UCV-Ing Civi-Matemática

Tema: Ecuación de La Hipérbola

Docente: BILLY SANTOS TORIBIO ARANDA

Alumno: Castro Merino Francisco

Objetivos:

1. Conocer la fórmula general de la hipérbola.2. Definir los componentes de la hipérbola: centro,

foco, eje transversal y asíntotas, y esbozar su gráfica.

3. Definir la hipérbola equilátera.4. Presentar algunas aplicaciones de las

ecuaciones cuadráticas en la modelación de problemas, promoviendo el desarrollo de los ejercicios de manera participativa.

La hipérbola:La hipérbola:Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos en un plano, para los que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos (denominados focos) es una constante.

Una hipérbola tiene dos ejes; el eje que corta a la hipérbola es su eje transverso; el punto en el que se cortan los ejes es el centro de la curva.

y

xEje transverso

x

y

Eje transverso

La hipérbola:La hipérbola:La ecuación de una hipérbola puede escribirse como:

12

2

2

2

b

kya

hx

(h,k) es el centro de la hipérbola. El eje transverso es paralelo al eje x.

y

xEje transverso

La hipérbola:La hipérbola:

12

2

2

2

b

hxa

ky

(h,k) es el centro de la hipérbola. El eje transverso es paralelo al eje y.

x

y

Eje transverso

La hipérbola:La hipérbola:Toda hipérbola tiene un par de asíntotas que son rectas que se cortan; tales asíntotas están dadas por las ecuaciones:

bky

ahx

Ejemplos:

6x2 – 12x – 4y2 – 16y – 34 = 0 2y2 – 12y – x2 + 6x + 7 = 0

Solución:Solución: 6x2 – 12x – 4y2 – 16y – 34 = 0

34164126 22 y y – x – x

y y – x – x 344426 22

16634444126 22 yy – x – x

242416 22 y – x

1

62

41 22

y

– x

16

221

2

2

2

2

y

– x

y

x

6

221

126

2 xy

16

221

2

2

2

2

y

– x

Centro: (1, -2)Eje transverso: paralelo al eje xAsíntotas:

(1,-2)

x

y

Aplicaciones Aplicaciones

La órbita del cometa C/2002 E2 Snyder-Murakami

Los cometas son pequeños cuerpos del sistema solar compuestos fundamentalmente por hielo y polvo. Estos objetos describen órbitas altamente elípticas e incluso parabólicas o hiperbólicas, lo que hace que en raras ocasiones se acerquen al Sol. En la imagen anterior se representa en rojo la evolución del cometa C/2002 E2 Snyder-Murakami a lo largo de su órbita hiperbólica (excentricidad 1,000468)en un lapso temporal que abarca desde el año 1998 hasta 2006. En azul está representada la órbita de la Tierra, lo que da una idea de la amplitud del recorrido del cometa.

• La órbita de C/2002 E2 está contenida en un plano prácticamente perpendicular al que contiene a la órbita de la Tierra, también llamado plano de la eclíptica Para la animación se ha elegido una vista que proyecta todos los objetos sobre el plano de la órbita del cometa, lo que hace que la órbita de la Tierra se vea de perfil.

• El punto amarillo indica la posición que ocupa el Sol como foco tanto de la órbita casi circular de la Tierra como de la hipérbola descrita por el cometa Snyder-Murakami. Las esferas azul y roja indican solamente la posición de la Tierra y del cometa, sin ser representativas del tamaño de estos objetos. De hecho, ni la Tierra ni el cometa serían visibles en la animación en el caso de que se representasen a escala.

o Una planta hidráulica produce cantidades x e y de dos diferentes tipos de acero, aplicando el mismo proceso productivo. La curva de transformación del producto correspondiente a la materia prima utilizada está dada por:

y2 + x + 4y – 20 = 0a.¿Cuáles son las cantidades x e y

máximas que pueden producirse?b.¿Qué cantidades x e y deberían ser

producidas a fin de tener x = 4y?

o Una constructora produce cantidades x e y de dos tipos planos empleando el mismo proceso de producción. La curva de transformación correspondiente al insumo utilizado está dado por:

5x2 + 2y2 = 98a.¿Cuáles son las cantidades x e y

máximas que pueden producirse?b.¿Qué cantidades x e y deberían ser

producidas a fin de tener y = 0.75x?