U3 - Planificación Estratégica de la Capacidad de Producción

8/18/2019 U3 - Planificación Estratégica de la Capacidad de Producción

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1U3 : PLANIFICACIÓN ESTRATÉGICA DE LA CAPACIDAD DE PRODUCCIÓN

1. CAPACIDAD DE LAS OPERACIONES

En las empresas industriales, se entiende por capacidad a la cantidad de unidades de producciónque dicha empresa puede lograr durante un periodo determinado de tiempo. Para el caso deempresas de servicios, se entiende por capacidad al número de clientes que se pueden atender en

una hora o turno de trabajo.

Por ejemplo, en el caso de la industria automotriz, se entiende por capacidad al número deautomóviles que pueden producirse en un solo tumo.

Para analizar la capacidad se deben tener en cuenta tanto la cantidad de recursos utilizados como lacantidad de productos logrados con dichos recursos, con el fin de poder planificar adecuadamente loque se va a fabricar.

En general la planificación estratégica de la capacidad se considera en tres plazos de tiempo:

• Planificación estratégica de la capacidad a corto plazo. En este caso se tiene en cuenta la

programación diaria o semanal de todos los procesos, con el fin de realizar los ajustes de lasdiferencias que surgen entre lo planificado y lo realmente fabricado.

• Planificación estratégica de la capacidad a mediano plazo. En este caso se tiene encuenta la planificación mensual o trimestral de los próximos 6 o 18 meses, con el fin de teneren cuenta las alternativas de contratación, subcontratación, despidos y nuevas herramientas yequipos menores.

• Planificación estratégica de la capacidad a largo plazo. En este caso se tiene en cuenta laadquisición de recursos productivos importantes, como edificios e instalaciones.

Finalmente, la planificación de la capacidad tiene diferentes significados para los distintos niveles

jerárquicos de la empresa:

• El gerente general de manufactura se debe interesar en el análisis de la capacidad global delas diferentes fábricas que conforman la firma, su preocupación está relacionada con losrecursos financieros requeridos por dichas fábricas.

• Cada gerente de planta se debe interesar del análisis de la capacidad de su propia planta enforma individual, para poder decidir cual es la mejor forma de utilizar su capacidad para elcumplimiento de la demanda de los diferentes productos fabricados, teniendo en cuenta que acorto plazo durante los periodos de demanda pico, se deberá decidir cuándo y cuántoinventario se debe anticipar para cumplir con la demanda

•

El supervisor de cada sección se debe interesar del análisis de la capacidad del equipo, latecnología y la utilización del personal a su cargo. Esta persona debe desarrollar programasdetallados para acomodar, el flujo diario de trabajo.

La capacidad es la cantidad de recursos que entran y están disponibles con relación a los requisitosde producción durante un periodo de tiempo determinado. Observemos que esta definición no hacedistinción entre un uso eficiente y un uso ineficiente de la capacidad.

Si la capacidad es insuficiente, la empresa puede perder clientes y permite que otros competidoresingresen al mercado.


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2 Si la capacidad es excesiva, la empresa debería reducir los precios para estimular la demanda, osubutilizar su fuerza laboral.

Una capacidad que puede ser sostenida en el tiempo corresponde a un nivel de producción factible,pero el concepto de mejor nivel operativo corresponde a un nivel de capacidad para el cual ha sidodiseñado el proceso, donde la cantidad de producción se logra a un costo unitario mínimo.

Una medida importante es la tasa de utilización de la capacidad, la cual revela cuán cerca está unaempresa de su mejor punto operativo:

Tasa de utilización de la capacidad = Capacidad utilizada Mejor nivel operativo

La tasa de utilización de la capacidad se expresa como porcentaje y exige que el numerador y eldenominador sean medidos en las mismas unidades y periodos de tiempo (horas máquina /día,barriles de petróleo / día, pesos de producción / día).

La noción básica de las economías de escala indican que: a medida que una planta crece e

incrementa su volumen de producción, el costo promedio por unidad de producción se reduce. Estose debe, en parte a las disminuciones en los costos operativos y de capital, porque un equipo con eldoble de la capacidad que otro, por lo general no cuesta el doble al ser adquirido o al ser puesto enoperación.

Las plantas también logran eficiencia cuando crecen lo suficiente para utilizar plenamente losrecursos dedicados a tareas tales como manejo de materiales, equipos y personal.

En un estudio auspiciado por la Fundación Nacional de Ciencias, se encontró que para las compañíasque producen partes discretas, las grandes plantas parecen tener una ventaja sobre las pequeñas,sin embargo, estas relaciones son complejas y pueden cambiar según el tipo de industria.

También, cuando el tamaño de una planta se vuelve demasiado grande, las deseconomías de escalase convierten en un problema. Estas deseconomías pueden surgir de muchas maneras diferentes,como el hecho de mantener la demanda requerida para tener las grandes instalaciones ocupadas,puede exigir una reducción considerable en el precio del producto.

Otro ejemplo típico se refiere a la utilización escasa de un equipo de gran capacidad. En este tipo deoperaciones, es esencial minimizar el tiempo de inactividad de los equipos. Aunque el trabajo directopara operar el equipo es pequeño, el trabajo requerido para mantenerlo en buen estado defuncionamiento es grande.

En muchos casos, el tamaño de una planta puede verse influenciado por factores distintos del equipointerno, la mano de obra y demás gastos de capital. Uno de los principales factores puede ser el

costo de transportar las materias primas y los productos terminados hacia y desde la planta.Una fábrica de cemento, por ejemplo, tendría dificultades para atender a sus clientes situados lejosde la planta. De manera análoga, algunas compañías de automóviles han encontrado ventajosoubicar las plantas dentro de mercados internacionales específicos, y el tamaño de estos mercadosobjetivos, indicará en gran medida el tamaño requerido de la planta.


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3La curva de la experiencia es un concepto bien conocido. En la medida en que las plantas producenmás cantidad de un mismo artículo, obtienen experiencia en los mejores métodos de producción, locual reduce sus costos en estas áreas.Cada vez que la producción acumulada de una planta se duplica, sus costos de producción sereducen en un porcentaje específico que depende de la naturaleza de la empresa. La Fig.1demuestra el efecto de una curva de experiencia de 90% sobre los costos de producción.

COSTO POR UNIDAD

Fig.1

PRODUCCIÓN ACUMULADA

Las plantas más grandes pueden tener una ventaja de costos de doble vía sobre sus competidores,una planta más grande, no sólo gana con las economías de escala, sino que también producirá más,lo cual le dará ventajas también en la curva de experiencia.

Las compañías utilizan esta doble ventaja como estrategia competitiva, construyendo primero unagran planta con considerables economías de escala y utilizando luego sus menores costos para fijarsus precios de manera agresiva e incrementar su volumen de ventas. El mayor volumen los haceavanzar en la curva de experiencia más rápidamente que sus competidores, permitiéndole a lacompañía disminuir aún más los precios, con lo cual alcanza un volumen todavía mayor.

Existen, sin embargo, dos criterios que deben cumplirse para que esta estrategia sea exitosa:

• El producto debe satisfacer las necesidades de los clientes.• La demanda debe ser lo suficientemente grande como para soportar un mayor volumen.

El concepto de la fábrica focalizada, sostiene que una empresa funciona mejor cuando se enfoca enuna serie más bien limitada de objetivos de producción.

Esto significa, que una firma no debe esperar sobresalir en todos los aspectos del desempeño de lafábrica: costos, calidad, flexibilidad, introducción de nuevos productos, contabilidad, tiempos cortos ybaja inversión.

En su lugar, debe seleccionar una serie limitada de tareas que contribuyan de la mejor maneraposible a alcanzar los objetivos corporativos. Pero, dados los avances en la tecnología demanufactura, existe una evolución en los objetivos de la fábrica hacia tratar de hacer todo bien.

El concepto de capacidad focalizada se puede aplicar mediante el mecanismo de plantas dentro deplantas, (PDP, plantas dentro de las plantas). Una planta focalizada puede tener varias PDP, cadauna de las cuales puede tener distintas suborganizaciones, equipos, políticas de procesamiento,políticas de manejo de la fuerza laboral, métodos de control de la producción, etc., para sus diferentesproductos, incluso si éstos se fabrican bajo el mismo techo.

Esto, permite determinar el mejor nivel operacional para cada departamento y, en consecuencia, llevael concepto del enfoque a la división de operaciones.


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4Capacidad flexible. Es la habilidad de incrementar o disminuir rápidamente los niveles deproducción, o de cambiar la capacidad de producción de un producto o servicio. Tal flexibilidad selogra mediante plantas, procesos y trabajadores flexibles, y con estrategias que utilizan la capacidadde otras organizaciones.

Plantas flexibles. Quizás lo máximo en flexibilidad de plantas es la planta de tiempo de cambioscero. Utilizando equipos movibles, paredes desmontables y servicios de fácil acceso y redirigibles, la

planta puede adaptarse al cambio en tiempo real.

Procesos flexibles. Los procesos flexibles se logran, por una parte con sistemas de fabricaciónflexibles, y por la otra con equipos sencillos y fáciles de instalar. Estos dos enfoques tecnológicospermiten cambiar rápidamente y a bajo costo, una línea de productos a otra, dando lugar a lo que seconoce como economías de alcance, que por definición, existen cuando se pueden producir variosproductos a un menor costo que si se produjeran por separado.

Trabajadores flexibles. Los trabajadores flexibles tienen múltiples habilidades y la capacidad paracambiar con facilidad de un tipo de tarea a otro. Estos empleados requieren una capacitación másamplia que los trabajadores especializados y necesitan el apoyo de los gerentes y del personal parafacilitar cambios rápidos en sus asignaciones de trabajo.

2. PLANIFICACIÓN DE LA CAPACIDAD

Cuando se quiere aumentar la capacidad, es necesario tener en cuenta muchos aspectos. Tres de losmás importantes son:

• El mantenimiento del equilibrio del sistema.• La frecuencia de los aumentos de la capacidad.• El uso de la capacidad externa.

- En una planta perfectamente equilibrada, la producción de la etapa 1 suministra el requisito deinsumos exacto para la etapa 2, la producción de la etapa 2 suministra el requisito exacto de insumos

para la etapa 3, y así sucesivamente. En la práctica, sin embargo, lograr el diseño "perfecto" suele serimposible e indeseable.

