Ud7 oie1

- Saber medir y operar con segmen-tos y ángulos.

- Verificar la realización de com-posiciones mediante medicionesde rectas y ángulos con precisión ycorrecto manejo de los instrumen-tos de dibujo técnico.

- Diferenciar, con claridad, las ca-racterísticas básicas de mediatrizy bisectriz en el razonamiento delos trazados y diseños geométricos.

- Valorar la realización de los ejerci-cios con limpieza y claridad.

OBJETIVOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

• Aprender a realizar operacionescon segmentos, rectas y ánguloscon la ayuda de la escuadra, elcartabón y el compás.

• Razonar el concepto de distanciaentre puntos, rectas y circunferen-cias para su posterior determinacióngráfica.

• Razonar el concepto de lugar geo-métrico en los trazados básicos:circunferencia, mediatriz de un seg-mento y bisectriz de un ángulo.

• Saber dividir la circunferencia endos, cuatro, seis u ocho partes igua-les con el fin de poder diseñargeometrías ornamentales con es-tructuras radiales.

Trazadomio07.qxd 19/4/04 20:33 Página 83

Suma de segmentos.Para sumar los segmentos a y b, setransportan sobre una semirrectade origen M uno a continuación delotro, resultando: MN = a + b.

Diferencia de segmentos.Para restar dos segmentos p y qse transporta sobre el mayor p elsegmento q desde su extremo O,resultando: RS = p -q.

M Na b

a + b

b

a

R OS

p - q

p

q

q

pDATOS: DATOS:

SUMA DIFERENCIA

SU MA Y DIFERENCIA DE SEGM ENTOS

α

βSUMA DIFERENCIA

β

α

α + β

β

α

α - β

S A D B

DATOS:SUMA Y DIFERENCIA DE ÁNGULOS

TRAZADO DE ÁNGU LOS CON LAS PLANTI LLAS

30° 45°60°

75° 105°

120° 135° 150°

Diferencia de ángulos.A partir de la semirecta DB se transportael ángulo mayor α y, a continuación,se superpone el ángulo menor β paraobtener su diferencia α- β.

Suma de ángulos.A partir de la semirecta SAse transporta el ángulo α ya continuación, como ángulosconsecutivos, el ángulo β.

84

La geometría como soporte del proceso creativo

1CONCEPTO DE MEDIDAMedir es comparar una dimensión

(o cantidad) respecto a otra que setoma como unidad.

Apenas hace dos siglos existían di-ferentes unidades de medida común-mente usadas en el mundo. Las distan-cias se medían en pies, palmos, codos,varas, leguas... lo que ocasionaba con-fusiones. Por ello, a finales del sigloXVIII, en aras de unificar criterios seestablece el Sistema Métrico Decimal,hoy mayoritariamente usado.

Para la medición de magnitudeslineales, utilizamos como unidad elmetro con sus medidas superiores einferiores: múltiplos y submúltiplos.

Para medidas angulares, utiliza-mos el sistema sexagesimal. Comounidad, en el dibujo, se utiliza el gra-do sexagesimal ( ° ), que es el valor delángulo central que resulta al dividir lacircunferencia en 360 partes iguales.Como submúltiplos del grado están elminuto ( ´ ) y el segundo (´´ ).

Transporte de medidasTrazado de un segmento igual aotro AB. Llevamos, con la abertu-ra del compás, la magnitud AB a otraposición a partir de un punto origenM dado, obteniendo MN =AB.

Trazado de un ángulo igual a otro α .Dado que a todo arco de circunfe-rencia de igual radio le correspon-de una misma cuerda, para copiarun ángulo dibujamos un mismoarco (de radio r ) y transportamoscon el compás la cuerda ( s ) corres-pondiente.

V A

B

sα

O M

s

N

r

α

Trazado de un ángulo igual a otro α α dado

Trazado de un segmento igual a otro AB

r

A B

M N

TRANSPORTE

TRANSPORTE

DATO

DATO

u =

1 m

.

u

u

u

u

0,34 u

Miguel Ángel BUONARROTI. «David»,1504. Mármol. Altura: 4,34 m. / Peso: 5.572 Kg.

