Universidad Tecnolgica Nacional - Facultad Regional RosarioIngeniera Qumica / 1 Fundamentos de Informtica - Ms. Excel(3) 2011 Tabla de contenidos Resolucin de sistemas de ecuaciones usando Ms. Excel ............................................................ 2 Introduccin .................................................................................................................................. 2 Ecuacin de una incgnita ............................................................................................................ 3 Mtodo grfico ...................................................................................................................... 3 Herramienta Buscar objetivo ............................................................................................. 4 Herramienta Solver ............................................................................................................ 8 Ejemplo 3.1 .......................................................................................................................... 11 Sistema de ecuaciones ................................................................................................................ 13 Mtodo de la matriz inversa ............................................................................................... 13 Operaciones matriciales en Excel ........................................................................................ 13 Ejemplo 3.2 .......................................................................................................................... 16 Resolucin de sistemas de ecuaciones lineales por el mtodo de la matriz inversa .......... 18 Ejemplo 3.3 .......................................................................................................................... 21 Resolucin de sistemas de ecuaciones lineales y NO lineales utilizando SOLVER .............. 22 Ejemplo 3.4 .......................................................................................................................... 24 Resultados de error ..................................................................................................................... 33 Universidad Tecnolgica Nacional - Facultad Regional RosarioIngeniera Qumica / 2 Fundamentos de Informtica - Ms. Excel(3) 2011 Resolucin de sistemas de ecuaciones usando Ms. Excel Introduccin Acontinuacinsebrindaunabrevesntesisacercadelaclasificacindesistemasde ecuacionesparaintroducirasuresolucinutilizandolasherramientasquebrindaMs.Excel para cada caso. Una ecuacin se dice lineal si es posible reordenarla de modo que la variable aparezca solo a la primera potencia.Ej: 1432 = + xxLasecuacioneslineales,deunasolavariable,tienenunasolaraz,siemprepertenecienteal conjunto de nmeros reales. 673* 141437143 361432==== += +xxxxxxx Una ecuacin se dice no lineal sino es posible reordenarla de modo que la variable aparezca solo a la primera potencia. Ej:74322= + xx( ) 4 52823 = = +x Lnxx Lasecuacionesnolinealespuedentenermltiplesracesylasmismaspodranserrealeso complejas,dependiendodelcaso.Lasecuacionesnolinealessuelensercomplicadasde resolverenformaanalticayporello,parahallarlasraces,seutilizanmtodosnumricoso grficos. Ademsdelaposibilidaddetenermltiplesincgnitasdebeconsiderarseelincrementode tamaodelsistemaaresolver.Esdecir,quealtenersolounaincgnitatendremosque resolver una ecuacin. Pero aumentando el nmero de incgnitas se presenta la necesidad de resolver un sistema de ecuaciones, con todas las variantes que esto puede presentar. Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar segn las diversas propiedades de cada uno. Universidad Tecnolgica Nacional - Facultad Regional RosarioIngeniera Qumica / 3 Fundamentos de Informtica - Ms. Excel(3) 2011 Por ejemplo, se pueden clasificar segn el grado de las ecuaciones: Sistema lineal: si todas las ecuaciones son lineales. Sistema no lineal: si no todas las ecuaciones son lineales. Por otrolado,tambinsepuedenclasificarlossistemassegnel nmero deecuaciones ode incgnitas que presentan, es decir: Sistemas de dos ecuaciones. Sistemas de tres ecuaciones. Sistemas de n ecuaciones. O bien de: Sistemas de una incgnita. Sistemas de dos incgnitas. Sistemas de tres incgnitas. Sistemas de n incgnitas. Adems, cada caso puede presentarse como: Sistema compatible: es el que tiene solucin.Dependiendo del nmero de soluciones puede ser: oSistema compatible determinado