Una razón de ello es que los mejores niveles operacionales para cada etapa por lo general difieren.Por ejemplo, la etapa 1 del proceso puede operar más eficiente en base en una serie de 90 y 110unidades por mes, mientras que la etapa 2 del proceso es más eficiente entre 75 y 85 unidades pormes, y la etapa 3 del proceso, funciona mejor con un rango de entre 150 y 200 unidades por mes.

Otra razón es que la variabilidad en la demanda de productos y en los procesos mismos sueleconducir a un desequilibrio, excepto en las líneas de producción automatizados que consisten en unasola máquina de gran tamaño.

Existen diferentes maneras de modificar el desequilibrio de las distintas etapas de un proceso.Una forma es aumentando la capacidad de aquellas etapas que producen cuellos de botella. Estopuede hacerse con las siguientes medidas temporales:

• la programación de horas extras,• el alquiler de equipos o• la compra de capacidad mediante la subcontratación adicional.


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5Una segunda manera es a través del uso de inventarios de amortiguación en las etapas del procesodonde se producen cuellos de botella, para garantizar que en éstas siempre se tenga algo en quétrabajar. Ésta es una característica del enfoque de fabricación sincrónica.

Un tercer método implica la duplicación de los servicios de un departamento del cual dependa otro.

- Cuando se aumenta la capacidad existen dos tipos de costos por considerar:

• el costo de mejorar con frecuencia,• y el costo de mejorar con poca frecuencia.

Mejorar la capacidad de manera demasiado frecuente es costoso, ya que existen costos directostales como suprimir y reemplazar los viejos equipos y capacitar a los empleados en el manejo de losnuevos.

Además, el nuevo equipo se compra con frecuencia a un precio considerablemente mayor que aquélobtenido por la venta del viejo. Finalmente, está el costo de oportunidad de mantener la planta o elsitio de servicio ocioso durante el periodo de cambio.

De manera inversa, mejorar la capacidad con muy poca frecuencia también resulta costoso. Laexpansión no frecuente significa que la capacidad se compra en paquetes más grandes. Cualquiercapacidad excesiva que se compre tiene que registrarse como gastos generales hasta que se utilice,Ver Fig. 2.

VOLUMEN

Fig.2

AÑOS

- En algunos casos, puede resultar menos costoso no aumentar la capacidad de ninguna manerasino, más bien, utilizar alguna fuente externa de capacidad. Dos estrategias comunes utilizadas porlas organizaciones son

• la subcontratación de capacidad.• y la capacidad compartida.

Un ejemplo de subcontratación es el utilizado por los bancos que subcontratan operaciones decuentas corrientes y de compensación.

Un ejemplo de capacidad compartida es el de dos aerolíneas nacionales que vuelan en rutasdiferentes con distintas demandas estacionases, cambiando la aeronave (debidamente pintada conotros colores) cuando las rutas de una se utilizan con gran frecuencia y las de la otra no.


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6 3. REQUERIMIENTOS DE LA CAPACIDAD :

Para determinar los requerimientos de capacidad, es necesario analizar:

• las demandas de líneas de productos individuales,• las capacidades de cada planta

• y la asignación de la producción en toda la red de la planta.

Esto se realiza de acuerdo con los pasos siguientes:

1. Utilizar técnicas de proyección, para predecir las ventas de cada producto dentro de cada línea.2. Calcular los requerimientos de equipo y mano de obra para cumplir con las proyecciones en las

líneas de productos.3. Proyectar la disponibilidad del equipo y la mano de obra en el horizonte de planificación.

A menudo, la firma decide mantener un amortiguador de capacidad entre los requerimientosproyectados y la capacidad real. Un amortiguador de capacidad es una cantidad superior a lademanda esperada.

Por ejemplo, si la demanda anual esperada de las instalaciones es de $10 millones por año enproductos y la capacidad diseñada es de $12 millones anuales, se dispone de un amortiguador decapacidad del 20%, que es igual a una tasa de utilización de 83% (100% / 120%).

Cuando la capacidad diseñada de una compañía es menor a la capacidad requerida para satisfacer lademanda, se dice que se dispone de un amortiguador de capacidad negativo.

Si, una firma tiene una demanda de $12 millones por año en productos, pero sólo puede producir $10millones anuales, tiene un amortiguador de capacidad negativo del 20%.

Ejemplo 1

Determinar los requerimientos de capacidad de la compañía Hellmanns que produce dos sabores deaderezo para ensaladas: Normal y Suave. Cada uno de ellos se encuentra disponible en frascos y enbolsas de plástico. La gerencia quiere determinar los requerimientos de equipo y mano de obra paralos próximos cinco años.

Solución:

Paso 1. Utilizar técnicas de proyección para predecir las ventas de cada producto dentro de cadalínea. El departamento de márqueting, que está llevando a cabo una campaña promocional para eladerezo, suministró los siguientes valores de demanda prevista (en miles) para los próximos cincoaños. Se espera que la campaña continúe durante los próximos dos años.

AÑO 1 2 3 4 5NORMAL Frascos (miles) 60 100 150 200 250SUAVE Frascos (miles) 75 85 95 97 98

TOTAL FRASCOS (miles) 135 185 245 297 348NORMAL Bolsas plásticas (miles) 100 200 300 400 500SUAVE Bolsas plásticas (miles) 200 400 600 650 680

TOTAL BOLSAS (miles) 300 600 900 1.050 1.180

Paso 2. Calcular los requerimientos de equipo y mano de obra para cumplir con las proyecciones dela línea de productos.


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7Actualmente la cantidad disponible de máquinas y operarios es la indicada en la siguiente tabla:

MÁQUINASDISPONIBLES

TIPO DEENVASE

CANTIDADPOR AÑO

OPERARIOS PORMÁQUINA

CANTIDADDE OPERARIOS

3 Frascos 150.000 2 65 Bolsas de plástica 250.000 3 15

El total de proyecciones de líneas de productos puede calcularse a partir de la tabla anteriormente

vista, considerando la demanda anual de frascos y de bolsas plásticas de la siguiente manera:

Año 1 2 3 4 5 Frascos ( en miles ) 135 185 245 297 348Bolsas plásticas ( en miles ) 300 600 900 1.050 1.180

Ahora se pueden calcular los requerimientos de equipo y mano de obra para el año en curso (año l).

La capacidad total disponible para envasar frascos es de 450.000/año, con 3 máquinas a razón de 150.000 cada una.

Se estarán utilizando 135.000/450.000 = 0.3 de la capacidad disponible para el año en curso, ó sea0.3 x 3 = 0.9 máquinas.

De manera similar, la capacidad total disponible para envasar bolsas de plásticas es de1.250.000/año, con 5 máquinas a razón de 250.000 cada una.

Por lo tanto se estarán utilizando 300.000/1.250.000 = 0,24, ó sea 0,24 x 5 = 1,2 máquinas.

El número de personas requeridas para apoyar la demanda prevista para el primer año, será elpersonal requerido para las máquinas de frascos y de bolsas plásticas.

0,9 máquinas de frascos x 2 operadores = 1,8 operadores

1,2 máquinas de bolsas x 3 operadores = 3.6 operadores

Paso 3. Proyectar la disponibilidad de la mano de obra y el equipo en el horizonte de planificación,para ello se repiten los cálculos anteriores para los años restantes, obteniéndose la siguiente tabla:

Año 1 2 3 4 5Porcentaje de la capacidad utilizada 30 41 54 66 77Requerimiento de máquinas 0,9 1,23 1,62 1,98 2,31Operación de frascosRequerimiento de mano de obra 1,8 2,46 3,24 3,96 4,62Porcentaje de la capacidad utilizada 24 48 72 84 94Requerimiento de máquinas 1,2 2,4 3,6 4,2 4,7Operación de bolsas plásticasRequerimiento de mano de obra 3,6 7,2 10,8 12,6 14,1

Existe un amortiguador de capacidad positivo para los cinco años por cuanto la capacidad disponiblepara ambas operaciones (frascos y bolsas) es siempre superior a la demanda prevista. La compañía

Hellmanns puede ahora comenzar a desarrollar la gama intermedia o plan agregado para las doslíneas de producción.

Veamos a continuación como se evalúan las alternativas de capacidad mediante el uso de los árboles de decisión.

Una manera conveniente de proyectar los pasos de un problema de capacidad es mediante el uso delos árboles de decisión. Su uso no sólo ayuda a comprender el problema, sino también a encontrarleuna solución.


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8Un árbol de decisión es un modelo esquemático de la secuencia de los pasos de un problema y lascondiciones y consecuencias de cada paso.

Los árboles están compuestos por nodos de decisión con ramas que llegan y salen de ellos.Usualmente, los cuadrados representan puntos de decisión y los círculos representan los eventoscasuales.

Las ramas que salen de los puntos de decisión muestran las posibilidades que tiene quien toma lasdecisiones; las ramas que salen de los eventos casuales muestran las probabilidades de suocurrencia.

Para resolver los problemas de los árboles de decisión, se trabaja desde el final del árbol hasta elcomienzo del mismo. A medida que se trabaja hacia atrás, se calculan los valores esperados de cadapaso. Al calcular el valor esperado, el valor del tiempo del dinero reviste importancia si el horizonte deplanificación es largo.

Una vez hechos los cálculos, se poda el árbol mediante la eliminación en cada punto de decisión detodas las ramas con excepción de aquella que presente el mejor resultado. Este proceso continúahasta el primer punto de decisión y así se resuelve el problema.

A continuación se muestra un ejemplo de planificación de la capacidad correspondiente a HackersComputer Store.

Ejemplo 2. El propietario de H.C.S. está considerando qué hacer con su empresa durante lospróximos cinco años. El crecimiento de las ventas durante los últimos dos años ha sido bueno, peropodrían crecer mucho más si se construyera una gran compañía de productos electrónicos en suárea, tal como se ha propuesto. El propietario tiene tres opciones:

• la primera es agrandar su actual empresa,• la segunda es ubicar otra en un nuevo sitio y• la tercera es simplemente esperar y no hacer nada.

La decisión de expandirse o trasladarse tomaría poco tiempo, y en consecuencia, no se perderíaningresos.

Si no se hace nada durante el primer año y se registra un gran crecimiento, la decisión de expandirsepodría ser reconsiderada nuevamente.

Pero esperar más de un año le permitiría a la competencia abrir otros lugares en la localidad, en cuyocaso la expansión ya no sería factible.