90°

SISTE MA SEXAG ESI MALS ISTE MA MÉTRICO DECI MAL

Milímetro (mm) = 0,001 m.Centímetro (cm) = 0,01 m.Decímetro (dm) = 0,1 m.

Decámetro (Dm) = 10 m.Hectómetro (Hm) = 100 m.Kilómetro (Km) = 1000 m.M

últip

los

Sub

múl

tiplo

s

UNIDAD

1́ = 60 ´́1 ángulo recto = 90°4 ángulos rectos = 360°METRO (m) = 1 m.

1° = 60´= 3600´´

90°

360°

270°

180° 0°


85

Trazados geométricos

32DISTANCIASSe denomina distancia a la lon-

gitud más corta entre dos elementosgeométricos (puntos, rectas, pla-nos, formas, etc.). Analicemos lasdistancias más significativas:

Entre dos puntos A y B.Queda determinada por la mag-nitud del segmento AB que losune.

De un punto P a una recta r.Es la magnitud del segmento PQque resulta de trazar desde el pun-to P la perpendicular a la recta r.

Entre dos rectas paralelas r y s.Es la longitud del segmento ABque se determina al trazar unarecta perpendicular a las dadas.

De un punto Pa una circunferencia.Es la magnitud del segmento PCque resulta de unir el punto P conel centro O de la circunferencia.

Entre una circunferenciay una recta r exterior a ella.Es la magnitud del segmento PCobtenido al trazar desde el centrode la circunferencia, la perpendi-cular a la recta r considerada.

Entre dos circunferenciasexteriores.Es la magnitud definida por elsegmento AB contenido en larecta que une los centros de am-bas circunferencias.

Entre dos circunferenciasinteriores.Es la magnitud definida por elsegmento AB contenido en larecta que une los centros de am-bas circunferencias.Caso particular de éste, es el quese presenta cuando dichas cir-cunferencias son concéntricas;entonces, la anchura de la co-rona circular viene dada por ladiferencia entre sus radios.

r

s

A B

90°

P

Q

r

90°A

B

O C P

OC

P

90°

r

A BO1 O2

O2 O1

A B

Entre dos puntos A y B

De un punto Pa una recta r

Entre las rectas paralelas r y s

De un punto P a una circunferencia

Entre una recta ry una circunferencia

Entre dos circunferencias exteriores

Entre dos circunferencias interiores

r

A B

Q

P

M

90º

C

B

A

E

D

O

rr

r

r

r

s

90º

V

B

A

P

s

sn

n

Circunferencia

Mediatriz

Bisectriz

Mediana (paralela media)

med

iatr

iz

bisectr

iz

mmediana

Se denomina lugar geométricoal conjunto de puntos que cumplenuna misma condición o propiedad.

Circunferencia.Es el lugar geométrico de los pun-tos del plano equidistantes (unadeterminada magnitud r ) de unpunto fijo O llamado centro.

Mediatriz de un segmento.Es el lugar geométrico de los pun-tos del plano equidistantes de losextremos del segmento AB dado.

Dicha mediatriz, es la recta per-pendicular al segmento por supunto medio M.

- Trazado:Con centro en los extremos delsegmento, se trazan arcos del mis-mo radio ( s ) que se cortan en dospuntos P y Q. Su unión determi-na la recta mediatriz.

Bisectriz de un ángulo.Es el lugar geométrico de los pun-tos del plano equidistantes de loslados del ángulo.

La bisectriz es la semirrecta quedivide al ángulo en dos partesiguales.

- Trazado:Con centro en el vértice V se di-buja un arco que corta a los ladosen los puntos A y B. Con centroen ellos, se trazan dos arcos, delmismo radio (n ), consiguiendo elpunto P. La recta PV determinala bisectriz.