si tiene una nica solucin. oSistema compatible indeterminado si tiene mltiples soluciones. Sistema incompatible: es el que no tiene solucin. Ecuacin de una incgnita Enelcasobsicodepresentarseunaecuacindeunaincgnita,Ms.Excelproveealmenos tres alternativas para resolverla.Mtodo grfico UnmtodoelementaleselMtodogrfico.Parahacerusodeestemtodoseproponela generacindeunatablax-yenciertorangodevaloresparalavariablexyluegoutilizarun grficodedispersinconlneaparahallarvisualmentelaraz.Estemtodopresentacomo ventaja que rpidamente se puede aproximar un valor para la misma. La principal desventaja radica justamente en que la exactitud del resultado depende del criterio del observador y en la edicin del grfico y su formato. Por ello este mtodo solo se recomienda para hallar un valor inicialosemillaalmomentoderesolverunaecuacindeunaincgnitaconunodelos restantes mtodos propuestos en este apunte. Como ejemplo se presenta la siguiente ecuacin: Universidad Tecnolgica Nacional - Facultad Regional RosarioIngeniera Qumica / 4 Fundamentos de Informtica - Ms. Excel(3) 2011 5 3 22 5= x xLa metodologa, como se mencion en los prrafos precedentes es generar una tabla x-y en el rango quese encuentran las races de la ecuacin y representar los resultados en una grfica de dispersin. En este caso, para generar la tabla, se requiere una ecuacin implcita por lo que la funcin a utilizar ser: 5 3 22 5 x x Observando la grfica que resulta, se verifica lo mencionado en las desventajas del mtodo. A pesarqueseeditelagrficabuscandoreducirelrangovisualizadodemododehaceralgo equivalenteaunzoomsobrelazona enqueseencuentraelpuntobuscado,siemprese est utilizando un gran componente personal lo que har variar el resultado segn el usuario.Elgrficox-ydelafiguranoesmuytilporqueelrangodelosvaloresyesdemasiado grande.Si se muestra la funcin sobre el intervalo1x2 se logra observar la raz con ms exactitud. Herramienta Buscar objetivo En el caso que se conozca el resultado deseado de una frmula sencilla, pero no la variable que determinaelresultado,puedeutilizarselafuncinBuscarobjetivohaciendoclicenBuscar objetivo en el men Herramientas. Universidad Tecnolgica Nacional - Facultad Regional RosarioIngeniera Qumica / 5 Fundamentos de Informtica - Ms. Excel(3) 2011 EstaherramientautilizaenformapredeterminadaelmtododeNewtonparahallarla solucin.EstopuedemodificarsedesdeelbotnOpcionesqueseencuentraenla herramienta Solver, que se describir en breve. En el prximo ejemplo se desea hallar la variable que cumple la siguiente condicin: ( ) 1 085 , 132 Ecuacinxsen x =|.|

\|Para ello, primeramente se presentan los datos sobre la hoja de clculo. En una celda se escribir un valor tentativo para la variable (que en este caso se denomina x) y en una celda cercana se escribir la ecuacin, haciendo referencia a la mencionada celda x. Note que el valor que se utiliza se encuentra en las celdas B3 (incgnita) y B5 (ecuacin) y que losdatosconsignadosenlasceldasA3yA5soloseutilizanparadarunentornodetrabajo ordenado. Una vez que se escribi la ecuacin, debe seleccionarse la opcin Buscar objetivo, del men Herramientas tal como se mencion recientemente. Una vez seleccionada esa opcin, se visualizar el siguiente formulario: Universidad Tecnolgica Nacional - Facultad Regional RosarioIngeniera Qumica / 6 Fundamentos de Informtica - Ms. Excel(3) 2011 ATENCIN Esteconolepermitecerrartemporalmenteel formularioenelqueseencuentrafacilitandolaseleccindelacelda(oelrangodeceldas)quese requierenenelcasillerocontiguoalcualfiguradicho cono.PuedeencontrarloenlaherramientaBuscar objetivo, Solver y durante la creacin de grficos entre otros. EnelrecuadroDefinirlaceldadebeingresarselaceldaenlaqueseencuentrecargadala Ecuacin a resolver. En el ejemplo es la celda B5. EnelrecuadroConelvalordebeingresarseelresultadoquesedeseaobtener.Esdecir, puedeser0enelcasodeunaecuacinimplcitaoeltrminoindependiente.Segnlo planteado en el ejemplo, este valor es 1.085 y el mismo se encuentra en la celda B3. Note que en este caso puede ingresarse directamente el valor buscado (1.085) o la referencia a la celda en la que se encuentra este valor. EnelcasilleroParacambiarlaceldadebeingresarlareferenciaalaceldaenlaquese encuentra el valor tentativo que soluciona la ecuacin. Este valor es el que Ms. Excel modifica hasta hallar la solucin al problema, o hasta que concluye su bsqueda. En el ejemplo, la celda a modificar es aquella en la que se encuentra el valor de