UDB MATEMÁTICA Asignatura : Análisis Matemático I Fecha: Especialidad : Ingeniería Examen Final Apellido y nombres: Legajo: T1) a)Defina continuidad en un punto y en un intervalo cerrado. b) Enuncie alguna propiedad de las funciones continuas en un intervalo cerrado. c) Defina una función f: [-1,3] → � , que sea continua en (-1, 3) pero que no lo sea en [-1,3] tal que no verifique la propiedad enunciada en b). Explique.

d) Sea f: →� � definida por

2

1x 2

sen(x 2)si x 2

x 4f (x) a si x 2

b e si x 2−

−� >� −�

= =��� + <�

. Encuentre a y b para que

f sea continua en x=2. Justifique. Con esta única información, ¿puede asegurar la existencia de recta tangente al gráfico de f en (2;a). ¿Por qué? T2)a) Analice si alguna de las siguientes integrales es impropia. Justifique. Si encuentra alguna que lo sea, resuélvala:

2 1 3

21 1 0

dx dxi) ln(x).dx ii) iii)

x 1 x 2− + −� � �

b) Enuncie el teorema fundamental del Cálculo Integral y aplíquelo para calcular g´(1)

siendo 23x

2t

0

g(x) e .dt= � . Explique.

c) Enuncie la condición necesaria para la convergencia de series y muestre con un ejemplo que no es suficiente.

P1) Sea f : ⊆ → =+

� �21

A / f(x)x 3

Se pide:

a) Ecuaciones de las asíntotas. b) Intervalos de crecimiento, decrecimiento y extremos relativos. c) Intervalos de concavidad, convexidad y puntos de inflexión. d) Gráfico aproximado obtenido a partir de los ítems a),b) y c).

P2) Resuelva: a) 2senx. cosx 9 cos x dx+� b) 3

2

xdx

x 2x 3� + −

P3) a) Calcule el área de la región limitada por y 6(x 1)y 24

24y

x 1

�� = −�

=��� =� −

b) Estudie la convergencia de la serie:�1

10

2 3

∞

= +� nn

.

UDB MATEMÁTICA Asignatura : Análisis Matemático I Fecha:31/07/07 Especialidad : Ingeniería Examen Final Apellido y nombres: Legajo: T1) Analice si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Si es falsa, muestre un contraejemplo; si es verdadera, demuestre enunciando las propiedades pertinentes:

a) x

cos(2x)l i m 0

x→∞= .

b) Si f ´(a)=0 , entonces f(a) es un extremo relativo de f.

c) Si nnlim a 0

→∞= , entonces n

n 1

a∞

=� converge.

T2) a) Enuncie el Teorema fundamental del Cálculo Integral (Derivada de la función área o función integral). b) Deduzca la Regla de Barrow. c) Si f y su derivada f ´ son funciones continuas en [a,b], ¿es cierto que:

b2 2

a

2 f (x).f´(x)dx [f (b)] [f (a)]= −� ? ¿Por qué?

P1) Sea f : ⊆ → = −� �4 2A / f(x) x 4x . Se pide:

a) Intervalos de crecimiento, decrecimiento y extremos relativos. b) Intervalos de concavidad, convexidad y puntos de inflexión. c) Gráfico aproximado obtenido a partir de los ítems a) y b).(Puede ayudarse

obteniendo el conjunto de ceros)

P2) Resuelva: a) 4

21

dx

8 x 2x

−

− +� b) ( )�2x.sec x dx

P3) a) Calcule el área de la región limitada por 2

x 4xy 1

y x

� ≤�

≥��

≤�

b) Dada la serie:�1

21

3

5

+∞

−=�

n

nn

, se pide:

i) Muestre que es geométrica, indique el primer término y la razón. ii) Analice su convergencia y, si corresponde, determine su suma.

Requisitos mínimos de aprobación: Deberán estar correctamente resueltos 3 ítems correspondientes a la parte teórica y la mitad de los ítems de cada punto práctico.

