TABLA DE SENOS, COSENOS Y TANGENTESLos siguientes valores fueron tomados de una tabla de senos, cosenos y tangentes. Exprese en forma de ecuacin el significado de los valores en las tres primeras lneas. Enseguida, utilice la tabla del final de este libro para completar la ltima lnea.Angulo Seno Coseno Tangente

10.01750.99980.0175

300.50000.86600.5774

600.86600.50001.7321

??0.3420?

8.2 CALCULO DE LA MEDIDA DE UN ANGULO CON UN ANGULO DE PRESICION DADO1. Calcule la medida de x, con una precisin mxima de la primera unidad en grados, si: (a) sen x = 0.9235; (b) cos x = o 0.8400; (c) tan x = /10 o 0.2236. Utilice la tabla de funciones trigonomtricas.

8.3 CALCULO DE RAZONES TRIGONOMETRICAS1. Para cada triangulo rectngulo en la figura, calcular las razones trigonomtricas de los ngulos agudos. B B B

3 5 6 10 5 13

C 4 A C 8 A C 12 A(a) (b) (c)

Formulas (a)a=3,b=4,c=5(b)a=6,b=8,c=10(c)a=5,b=12,c=13

Tan A=Tan B=

Sen A=Sen B=

Cos A=Cos B=

8.4 CALCULO DE MEDIDAS DE ANGULOS POR MEDIO DE RAZONES TRIGONOMETRICAS1. Calcule la medida del ngulo A, hasta la unidad ms cercana en grados, en cada inciso de la figura. B B B

60 100 10 1700

C A C 24 A C 1500 A(a) (b) (c)

8.5 RAZONES TRIGONOMETRICAS DE 30 Y 601. Demuestre que: (a) tan 30 = 0.577, (b) sen 30 = 0.500, (c) cos 30 = 0.866, (d) tan 60 = 1.732, (e) sen 60 = 0.866, (f) cos 60 = 0.500

Las razones trigonomtricas para 30 y 60 pueden obtenerse usando un tringulo con ngulos 30-60-90; en un tringulo como este, la razn de los lados es de a:b:c = 1::2.

B

a=1 c=2

C b= A

8.6 CALCULO DE LAS LONGITUDES DE LOS CATETOS MEDIANTE RAZONES TRIGONOMETRICAS1. En cada inciso de la figura, despeje x y y hasta la unidad ms cercana.

50

x y 150 y x 150 40 40 40

150 x y(a) (b) (c)

8.7 RESOLUCION DE PROBLEMAS TRIGONOMETRICOS1. Un piloto vol 70 millas al este de A hasta C. De C vol 100 millas al norte hasta B. Calcule la medida del ngulo del cambio de curso (hasta la unidad ms cercana en grados) que debe hacerse en B para regresar a A. E

B

100 millas

C 70 millas A

2. Se va a construir una carretera de manera que se eleve 105 pies por cada 1000 pies de distancia horizontal. Calcule la medida del ngulo de elevacin, hasta la unidad ms cercana en grados, y la longitud de la carretera, hasta la unidad ms cercana en pies, por cada 1000 pies de distancia horizontal. B

105 pies x

C 1000 pies A

8.2 ANGULO DE ELEVACION Y DE DEPRESIONLa lnea de visin es la lnea que va desde el ojo de un observador hasta el objeto de inters.La lnea horizontal es una lnea paralela a la superficie del agua.El ngulo de elevacin (o de depresin) es un ngulo formado por la lnea horizontal y la lnea de visin localizada arriba (o abajo) de la lnea horizontal, pero en el mismo plano vertical. Lnea de visin arriba del observador

Angulo de elevacin Observador Horizontal ngulo de depresin

Lnea de visin abajo del observador8.8 PROBLEMAS CON ANGULOS DE ELEVACION1. Al observar hacia el techo de un edificio, Enrique encuentra que el ngulo de elevacin mide 21. El piso esta nivelado. El teodolito esta a 5 pies arriba del piso y a 200 pies del edificio con una precisin hasta la unidad ms cercana en pies.

h x Lnea de visin

200 pies 21 5 pies

2. Si el ngulo de elevacin del Sol a una cierta hora es de 42, calcule hasta la unidad ms cercana en pies, la altura de un rbol cuya sombra mide 25 pies de longitud.

h 42 25

8.9 PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN TANTO EL ANGULO DE ELEVACION COMO EL DE DEPRESION 1. Al estar de pie en la cima de un faro de 200 pies de altura, el guarda faros observo un avin y un barco. El ngulo de elevacin del avin es de 25; el ngulo de depresin del barco mide 32. Calcule: (a) la distancia d del barco al pie del faro hasta la decena ms cercana en pies; (b) la altura del avin sobre el agua con la misma precisin que en el inciso (a).

Lnea de visin I x 25 Angulo de elevacin Horizontal 32 Angulo de depresin 200 58 II

III

d

8.10 PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN DOS ANGULOS DE DEPRESION1. Un observador en la cima de un montculo a 250 pies por encima de la superficie de un lago observa dos botes directamente en lnea. Calcular, con una precisin las unidades en pies, la distancia entre los botes si los ngulos de depresin medidos por el observador son 11 y 16 respectivamente. A _____________________________ 16 11 250 C B------------------------- B

FORMATO: APACORREO: martinezzangel@gmail.comBibliografa: Geometra, Barnett Rich, Editorial Mc Graw Hill.