x, es decir B3. Se presiona la tecla Aceptar y comenzarn las iteraciones en bsqueda del resultado. Cuando las iteraciones concluyen, ya sea porque se ha superado el nmero predeterminado o porquesehahalladounasolucin,sevisualizaunapantalla.Enelsegundocaso(Excelha hallado una solucin) la pantalla es similar a la siguiente: Universidad Tecnolgica Nacional - Facultad Regional RosarioIngeniera Qumica / 7 Fundamentos de Informtica - Ms. Excel(3) 2011 Al leer el mensaje que brinda el utilitario se concluye que: LaecuacinsehallabacargadaenlaceldaB5,queseintentabaquedichacelda llegueatenerunvaloriguala1,085yqueconelvalorencontradoporMs.Excel (B3=0,65006285), la mencionada celdaalcanza el valor objetivo. Es importante LEER los mensajes de salida que Ms. Excel provee.Observe este resultado. Si la ecuacin a solucionar es: ( ) 2 2000) (5Ecuacinxx Ln=Como valor semilla, en la celda B3 se coloc 2000. El resultado obtenido luego de aplicar el procedimiento antes mencionado es el siguiente: El resultado indica que Excel NO ha hallado la solucin al problema. En el mensaje se destaca que se deba hallar un valor que haga la ecuacin igual a 2000 y con las iteraciones permitidas lleg a un valor igual a 1,839.CONCLUSIN 1: Es muy importante LEER los mensajes al finalizar las bsquedas. Ahora inserte la siguiente ecuacin: ( ) 3 5 3 22 5Ecuacin x x = Como valor inicial se sugiere utilizar un x=0,4. Busque el valor de x que resuelva la ecuacin anterior. Universidad Tecnolgica Nacional - Facultad Regional RosarioIngeniera Qumica / 8 Fundamentos de Informtica - Ms. Excel(3) 2011 El resultado que se obtiene es el siguiente: Ahorabien,sicambiaelvalorinicialaunvalorcualquiera,diferentede0,4laherramienta resuelvelaecuacinsindificultades.Elsiguienteresultadoseobtuvoconunvalorinicialde 10 = x . CONCLUSIN 1: Es muy importante LEER los mensajes al finalizar las bsquedas. CONCLUSIN2:SiExcelnohallaunasolucinserecomiendamodificarelvalorinicialdela variable e intentar resolver nuevamente la ecuacin. Herramienta Solver LaherramientaSolvertambinpermitehallarlasolucinaunaecuacin,entreotros resultados que puede brindar. Esto, al momento de utilizar el solver, se traducir como Valor de la celda objetivo: hallar valores de(ver metodologa de uso de solver). Universidad Tecnolgica Nacional - Facultad Regional RosarioIngeniera Qumica / 9 Fundamentos de Informtica - Ms. Excel(3) 2011 ConSolver,puedebuscarseelvalorqueresuelveunafrmuladecelda,(denominadacelda objetivo),enunahojadeclculo.Solverfuncionaenungrupodeceldasqueestn relacionadas, directa o indirectamente, con la frmula de la celda objetivo. Excel modificalos valoresenlasceldasdecontenidovariablequeseespecifiquen,denominadasceldas ajustables, para generar el resultado especificado en la frmula de la celda objetivo.Estaherramientatambinpermiteaplicarrestriccionespararestringirlosvaloresquese considerancomosolucinalproblema.Lasrestriccionespuedenhacerreferenciaaotras celdas a las que afecte la frmula de la celda objetivo. Otraopcin,esutilizarelSolverparadeterminarelvalormximoomnimodeunacelda (funcin, variable dependiente) cambiando otras celdas (variables independientes). Para ellos se har uso de las opciones Valor de la celda objetivo: Mximo oValor de la celda objetivo: Mnimo.Como primer ejemplo de esta herramienta se resolver la ecuacin:( ) 1 085 , 132 Ecuacinxsen x =|.|

\|Debe ingresarse en una celda el valor de la variable independiente, que en este caso es x y en otra deber ingresarse la ecuacin en forma implcita. Luego hay que dirigirse al men Herramientas, y seleccionar Solver. Seabrirunnuevoformulario,enelque,aligualqueenlaherramientaBuscarobjetivo debe completarse con los datos solicitados para obtener el resultado que se est buscando. Universidad Tecnolgica Nacional - Facultad Regional RosarioIngeniera Qumica / 10 Fundamentos de Informtica - Ms. Excel(3) 2011 En el lugar donde dice celda objetivo debe completarse con la referencia a la celda en la que se encuentra la ecuacin a resolver. Luego hay que hacer clic en la opcin valor de la celda objetivo: valores dey completar este casillerocon0.