Las condiciones supuestas a tener en cuenta son las siguientes:

1. Un crecimiento fuerte, como resultado del mayor número de clientes de las PC, en la nuevacompañía de productos electrónicos, tiene una probabilidad de éxito del 55%.2. Un crecimiento fuerte, en un nuevo sitio daría un rendimiento anual de $195.000, y un

crecimiento débil en un nuevo sitio significaría un rendimiento anual de $115.000.3. Un crecimiento fuerte con expansión, daría un rendimiento anual de $190.000, y un

crecimiento débil con expansión, significaría un rendimiento anual de $ 100.000.4. Con la empresa existente sin efectuar ningún cambio, si el crecimiento es fuerte habría un

rendimiento de $170.000 por año, y si el crecimiento es débil habría un rendimiento de$105.000 por año.

5. La expansión en el sitio actual costaría $87.000.


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96. El traslado a un nuevo sitio costaría $210.000.7. Si el crecimiento es fuerte y el sitio existente se agranda durante el segundo año, el costo

seguiría siendo de $87.000.8. Los costos operacionales de todas las opciones son iguales.

Se construye un árbol de decisión para asesorar al propietario de H.C.S. en la mejor forma, y la Fig.3muestra este el árbol de decisión. Existen dos puntos de decisión (que se indican mediante los nodos

cuadrados) y tres ocurrencias casuales (que se indican mediante nodos redondos).

Fig.3

Con los datos ya mencionados se calcula y confecciona la siguiente tabla:

Al ternativa Crecimiento Ingresos

$ A

Años

B

Costo$C

Valor$

D=A.B-Cfuerte 195.000 5 210.000 765.000

Traslado a un nuevo sitio

débil 115.000 5 210.000 365.000fuerte 190.000 5 87.000 863.000Expansión de la empresa

débil 100.000 5 87.000 413.000

No hacer nada ahorafuerte

expansión para el año próximo170.000190.000

1++4

87.000843.000

170.000 5 0 850.000No hacer nada ahora

fuertesin expansión para el año próximo

No hacer nada ahora débil 105.000 5 0 525.000

Fig.4

Trabajando a partir de las alternativas del crecimiento, que tienen que ver con la decisión de expandiro no, se observa que la alternativa de no hacer nada tiene un valor mayor que la de expandir.

En consecuencia, se elimina la opción de expandir en las alternativas del segundo año. Esto significaque si no se hace nada durante el primer año y se experimenta una fuerte demanda, en el segundoaño no tendría ningún sentido expandir.

Ahora se calculan los valores previstos asociados con las alternativas de decisión actuales.Simplemente se multiplica el valor de la alternativa por su probabilidad y se suman los valores.

El valor previsto para la alternativa del traslado ahora es de $585.000. La alternativa de expandir tieneun valor previsto de $660.000 y la opción de no hacer nada tiene ahora un valor previsto de $703.750.El análisis indica que la mejor decisión es no hacer nada (¡ni ahora ni el próximo año!).


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10Dado el horizonte de tiempo de cinco años, podría ser útil considerar el valor de tiempo de los flujosde ingresos y costos al resolver este problema. Por ejemplo, si se supone una tasa de interés de 16por ciento el resultado de la primera alternativa (trasladarse ahora, crecimiento fuerte) tiene unosingresos descontados valorados en $428.487 (195.000x3,274293654) menos el costo de $210.000 detrasladarse inmediatamente.

La Fig.5 muestra el análisis considerando los flujos descontados. Los detalles de los cálculos se dan

más abajo.

H.C.S

Fig.4

H.C.S.

Fig.5Con el fin de hacer que los cálculos coincidan con aquellos realizados por el programa decomputador, se han utilizado factores de descuento calculados hasta con diez dígitos de precisión (esfácil hacer esto con Excel).


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11El único cálculo que resulta un poco complicado es el de los ingresos cuando no se hace nada ahoray se expande al comienzo del año siguiente. En este caso, hay un flujo de ingresos de $170.000 elprimer año, seguido por cuatro años de $190.000. La primera parte del cálculo(170.000x0,862068966) descuenta los ingresos del primer año al actual. La parte que sigue(190,000x2,798180638) se descuentan los cuatro años siguientes al comienzo del año dos. Luego sedescuenta este flujo de cuatro años al valor actual.

Alt ernativa crecimien to Ingresos $ Cost o $ Valor $fuerte 195.000 x3,274293654 210.000 428.487Traslado a un nuevo sitio

débil 115.000 x3,274293654 210.000 166.544fuerte 190.000 x3,274293654 87.000 535.116

Expansión del almacéndébil 100.000 x3,274203654 87.000 x 240.429

No hacer nada ahora,expansión el año próximo fuerte

170.000 x0,862068966190.000 x2,798180638x

0,86206896687.000 x 0,862068966 529.874

No hacer nada ahora,no expandir el año próximo

fuerte 170.000 x3.274293654 0 556.630

No hacer nada ahora débil 105.000 x3,274293654 0 343.801

La planificación estratégica de la capacidad implica una decisión de inversión que debe igualar lacapacidad de los recursos con una proyección de la demanda a largo plazo. Los factores que debentenerse en cuenta al seleccionar un aumento de capacidad para productos manufacturados o

servicios, son los siguientes:

• Efectos probables de las economías de escala.• Efectos de la curva de experiencia.• Impacto por cambiar el enfoque de las instalaciones y el equilibrio entre las etapas de

producción.• Grado de flexibilidad de instalaciones y mano de obra.

Ejemplo 3.

La compañía Calcom (de Los Ángeles), es fabricante de calculadoras de bolsillo y tiene demandasdel mercado interno y externo. Hasta ahora a producido 100.000 unidades a un costo de producción

unitario de $3,5. Si consideramos que la curva de experiencia adecuada para su capacidad deproducción es del 85%:

a) ¿cuál es el costo unitario si el volumen de producción acumulado alcanza las 800.000unidades?.

b) ¿Que volumen de producción acumulado deberá lograrse para reducir el costo a menos de$2,55.

Solución:

Una curva de aprendizaje de 85% significa que el costo de producción se reducirá un 15% cuando laproducción acumulada se duplique. Veamos la siguiente tabla:

PRODUCCIÓN ACUMULADA

COSTO PORUNIDAD ($)

100.000 3,5200.000 3,5X0,85=2,98400.000 2,98X0,85=2,53800.000 2,53X0,85=2,15

a) Cuando el volumen acumulado llegue a 800.000 unidades, el costo será de $2,15.b) Cuando el volumen acumulado se acerque a 400.000 unidades, el costo será menor que $2,55.


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12 4. DISTINTOS TIPOS DE PROGRAMACIÓN.

La programación lineal (LP o linear programming), se refiere a varias técnicas matemáticasrelacionadas que se utilizan para asignar recursos limitados entre demandas en competencia de unamanera óptima. La LP es el método más popular entre las técnicas matemáticas de optimización, y seha aplicado a una gran variedad de problemas de administración de operaciones.

La atención se centrará en el método simplex (que puede solucionar cualquier tipo de problema deprogramación lineal) y en los métodos gráfico y de transporte (que resultan útiles para tratar ciertoscasos especiales).

Además de mostrar cómo los métodos de programación lineal llevan a una solución óptima para unproblema determinado, se examinarán los precios sombra y otra "información gratuita" valiosasuministrada por el método simplex.

Para que se justifique utilizar la programación lineal, la situación del problema debe reunir cincocondiciones esenciales:

1. Debe haber recursos limitados (por ejemplo una cantidad limitada de trabajadores, equipos,finanzas y material), de lo contrario no habría ningún problema.

2. Debe haber un objetivo explícito (como lograr utilidades máximas o mínimos costos).

3. Debe haber una condición lineal (si lleva tres horas fabricar una pieza, entonces dos piezasrequerirían seis horas, y tres piezas nueve horas).

4. Debe haber homogeneidad (los productos fabricados en una máquina son idénticos, o todaslas horas que trabaja una persona son igualmente productivas).

5. Por último está la divisibilidad: la programación lineal común supone que los productos y los

recursos pueden subdividirse en fracciones. Si esta subdivisión no es posible (como volar conmedio avión o contratar un cuarto de persona), se puede utilizar una modificación de laprogramación lineal que se conoce como programación entera.

Cuando se va a maximizar las utilidades, o minimizar los costos, o sea un solo objetivo, se utiliza laprogramación lineal. Pero cuando existen objetivos múltiples, se emplea la programación porobjetivos.Si un problema se resuelve mejor por etapas o tiempos, se habla de programación dinámica. Otrasrestricciones en la naturaleza del problema pueden exigir que se solucione mediante otrasvariaciones de la técnica, como la programación no lineal o la programación cuadrática.

A.- Programación lineal :Del punto de vista formal, la programación lineal entraña un proceso de optimización en el que seseleccionan valores no negativos para una serie de variables de decisión X I, X2, ..., Xn , con el fin demaximizar (o minimizar) una función objetiva en la siguiente forma:

Maximizar (o minimizar) Z = C1 . X1 + C2 . X2 +...........+ Cn . Xn

La cual está sujeta a restricciones de recursos en la siguiente forma:


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A11 X1 + A12 X2 +...........+ A1n Xn < B1A 21 X1+ A 22 X2 + ..........+ A2n Xn < B 2

.

.A m1 X1+ A m2 X2 + ..........+ Amn Xn < B m

Donde Cn, Amn y Bm son constantes dadas.

Las restricciones también se pueden expresar con símbolos de igual (=) o símbolos de menor que oigual a ( < ).

Programación lineal gráfica:

Aunque su aplicación se limita a problemas que incluyen dos variables de decisión (o tres variablespara trazar gráficos tridimensionales), la programación lineal gráfica permite una percepción rápidade la naturaleza de la programación lineal e ilustra el desarrollo del método simplex que se examinamás adelante.

Los pasos del método gráfico se describen mejor con el análisis un problema, por ejemplo el de lacompañía P&P, que fabrica palos de hockey y juegos de ajedrez. Cada palo de hockey produce unautilidad de $2 y cada juego de ajedrez produce una utilidad de $4.

Un palo de hockey requiere 4 horas de procesamiento en el centro de máquinas A y 2 horas en elcentro de máquinas B.

Un juego de ajedrez requiere 6 horas en el centro de máquinas A, 6 horas en el centro de máquinas By 1 hora en el centro de máquinas C.