UDB MATEMÁTICA Asignatura : Análisis Matemático I Fecha:7/08/07 Especialidad : Ingeniería Examen Final Apellido y nombres: Legajo: T1)a)Enuncie y demuestre la relación entre continuidad y derivabilidad.

b) Encuentre b para que f: →� � sea derivable x∀ ∈�

2

1si x 0

f (x) x 1x bx 1 si x 0

� <�= −�� − − ≥�

c) Explique porqué es verdadera la siguiente afirmación: “Si la recta de ecuación y = 2x +1 es tangente al gráfico de f en el punto de abscisa x=1,

entonces x 1

f (x) 3lim 2

x 1→

− =−

”.

T2a) Enuncie e interprete geométricamente el Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral. b)Sea f:[a,d]→� la función cuyo gráfico se muestra abajo. Explique su razonamiento y enuncie todas las propiedades que utiliza para justificarlo.

P1) a) Derive como funciones implícitas y compruebe que las rectas tangentes en el punto (1,2) a las curvas definidas por : − =� ��� �� � , y + =� ��� �� ��� � son perpendiculares.

b) Encuentre las asíntotas de f: → = −2A / f(x) x 1� , siendo A= ( , 1] [1, )−∞ − ∪ +∞

P2) a) Resuelva: 2 3x xsen .cos .dx

2 2� � � �� � � �

�

b) Analice la convergencia de:−

− −�0

3

dxx(x 1)

P3) a) Calcule el área de la región limitada por 24x y 0

2x y 4 0

� + =��

− + =��

b) Estudie utilizando el criterio de comparación la convergencia de la serie: ( )∞

=

+� 2n 1

1 sen n

n

Requisitos mínimos de aprobación: Deberán estar correctamente resueltos 3 ítems correspondientes a la parte teórica y la mitad de los ítems de cada punto práctico.

y

x a b c d

Si la medida del área rayada es 9,c

bf (x)dx 2= −� ,

y b

df (x)dx 2= −� , calcule

b

af (x)dx� .

UDB MATEMÁTICA Asignatura : Análisis Matemático I Fecha:16/10/07 Especialidad : Ingeniería Examen Final Apellido y nombres: Legajo: T1)a)Defina derivada de una función en un punto y explique su interpretación geométrica.

b) Defina diferencial de una función en un punto y deduzca su interpretación geométrica.

c) Calcule usando diferenciales el valor aproximado de 3 7 . T2a) Enuncie y demuestre el Teorema Fundamental del Cálculo Integral. b) Aplique el Teorema fundamental del cálculo integral para calcular h´(3) siendo

x

21

th(x) dt

t 4=

+�

c) Defina serie geométrica y deduzca cuándo una serie geométrica es convergente.

P1) a) Encuentre las asíntotas de f: A ⊂ →� � definida por f(x)=2

x

x 1−.

b) Encuentre las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 11. 2 cm para que el área sea máxima.

P2) a) Resuelva: 2

3dx

x 6x 12+ +�

b) Analice la convergencia de: 2x1

x.dx

e

+∞

−�

P3) a) Calcule el área de la región limitada por la parábola y = -x2+ 4x-3 , su recta tangente en (0,-3) y la recta x = 2.

b) Estudie la convergencia de la serie: n nn 1

1

2 4

∞

= +�

Requisitos mínimos de aprobación: Deberán estar correctamente resueltos 3 ítems correspondientes a la parte teórica y la mitad de los ítems de cada punto práctico.

UDB MATEMÁTICA Asignatura : Análisis Matemático I Fecha:11/12/07 Especialidad : Ingeniería Examen Final Apellido y nombres: Legajo:

T1) a) Pruebe que si una función f: →� � es derivable en x= a y y f(a) es máximo local, entonces f´(a) =0. ¿Es válida la propiedad recíproca?. Justifique. b) Enuncie el teorema de los ceros de Bolzano y explique porqué no se puede

aplicar a f: A ⊂ →� � definida por f(x)= −−

2x 2x 3

en [2,4]. ¿Esto significa que f no

tiene ceros en ese intervalo?. Justifique.

