Instituto Tecnologico y de Estudios Superiores de Occidente

Departamento de Electronica, Informatica y Sistemas

Tutorial de Diagramas de Ojo

L. M. Bazdresch

Septiembre 2009

Tutorial de diagramas de ojo

L. M. Bazdresch

Conceptos clave:

Diagrama de ojo

Interferencia entre smbolos

Ya sabemos que para minimizar el ancho de banda necesario (o bien paramaximizar el uso del ancho de banda disponible) conviene utilizar pulsos quetengan la forma de un seno cardinal (sinc) o de coseno alzado (RC).

Sabemos tambien que cada pulso puede transmitir varios bits, dependiendode cuantas amplitudes son posibles. Para transmitir k bits por pulso necesitamosM = 2k amplitudes. Por esta razon, ya no basta con conocer la tasa de bit, Rb;ahora necesitamos tambien la tasa de pulso Rs

1. El numero de pulsos que setransmiten por segundo es Ts = 1/Rp; esta cantidad se conoce tambien comointervalo de pulso o intervalo de smbolo. Los terminos pulso y smbolo se usarande manera intercambiable de aqu en adelante.

Es necesario definir los siguientes parametros antes de poder disenar unsistema que utilice estos pulsos:

El numero de pulsos transmitidos por segundo, Rp, y el intervalo desmbolo Ts = 1/Tp.

La duracion real de cada pulso. Esta duracion se mide en unidades de Ts;por ejemplo, podemos decir que un pulso dura cinco smbolos. Usaremosla letra D para representar esta cantidad.

El numero de muestras en cada intervalo de smbolo (m).

El factor de rolloff (beta).

Al intentar un analisis de la senal producida con estos pulsos, el primer problemaque encontramos es que el traslape de los pulsos hace que la senal sea muy difcilde interpretar a simple vista. En la figura (1) se muestra una senal producidautilizando pulsos sinc, donde una amplitud de 1 corresponde a un bit 1 y unaamplitud -1 a un bit 0. Es casi imposible a simple vista determinar si la senales correcta.

Un estudio cuidadoso de esta senal nos ensena que los unos y ceros s estanpresentes en los instantes precisos donde se debe muestrar la senal. En la figura(2) se muestra la misma senal, pero ahora se senalan los instantes de muestreo.Es claro que la senal siempre vale 1 o -1 en estos instantes, y de ah se puedenrecuperar los unos y ceros originales.

1La tasa de pulso es lo que antiguamente se conoca como baud rate

1

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 100 200 300 400 500

am

plitu

d

muestras (tiempo)

Figura 1: Senal formada por pulsos sinc superpuestos.

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2000 2100 2200 2300 2400 2500

am

plitu

d

muestras (tiempo)

Figura 2: La misma senal de pulsos sinc, con los instantes de muestreo senalados.La senal siempre vale 1 o -1 en estos instantes.

2

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 10 20 30 40 50 60

Ampl

itud

tiempo (muestras)

Figura 3: Diagrama de ojo para la senal de pulsos sinc de la figura (1).

Aunque estas figuras nos convencen de que la informacion digital esta presen-ten en la senal, tambien es evidente que esta forma de analisis no es manejable.Para facilitar este analisis, existe una herramienta que se conoce como losdiagramas de ojo. La idea es separar la senal en intervalos, digamos dos o trestiempos de smbolo Ts, y despues graficar todos los intervalos superpuestos. Enla figura (3) se muestra el diagrama de ojo de la misma senal de pulsos sinc.El comportamiento de la senal es mucho mas claro en el diagrama de ojo2. Enla figura (4) se muestran algunas de las caractersticas de la senal que puedenderivarse a partir del diagrama.

Veamos ahora algunos ejemplos particulares.Pulsos sinc. En la figura (3) se muestra el diagrama de ojo de una senal

formada por pulsos sinc. Es evidente en la figura que esta senal tiene altasensibilidad a errores de temporizacion: la senal vale 1 o -1 en los instantesde muestreo, pero muy rapido cambia de valor.