El centro de máquinas A tiene un máximo de 120 horas de capacidad disponible diaria, el centro de

máquinas B tiene 72 horas y el centro de máquinas C tiene 10 horas.

Si la compañía desea elevar al máximo las utilidades, ¿cuántos palos de hockey y cuántos juegos deajedrez se deben producir por día?

1 . Formular el problema en términos matemáticos.

Si H es el número de palos de hockey y C es el número de juegos de ajedrez, para elevar al máximolas utilidades la función objetiva puede expresarse como:

Maximizar Z = $2H + $4C

Pero la maximización estará sujeta a las siguientes restricciones:

4H + 6C < 120 (restricción de centro de máquinas A)2H + 6C < 72 (restricción de centro de máquinas B)

1C < 10 (restricción de centro de máquinas C)H, C > 0

Esta formulación satisface los cinco requerimientos para una programación lineal estándar que semencionaron anteriormente:


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14 1. Existen recursos limitados (un número finito de horas disponibles en cada centro de máquinas).2. Existe una función objetiva explícita (se sabe lo que vale cada variable y cuál es la meta en la

solución del problema).3. Las ecuaciones son lineales (no hay exponentes o productos cruzados).4. Los recursos son homogéneos (todo se expresa en una unidad de medida, las horas de

máquina).

5. Las variables de decisión son divisibles y no negativas (es posible fabricar una parte fraccionalde un palo de hockey o de un juego de ajedrez; sin embargo, si esto se considera indeseable, setendría que utilizar una programación entera).

2 . Definir las ecuaciones de restricción.

Las ecuaciones de restricción se definen fácilmente al dejar que una variable equivalga a cero yresolver el corte del eje de la otra (las porciones de desigualdad de las restricciones no se tienen encuenta para este paso).

Para la ecuación de restricción del centro de máquinas A, (4H + 6C = 120) :

cuando H = 0, C = 20, y cuando C = 0, H = 30

Para la ecuación de restricción del centro de máquinas B, (2H + 6C = 72) :

cuando H = 0, C = 12, y cuando C = 0, H = 36

Para la ecuación de restricción del centro de máquinas C, (C = 10) para todos los valores de H. Estaslíneas se expresan de manera gráfica en la Fig.6.

3 . Determinar el área de factibi lidad.

La dirección de los signos de desigualdad en cada restricción determina el área en donde seencuentra una solución factible. En este caso, todas las desigualdades son del tipo menor que o iguala, lo que significa que sería imposible producir cualquier combinación de artículos que estuvieran a laderecha de cualquier línea de restricción en el gráfico.

La región de soluciones factibles no tiene sombra en el gráfico y forma un polígono convexo. Existeun polígono convexo cuando una línea trazada entre cualesquiera dos puntos en el polígonopermanece dentro de los límites de dicho polígono. Si no existe esta condición de convexidad, elproblema está incorrectamente formulado o no se ajusta a la programación lineal.

4 . Definir la función objetiva .La función objetiva se puede definir suponiendo alguna cifra de utilidad total arbitraria y luegoresolviendo las coordenadas del eje, como se hizo con las ecuaciones de restricción.

Otro término con que se conoce la función objetiva, es línea de iso-utilidad o de contribución igual,porque muestra todas las combinaciones de producción posibles para cualquier cifra de utilidad dada.


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15Por ejemplo, a partir de la línea punteada más cercana al origen en el gráfico, se pueden determinartodas las combinaciones posibles de palos de hockey o juegos de ajedrez que producen $32, alescoger un punto en la línea y leer el número de cada producto que se puede fabricar en ese punto.

La combinación que produce $32 en el punto a sería 10 palos de hockey y 3 juegos de ajedrez. Estose puede verificar sustituyendo H = 10 y C = 3 en la función objetiva:

Z = $2H + $4C = $2.(10) + $4.(3) = $20 + $12 = $32

C

H

Fig.6

H C Explicación 0 120/6 = 20 Intersección de Restricción (1) y eje C

120/4 = 30 0 Intersección de Restricción (1) y eje H0 72/6 = 12 Intersección de Restricción (2) y eje C

72/2 = 36 0 Intersección de Restricción (2) y eje H0 10 Intersección de Restricción (3) y eje C0 32/4 = 8 Intersección de línea iso-punto $32 (función objetiva) y eje C

32/2 = 16 0 Intersección de línea iso-utilidad $32 y eje H0 64/4 = 16 Intersección de línea iso-utilidad $64 y eje C

64/2 = 32 0 Intersección de línea iso-utilidad $64 y eje H

5 . Encontrar el punto óptimo.

Puede demostrarse matemáticamente que la combinación óptima de variables de decisión siempre seencuentra en un punto extremo (punto de esquina) del polígono convexo.

En la Fig.6 hay cuatro puntos de esquina (excluyendo el origen), y se puede determinar cuál de elloses el óptimo mediante uno de dos métodos.


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16. El primer método consiste en determinar algebraicamente los valores de las diversas soluciones deesquina. Esto implica resolver simultáneamente las ecuaciones de diversos pares de líneas enintersección y sustituir las cantidades de las variables resultantes en la función objetiva. Por ejemplo,los cálculos para la intersección de 2H + 6C = 72 y C = 10 son los siguientes:

Sustituir C = 10 en 2H + 6C = 72 da:

2H + 6.(10) = 72, 2H = 12, ó H = 6

Si se sustituye H = 6 y C = 1 0 en la función objetiva, se obtiene:

Utilidad Z = $2H + $4C = $2.(6) + $4.(10) = $12 + $40 = $52

Una variación de este método consiste en leer las cantidades H y C directamente del gráfico ysustituir esas cantidades en la función objetiva, como se muestra en el cálculo anterior.

El inconveniente que plantea este método es que, en problemas con una gran cantidad deecuaciones de restricción, habrá muchos posibles puntos por evaluar y el procedimiento para probarcada uno de ellos matemáticamente resulta ineficiente.

. El segundo método, que es el preferido, implica utilizar la función objetiva o la línea iso-utilidaddirectamente para determinar el punto óptimo.

El procedimiento consiste en trazar una línea recta paralela a cualquier línea de iso-utilidad inicialarbitrariamente seleccionada, de modo que la línea de iso-utilidad sea la más distante del origen delgráfico. (En los problemas de minimización de costos, el objetivo sería trazar la línea a través delpunto más cercano al origen).

En la Fig.6, la línea punteada llamada $2H + $4C = $64 hace intersección con el punto más extremo.Obsérvese que la línea de iso-utilidad inicial arbitrariamente seleccionada es necesaria para mostrarla inclinación de la función objetiva para el problema particular.

Dado que $2H + $4C = $64 es óptimo, la cantidad de cada variable para producir, se puede leer apartir del gráfico: 24 palos de hockey y 4 juegos de ajedrez. Ninguna otra combinación de losproductos produce mayores utilidades.

B.- Método simplex:

El método simplex ( término usado en geometría n-espacial ) es un procedimiento algebraico que,mediante una serie de operaciones repetitivas, se aproxima progresivamente a una solución óptima.

Teóricamente, este método puede resolver un problema con cualquier cantidad de variables yrestricciones, aunque para problemas que tengan más de cuatro variables o cuatro ecuaciones de

restricción, es mejor confiar los cálculos a una PC.Sin embargo, para saber cómo definir las ecuaciones que se colocarían en un programa, y para poderutilizarlo luego en una PC, vale la pena hacer el esfuerzo de desarrollar este método manualmente.

Procedimiento de solución en seis pasos

El método simplex incluye varios pasos técnicos, cada uno de los cuales se describe en detalle y seresume al final de la unidad. Se utiliza el problema de los palos de hockey y los juegos de ajedrezpara mostrar el procedimiento utilizado.


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17 Paso 1: Formular el problema.

Para maximizar las utilidades teníamos:

Maximizar Z = $2H + $4C

sujeto a las siguientes restricciones:(1) 4H + 6C < 120 (restricción del centro de máquinas A)(2) 2H + 6C < 72 (restricción del centro de máquinas B)(3) + 1C < 10 (restricción del centro de máquinas C)

H, C > 0 (requerimiento de no negatividad)

Paso 2: Establecer una tabla inicial con variables de holgura en la solución. La utilización del método simplex exige dos ajustes importantes al problema según se expresa:

(1) la introducción de variables de holgura y(2) el establecimiento de una tabla de solución.

Introducir variables de holgura.

Cada ecuación de restricción se expande para incluir una variable de holgura, que puede pensarsecomo un recurso ocioso desde un punto de vista práctico, y representa, desde el punto de vistacomputacional, la cantidad requerida para hacer que una parte de la ecuación de restricción sea iguala la otra; en otras palabras, para convertir las desigualdades en igualdades.

Para el presente problema, se necesitan tres variables de holgura:

S1 para la primera restricción,S2 para la segunda yS3 para la tercera.

Las ecuaciones de restricción son:4H+ 6C+ 1S1 = 1202H+ 6C+ 1S2 = 72

1C+ 1S3 = 10

Para que todas las variables estén representadas en cada ecuación, a cada variable de holgura nooriginalmente asociada con una ecuación de restricción se le asigna un coeficiente cero y se agrega aesa ecuación. Al ajustar el sistema de ecuaciones de esta manera, se tiene:

4H + 6C + 1S1 + 0S2 + 0S3 = 1202H + 6C + 0S1 + 1S2 + 0S3 = 720H + 1C + 0SI + 0S2 + 1S3 = 10

Observe que la variable H, con un coeficiente cero, se ingresa en la tercera ecuación para asegurarque también estará representada en todas las ecuaciones. Así mismo, la función objetiva refleja laadición de variables de holgura, pero como no producen ninguna utilidad, su coeficiente es $0 :

Z = $2H + $4C + $0S1 + $0S2 + $0S3


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18Construir una tabla inicial.

Una manera conveniente de establecer el problema para un cálculo simplex es una tabla como laindicada en la Fig.7, la cual contiene las siguientes indicaciones:

1. Las variables en la solución hasta ese punto.2. La utilidad asociada con la solución.

3. La variable (si la hay) que agrega más a la utilidad si se introduce en la solución.4. La cantidad de reducción en las variables en la solución que resulta de introducir una unidad decada variable. Esta cantidad se denomina la tasa de sustitución.

5. El valor de una unidad adicional (por ejemplo una hora) de capacidad de recursos. Este valor sedenomina precio sombra.