T2a) Demuestre la regla de Barrow b) Aplique el Teorema fundamental del cálculo integral para calcular h´(3) siendo

x

21

th(x) dt

t 4=

+�

c) Defina serie geométrica y deduzca en qué casos una serie geométrica es convergente. P1) a) Encuentre el dominio y las ecuaciones de las asíntotas para f: A ⊂ →� �

definida por f(x)= −−

3 2

2

x xx 1

.

b)Determine intervalos de crecimiento y decrecimiento e identifique, si existen,

extremos relativos o locales para g: ⊂ →� �B definida por g(x)=+

2xx 1

.

c)¿Cómo podría utilizar la información obtenida en b) para conocer los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f?

P2) a) Resuelva:3

2

9xdx

9x 4+�

b) Analice la convergencia de: x 1

x0

4dx

8

+∞ −

�

P3) a) Calcule el área de la región limitada por y= ex, su recta tangente en el punto de abscisa 0 y la recta x=1.

b) Estudie la convergencia de la serie: ∞

=

� �� �+� �

�

22n

n 1

nn 1

.

♦ Requisitos mínimos de aprobación: Deberán estar correctamente resueltos 3 ítems correspondientes a la parte teórica y la mitad de los ítems de cada punto práctico. ♦ JUSTIFIQUE TODOS LOS PROCEDIMIENTOS Y AFIRMACIONES

UDB MATEMÁTICA Asignatura : Análisis Matemático I Fecha:11/12/07 Especialidad : Ingeniería Examen Final Apellido y nombres: Legajo: T1) a) Sabiendo que el polinomio de Taylor asociado a f en un entorno de x0=5 es p2(x)= -3-4(x-5)2:

i) Calcule 2x 5

f (x) 3lím

sen (x 5)→

+−

ii)Escriba la ecuación de la recta normal al gráfico de f en (5;y0). iii)Analice si f(5) es o no extremo local. Si lo es, decida si es máximo o mínimo.

b) Muestre con contraejemplos adecuados porqué son falsas las siguientes afirmaciones: i) Si [ ]x a, b :| f (x) | 5∀ ∈ < , entonces f es continua en [a,b]. ii) Si f es una función definida en [0,3] y f(0).f(3)<0, entonces existe c∈(0,3)/f(c)=0

iii)Sea f(x)=���� �� � �

��� � �

<

− ≥

�����

. f es continua en x=5 si y sólo si g es continua en x=5

T2a) Enuncie e interprete geométricamente el Teorema del Valor Medio del Cálculo

Integral y aplíquelo para demostrar que si h es continua en [a,b] y b

a

h(x)dx 0=� ,

entonces existe x0∈(a,b) tal que h(x0)=0

b) Explique porqué la siguiente serie es convergente y obtenga su suma:k

kk 2

1 23

∞

=

� �−� �

�

P1) a) Encuentre el dominio y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f : A / f (x) 2 x 16 x 1⊆ → = + − +� �

b) Sea g una función continua y derivable tal que la recta tangente a su gráfico en el punto de abscisa x= 1 tiene ecuación x - 6y=1. Encuentre la ecuación de la recta tangente al gráfico de f(x)= g( 2x 3)e − + en (1, f(1)).

P2) Resuelva:

a)( )4

3

23

2 xdx

x

+� b) ( )2

1

dxx 1 x

+∞

+�

P3) a) Calcule el área de la región limitada por las gráficas de f(x) y g(x) siendo:

x si x 0f (x)

x si x 0

� ≥�= �− <��

y g(x) = 2- x2

b) Analice la convergencia den 0

2n 3n!