Mediana (paralela media).El lugar geométrico de los puntosque equidistan de dos rectas pa-ralelas r y s, es la paralela mediam de éstas. Así, en una autovía,la mediana es el espacio inter-medio que separa los dos carriles.

LUGARES GEOMÉTRICOSBÁSICOS EN EL PLANO


4

VOCABULARIO

• Intersección Punto común a dos líneas que se cortan.

• Polígono Figura formada por una línea poligonal cerrada, donde todos sus la-regular dos y ángulos son iguales y, por tanto, resulta convexa, equilátera y

equiángula.

• Equidistancia Igualdad de distancia entre elementos (puntos, rectas, planos, etc.)respecto de otro u otros determinados.

• Inscrito Posición geométrica de una figura de manera que quede encajadadentro de otra en contacto con ella.

86

La geometría como soporte del proceso creativo

DIVISIÓN DE LA CIRCUNFERENCIAEN PARTES IGUALES División en 2 partes.

Para dividir la circunferencia en dospartes iguales, se traza un diámetrocualquiera AB de la misma.

División en 3 partes.Para dividir la circunferencia en trespartes, se hace centro en un extre-mo del diámetro AB y se traza unarco de radio igual al de la circunfe-rencia, a la que cortará en C y D.

La unión del centro O con A, C y D,divide la circunferencia en las trespartes iguales.

División en 6 partes.Con centro en los extremos A y Bse trazan dos arcos de radio el dela circunferencia, obteniéndose lospuntos C, D, E y F respectivamenteque, junto con A y B, determinan lospuntos necesarios para dividir lacircunferencia en seis partes iguales.

Otra forma de dividirla es trasladarseis veces la magnitud del radio a lolargo de la circunferencia, a partir deun punto cualquiera de la misma.

División en 4 y 8 partes.Se trazan dos diámetros perpendi-culares entre sí que cortan a la cir-cunferencia en los puntos A, B, C yD. Los segmentos que unen el cen-tro O con cada uno de estos puntosdividen a la circunferencia en cua-tro partes iguales.

Para dividirla en ocho partes igualesse trazan las bisectrices de los diáme-tros anteriores (rectas a 45°).

Muchos de los diseños decorativos que encon-tramos a nuestro alrededor tienen como basemódulos nacidos de la división de la circunferen-cia en partes iguales, de ahí la importancia deconocer la forma de realizar estas sencillas di-visiones.

Para realizar estos trazados deberás apoyarteen el uso de las plantillas (escuadra y cartabón) ydel compás, instrumento este último que ha acom-pañado los trazados geométricos de numerososprofesionales (matemáticos, artistas, delineantes,marinos, geógrafos, etc.) desde hace siglos.

Jan VERMEER DE DELFT. «El Geográfo», 1669.

En este fragmento de la conocida obra del pintor flamenco,

observamos a un geógrafo empleando el compás para la

medición de distancias sobre el mapa.

DIVIS IÓN E N 2, 3 , 4 , 6 Y 8 PARTES IG UALES

A

B

O

A

B

O

C D

A

B

D

F

C

E

O

A

B

D

F

C

E

O

A

D

B

CO

A

D

B

C

E

HF

G 45º

45ºO

Dos partes Tres partes

Seis partes

Cuatro partes Ocho partes

90°


nombre y apellidos

nº curso/grupo fecha

16Tra

zados g

eom

étrico

s

1

OPERACIONES CON SEGMENTOS Y LUGARES GEOMÉTRICOS

3

12

3

1. Determina la altura de los monumentos mostrados enrelación a las magnitudes de unidad t y u.

2. Dados los segmentos a, b y c, debes construir gráfica-mente y a partir del origen que se indica en cada caso,los siguientes segmentos:

1º (a + b) 2º (b + c - a) 3º (3a - c).

3. Sabiendo que por dos puntos A y B pueden pasar infi-nitas circunferencias, define la ubicación de los centrosde las circunferencias y dibuja, al menos, tres de ellas.Recuerda que debes aplicar, para ello, el concepto demediatriz como lugar geométrico.

