Tutorial de probabilidad y estadística.

Jacaranda Amairany Hernández Grijalva

ITCG2013

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

TEMA I. CONCEPTOS DE ESTADISTICA Y SU CLASIFICACION.

DEFINICIÓN DE ESTADISTICA.

La Estadística es la parte de las Matemáticas que se encarga del estudio de una determinada característica en una población, recogiendo los datos, organizándolos en tablas, representándolos gráficamente y analizándolos para sacar conclusiones de dicha población.

DEFINICION DE PROBABILIDAD.

La probabilidad es la posibilidad que existe entre varias posibilidades, que un hecho o condición se produzcan. La probabilidad, entonces, mide la frecuencia con la cual se obtiene un resultado en oportunidad de la realización de un experimento sobre el cual se conocen todos los resultados posibles gracias a las condiciones de estabilidad que el contexto supone de antemano.

1


DEFINICION DE POBLACION.

Población estadística, en estadística, también llamada universo o colectivo, es el conjunto de elementos de referencia sobre el que se realizan unas de las observaciones. Población es el conjunto sobre el que estamos interesados en obtener conclusiones. Normalmente es demasiado grande para poder abarcarlo.

Población es el conjunto de cosas, personas, animales o situaciones que tiene una o varias características o atributos comunes, por ejemplo: los habitantes de México en el presente año, las personas menores de edad en el año 2012; los estudiantes de la Universidad, las reacciones de un nuevo medicamento, las diferencias entre los tratamientos de diferentes formulaciones de insecticidas, entre otras.

DEFINICION DE POBLACION FINITA E INFINITA.

Población Finita: es el conjunto compuesto por una cantidad limitada de elementos, como el número de especies, el número de estudiantes, el número de obreros.

Población Infinita: es la que tiene un número extremadamente grande de componentes, como el conjunto de especies que tiene el reino animal.

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DEFINICION DE MUESTRA.

Es una parte, generalmente pequeña, que se toma del conjunto total para analizarla y hacer estudios que le permitan al investigador inferir o estimar las características de un problema.

EJEMPLO. A un paciente que debe ser operado quirúrgicamente se le analiza su sangre tomando una muestra pequeña para conocer el grado de coagulación. No es necesario extraerle toda la sangre.

El industrial que desea saber si en alambre que produce tiene la resistencia necesaria a la tensión deseada, toma solamente una muestra de su producción, debido a que el alambre que se destruye con la prueba y de otra manera tendría que destruir toda la existencia.

Generalmente, los resultados obtenidos en una muestra son satisfactorios y permiten al investigador tener un conocimiento aceptable del problema.

1.1

MUESTREO.

MUESTREO CON REPOSICION.

En el muestreo con reposición, el elemento seleccionado en cada extracción vuelve a ser incluido en la población antes de extraer el siguiente elemento. En este tipo de muestreo, un elemento de la población puede aparecer más de una vez en la muestra.

MUESTREO SIN REPOSICION.

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En este tipo de muestreo aleatorio simple, el elemento extraído de la población queda descartado de cara a la siguiente extracción. Es decir, un elemento sólo puede aparecer una vez en la muestra.

MUESTREO ALEATORIO.

Consideremos una población finita, de la que deseamos extraer una muestra. Cuando el proceso de extracción es tal que garantiza a cada uno de los elementos de la población la misma oportunidad de ser incluidos en dicha muestra, denominamos al proceso de selección muestreo aleatorio.

El muestreo aleatorio se puede plantear bajo dos puntos de vista: Sin reposición de los elementos, Con reposición.

MUESTREO AL AZAR.

El concepto básico de todo muestreo es el de la muestra al azar. Una muestra de objetos de una población se llama al azar cuando todos los miembros de la población tienen igual oportunidad de aparecer en la muestra. Es muy importante insistir en que esto es igualmente válido para todos los miembros de la población, tanto para los raros como para los típicos.

1.2. SOLUCION DE PROBLEMAS.

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Ejemplo 1.

Sea una población de elementos (22, 24, 26). Escriba todas las muestras posibles de tamaño dos, escogidas mediante un muestreo aleatorio simple.

Ejemplo 2.

Un estudiante responde al azar a dos preguntas de verdadero o falso. Escriba el espacio muestral de este experimento aleatorio.

Solución.

El espacio muestral es el conjunto de todos los sucesos elementales. Los sucesos elementales son cada uno de los resultados posibles del experimento aleatorio, indescomponibles en otros más simples. Como el experimento consiste en responder al azar a dos preguntas, cada uno de los posibles patrones de respuesta constituirá un suceso elemental. Un patrón de respuesta sería contestar verdadero a la primera pregunta y verdadero a la segunda, lo representamos (V, V). Con esta representación podemos escribir el espacio muestral como:

E = (V, V) (V, F) (F, V) (F, F)

Ejemplo 3.

5


Otro estudiante responde al azar a 4 preguntas del mismo tipo anterior.

a) Escriba el espacio muestral.

b) Escriba el suceso responder “falso” a una sola pregunta.

c) Escriba el suceso responder “verdadero” al menos a 3 preguntas.