(Enestepunto,paraelcasoenloquesetienesolounaecuacin,tambin puedecompletarseconelvalordeltrminoindependiente,solosilaecuacinfueescritaen forma explcita en la celda en la que se hace referencia en celda objetivo). Enellugarenqueseindicacambiandolasceldasdebehacersereferenciaalaceldaenla cual se encuentra el valor de la variable independiente.Para finalizar el procedimiento hay que hacer clic en el botn Resolver. La sntesis de la metodologa es la siguiente:1.Ir a Herramientas/Solver 2.Seleccionar la celda que tiene la frmula (Celda objetivo)3.Ingresar el valor de la celda objetivo (valores de 0) 4.Seleccionar la celda que tiene el valor inicial (Cambiando la celda) 5.Agregar restricciones si fuera necesario (se ver en otro ejemplo) 6.Resolver Comoresultadodelprocedimiento,Solverdevuelveunmensaje,enelcualindicalos resultados obtenidos. 2 3 4 5 6 Universidad Tecnolgica Nacional - Facultad Regional RosarioIngeniera Qumica / 11 Fundamentos de Informtica - Ms. Excel(3) 2011 AntesdeAceptardebeseleccionarsela opcinUtilizarsolucin de Solverencasoqueel usuario est conforme con el resultado obtenido o Restaurar valores originales si se desea que no se realice ningn cambio sobre los datos originales. La herramienta tambin brinda la opcin de tres tipos de informes adicionales:Informe de Respuestas Informe de Sensibilidad Informe de LmitesSolobastaconhacercliceneldeseadoparaseleccionarloyluegohacerenAceptar, cerrandoaselprocesodeutilizacindelSolver.Estostresinformessegeneranensendas hojas de clculo.Como se mencion anteriormente, una de las ventajas de usar la herramienta Solver es que pueden agregarse restricciones a la/s variable/s independiente/s.Analice el siguiente caso ejemplo. Ejemplo 3.1 Debengenerarse3crculosdedimetro(R)y2 cuadradosdelado(R)demodoquelasumadela superficie ambos sea igual 120 m2. Resolucin La ecuacin que representa la problemtica es la siguiente: 120 22322= +|.|

\| RRRR Universidad Tecnolgica Nacional - Facultad Regional RosarioIngeniera Qumica / 12 Fundamentos de Informtica - Ms. Excel(3) 2011 Notequeseobtieneunaecuacindeunaincgnitade2grado.Porello,lassolucionesal problemasondos.Sinembargo,dadoqueeldatorepresentadoporResunalongitud,solo interesan los resultados que sean mayores o iguales a cero (positivos). ParavolcaresarestriccindebehacerseclicenlaopcinAgregar.Seabrirunformulario conopcionesdesplegablesenlaquesevuelcan,unaauna,cadaunadelasrestricciones requeridas por cada situacin. Unavezvolcadastodaslasrestricciones,sehaceclicenAceptarysevuelvealformulario general de Solver en el cual puede verificarse que los datos cargados sean correctos. Notar que al tratarse de una sola ecuacin, se elimin el trmino independiente de la ecuacin (ver barra de frmulas) y el mismo est representado en la casillavalor de la celda objetivo: valores de 120. Universidad Tecnolgica Nacional - Facultad Regional RosarioIngeniera Qumica / 13 Fundamentos de Informtica - Ms. Excel(3) 2011 El resultado obtenido es: ObservequesilavariableRnorepresentaraunamagnitudpertenecientealosnmeros positivos, el resultado (-5.25) tambin podra ser resultado de la ecuacin. Sistema de ecuaciones Mtodo de la matriz inversa CuandosetieneunsistemadeecuacionesnoesposibleutilizarlaherramientaBuscar objetivo. Sin embargo es posible buscar las soluciones con dos alternativas: una es utilizar la herramientasolverylasegundaesaplicarelmtododelamatrizinversa.Esteltimose explicar en este apartado. Como se recordar, este mtodo solo puede aplicarse a sistemas de ecuaciones lineales. Operaciones matriciales en Excel Una matriz es un arreglo bidimensional de nmeros, es decir filas y columnas. Cada elemento de una matriz est caracterizado por el nmero de fila y de columna. En Excel, cada celda est caracterizadaporunaletraqueidentificaalascolumnasyporunnmeroqueidentificalasfilas.Porello,esmuysencillorepresentarmatricesenExcel,utilizandounaceldaparacada elemento de la misma. Las lneas verticales de las matrices se agregan con la herramienta de edicin de bordes. Universidad Tecnolgica Nacional - Facultad Regional RosarioIngeniera Qumica / 14 Fundamentos de Informtica - Ms. Excel(3) 2011 Pararealizarlasumadematrices,debeseleccionarseelrangodeceldasenelquesedesea obtener la matriz resultante. Tener en cuenta que es indispensable que el rango seleccionado seaconsistenteconeltipodeoperacin.Pararealizarsumadematriceshayqueseleccionar todoelrangodelamatrizaplicareloperador+yluegoseleccionarelrangodelasegunda matriz. Pueden sumarse tantas matrices como se desee. Una vez cargadas las matrices a sumar deben aplicarse simultneamente las teclas CTRL+SHIFT+ENTER. Observe la barra de frmulas en la siguiente captura de pantalla: Cada matriz se indica separando por dos puntos la celda en la que se encuentra el elemento 1 