Las primeras cuatro características se examinan con referencia a la primera tabla, la quinta seexamina más adelante.

La fila superior de la tabla de la Fig.7 contiene los valores C j, que es la contribución a las utilidadestotales asociada con la producción de una unidad de cada producto alternativo.

Esta fila es otra expresión directa de los coeficientes de las variables en la función objetiva y, porconsiguiente, sigue siendo igual para todas las tablas subsiguientes.

La primer columna, encabezada por C j, simplemente muestra una lista, por conveniencia, de lasutilidades por unidad de las variables incluidas en la solución en cualquier etapa del problema.

Las variables escogidas para la primera tabla aparecen como "Combinación de soluciones". Comose puede ver, sólo las variables de holgura se consideran en la solución inicial, y sus coeficientes deutilidad son cero, lo cual se indica en la columna C j.

Las variables de restricción aparecen a la derecha de "Combinación de soluciones", y debajo de cadauna de ellas se encuentra el coeficiente de la variable particular en cada ecuación de restricción. Es

decir, 4, 6, 1, 0 y 0 son los coeficientes de la restricción del centro de máquinas A; 2, 6, 0, 1 y 0corresponden al centro de máquinas B; y 0, 1, 0, 0 y 1 corresponden al centro de máquinas C.

$2 $4 $0 $0 $0C j Columna

C j FilaCombinaciónde soluciones

H C S1 S2 S3Cantidad

Centro demáquinas

$0 S1 4 6 1 0 0 120 A$0 S2 2 6 0 1 0 72 B$0 S3 0 1 0 0 1 10 C

Z j $0 $0 $0 $0 $0 $0C j - Z j $2 $4 $0 $0 $0

Fig.7

Las tasas de sustitución también se pueden derivar de las cifras. Por ejemplo, considere 4, 2 y 0,listados bajo H en la tercera columna. Por cada unidad de producto H introducido en la solución,tienen que retirarse cuatro unidades de S1, dos unidades de S2 y cero unidades de S3 de lascantidades disponibles.


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19Las entradas de la columna "Cantidad" se refieren a cuántas unidades de cada recurso haydisponibles en cada centro de máquinas. En la tabla inicial, se trata de otra expresión del ladoderecho de cada ecuación de restricción.

A excepción del valor en la columna "Cantidad", los valores Z j en la segunda fila a partir de abajo serefieren a la cantidad de utilidad bruta a la cual se renuncia al introducir una unidad de esa variable enla solución.

El subíndice j se refiere a la variable específica que se está considerando. El valor Z j bajo la columnade cantidad es la utilidad total para la solución. En la solución inicial de un problema simplex, todoslos valores de Z j son cero, porque no se está produciendo un producto real (todas las máquinas estánociosas), y por consiguiente no hay ninguna utilidad bruta por perder si se les reemplaza.

La fila inferior de la tabla contiene la utilidad neta por unidad, obtenida al introducir una unidad de unavariable determinada en la solución. Esta fila se designa como fila C j - Z j. El procedimiento paracalcular Z j y cada C j - Z j se ilustra en la tabla de la Fig.8.

La solución inicial al problema se deriva directamente de la tabla de la Fig.7: la compañía produce120 unidades de S1, 72 unidades de S2 y diez unidades de S3. La utilidad total de esta solución es

$0. Así pues, no se ha asignado todavía ninguna capacidad, y no se ha producido ningún productoreal.

Paso 3: Determinar cuál variable introduci r en la solución.Es posible tener una solución mejorada si existe un valor positivo en la fila C j - Z j. Esta fila provee lautilidad neta obtenida al agregar una unidad de su variable de la columna asociada en la solución.

En este ejemplo hay dos valores positivos entre los cuales escoger: $2 asociado con H, y $4 asociadocon C. Como el objetivo es maximizar la utilidad, la opción lógica es escoger la variable con la mayorrentabilidad para introducir en la solución, de modo que se escogerá la variable C. La columnaasociada con esta variable se designa mediante la pequeña flecha debajo de la columna C en laFig.7. Sólo se puede agregar una variable a la vez cuando se desarrolla cada solución mejorada.

Paso 4: Determinar cuál variable reemplazar.Como resulta deseable introducir C en la solución, lo siguiente que se debe hacer es determinar cuálvariable reemplazará. Para efectuar esta determinación, se divide cada cantidad de la columna"Cantidad" por la cantidad en la fila comparable de la columna C y se escoge la variable asociada conel cociente positivo más pequeño como aquella que se va a reemplazar:

Para la fila S1 : 120/6 = 20Para la fila S2 : 72/6 = 12Para la fila S3 : 10/1 = 10

Como el cociente más pequeño es 10, S3 será reemplazada, y su fila se identifica mediante la

pequeña flecha a la derecha de la tabla en la Fig.7. Ésta es la cantidad máxima de C que se puedeintroducir en la solución.

Es decir, la producción de más de diez unidades de C excedería la capacidad disponible de lamáquina C. Esto se puede verificar matemáticamente considerando la restricción C < 10, yvisualmente al examinar la representación gráfica del problema en la Fig.6.

El gráfico también muestra que 20 y 12 son los cortes C de las otras dos restricciones, y si se retiraraC < 10, la cantidad de C introducida se podría incrementar en dos unidades.


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20Cálculos de Z j:

C j H C j C C j S1 C j S2 C j S3 C j Cantidad$0 x 4 = 0

+$0 x 2 = 0

+

$0 x 0 = 0

$0 x 6 = 0+

$0 x 6 = 0+

$0 x 1 = 0

$0 x 1 = 0+

$0 x 0 = 0+

$0 x 0 = 0

$0 x 0 = 0+

$0 x 1 = 0+

$0 x 0 = 0

$0 x 0 = 0+

$0 x 0 = 0+

$0 x 1 = 0

$0 x 0 = 0+

$0 x 0 = 0+

$0 x 1 = 0ZH = $0 ZC = $0 Zs1 = $0 Zs2 = $0 Zs3 = $0 ZQ = $0

Cálculos de Ci – Zi: Fig. 8CH – ZH = $2 – 0 = $2CC – ZC = $4 – 0 = $4

CS1 – ZS1 = $0 – 0 = $0CS2 – ZS2 = $0 – 0 = $0CS3 – ZS3 = $0 – 0 = $0

Paso 5: Calculo de nuevos valores de fila para introducir variable.La introducción de C en la solución exige que se reemplace toda la fila S3. Los valores para C, la fila

que reemplaza, se obtienen dividiendo cada valor que se encuentra actualmente en la fila S 3 por elvalor en la columna C en la misma fila.

Este valor se denomina elemento interseccional porque se presenta en la intersección de una fila yuna columna. Esta relación interseccional se sustrae del resto de la tabla y las divisiones necesariasaparecen en la Fig.8.

Paso 6: Revisar las filas restantes.Los nuevos valores de la tercera fila (ahora asociados con C) son 0, 1, 0, 0, 1 y 10, que en este casoson idénticos a los de la antigua fila tres.

La introducción de una nueva variable al problema afecta los valores de las variables restantes, y

debe realizarse otra serie de cálculos para actualizar la tabla. Específicamente, lo que se quiere esdeterminar el efecto de introducir C en las filas S1 Y S2. Estos cálculos se pueden efectuar mediantelo que se conoce como el método pivot, o por sustitución algebraica.

El método pivot es un procedimiento más mecánico y por lo general se utiliza en la práctica, mientrasque la sustitución algebraica resulta de mayor utilidad para explicar la lógica del proceso deactualización. El procedimiento que utiliza el método pivot para determinar nuevos valores para S1 y S2 se ilustra en la Fig.5. (En esencia, el método sustrae seis veces la fila 3 de las filas S1 y S2).

La actualización mediante sustitución algebraica implica sustituir toda la ecuación para la fila entranteen cada una de las filas restantes y resolver para los valores revisados correspondientes a la variablede cada fila. El procedimiento, que se resume en la Fig.6, ilustra el hecho de que la programación

lineal mediante el método simplex es esencialmente la resolución de varias ecuaciones simultáneas.Aislar los coeficientes de las variables produce los mismos valores para la nueva fila S 1 que los queprodujo el método pivot: 4, 0, 1, 0, - 6, 60.

C66

S3 O 1 0 0 1 10 0/1 = 0, 1/1 = 1, 0/1 = 0, 0/1 = 0, 1/1 = 1, 10/1 =10 Fig. 9 $4


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21Método pívot:

Antiguafila S1 -

Elementointerseccionalde la antigua

fila S1

X

Elementocorrespondiente

de lanueva rila C

= Fila S1actualizada

Antiguafila S2 -

Elementointerseccional

de laantiguafila S2

X

ElementoCorrespondiente

de lanueva fila

C


4 - 6 X 0 = 4 2 - 6 X 0 = 26 - 6 X 1 = 0 6 - 6 X 1 = 0

1 - 6 X 0 = 1 0 - 6 X 0 = 00 - 6 X 0 = 0 1 - 6 X 0 = 10 - 6 X 1 = -6 0 - 6 X 1 = -6

120 - 6 X 10 = 60 72 - 6 X 10 = 12

Fig. 10

Para determinar nuevos valores para S1,

1.Reconstruya la antigua fila S1 como una restricción con variables de holgura añadidas (de laprimer tabla):

4H + 6C + 1S1 + 0S2 + 0S3 = 120

2. Escriba la fila entrante como una restricción con variables de holgura añadidas. (Éstos son losvalores computados en la Fig. 9).

0H + C + 0S1 + 0S2 + 1S3 = 10

3. Reorganice la fila entrante en términos de C, la variable entrante.

10 – S3

4. Sustituya 10 - S3 por C en la primera ecuación (la antigua fila S1) y resuelva para cada coeficientede la variable.

4H + 6 (10 – S3) + 1S1 = 1204H + 60 - S3 + 1S1 = 120

4H + 1S1 - 6S3 = 120 - 604H + 1S1 - 6S3 = 60

ó4H + 0C + 1S1 + 0S2 - 6S3 = 60

Los resultados de los cálculos efectuados en los pasos 3 a 6, junto con los cálculos de Z j y C j - Z j,aparecen en la tabla revisada, que corresponde a la Fig. 11. En terminología de programaciónmatemática, se ha completado una interacción del problema.