Solución

a) Con la misma convención del problema anterior, los sucesos elementales serían:

(V, V, V, V) (V, V, V, F) (V, V, F, V) (V, F, V, V)

(F, V, V, V) (V, V, F, F) (V, F, V, F) (V, F, F, V)

(F, V, V, F) (F, V, F, V) (F, F, V, V) (V, F, F, F)

(F, V, F, F) (F, F, V, F) (F, F, F, V) (F, F, F, F)

b) El Suceso responder falso a una sola pregunta será el subconjunto del espacio muestral formado por todos los sucesos elementales en que solo hay una respuesta falso, lo llamaremos A y será:

A = (V, V, V, F) È (V, V, F, V) È (V, F, V, V) È (F, V, V, V)

Ejemplo 4.

6


Problema 5.

Ejemplo 6.7


8


Ejemplo 7.

Ejemplo 8.

Ejemplo supón que tienes una caja con 5 canicas marcadas con las letras A,B,C,D,E , y se te pide que tomes unas muestra de dos canicas y anotes el resultado.

CON REEMPLAZO

Tomas una canica, anotas el resultado y la devuelves a la caja (esa acción seria el reemplazo), y tomas la segunda canica anotas el resultado y la devuelves a la caja.

SIN REEMPLAZO

Tomas las dos canicas (sin reemplazarlas) y anotas el resultado, con reemplazo, te pueden salir todas las combinaciones posibles de muestras (por ejemplo A,A), sin reemplazo no. Por ejemplo no podrían salirte dos canicas A en una muestra.

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Ejemplo 9.

Se elige un individuo al azar y a partir de él, a intervalos constantes, se eligen los demás hasta completar la muestra.

Por ejemplo si tenemos una población formada por 100 elementos y queremos extraer una muestra de 25 elementos, en primer lugar debemos establecer el intervalo de selección que será igual a 100/25 = 4. A continuación elegimos el elemento de arranque, tomando aleatoriamente un número entre el 1 y el 4, y a partir de él obtenemos los restantes elementos de la muestra.

2, 6, 10, 14,..., 98

Ejemplo 10.

10


TEMA II. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL.

Al describir grupos de observaciones con frecuencia es conveniente resumir la información con un solo número. Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribución de datos se denomina medida o parámetro de tendencia central o de centralización. Cuando se hace referencia únicamente a la posición de estos parámetros dentro de la distribución, independientemente de que ésta esté más o menos centrada, se habla de estas medidas como medidas de posición.

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MEDIA ARITMÉTICA.

A este término también se le conoce como el promedio o simplemente media. Esto se refiere a la suma de los valores divididos entre el número de sumandos. Algo parecido es la calificación total o promedio de tús materias en la escuela, en este caso sería sumar las calificaciones de todas y cada una de las materias, como son: Español, Matemáticas, Historia. Geografía, Biología, etc... Divididas entre el total de materias. Esto es 90+80+85+95+95, etc... Divididas entre 5 dando como resultado el promedio, o mejor dicho la Media Aritmética.

Fórmula:

Dónde:

es la media aritmética o promedio.

es la sumatoria de todos los valores o datos.

es la interpretación de cada uno de los valores observados.

es el total de valores observados.

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MODA.

Cuando se habla de moda, estadísticamente se habla de un dato o valor que más se repite. Por ejemplo, sí se tiene una canasta con frutas, y está contiene 2 naranjas, 1 pera, 4 manzanas y 2 duraznos. En este caso, la moda sería la manzana, ya que es la que más se repite. Pero cabe mencionar que también puede existir más de una moda, es decir, sí en la canasta tiene además 2 guayaba y 4 duraznos. Se tendrían dos modas, que son la manzana y el durazno, es decir,

bimodal y en caso de ser más de dos modas. Se le nombra multimodal.

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MEDIANA.

Cuando se habla de mediana, esto se refiere al dato central, es el número o valor que está al centro de todos estos datos ya sea que estén ordenados o desordenados.

Por ejemplo, sí se tienen 5 niñas, todas con edades diferentes. María de 5 años, Sofía de 2 años, Carla de 1 año, Dulce de 3 años, Alondra de 7 años. Como se muestra, el dato central o mejor dicho, la mediana viene siendo Carla de 1 año ya que está en el lugar 3, que es el centro de las 5 niñas. Pero sí se agrupan, por ejemplo de menor a mayor, quedarían de la siguiente forma: Carla de 1 año, Sofía de 2 años, Dulce de 3 años, María de 5 años, Alondra de 7 años Aquí. la mediana sería María, ya que ella está en el lugar 3,al centro de las 5 niñas. Para ubicar la mediana, también se sacar con porcientos, es decir, el 50% del 100%.

MEDIA PONDERADA.

La media ponderada es una medida de tendencia central, se construye asignándole a cada clase un peso, y obteniendo un promedio para los pesos.

Donde

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MEDIDAS DE DISPERCIÓN.

Muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la mediana o la media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la mediana o de la media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos.

DESVIACIÓN ESTÁNDAR.