delareferenciadelaceldaenlaqueseencuentreelltimoelemento.Enestecaso,parala matriz A, el primer elemento se ubica en la celda B2 y el ltimo elemento se ubica en la celda D4. Por lo tanto, para indicar la matriz A deber escribir (B2:D4).La sustraccin de matrices ser realiza de forma anloga a la suma. Pararealizarelproductodematrices,siemprequelasmismasseanconsistentesparapoder realizar esta operacin, el comando a utilizar es MMULT(matriz 1; matriz 2).MMULT(matriz 1; matriz 2) Primeramente se selecciona el rango de celdas en el que se ubicar el resultado del producto, se escribe antes mencionado, y luego, simultneamente debe aplicar la combinacin de teclas caracterstica para trabajar con matrices en Excel: CTRL+SHIFT+ENTER. Luegoderesueltalaoperacin,Excelnopermitireliminarelresultadoenformaparcial. Observar que en la barra de frmula, al seleccionar la matriz A*B se delimita entre corchetes todo el resultado. Universidad Tecnolgica Nacional - Facultad Regional RosarioIngeniera Qumica / 15 Fundamentos de Informtica - Ms. Excel(3) 2011 Si el usuario se posiciona sobre una celda de la matriz e intenta eliminar o modificar un valor, Excel no le permitir hacerlo mostrndole el siguiente mensaje: Paraeliminarlamatrizcompletadebeseleccionarselamismaenformacompletayluego aplicar el botn Eliminar (Supr). Paracalcularlainversadeunamatriz,comoenloscasosanteriores,debeseleccionarseel rangoenelcualseubicarelresultado,yposteriormenteutilizarelcomando MINVERSA(matriz).En la siguiente imagen se ha calculado la inversa de la matriz A. Por ello, se seleccionaron las celdasdesdeL2hastaN4,luegoseescribienlabarradefrmulas=MINVERSA(B2:D4),se aplicaron simultneamente las teclas CTRL+SHIFT+ENTER y se obtuvo el resultado que figura en la imagen. Se recuerda que una matriz puede invertirse solo si su determinante es distinto de cero. Para calcular esta propiedad de una matriz se utiliza el comando MDETERM(matriz). En este caso,dadoqueelresultadoobtenidoserunescalar,noesnecesarioaplicarlacombinacin deteclasCTRL+SHIFT+ENTER,sinembargo,siloutiliza,nosemodificaranlosresultados obtenidos. A continuacin se sintetizan los comandos propios de operaciones con matrices de Excel. Universidad Tecnolgica Nacional - Facultad Regional RosarioIngeniera Qumica / 16 Fundamentos de Informtica - Ms. Excel(3) 2011 Operaciones con matrices Adicin= (matriz 1) + (matriz 2) Sustraccin= (matriz 1) - (matriz 2) Producto= MMULT(matriz 1;matriz 2) Clculo de inversa=MINVERSA(matriz 1;matriz 2) Clculo de determinante=DETERMINANTE(matriz) Transposicin =TRANSPONER(matriz)

Ejemplo 3.2 Considerando las siguientes matrices cuadradas: ((((

=2 5 89 4 13 0 6A((((

=0 1 42 9 07 5 5BRepresentar cada matriz como un arreglo y resolver las siguientes operaciones matriciales: A+B=C1; B+A=C2; A-B=C3 ; AxB=C4 y2A=C5. Resolucin En primer lugar se vuelcan los datos a la hoja de clculo para luego realizar las operaciones solicitadas. Pararealizarlasumadedosmatrices,enprimerlugardebenseleccionarselasceldasenlas queseubicarelresultadoobtenido.Observequeenestecasoseseleccionaunarreglo cuadrado de tres por tres. Universidad Tecnolgica Nacional - Facultad Regional RosarioIngeniera Qumica / 17 Fundamentos de Informtica - Ms. Excel(3) 2011 Elpaso siguiente esindicarlaoperacinarealizar. Observeconatencincomoseindicanlas matricesasumar.Elprimergrupo,indicadoencolorazulcorrespondealamatrizAyel segundo grupo (verde) referencia a la matriz B. Luego, se aplican simultneamente las teclas ctrl+shift+enter. El resultado obtenido, luego de editar el ancho de columnas y bordes, es el siguiente: Qu resultado obtiene si utiliza la funcin suma? El resultado obtenido NO es el deseado. Elresultadoqueobtieneenestecasoesel Universidad Tecnolgica Nacional - Facultad Regional RosarioIngeniera Qumica / 18 Fundamentos de Informtica - Ms. Excel(3) 2011 resultado de sumar uno a uno cada uno de los elementos de las dos matrices, es decir:6+0+(-3)+(-1)+4+9+8+(-5)+2+5+(-5)+(-7) Elresultadodelaoperacineselescalar27ynounamatrizdetamao3x3.Dadoqueel rangoderesultadosseleccionadoeraunamatriz,Excelrepiteelvalorencadaunadelas celdas.Para realizar el clculo B+A debe repetirse el mtodo utilizado anteriormente. Como es de esperarse, el resultado obtenido es el mismo, dado que el orden de los sumandos no altera el resultado. Para realizarse la resta de dos matrices se utiliza el signo - en lugar del +:

El resultado se observa en la captura de pantalla de la derecha. El producto de matrices requiere del uso del comando MMULT(). Universidad Tecnolgica Nacional - Facultad Regional RosarioIngeniera Qumica / 19 Fundamentos de Informtica - Ms. Excel(3) 2011 Nuevamenteseseleccionaelrangoadecuadoparaelresultado,seescribeelsigno=yse escribe la frmula deseada: Recuerdequeenelproductomatricialesimportanteconsiderarelordendelosfactores.EL resultadoobtenido,luegodecargarlafrmulaypresionarsimultneamente ctrl+shift+enter es el siguiente: Para multiplicar una matriz por un escalar puede utilizarse directamente el signo habitual para realizar productos *.Observelasiguientefiguracomoseindicaelproductodeunescalarporunamatrizyel resultado de dicha operacin en figura de la derecha. Universidad Tecnolgica Nacional - Facultad Regional RosarioIngeniera Qumica / 20 Fundamentos de Informtica - Ms. Excel(3) 2011

Resolucin de sistemas de ecuaciones lineales por el mtodo de la matriz inversa Conlosoperadoresmencionadospuederesolverseunsistemadeecuacionesutilizandoel mtododelamatrizinversa.DadaunamatrizdecoeficientesA,unamatrizdetrminos independientes B y una matriz de variables X. Sea el siguiente sistema de ecuaciones: 31 31 33 31 32 31 3121 31 32 21 22 1 " 2111 31 31 21 12 11 11b x a x a x ab x a x a x ab x a x a x a= + + = + + = + + ((((

=33 32 3123 22 2113 12 11a a aa a aa a aA((((

=312111bbbB((((

=312111xxxX Resumiendo: Un sistema de ecuaciones queda representado en forma matricial por AX=B La matriz A est formada por los coeficientes del sistema de ecuaciones. La matriz B est formada por los trminos independientes. La matriz X est formada por los valores que constituyen la solucin del sistema. El procedimiento para resolver el sistema de ecuaciones es el siguiente: B A XB A X A AB X A = = = 11 1 Universidad Tecnolgica Nacional - Facultad Regional RosarioIngeniera Qumica / 21 Fundamentos de Informtica - Ms. Excel(3) 2011 Calcular la matriz inversa de A(A-1) usando la funcin MINVERSA CalcularelproductoA-1BusandolafuncinMMULT.Elresultadoobtenidoserel vector X.Verificar el resultado: el producto AX debe ser igual aB. Ejemplo 3.3 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales.2 3 48 3 22 12 1 = = +x xx x Resolucin A continuacin se sintetizan el procedimiento de resolucin: 1.Ingresar las matrices Ingresar los coeficientes de las ecuaciones en una matriz A (4x4) Ingresar los trminos independientes en una matriz B (1x2) 2.Calcular la matriz inversa de A (A-1) Seleccionar el rango de la matriz a obtener (2x2) Insertar la funcin y seleccionar la matriz a invertir =MINVERSA(B2:C3) Apretar CRTL+SHIFT+ENTER simultneamente 3.Obtener el vector resultante X Seleccionar el rango de salida de la matriz X (1x2) Insertar la funcin MMULT y seleccionar las matrices a multiplicar =MMULT(I2:J3,F2:F3) Apretar CRTL+SHIFT+ENTER simultneamente Universidad Tecnolgica Nacional - Facultad Regional RosarioIngeniera Qumica / 22 Fundamentos de Informtica - Ms. Excel(3) 2011 4.Verificar el resultado Seleccionar el rango de la matriz a obtener (1x2) Insertar la funcin y seleccionar la matriz a invertir (=MMULT(B2:C3,M2:M3)) Apretar CRTL+SHIFT+ENTER simultneamente En la ltima captura de pantalla se observa que el resultado del producto de la matriz A con la matriz obtenida como solucin al sistema de ecuaciones, X, es la matriz B que representa a los trminos independientes del sistema. Resolucin de sistemas de ecuaciones lineales y NO lineales utilizando SOLVER 0 3 2 ) , , (0 3 2 ) , , (0 4 2 3 ) , , (= + + == + == + =z y x z y x hz y x z y x gz y x z y x f Enseccionesprecedentes semostraron ejemplosysedescribila metodologaderesolucin deecuacionesutilizandolaherramientaSolver.Enestaseccin,lamismaseutilizarpara resolversistemasdeecuaciones.Enestecaso,yadiferenciaconelmtodomatricial,nose requiere que las ecuaciones sean lineales. La tcnica es la misma independientemente del tipo de ecuacin involucrada. La estrategia general usada con Solver es definir una funcin objetivo (FO) que consista en la sumadeloscuadradosdelosvaloresindividualesdecadaecuacin/funcin,yluegose determinanlosvaloresx,yyzquehacenquelafuncinobjetivoseaigualacero evaluada en ellos. ( ) ( ) ( ) 0 , ,2, ,2, ,2= + + = z y x z y x z y x h g f FO Universidad Tecnolgica Nacional - Facultad Regional RosarioIngeniera Qumica / 23 Fundamentos de Informtica - Ms. Excel(3) 2011 Para resolver un sistema de ecuaciones, primero debe definir las celdas en las que ubicar las