$2 $4 $0 $0 $0C j Columna

C j FilaCombinaciónde soluciones H C S1 S2 S3

CantidadCentro demáquinas

$0 S1 4 0 1 0 -6 60 A$0 S2 2 0 0 1 -6 12 B$4 C 0 1 0 0 1 10 C

Z j $0 $4 $0 $0 $4 $40C j - Z j $2 $0 $0 $0 $-4

Fig.11


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22Al evaluar esta solución, se observan dos cosas: la utilidad es de $40 pero, más importante aún, esposible un mejoramiento adicional porque existe un valor positivo en la fila C j - Z j.

Segunda interacción. La variable entrante es H porque tiene la cantidad C j - Z j más grande (2). Lavariable reemplazada es S2 porque tiene el cociente más pequeño cuando los valores de la columna"Cantidad" se dividen por sus montos comparables en la columna H:

S1 = 60/4 = 15, S2 = 12/2 = 6, C3 = 10/0 = infinitoLos valores de la fila entrante H son:

2/2 = 1, 0/2 = 0, 0/2 = 0, 1/2 = 1/2, - 6/2 = - 3, 12/2 = 6

Fila S1 actualizada de la Fig.12 es:0, 0, 1, -2, 6, 36.

Fila C actualizada de la Fig.12 es:0, 1, 0, 0, 1, 10.

Utilizando el resultado de la Fig.12, se obtiene la tercera tabla, que corresponde a la Fig.13 :

Actualización de filas S1 y C:

Antiguafila S1 -

Elementointerseccionalde la antigua

fila S1X

Elementocorrespondiente

de lanueva rila H

=Nuevafila S1

AntiguaFila C

-

Elementointerseccional

de laantiguafila S2

X

ElementoCorrespondiente

de lanueva fila

C


4 - 4 X 1 = 0 0 - 0 X 1 = 20 - 4 X 0 = 0 1 - 0 X 0 = 11 - 4 X 0 = 1 0 - 0 X 0 = 00 - 4 X 1/2 = -2 0 - 0 X ½ = 0-6 - 4 X -3 = 6 1 - 0 X -3 = 160 - 4 X 6 = 36 10 - 0 X 6 = 10

Fig. 12

Al examinar la tercera tabla, se observa que es posible un mejoramiento adicional al introducir elmonto máximo de S3 que sea técnicamente factible. A partir del cálculo en la parte inferior de laFig.13, la cantidad máxima de S3 que se puede llevar a la solución son seis unidades, debido a laoferta limitada de S1.

El reemplazar SI por S3 y realizar las operaciones de actualización da como resultado la tabla que seilustra en la Fig.14. Como la fila C j – Z j contiene sólo números negativos, no es posible ningúnmejoramiento adicional y se ha logrado una solución óptima (H = 24, C = 4) en tres interacciones.Véase el siguiente resumen de los pasos.

1. Formule el problema en términos de una función de objetivo y una serie de restricciones.2. Comience la tabla inicial con variables de holgura en la combinación de soluciones y calcule las

filasZ j y C j – Z j.

3. Determine que variables llevar a la solución (el valor C j – Z j más grande).4. Determine cuál variable reemplazar (la relación positiva más pequeña de la columna de cantidad

con su valor comparable en la columna seleccionada en el paso 3).


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235. Calcule nuevos valores de fila para ingresar la variable e inserte en la nueva tabla (fila que va a

ser reemplazada más el elemento interseccional).6. Actualice las filas restantes e ingrese una nueva tabla; compute las nuevas filas Z j Y C j – Z j (fila

antigua menos el elemento interseccional de la antigua fila por el elemento correspondiente en lanueva fila). Si no se determina un valor positivo C j – Z j, la solución es óptima. Si hay un valorpositivo de C j – Z j, repita los pasos 3 a 6.

$2 $4 $0 $0 $0 Centro demáquinasC j

ColumnaCombinaciónde soluciones H C S1 S2 S3

Cantidad

$0 S3 0 0 1 -2 6 36 A$2 H 1 0 0 1/2 -3 6 B$4 C 0 1 0 0 1 10 C

Z j $2 $4 $0 $1 $-2 $52C j - Z j $0 $0 $0 $-1 $2

Fig.13

36/6 = 66/-3 = -2 (negativo)*10/1 = 10

* Como existen 3 ecuaciones, debe haber 3 variables con valores negativos en la solución. Porconsiguiente, no se puede considerar introducir un monto negativo en la solución.

$2 $4 $0 $0 $0Centro demáquinas

C j Columna

C j FilaCombinaciónde soluciones H C S1 S2 S3

Cantidad

$0 S3 0 0 1/6 -1/3 1 6 A

$2 H 1 0 1/2 -1/2 0 24 B$4 C 0 1 -!/6 1/3 0 4 C

Z j $2 $4 $0 $1/3 $0 $64C j - Z j $0 $0 $0 $-1/3 $-0

Fig.14 (solución óptima)

Problemas de minimización. El ejemplo de P&P se refirió a maximización. Para resolver problemasde minimización se realiza un procedimiento idéntico. Como el objetivo es minimizar en vez demaximizar, un valor C j – Z j negativo indica un mejoramiento potencial; por consiguiente, la variableasociada con el valor C j – Z j negativo más grande se llevaría primero a la solución.

Sin embargo, tienen que traerse variables adicionales para establecer ese tipo de problemas, pueslos problemas de minimización incluyen restricciones de mayor que o igual a, que deben tratarse demodo diferente de las restricciones menor que o igual a, las cuales tipifican los problemas demaximización (véase la sección que trata sobre restricciones de mayor que o igual a e igual a, en elmétodo simplex).


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24Ruta de búsqueda seguida por el método simplex

Como se mencionó anteriormente, la solución óptima para problemas de programación lineal seobtiene determinando el punto en la esquina extrema. El procedimiento simplex comienza con unasolución inicial, busca la dirección más rentable para seguir y salta de un punto a otro de las líneas deintersección (o planos en un espacio multidimensional).

La evaluación de un punto de esquina toma una interacción, y cuando se llega al punto más extremo(en el caso de los problemas de maximización de utilidades según muestra la utilidad descendentedel siguiente punto), la solución se completa.

Consideremos la Fig.15, en donde el método simplex comenzó en el punto a (utilidad = $0).En la primera interacción se introdujeron diez unidades de C en el punto b (utilidad = $52).La tercera interacción dejó el problema en el punto d (utilidad = $64), que es óptimo.

Observemos que el procedimiento de solución no calculó utilidades para todas las esquinas de esteproblema. Sin embargo, si miro al futuro (mediante los cálculos C j – Z j.) para ver si es posible lograrmejoras adicionales desplazándose hasta otro punto (el punto e), pero dicho cambio no indicóninguna mejora.

Estas dos características, evaluación de los puntos de esquina y mirada hacia el futuro en busca deposibles mejoras, son características esenciales del método simplex.

Otra característica típica del método simplex es que no necesariamente converge en el punto óptimopor la ruta más corta alrededor del área factible. La referencia al gráfico muestra que si elprocedimiento de solución hubiese seguido la ruta a -> e -> d, se habría alcanzado una soluciónóptima en dos iteraciones en lugar de tres.

La razón por la cual no se siguió esta ruta fue que la utilidad por cada juego de ajedrez era mayor quela utilidad por cada palo de hockey, debido a lo cual el método simplex indicaba que en la primerainteracción se debía introducir C, en vez de H. Esto, a su vez, estableció el patrón para iteraciones

subsiguientes a los puntos c y d.

Observemos que como el espacio de solución forma un polígono convexo (según se definiópreviamente), la utilidad no puede aumentar, reducirse y nuevamente aumentar.

Precios sombra, rangos y sensibilidad

Al examinar la tabla simplex final (óptima), es posible aprender bastante. Además de mostrar lasolución, la tabla final suministra información valiosa sobre los recursos utilizados, el rango en el quela decisión óptima no cambia y el rango en que los coeficientes en la función objetiva no cambian lasolución óptima.

Específicamente, permite responder preguntas como: ¿le gustaría comprar más de un recurso? Deser así, ¿qué precio pagaría? ¿Cuántas unidades debe comprar a ese precio? Pueden respondersepreguntas similares acerca de la venta de recursos; incluso si un recurso se utiliza actualmente parala fabricación de productos, a un determinado precio vale la pena abandonar la producción yvenderlo.

Estas consideraciones son interesantes porque llevan a decisiones que pueden incrementar lasutilidades o reducir el costo. Estos incrementos en las utilidades o estas reducciones de costo sonadicionales a la solución óptima calculada en la función objetiva de la tabla final.


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25

Fig.15

Otras preguntas son las siguientes: si se cambia la utilidad por unidad (al cambiar el coeficiente en lafunción objetiva) ¿cambiará esto la solución óptima? Este es un análisis de sensibilidad y se refierea cómo cambia la solución cuando se produce un cambio pequeño en la función objetiva o, al

contrario, cuando se produce un pequeño cambio en la solución, el cambio que ocurre en la funciónobjetiva.

Refiriéndonos a la Fig.14, los valores C j – Z j asociados con las variables de holgura se denominanprecios sombra, valores marginales, valores incrementales o precios de equilibrio.

Observe que los precios sombra para S1 y S2 eran $1/3 (o 33 centavos) cada uno, y el precio sombrapara S3 era $0. Por encima de cada precio, la gerencia estaría dispuesta a vender recursos, y pordebajo de cada precio estaría dispuesta a comprar.

Programación lineal con Microsoft Excel

Se pueden utilizar hojas de cálculo para resolver problemas de programación lineal. Casi todas lashojas de cálculo tienen rutinas de optimización incorporadas que resultan muy fáciles de usar yentender. Microsoft Excel tiene una herramienta de optimización denominada Solver, que sedemostrará empleándola para resolver el problema de los palos de hockey y los juegos de ajedrez.

Se selecciona Solver en el menú Herramientas. Un cuadro de diálogo pide la información querequiere el programa.

En primer lugar, se define el problema identificando una celda objetiva (o función objetiva), las celdascambiantes (o variables de decisión) y las restricciones que se quieren en el análisis. En la Fig.16 semuestra una hoja de cálculo con la información requerida para el problema.

La "celda objetivo" (celda D5) contiene una fórmula que multiplica el número de palos de hockey y de juegos de ajedrez producidos por su utilidad correspondiente.

Las "celdas cambiantes" corresponden a las variables de decisión para el problema.