4. Traza la bisectriz del ángulo V y la de su ángulo adya-cente. ¿Cuánto vale el ángulo que ambas forman?

4

V

2

Torre del Oro (Sevilla) Puerta de Alcalá (Madrid) Torre de Hércules (La Coruña)

A

B

DATOS:

tt

tt t

u

t

u

=

t uUNIDADES DE MEDIDA

4 t

u

c

b

a

1º

2º

3º

= =

O1

O2O3

O4

Bise

ctriz

Bisectriz

90º

a a a

3a - c c

b + c - a

b c

a

a + b

a b

2º

uu

uu

u

uut

tt

tt

uu

uu

uu

u 2

=

u

6 u 2 t 3 u

3º

1º

=5 t 7, 5 u

Mediatriz de AB

La mediatriz como lugar geométrico de los centros de las infinitascircunferencias que pasan por los puntos extremos del segmento AB.

El ángulo que forman las bisectrices de dosángulos adyacentes vale 90°, dado que se tratade las bisectrices de dos ángulos consecutivoscuya suma vale 180°.


α β

α β

VERIFICACIÓN

1. ¿Bajo qué angulo se cortan dos rectas perpendiculares?¿Lo son, entre sí, una horizontal y una vertical?

2. ¿A qué llamamos «lugar geométrico»? ¿Podrías definir alguno de ellos?

3. ¿Para qué sirve el determinar la mediatriz de un segmento?¿Qué característica o propiedad tienen en común el conjunto de puntos que la componen?

1. ¿Bajo qué angulo se cortan dos rectas perpendiculares?¿Lo son, entre sí, una horizontal y una vertical?

- Dos rectas perpendiculares se cortan bajo 90º, dividiendo al plano que las contiene en cuatroregiones iguales.

- Sí. Siempre una recta horizontal es perpendicular a una vertical.

2. ¿A qué llamamos «lugar geométrico»? ¿Podrías definir alguno de ellos?

Llamamos lugar geométrico al conjunto de puntos que cumplen una misma condición o propiedad.Por ejemplo, la circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equi-distan (una determinada magnitud r) de un punto fijo O llamado centro.

3. ¿Para qué sirve el determinar la mediatriz de un segmento?¿Qué característica o propiedad tienen en común el conjunto de puntos que la componen?

- El trazado de la mediatriz de un segmento trae consigo un doble objetivo: determinar el punto me-dio de un segmento y poder dibujar (por unión de dos puntos) la recta perpendicular al mismo,por su punto medio.

- La mediatriz resulta ser el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremosde un segmento. Por tanto, la característica o propiedad común de todos ellos es su equidistanciaa los extremos del mismo.

VERIFICACIÓN

BA

rs s

r

M

m

Mediatriz de un segmento AB.

88


nombre y apellidos


17Tra

zados g

eom

étrico

s

1

CONSTRUCCIÓN Y OPERACIONES CON ÁNGULOS

3

2

1. Dados los ángulos de vértices A y B, dibuja el ángulosuma (αα + ββ) con vértice en el punto S.

2. Dados los ángulos de vértices M y N, dibuja el ángulodiferencia (αα - ββ) con vértice en el punto D.

3. Con vértice en el punto O, y sobre la misma figura, tra-za los ángulos de 90º y 45º.

4. Partiendo del vértice P, y sobre la misma figura, dibujalos ángulos de 60º y 30º respectivamente.

2

β

N

α

M

α

A B

β

DIFERENCIA DE ÁNGULOS

C

S D

O P

DATOS:

1 SUMA DE ÁNGULOS

DATOS:

3 ÁNGULOS DE 90° Y 45°

CONSTRUCCIÓN DEÁNGULOS CON EL COMPÁS

AO

B

45º

60º

O A

B

30ºB

O A

C

120º = 60° + 60°

45º = 90° / 2

30º = 60° / 2

Con centro en O y A se trazan arcosde igual radio, que se cortan en B.