variablesindependientesoincgnitas,luegoserecomiendaescribirenformaindividualcada una de las ecuaciones o funciones que conforman el sistema, y luego definir la celda en la que ubicar la funcin objetivo.Una vez que los datos se encuentran volcados a la planilla, se ubica la herramienta Solver en la barradeherramientas.Lanicavarianterespectoalaresolucindeunaecuacinutilizando esta herramienta se presenta en el momento en que se define la funcin objetivo.Noteque comocelda objetivosedefinealaceldaenlaqueseubicalafrmulaenlaque se representa a la funcin homnima. En el caso visualizado en la captura de pantalla es la celda B9. Las celdas en las que estn cargadas las ecuaciones participan indirectamente a travs de lafuncinobjetivo.ObservequeenelformulariodeSolvernoapareceningunadedichas celdas (B5, B6 y B7).Observe tambin que es este caso es fundamental escribir las ecuaciones en forma implcita. Unavezquelasolucinhasidoencontrada,losvaloresresultantessonmostradosensus respectivas celdas dentro de la planilla, y emerge la ventana Resultados de Solver. La sntesis del procedimiento para resolver un sistema de ecuaciones es el siguiente: Ingresar los valores iniciales para x, y, z.Ingresar las funciones f, g y h Ingresar la funcin FO=f2+g2+h2 Ir a Herramientas/ SolverSeleccionar la celda objetivo Marcar que la celda objetivo debe tomar el valor cero Seleccionar el rango de celdas que se van a ir cambiando Agregar restricciones si fuera necesario Universidad Tecnolgica Nacional - Facultad Regional RosarioIngeniera Qumica / 24 Fundamentos de Informtica - Ms. Excel(3) 2011 Resolver Nuevamentelosresultadosobtenidossonsatisfactorios.Cadaecuacinalcanzaunvalor muy cercano a cero, as como tambin la funcin objetivo. Note que segn el formato de las celdas, el resultado se visualiza de una u otra forma. A continuacin se aplicar un formato en el que se muestren solo 3 decimales a las celdas B5 a B9. Finalmente, x=1 y=2 z=3. Se observa que los valores de las funciones son prcticamente cero. LosproblemasNOLINEALESpuedentenermsdeunasolucin,ylassolucionesno necesariamente sern reales. En consecuencia, es deseable restringir el rango de las variables independientes.Porejemplo,pararesolverelsiguientesistemadeecuacionesserequiere restringir el rango de las variables independientes a valores positivos.

Ejemplo 3.4 Dado el siguiente sistema de ecuaciones, determinar x e y.

28 2 4 3 ) , (40 7 5 2 ) , (2 22 2= + + == + + =y x y x y x gy x y x y x f Recordar que es necesario ingresar las ecuaciones en forma implcita! Resolucin Universidad Tecnolgica Nacional - Facultad Regional RosarioIngeniera Qumica / 25 Fundamentos de Informtica - Ms. Excel(3) 2011 RealiceelprocedimientohabitualpararesolverunsistemadeecuacionesconSolver (escribavariablesindependientes,funcionesyfuncinobjetivo,definalacelda objetivo, valor de la funcin objetivo y determine las celdas a modificar. Seleccionar Agregar (Aparece una nueva ventana) Seleccionar la celda que contiene la variable independiente (Referencia de la celda). Escribir o referenciar la restriccin (Restriccin) SideseaagregarunanuevarestriccinseleccioneAgregar.Sihafinalizadoconla definicinderestriccionesseleccioneAceptarparavolveralmenprincipaldel Solver.AGREGAR UNA RESTRICCIN POR CADA VARIABLE INDEPENDIENTE Repase los datos cargados, y aplique Resolver. Universidad Tecnolgica Nacional - Facultad Regional RosarioIngeniera Qumica / 26 Fundamentos de Informtica - Ms. Excel(3) 2011 Acontinuacinseresumelasopcionesqueseexplicaronenesteapuntealmomentode resolverunaecuacinounsistemadeecuacionesutilizandolasherramientasprovistaspor Excel. Pr obl emaSol uc i n ut i l i zando Ms. Ex c elEcuacin de una incgnita Mtodo grfico (Ec. Lineales y no lineales) Herramienta Buscar Objetivo (Ec. Lineales y no lineales) Herramienta Solver (Ec. Lineales y no lineales) Sistema de ecuaciones Mtodo de la matriz inversa (Ec. Lineales) Herramienta Solver (Ec. Lineales y no lineales) Ejemplo 3.4 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones simultneas 7 3 20 2 317 3 2= + += += + z y xz y xz y x a) Por el mtodo de la matriz inversa. Verificar si la solucin es correcta. b) Utilizando la herramienta Solver Resolucin Universidad Tecnolgica Nacional - Facultad Regional RosarioIngeniera Qumica / 27 Fundamentos de Informtica - Ms. Excel(3) 2011 a)Elprimerpasoescargarlosdatosdelamatrizdecoeficientes(A)ylamatrizdetrminos independientes (B). Luego se calcula la matriz inversa de A para