El cuadro "sujeto a las restricciones" contiene celdas que calculan los requerimientos de máquinaindividuales para una solución. Observemos que hay que indicar que los valores de solución debenser mayores que o iguales a cero.


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26En esta Fig.16 se muestra el cuadro de diálogo "Opciones". Sin embargo, al hacer clic en dichocuadro, se verá otro que le permite indicar que se trata de un "problema lineal". Esto acelerará elproceso de solución para el problema.

En el cuadro de diálogo "Opciones" hay muchos otros elementos que se pueden seleccionar y quecontrolan el mecanismo de búsqueda de soluciones que utiliza Solver. El programa es capaz deresolver problemas utilizando estrategias de búsqueda diferentes del método simplex.

Después de introducir toda la información en los cuadros de diálogo, se presiona el botón Resolverpara resolver el problema. Se pueden obtener varios informes diferentes.

Los informes más interesantes para el problema planteado son el "Informe de respuesta" y el "Informede sensibilidad", que se ilustran en la Fig.17.

El Informe de respuesta muestra las respuestas finales para la utilidad total ($64) y las cantidadesproducidas (24 palos de hockey y 4 juegos de ajedrez).

Fig.16

En la sección restricciones del informe de respuesta, se da el estado de cada recurso. La máquina Ay la máquina B se utilizan en su totalidad, y hay seis unidades de holgura para la máquina C.

El Informe de sensibilidad se divide en dos partes. La primera, titulada "celdas cambiantes",corresponde a coeficientes de función objetiva.


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27La utilidad por unidad correspondiente a los palos de hockey puede ser superior o inferior a $0,67(entre $2.67 y $1.33), sin que tenga un impacto en la solución.

De modo similar, la utilidad de los juegos de ajedrez podría estar entre $6 y $3, sin cambiar lasolución.

En el caso de la Máquina A, el lado de la derecha podría aumentar a 144 (120 + 24) o disminuir a 84

con un incremento o disminución resultante de $0,33 en la función objetiva.

El lado derecho de la Máquina B puede aumentar a 90 unidades o disminuir a 60 unidades con elmismo cambio de $0,33 en la función objetiva.

Para la Máquina C, el lado derecho podría aumentar infinitamente, 1E + 30 es la notación científicapara un número muy grande, o disminuir a 4 unidades, sin que haya cambio alguno en la funciónobjetiva.

Informe de respuesta

Celda objetiva (máx.)

Celda Nombre Valor original Valor f inal$D$5 Utilidad total $64 $64

Celdas ajustables

Celda Nombre Valor original Valor f inal

$B$4Decisión sobre

palos de hockey24 24

$C$4Decisión sobre

juegos de ajedrez4 4

Restricciones

Celda Nombre Valor de celda Fórmula Status Holgura $D$9 Máquina A utilizada 120 $DUS$9


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285. MÉTODO DE TRANSPORTE

El método de transporte es un caso especial simplificado del método simplex. Recibe su nombre desu aplicación a problemas que tienen que ver con el transporte de productos desde diversos puntosde origen hasta diversos destinos. Los dos objetivos comunes de estos problemas son:

(1) minimizar el costo de enviar n unidades hasta m destinos o

(2) maximizar las utilidades de enviar n unidades a m destinos.

Para resolver problemas de transporte se deben seguir tres pasos generales. Cada uno de ellos seexaminará en el contexto de un ejemplo sencillo.

Suponga que la compañía P & P tiene cuatro fábricas que abastecen a cuatro almacenes y que sugerencia quiere determinar la programación de envío de costo mínimo para su producción mensualde juegos de ajedrez.

La oferta de la fábrica, las demandas del almacén y los costos de envío por cada caja de juegos deajedrez se ilustran en la Fig.18.

Costos de envío por juego (en $)

Fábrica Oferta Almacén Demanda Desde Hasta E Hasta F Hasta G Hasta H

A 15 E 10 A 25 35 36 60

B 6 F 12 B 55 30 45 38

C 14 G 15 C 40 50 26 65

D 11 H 9 D 60 40 66 27

Fig.18

Paso 1: Establecer la matriz de transporte

La matriz de transporte para este ejemplo se ilustra en la Fig.19, en donde la disponibilidad de ofertade cada fábrica aparece en la columna del extremo derecho y las demandas de almacén figuran en lafila inferior.Los costos de envío por unidad aparecen en pequeños cuadros dentro de las celdas. En este paso esimportante asegurarse de que la disponibilidad total de la oferta y los requerimientos totales de lademanda sean iguales. En este caso son iguales, 46 unidades, pero muchas veces hay oferta odemanda en exceso.

Desde

HastaE F G H

Oferta de las

fábricas A 25 35 36 60 15B 55 30 45 38 6C 40 50 26 65 14D 60 40 66 27 11

Demanda delos

almacenes 10 12 15 9

46

46

Fig.19


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29Cuando esto ocurre, para que funcione el método de transporte se tiene que añadir un almacén o unafábrica ficticia. Desde el punto de vista del procedimiento, esto implica insertar una fila extra (para unafábrica adicional) o una columna extra (para un almacén adicional).La cantidad de oferta o demanda requerida por la instalación ficticia es igual a la diferencia entre lostotales de fila y de columna.

Por ejemplo, el siguiente problema se podría expresar de manera que indicara una demanda total de

36 cajas y, por consiguiente, se insertaría una nueva columna con una demanda de diez cajas paraelevar el total a 46 cajas.

Las cifras de costos de cada celda en la fila ficticia se establecerían en cero, de modo que lasunidades allí enviadas no incurrieran en un costo de transporte. Teóricamente, este ajuste equivale alprocedimiento simplex de insertar una variable de holgura en una desigualdad de restricciones paraconvertirla en una ecuación y, como en el método simplex, el costo del elemento ficticio sería cero enla función objetiva.

Fig.20


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30

Este problema se puede resolver con Microsoft Excel. La Fig.20 muestra cómo se puede plantear elproblema. Las filas 1 a 6 se utilizan para especificar costo, oferta de fábrica y requerimientos dedestino.

La solución ("celdas cambiantes") está en el rango entre B8 y E11. Los costos se calculan en las filas15 a 19. El costo total se calcula en la celda F19. En la siguiente sección continúa la explicación del

método manual.

Paso 2: Hacer asignaciones iniciales

La asignación inicial implica asignar números a las celdas para satisfacer las restricciones de oferta ydemanda. En seguida se examinan varios métodos para hacer esto:

1. el método de la esquina noroccidental,2. el método de menor costo y3. el método de aproximación de Vogel.

Método de asignación de esquina norocc idental. Como su nombre lo indica, el método de esquina

noroccidental comienza la asignación a partir de la esquina noroccidental de la matriz y asigna lo másposible a cada celda de la primera fila(asigna el mayor número de unidades posible a cada celda paracumplir los requerimientos de no tener más de m + n = 1 celdas llenas, en donde m = número de filasy n = número de columnas).

El procedimiento se repite para la fila segunda, la tercera, y así sucesivamente, hasta que se cumplantodos los requerimientos de fila y columna. La Fig.21 muestra una asignación de esquinanoroccidental. (La celda A-E se asignó primero, la A-F se asignó en segunda instancia, la B-F entercer lugar, etc.).

Al inspeccionar esta figura se constata que, con la utilización del método de esquina noroccidental, seasignaron algunas celdas de alto costo, mientras que se dejaron pasar algunas celdas de bajo costo.

De hecho, esto es de esperarse, porque este método ignora los costos a fin de seguir un algoritmo deasignación fácilmente programable.

DesdeHasta

E F G HOferta de las

fábricas

A 10 25 5 35 36 60 15B 55 6 30 45 38 6C 40 1 50 13 26 65 14D 60 40 2 66 9 27 11

Demanda de losalmacenes 10 12 15 9 46

46

Fig.21

Costo total: 10.$25 + 14.$26 + 9.$27 + 6.$30 + 5.$35 + 1.$40 + 1.$66 = $1318

Método de asignación de menor costo. Este método asigna lo máximo posible a la celda de menorcosto. Es factible que los vínculos se rompan de manera arbitraria. Las filas y columnas que han sidocompletamente asignadas no se tienen en cuenta y el proceso de asignación continúa.


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31El procedimiento se completa cuando se satisfacen todos los requerimientos de fila y columna. LaFig.22 muestra una asignación de menor costo. La celda A-E se asignó primero, luego se asignó la C-G, luego la D-H, y luego la B-F, etc..

Método de asignación por aproximación de Vogel. Este método también tiene en cuenta loscostos al hacer la asignación. Para aplicarlo se requieren 5 pasos:

Paso 1: Determinar la diferencia entre las dos celdas más bajas en todas las filas y columnas,incluidas las ficticias.

Paso 2: Identificar la fila o la columna con la diferencia más grande. Los vínculos se pueden romperarbitrariamente.

Paso 3: Asignar lo más posible a la celda de menor costo e diferencia más grande.

Paso 4: Detener el proceso si se cumplen todos los requerimientos de fila o columna. De lo contrario,proceder con el siguiente paso.

Paso 5: Volver a calcular las diferencias entre las dos celdas todas las filas y columnas. Cualquier fila

y columna con cero oferta o demanda no se debe utilizar para calcular otras diferencias. Luego se vaal paso 2.

El método de aproximación de Vogel (VAM, Vogel approximation method), por lo general produce unasolución de inicial óptima o casi óptima. VAM produce una solución óptima en el 80% de losproblemas de muestra ensayados (los estudiantes aseguran que el 20% restante surge en losexámenes).

La Fig.23 muestra las asignaciones VAM para el problema de los juegos de ajedrez. La celda A- E seasignó primero, la C-G segunda, la D-H tercera, la D-F en cuarto lugar y así sucesivamente).

Obsérvese que esta solución de inicio es igual a la solución óptima que se obtuvo luego de realizar

todas las mejoras posibles a la solución de inicio obtenida mediante el método de esquinanoroccidental, ver Fig.26.