C

120º

O A

r

r

r

B

4 ÁNGULOS DE 60° Y 30°

β

α

α + β

α - β

r arbitrario

90°

α

β

r arbitrario

60°

P

45°30°

r


VERIFICACIÓN

1. ¿Para qué sirve la bisectriz de un ángulo?¿Qué característica o propiedad tienen en común el conjunto de puntos que la componen?

2. ¿A qué se denomina «distancia» en geometría? ¿Cual es la distancia entre un punto P y una recta r?

3. ¿Puedes recordar algunos diseños (gráficos, pictóricos, arquitectónicos, utilitarios, mecánicos, etc.) enlos que se emplee la circunferencia o el círculo?

1. ¿Para qué sirve la bisectriz de un ángulo? ¿Qué característica o propiedad tienen encomún el conjunto de puntos que la componen?

Para dividir el ángulo en dos partes o zonas iguales. Téngase en cuenta que la bisectriz de unángulo resulta ser el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados delángulo.

2. ¿A qué se denomina «distancia» en geometría? ¿Cual es la distancia entre un punto Py una recta r?

- Se denomina distancia a la longitud más corta entre dos elementos geométricos: puntos,rectas, planos, figuras, etc.

- La distancia entre un punto P y una recta r es la magnitud del segmento que resulta de trazardesde el punto P la perpendicular a la recta r.

3. ¿Puedes recordar algunos diseños (gráficos, pictóricos, arquitectónicos, utilitarios,mecánicos, etc.) en los que se emplee la circunferencia o el círculo?

El uso de la circunferencia es omnipresente a nuestro alrededor.

- Comemos sobre platos circulares.

- En nuestras calles encontramos frecuentemente rotondas para ordenar la circulación de losvehículos.

- Los CDs y DVDs son de forma circular.

- Los vehículos en los que nos desplazamos se mueven sobre ruedas circulares.

- Los motivos decorativos de los rosetones de las iglesias, que se abren como si fueran flores,se inscriben en una circunferencia.

- Los colores los ordenamos en un círculo cromático.

La utilización de la circunferencia y el círculo es tan frecuente que la relación de aplicacioneses casi infinita: anillos, botes, barriles, galletas, pizzas, plazas de toros, cientos de logotiposde marcas comerciales, relojes, etc.

VERIFICACIÓN

a b cda

bc

d

V

AB

D

C

Rosetón de la Catedral de Chartres, Siglo XIII.Reloj de pulsera.Anillo.

Bisectriz de un ángulo.

bisectr

iz

90


nombre y apellidos


18Tra

zados g

eom

étrico

s

1

DISTANCIAS Y DIVISIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EN PARTES IGUALES

3

12

1. Determina la distancia entre el árbol (A) y la casa (B) yentre cada uno de ellos y la mediana de la carretera,teniendo en cuenta que cada milímetro en el plano esun metro en la realidad.

2. La Agencia Espacial Europea ha puesto en órbita un sa-télite alrededor de la Tierra. Tomando al satélite como unpunto (S) y a la Tierra como una circunferencia de diáme-tro AB, halla la distancia entre ambos, sabiendo quecada milímetro en el papel es un kilómetro en la realidad.

3. Existen multitud de diseños obtenidos a través de la di-visión de la circunferencia en partes iguales.

En esta lámina te mostramos dos: el Yin-yan (un sím-bolo espiritual de origen oriental) y la Rosácea (unmotivo muy empleado en decoración de edificios y enmobiliario). Reprodúcelos sobre las circunferencias enblanco, apoyándote en la explicación mostrada, o bienrealiza otros diseños nacidos de tu imaginación.

3

2

S

A

r

B

r

r/2

r/4

e : 1/ 1.000.000

A

B

Yin-Yan

Rosácea

e: 1/ 1.000

90º

58 m.

48 m.25 m.

64 Km.

O

D

C

90º

med

iatr

iz d

e A

B

diámetro


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