posteriormente realizar el producto de (A-1 B) y obtener el vector de variables (X). Observe que debido al ancho de las columnas el resultado obtenido aparentemente es cero. Sin embargo, al ampliar las columnaspuedenvisualizarselosdecimalescorrespondientes.Enestecasosehan seleccionado 3 decimales. Nuevamente es necesario conocer con antelacin el resultado esperado. En este caso, el productodeAconBnosdarcomoresultadounvectorcolumnadetrescomponentes. Este ser el rango que se seleccionar para realizar el clculo. Universidad Tecnolgica Nacional - Facultad Regional RosarioIngeniera Qumica / 28 Fundamentos de Informtica - Ms. Excel(3) 2011 El resultado obtenido con el mtodo de la matriz inversa es : x=3 y=-1 z=4 b) Para resolver el sistema utilizando la herramienta Solver se sugiere seleccionar e indicar ellugar en el cual se escribirn las variables y las ecuaciones. Tambin la funcin objetivo. Observe la figura siguiente en la cual se muestran las frmulas ingresadas: . Luego, en el formulario de solver se indican las celdas correspondientes a lo solicitado en cada caso. No olvide tildar la opcin Valores de 0. Universidad Tecnolgica Nacional - Facultad Regional RosarioIngeniera Qumica / 29 Fundamentos de Informtica - Ms. Excel(3) 2011 Al hacer clic en Resolver se muestran los siguientes resultados. Note que los valores de las ecuaciones se hacen prcticamente cero utilizando los valores hallados para las variables x, y, z. Ec1 = -0.0000009 Ec2 =0.0000004 Ec3= -0.0000008 FO=-0.000000000002 El resultado obtenido con la herramienta Solver es: x=3 y=-1 z=4 Universidad Tecnolgica Nacional - Facultad Regional RosarioIngeniera Qumica / 30 Fundamentos de Informtica - Ms. Excel(3) 2011 Ejemplo 3.5 Determinarlasolucindelsiguientesistemadeecuacioneslinealesutilizandolaherramienta Solver. 0 3 2 ) , , (0 3 2 ) , , (0 4 2 3 ) , , (= + + == + == + =z y x z y x hz y x z y x gz y x z y x f Resolucin Nuevamentesecarganlosdatosenformaadecuadaparatrabajarcondichaherramienta segn se muestra a continuacin: Universidad Tecnolgica Nacional - Facultad Regional RosarioIngeniera Qumica / 31 Fundamentos de Informtica - Ms. Excel(3) 2011 Elresultado obtenido es: Ejemplo 3.6 DeterminarlasolucindelsiguientesistemadeecuacionesNOlinealesutilizandola herramientaSolver.Restringireldominiodelavariablexavaloresmayoresqueceroyel dominio de la variable y a valores menores que 0. 2 22 2( , ) 2 5 7 11( , ) 3 4 2 17f xy x y x yf xy x y x y= + + = = + + = + Resolucin El proceso de carga de datos es similar al realizado en los ejemplos anteriores. En este caso el sistema de ecuaciones a resolver es no lineal de dos incgnitas. Recuerde agregar una a una las restricciones solicitadas. En la siguiente pantalla se muestra la pantalla mientras se agrega la segunda restriccin. Universidad Tecnolgica Nacional - Facultad Regional RosarioIngeniera Qumica / 32 Fundamentos de Informtica - Ms. Excel(3) 2011 La pantalla del formulario, una vez cargadas las dos restricciones es la siguiente: Y finalmente, los resultados son: Universidad Tecnolgica Nacional - Facultad Regional RosarioIngeniera Qumica / 33 Fundamentos de Informtica - Ms. Excel(3) 2011 Resultados de error Segnlovistohastaahora,crearfrmulaspareceunatareasencilla,yciertamenteloes.Sin embargo,unoseacostumbrarpidamenteacrearfrmulasycomienzaacrearhojasde clculo ms y ms complejas. Y entonces empiezan a aparecer los errores en las frmulas. Cuandosecometeunerrorenunafrmula,Excelnosavisamedianteunaseriedemensajes queaparecenenlaceldaenlaquesehacometidoelerror,demaneraquepodemos identificar el origen del problema. Los errores de los que nos avisa Excel son los siguientes: #####.Marcasdedesbordamiento.Lacolumnanoeslosuficientementeanchapara mostrarelresultadodelafrmula.Aumentaelanchodelacolumna,disminuyeel tamao de la fuente o cambia el formato de la celda (todo esto veremos cmo hacerlo ms adelante). #DIV/0! Divisinporcero.TenencuentaqueExcelconsideraquelasceldasvacas tienen el valor cero. #N/A. No disponible. Normalmente porque la frmula hace referencia a una funcin o valor no disponibles. #NOMBRE? Nombre desconocido. La frmula hace referencia a un nombre que Excel no conoce. #NUM! Nmeronovlido.Lafrmulaestusandounnmeronovlido (generalmente en una funcin). #REF! Referencianovlida.Lafrmulacontieneunareferenciaqueyanoesvlida, porque se haya borrado la celda o puesto otra en su lugar. #VALOR!Operandonovlido.Porejemplo,nosepuede sumar un texto a un nmero.