Realizando el analisis en la frecuencia, en la figura (5) se muestra el espectrode un pulso sinc, y en la figura (6) el espectro de una realizacion de 1000 pulsossinc.

Pulsos coseno alzado. En las figuras (7) y (8) se muestran los diagramasde ojo para una senal formada por pulsos coseno alzado con igual a 0.5 y1, respectivamente. Es claro, en las figuras, que la sensibilidad a errores detemporizacion disminuye en gran medida cuando se utilizan estos pulsos. A

2El nombre diagrma de ojo viene del parecido entre la figura y un ojo

3

Figura 4: Caractersticas de la senal que se pueden derivar del diagrama de ojo.A: Sensibilidad a errores de temporizacion. B: Margen de ruido. C: Aperturadel ojo. D: Instantes optimos de muestreo.

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

-1 -0.5 0 0.5 1

Ampl

itud

Frecuencia (Hz)

Espectro de Magnitud

Figura 5: Espectro de un pulso sinc.

4

00.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

-1 -0.5 0 0.5 1

Ampl

itud

Frecuencia (Hz)

Espectro de Magnitud

Figura 6: Espectro de una senal formada por pulsos sinc.

causa de esto, el ojo esta mas abierto que cuando se utilizan pulsos sinc.Pulsos que no son de Nyquist. Para ilustrar que ocurre en el caso

de utilizar pulsos que no son de Nyquist, utilicemos un pulso llamado pulsode Hamming, que se puede llamar desde Octave/Matlab con el comando delmismo nombre. El diagrama de ojo obtenido se muestra en la figura (13). Comose puede observar, no existe un ojo: los pulsos se enciman de tal manera quese interfieren unos con otros y no es posible recuperar los bits originales. Aeste fenomeno se le llama interferencia entre smbolos, o ISI por sus siglas eningles, intersymbol interference. Los pulsos de Nyquist tienen precisamente lapropiedad de no presentar ISI, y los pulsos sinc y RC, al mismo tiempo que sonde Nyquist, son eficientes en el uso del ancho de banda.

5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 10 20 30 40 50 60

Ampl

itud

tiempo (muestras)

Figura 7: Diagrama de ojo formado por pulsos RC, con = 0.5.

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 10 20 30 40 50 60

Ampl

itud

tiempo (muestras)

Figura 8: Diagrama de ojo formado por pulsos RC, con = 1.

6

00.002

0.004

0.006

0.008

0.01

-1 -0.5 0 0.5 1

Ampl

itud

Frecuencia (Hz)

Espectro de Magnitud

Figura 9: Espectro de un pulso RC con = 0.5.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

-1 -0.5 0 0.5 1

Ampl

itud

Frecuencia (Hz)

Espectro de Magnitud

Figura 10: Espectro de una senal formada por pulsos RC con = 0.5.

7

00.002

0.004

0.006

0.008

0.01

-1 -0.5 0 0.5 1

Ampl

itud

Frecuencia (Hz)

Espectro de Magnitud

Figura 11: Espectro de un pulso RC con = 1.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

-1 -0.5 0 0.5 1

Ampl

itud

Frecuencia (Hz)

Espectro de Magnitud

Figura 12: Espectro de una senal formada por pulsos RC con = 1.

8

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 10 20 30 40 50 60

Ampl

itud

tiempo (muestras)

Figura 13: Diagrama de ojo de una senal formada por pulsos que no son deNyquist.