∞

=

+�

♦ Requisitos mínimos de aprobación: Deberán estar correctamente resueltos 2 ítems correspondientes a la parte teórica y la mitad de los ítems de cada punto práctico. ♦ JUSTIFIQUE TODOS LOS PROCEDIMIENTOS Y AFIRMACIONES

UDB MATEMÁTICA Asignatura : Análisis Matemático I Fecha:12 /02/08 Especialidad : Ingeniería Examen Final Apellido y nombres: Legajo:

T1) Explicar porqué son verdaderas las siguientes afirmaciones:

a) Si nn 1

a∞

=� es una serie convergente y para todo n : n n0 b a< < , entonces la

serie ( )n nn 1

5a 3b∞

=

+� también converge.

b) Si el polinomio de Taylor de segundo grado asociado a f en x=2 es ( )������ � � � �= − + − , entonces:

i) x=2 es la recta normal al gráfico de f en �� ����= − . ii) f(2)= - 3 es un mínimo local de f. c) Si f: →� � es una función par y derivable en todo su dominio, entonces su función derivada es impar. T2 a)Enunciar y demostrar el teorema fundamental del cálculo integral.

b) Si F(x)=2

xt

0

e dt� , mostrar que xlím F́ (x)→+∞

= +∞

P1) Sea f : → =+

� �

2xf : / f(x)

x 1 Se pide:

a) Dominio, ceros y asíntotas. b) Intervalos de crecimiento, decrecimiento y extremos relativos. c) Intervalos de concavidad, convexidad y puntos de inflexión. d) Gráfico aproximado obtenido a partir de los ítems a),b) y c).

P2) Resolver:

a)�

�

�

� �� �

+∞

− + +� b) �� �−�

P3) a) Calcular el área de la región plana limitada por

��� ��

� �

� �

� ��

=�� =�� =�� =�

b) Analizar la convergencia de( )3

n 0

2

n 3

∞

= +�

♦ Requisitos mínimos de aprobación: Deberán estar correctamente resueltos 3 ítems correspondientes a la parte teórica y la mitad de los ítems de cada punto práctico. ♦ JUSTIFIQUE TODOS LOS PROCEDIMIENTOS Y AFIRMACIONES

UDB MATEMÁTICA Asignatura : Análisis Matemático I Fecha:19/02/08 Especialidad : Ingeniería Examen Final Apellido y nombres: Legajo:

T1) Explique porqué son verdaderas las siguientes afirmaciones: a) Una sucesión acotada puede no ser convergente.

b) Si f: →� � es continua con derivada continua y xlím f (x) 3→+∞

= , entonces0

f´(x)dx+∞

�

converge. T2a) Enuncie e interprete geométricamente el teorema del valor medio del cálculo integral.

b) Explique porqué la siguiente serie es convergente: k 5k 1

3 35 k

∞

=

� �+� �� �

� .

c) Enuncie el teorema de los ceros de Bolzano . Muestre con un ejemplo que una función f: [-1,3] → � que sea continua en (-1, 3) pero que no lo sea en [-1,3] , que cumpla con la condición f(-1).f(3)<0, puede no tener ceros en el intervalo (-1,3). ¿Contradice el teorema? ¿Por qué? P1) El gráfico de abajo corresponde a la función f: →� � definida por f(x) = 3 2x 3kx 9x 5− + +

a) Encuentre k para que la función tenga un punto de inflexión en x=2. b) Con el valor de k hallado, calcule el área de la región del plano limitada por

y= f(x), y= 0, x= a, y x= b, siendo f(a) y f(b) los extremos relativos de f. P2) Resuelva:

a) x dx

x

.