DesdeHasta


fábricas

A 10 25 5 35 36 60 15B 55 6 30 45 38 6C 40 50 14 26 65 14D 60 1 40 1 66 9 27 11


46

Fig.22

Costo total: 10.$25 + 14.$26 + 9.$27 + 6.$30 + 5.$35 + 1.$40 + 1.$66 = $1318


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32

Inter. acciones

Desde

HastaE F G H

Oferta de lasfábricas

1 2 3 4 5 6 7 A 10 25 4 35 1 36 60 15 10 1 1 1 1 25 -B 55 6 30 45 38 6 8 8 8 8 8 8 8C 40 50 14 26 65 14 14 14 - - - - -D 60 2 40 66 9 27 11 13 13 13 20 - - -

Demanda de slo

almacenes 10 12 15 9

46

46

1 15 5 10 112 - 5 10 113 - 5 9 114 - 5 9 -5 - 5 9 -6 - 5 - -

Inter.acciones

dediferencia

7 - 20 - -

Fig.23

Costo total = 10.$25 + 14.$26 + 9.$27 + 2.$40 + 1.$36 + 4.$35 + 6.$30 = $1.293

Paso 3: Desarrollar la solución óp tima

El desarrollo de una solución óptima para el problema de transporte implica evaluar cada celda noutilizada para determinar si un cambio en ella resulta ventajoso desde el punto de vista del costo total.Si lo es, se hace el cambio y se repite el proceso. Cuando todas las celdas han sido evaluadas y sehan hecho los cambios pertinentes, el problema está resuelto.

Método de evaluación de piedras trampol ín. Uno de los métodos para hacer esta evaluación es elde piedras trampolín. El término piedras trampolín surgió en las descripciones iniciales del método, enel que las celdas no utilizadas se conocían como “agua" y las celdas usadas como "piedras", a partirde la analogía de caminar sobre un camino de piedras medio sumergidas en agua.

Ahora se aplicará este método a la solución de esquina noroccidental para el problema de muestra,

como se ilustra en la Fig.24a

b

DesdeHasta


fábricas

A 10 25 5 35 36 60 15B 55 6 30 45 38 6C 40 1 50 13 26 65 14D 60 40 2 66 9 27 11


46

FIG.24

Paso 1: Escoger cualquier celda vacía e identificar el camino cerrado que conduce a ella. Un caminocerrado consiste en líneas horizontales y verticales que conducen de una celda vacía de regreso a símisma (Si las asignaciones se efectuaron correctamente, la matriz sólo tiene un camino cerrado paracada celda vacía).En el camino cerrado sólo puede haber una celda vacía que se está examinando. Por consiguiente,los giros de 90 grados deben ocurrir en los lugares que cumplen con este requerimiento.


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33En la Fig.24 se identifican dos caminos cerrados. El camino cerrado a se requiere para evaluar lacelda vacía B-E; el camino cerrado b se requiere para evaluar la celda vacía A-H.

Paso 2: Mover una unidad a una celda vacía desde una celda llena en una esquina del caminocerrado, modificando las celdas llenas restantes en las otras esquinas del camino cerrado parareflejar este movimiento (Se podría utilizar más de una unidad para ensayar la conveniencia de uncambio. Sin embargo, como el problema es lineal, si es deseable cambiar una unidad, es deseable

cambiar más de una, y viceversa).La modificación implica sumar a y restar de celdas llenas de tal manera que no se violen lasrestricciones de oferta y demanda.Esto exige que una unidad siempre sea restada en una fila o columna. dada por cada unidad sumadaa dicha fila o columna. Por consiguiente, las siguientes sumas y restas serían:

Para el camino a requerido:Sumar una unidad a B-E (la celda vacía).Restar una unidad de B-F.Sumar una unidad a A-F.Restar una unidad de A-E.

Para el camino b más largo:

Sumar una unidad a A-H (la celda vacía).Restar una unidad de D-H.Sumar una unidad a D-G.Restar una unidad de C-G.Sumar una unidad a C-F.Restar una unidad de A-F.

Paso 3: Determinar la conveniencia del cambio. Esto se logra fácilmente al

(1) sumar los valores de costo para la celda a la cual se ha agregado una unidad,

(2) sumar los valores de costo de las celdas de las cuales se ha restado una unidad, y(3) tomar la diferencia entre las dos sumas para determinar si existe una reducción de costos. Siel costo se reduce al hacer el cambio, deben cambiarse cuantas unidades sea posible de lasceldas llenas a la celda vacía. Si el costo se incrementa, no debe hacerse ningún cambio y lacelda vacía se debe tachar o marcar de alguna manera para indicar que ha sido evaluada (porlo general se utiliza un signo más (+) de tamaño grande para indicar una celda que ha sidoevaluada y se le ha hallado indeseable en problemas de minimización de costos). En losproblemas de maximización de utilidades se utiliza un signo menos de tamaño grande paraeste propósito. Para la celda B-E, los mas y los menos son:

+ -$55 (B-E) $30 (B-F)

35 (A-F) 25 (A-E)$90 $55Para la celda A-H, son:

$60 (A-H) $27 (D-H)66 (D-G) 26 (C-G)50 (C-F) 35 (A-,F)

$176 $88

Así, en ambos casos se puede ver que no se debe hacer ningún cambio a ninguna de las dos celdasvacías.


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34 Paso 4: Repita los pasos 1 a 3 hasta que hayan sido evaluadas todas las celdas vacías. Para ilustrarel mecanismo de hacer un cambio, considere la celda D-F y el camino cerrado que conduce a ella,que es corto: C-F, C-G y D-G. Los mas y menos son:

$40 (D-F) $50 (C-F)26 (C-G) 66 (D-G)

$66 $116

Como hay un ahorro de $50 por unidad al despachar por la vía D-F, deben cambiarse cuantasunidades sea posible a esa celda. En este caso, sin embargo, la cantidad máxima que se puedecambiar es una unidad, porque la cantidad máxima que se agregue a cualquier celda no puedeexceder la cantidad que hay en la celda de menor número de la que se va a restar.

Hacer algo distinto violaría las restricciones de oferta y demanda del problema. Aquí se observa quela celda limitante es C-F, porque sólo contiene una unidad.

DesdeHasta


fábricas

A 10 25 5 35 36 + 60 15B + 55 6 30 45 38 6C 40 + 50 14 26 65 14D 60 1 40 1 66 9 27 11


46

Fig.25

Costo total = 10.$25 + 5.$35 + 6.$30 + 14.$26 + 1.$40 + 1.$66 + 9.$27 = $1.318

DesdeHasta


fábricas

A 10 25 5-1=4 35 0+1=1 36 60 15

B 55 6 30 45 38 6C 40 1 50 14 26 65 14D 60 1+1=2 40 1-1=0 66 9 27 11


46

Fig.26

Costo total = 10.$25 + 4.$35 + 1.$36 + 6.$30 + 14.$26 + 2.$40) + 9.$27) = $1.293

La matriz revisada, que muestra los efectos de este cambio y las evaluaciones anteriores, se ilustraen la Fig.25. Aplicar el método de piedras trampolín a las celdas vacías restantes y hacer cambios en

los sitios indicados da una solución óptima.

En particular, la celda vacía A-G de la Fig.25 tiene el camino cerrado D-G, D-F y A-F. Los mas y losmenos son:

+ -36 (A-G) 35 (A-F)40 (D-F) 66 (D-G)76 101


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35Como el ahorro es = 101 – 76 = $25, se cambia una unidad a A-G. La Fig.26 muestra la matrizóptima, con un costo de transporte mínimo de $1.293.Para verificar que la solución es óptima, es necesario evaluar cada celda vacía para ver si esconveniente traer esa celda. Al hacer esto, se tendría un signo más en cada una de estas celdas.

DesdeHasta

W X YOferta de las

fábricasT 3 8 8 6 0 4 11U 9 8 0 9V 3 5 3 10 3

Demanda de losalmacenes 6 8 9 23

23

Fig.27m + n - 1 = 5 celdas llenas. Asignación real = 4 celdas llenas.

Degeneración. La degeneración existe en un problema de transporte cuando el número de celdasllenas es inferior al número de filas más el número de columnas menos uno (m + n - l). Ladegeneración se puede observar durante la asignación inicial, cuando la primera entrada en una fila ocolumna satisface tanto los requerimientos de fila como los de columna.

La degeneración requiere algo de ajuste en la matriz para evaluar la solución alcanzada. La forma deeste ajuste implica insertar un valor en una celda vacía para que se pueda desarrollar un caminocerrado para evaluar otras celdas vacías. Este valor puede pensarse como un monto infinitamentepequeño, que no tiene incidencia directa en el costo de la solución.

Desde el punto de vista del procedimiento, el valor (con frecuencia indicado mediante la letra griegaTheta, θ) se utiliza de la misma manera que un número real, salvo que puede colocarse inicialmenteen cualquier celda vacía, pese a que los requerimientos de fila y columna han sido cumplidos pornúmeros reales.

En la Fig.27 se puede apreciar un problema de transporte degenerado que muestra una asignaciónde costo mínimo óptimo; allí se observa que si θ no se asignara a la matriz, sería imposible evaluarvarias celdas (incluida aquélla en donde se suma).

Una vez que se ha insertado θ en una solución, permanece allí hasta que es retirada por sustraccióno hasta que se alcance una solución final.

Aunque la decisión de dónde colocar una θ es arbitraria, ahorra tiempo si se coloca en donde sepueda utilizar para evaluar cuantas celdas sea posible sin necesidad de cambiarla. A este respecto,verifique que θ esté óptimamente situada en la Fig.27.

Soluciones óptimas alternas. Cuando la evaluación de una celda vacía produce el mismo costoque la asignación existente, debe haber una solución óptima alterna (Suponiendo que todas las

demás celdas estén óptimamente asignadas). En tales casos, la gerencia tiene una flexibilidadadicional y puede invocar factores de costo no relacionados con transporte para definir unaprogramación de envíos. Por lo general se coloca un cero grande en una celda vacía que se haidentificado como una ruta óptima alterna).

6. CONCLUSIÓN

Este suplemento ha abordado sobre todo la mecánica de los procedimientos para solucionarproblemas de programación lineal. Es raro que un problema de programación realmente se resuelvade manera manual.


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36 En todas partes abundan los computadores y los programas de software especializados en este temay no se justifica gastar tanto tiempo en una solución manual (También existen programas que asistenen la construcción del modelo de programación mismo. Probablemente el más conocido es GAMS,General Algebraic Modeling Systems).Éste provee un lenguaje de alto nivel que permite una representación fácil de problemas complejos.


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37SOLVER : Programación Matemática La dificultad más grande que tiene un modelo matemático de un sistema real, para predecir sucomportamiento, yace en las simplificacione

U3 - Planificación Estratégica de la Capacidad de Producción

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