Codigo. Se necesitan dos funciones para generar pulsos RC, se presentan acontinuacion.

function s=s r r c ( syms , P, beta ) ;

% Generate a SquareRoot Raised Cosine Pulse% syms i s 1/2 the length o f s r r c pu l s e in symbol dura t i ons% P i s the oversampl ing f a c t o r ( samples per pu l s e i n t e r v a l )% beta i s the r o l l o f f f a c t o r : beta=0 g i v e s the s i n c function

% sampling i n d i c e s as a mul t ip l e o f T/Pk=symsP+1e8:symsP+1e8;% numer ica l problems i f beta=0i f (beta==0), beta=1e8; end ;% c a l c u l a t i o n o f s r r c pu l s es=4beta/ sqrt (P) ( cos ((1+beta )pik/P)+ . . .

sin ((1beta )pik/P) . / ( 4 betak/P) ) . / ( pi (116(betak/P ) . 2 ) ) ;

function s=rc ( syms , P, beta ) ;

% Generate a Raised Cosine Pulse% syms i s 1/2 the length o f r c pu l s e in symbol dura t i ons

9

% P i s the oversampl ing f a c t o r ( samples per pu l s e i n t e r v a l )% beta i s the r o l l o f f f a c to r , beta=0 g i v e s a s i n c pu l s e

i f ( beta==0 )% i f beta==0, s r r c == s in cx = s r r c ( syms /2 ,P , 0 ) ;[ t i ] = max( x ) ; % normal i ze amplitude to 1s = x . / x ( i ) ;

else

x = s r r c ( syms /2 ,P/2 ,beta ) ;s = conv (x , x ) ;

end

Un ejemplo de generacion de una senal sera el siguiente:

% 2 po s i b l e s ampl itudes : 1 b i t por s imboloN = 1000 ;b i t s = 2round (rand (1 ,N))1;

% parametrosm = 10 ; % muestras por i n t e r v a l o de s imboloD = 4 ; % duracion de l pu l so rc , en i n t e r v a l o s de s imbolo

%D t i en e que s e r parbeta = 0 ; % r o l l o f f

% entrada de l f i l t r o formadorin = zeros (1 ,Nm) ;in ( 1 :m:end) = b i t s ;

% re spue s ta a l impulso de l f i l t r o formador : pu l so r a i s e d c o s i n eps = rc (D,m, beta ) ;

% generac ion de l a s ena l t r ansmi t ida ( ana log i ca )tx=f i l t e r ( ps , 1 , in ) ;

Para graficar el diagrama de ojo de la senal tx se puede usar el siguientecodigo:

% diagrama de o jox=tx (50m: end ) ;neye=3; c=f loor ( length ( x )/ ( neyem) ) ;xp=x (endneyemc+1:end ) ;plot ( reshape ( xp , neyem, c ) , ; ; ) ;xlabel ( tiempo ( muestras ) ) ;ylabel ( Amplitud ) ;

10

Ejercicios. Entrega: enviar por email, con tarea 7 como asunto, su codigoy un documento (Word o pdf) con todas las figuras. Las respuestas a laspreguntas pueden ir en el documento o en el cuerpo del mensaje.

Ejercicio 1. Modifique el codigo para transmitir dos bits por smboloen lugar de 1, con pulsos sinc y RC con = 0.8. Grafique los diagramasde ojo. Repita para cuatro bits por smbolo.

Ejercicio 2. Para pulsos RC con = 0.3, haga D (la duracion delpulso en intervalos de smbolo) igual a 6, 12 y 20. Que efecto tieneesto en el diagrama de ojo?

Ejercicio 3. El siguiente tema a estudiar es el efecto del ruido sobre lacomunicacion. Con D = 10, un bit por pulso, y pulsos RC con = 0.3,genere una senal de ruido n con el comando n=0.1*randn(1,length(tx)).Sume esta senal a tx y rehaga los diagramas de ojo. Cual es el efectodel ruido sobre la senal?

Ejercicio 4. Suponga que m = 12 y D = 10. Cuales son losinstantes optimos de muestreo? Utilice su codigo para transmitir lasecuencia de bits [1 1 0 0 1 0 1]. Recupere de forma exacta lasamplitudes 1 y -1 a partir del vector tx.

Ejercicio 5. Con D = 10, un bit por pulso, y pulsos RC con = 0.3, calcule (numericamente, usando Octave/Matlab) la energadel pulso RC. A continuacion, calcule la energa de la senal tx. Cuales la relacion entre estas dos energas, en terminos de N , el numero depulsos transmitidos?

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