1 20

1

−

−

� b) � + +

3

2

xdx

x 2x 3

P3) a) Encuentre el polinomio de segundo grado de Mac Laurin para f(x) =x

3

0

(1 t) ln(1 t)dt+ +�

b) Analice la convergencia de∞

= +��

�

� �

�

��

♦ Requisitos mínimos de aprobación: Deberán estar correctamente resueltos 3 ítems correspondientes a la parte teórica y la mitad de los ítems de cada punto práctico. ♦ JUSTIFIQUE TODOS LOS PROCEDIMIENTOS Y AFIRMACIONES

UDB MATEMÁTICA Asignatura : Análisis Matemático I Fecha:26/02/08 Especialidad : Ingeniería Examen Final Apellido y nombres: Legajo: T1)a) Defina función derivada y muestre con un ejemplo que una función y su función derivada pueden no tener el mismo dominio.

b) Si b es un numero comprendido entre los reales positivos a y c , calcule �c

b

dxxf ).( sabiendo

que 3).( =�c

a

dxxf y que ( ) adxxfa

b

2.)(2 =−� Justifique.

T2) Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique a) Si existe

x alím f (x).g(x)

→, entonces es igual a f(a).g(a).

b) No se puede aplicar el teorema de los ceros de Bolzano a una función que cumple con las hipótesis del teorema de Rolle.

c) Si f(x)= x +3x

20

cos tdt

1 t+� entonces f´(0)=4

P1) a) Halle dos números no nulos, cuya suma sea 120 y de forma que el producto P de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo. b) Sea f : →� � definida por f(x)= 3 2x 4ax bx 4+ + + . Determine a y b para que y=2x+5 sea tangente al gráfico de f en (1;f(1)) P2) Resuelva:

a) 0 2xx.e dx−∞� b) � +

dxxsen

x21

cos

P3) Calcule el área de la región plana limitada por los gráficos de las funciones f(x)= 6x –x3 y g(x)=| 2x|.

b) Explique por qué la siguiente serie es convergente y calcule su suma:n

nn 1

1 23

∞

=

−�

♦ Requisitos mínimos de aprobación: Deberán estar correctamente resueltos 3 ítems correspondientes a la parte teórica y la mitad de los ítems de cada punto práctico. ♦ JUSTIFIQUE TODOS LOS PROCEDIMIENTOS Y AFIRMACIONES

UDB MATEMÁTICA Asignatura : Análisis Matemático I Fecha: 26/5/08 Especialidad : Ingeniería Examen Final Apellido y nombres: Legajo: Corrigió: T1.a)Defina una función f:[-1,1]→� a la que pueda aplicarse el Teorema de los ceros de Bolzano pero a la que no pueda aplicarse el Teorema de Lagrange ( o del valor medio del cálculo diferencial). Justifique. b)Enuncie e interprete geométricamente el Teorema del valor medio del cálculo integral. T2.a) Explique porqué está mal resuelta la siguiente integral:

� �

33

20 0

dx 1 1 31

x 2 2 2x 2�

�� �� � ������ �

� . Justifique.

b) Sabiendo que p2(x)= -3+5(x-2)2 es el polinomio de Taylor de segundo grado asociado a una función f en x0=2:

i) Calcule x 2lim f(x)

. Justifique.

ii)Encuentre la ecuación de la recta normal al gráfico de f en (2;y0). Justifique. iii) Analice si f(2) es extremo local de f. Si la respuesta es afirmativa, indique si es máximo o mínimo local. Justifique.

P1. a) Calcule el área de la región del plano ubicada en el 1º cuadrante, limitada por:

2

x.y 1

y xy 4

����� ���� ���

b)Estudie la convergencia de: n

n 1n 1

1 43

�

��

�� . Explique

P2. Resuelva: a) x xe ln(e 1) dx� � �� b) 2sen (3x) dx�

P3.a) Dada � ��

� �

2

2

xf : A / f(x)

x. x 2, determine el dominio y, si es posible,

ecuaciones para las rectas que son sus asíntotas . b) Encuentre ecuaciones para las rectas tangente y normal a la curva definida por

� �� �22 2 2x y 4x y en el punto (1;1)

Requisitos mínimos de aprobación: Deberán estar correctamente resueltos 2 ítems correspondientes a la parte teórica y la mitad de los ítems de cada punto práctico.