La desviación estándar es el error permisible o margen de error en el que no se ve afectado el resultado que se espera.

Por ejemplo, en un partido de fútbol, existen castigos al cometer una falta dentro del área, y se marca con penalti, aquí está un claro ejemplo ya que lo que se quiere es meter el gol, así que el margen de error o la desviación estándar es toda la portería, sí el balón va en dirección al extremo de la portería, tanto a la izquierda como a la derecha, pero dentro de la portería, no afecta el resultado ya que será gol. Pero sí el balón va más allá de la portería, que es el margen de error, tanto a la izquierda como a la derecha, sí afecta el resultado, ya que el balón no entrara a la portería y por consecuencia no será gol.

En conclusión, la desviación estándar es el error permisible el cual no afecta al resultado.

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http://es.wikipedia.org/wiki/Media_estad%C3%ADstica

http://es.wikipedia.org/wiki/Media_estad%C3%ADstica

http://es.wikipedia.org/wiki/Mediana


Fórmula:

Dónde:

es la desviación estándar.

es la sumatoria de la diferencia que hay entre los datos y la media, elevados al cuadrado, va desde el primer dato hasta el dato n.

es el valor individual.


es el total de datos observados.

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VARIANZA.

Este es el resultado de la división de la sumatoria de las distancias que hay entre cada afecto y la media aritmética elevadas al cuadrado. Por ejemplo, sí se toma la edad de cinco niños de sexto de primaria. tomando como media aritmética la edad de 12 años, y al seleccionarlos se dan los siguientes resultados. 12.3 años, 11.9 años, 12.1 años, 11.8 años, 12.2 años.

Como se sabe la media aritmética es de 12, la varianza es la diferencia que hay entre en dato y la media, al cuadrado, sumando todos los valores que dan como resultado 1.18 y esto dividido entre los sumados, 1.18/5=0.236 de varianza.

En conclusión la varianza es la medida de los cuadrados de las diferencia entre cada valor con la media de la distribución.

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Fórmula:

Donde:

es la varianza.

es la sumatoria de la diferencia que hay entre los datos y la media, elevados al cuadrado, va desde el primer dato hasta el dato n.

es el valor individual.


es el total de datos observados.

RANGO DISPERCIÓN O VARIACIÓN.

Esto se refiere a la variabilidad que hay en una distribución indicando por medio de números las diferencias que existen entre un dato y la media aritmética, entre mayor sea el valor, mayor variabilidad.

Por ejemplo, sí se quiere saber el rango de dispersión de la altura de una raza de perros, como ya se sabe hay un promedio de altura para cada una, sí se miden cinco perro de una misma raza cuya altura promedio es de 25cm, y las medidas de cada ton de ellos son, 25cm, 28cm, 22cm, 24cm, 26cm.

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Como la altura promedio es de 25cm,pero existe diferencia entre los cinco, que van desde los 22cm hasta los 28cm,por lo tanto esa diferencia con respecto a la media es el rango De dispersión.

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PRÁCTICAS Y GRÁFICOS.

HISTOGRAMAS.

Un Histograma es una pequeña gráfica de barras que representa el comportamiento de la información que se tiene. Sí se toma como ejemplo 5 familias contando a todos los integrantes de cada una, es decir. 1-Pérez-4 integrantes: López 5 integrantes, Álvarez 3 integrantes, Hernández 8 integrantes, García 5 integrantes.

Al realizar el Histograma está queda de la siguiente manera. Ubicando la cantidad de integrantes para cada familia.

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OJIVA.

la Ojiva, es otra de las gráficas representa dicha información, la diferencia es que esta se realiza en porcientos, sumando cada porcentaje hasta llegar al 100%.

Por ejemplo, si se tiene una canasta de verduras con: 2 pepinos, 5 Zanahorias, 4 Jitomates, 6 Papas y 3 Betabeles. Al sumar todas las verduras nos da el valor total que representa el 100%.

A continuación lo que se hace es dividir el 100% entre el total de verduras 20,esto nos dará como resultado 5, que es el porcentaje que equivale a una verdura, teniendo este resultado se multiplicara el 5% por la cantidad que hay de cada verdura. 5x2=10% de Pepinos 5x5=25% de Zanahoria 5x4=20% de Jitomates 5x6=30% de Papas 5x3=15% de Betabel Al sumar los porcentajes, estos deben de dar como resultado el 100%.

Ya teniendo los porcentajes representativos de cada verdura, se realiza la gráfica de ojivas, colocando el primer valor porcentual de el pepino con el 10%, después el segundo que es el de la Zanahoria siendo el resultado de la suma del 10% del pepino más el 25% de la Zanahoria, dando como resultado 35%,para el tercer valor se suma el porciento del pepino, zanahoria y el Jitomate, y así sucesivamente con todas las verduras hasta llegar al 100%, quedando la gráfica de la siguiente manera.

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DIAGRAMA DE CAJA.

Un diagrama de Cajas es una gráfica que al hacerla se basa en cuartiles (Q ) quienes tienes el valor de 25% cada uno. Al hacer este diagrama aparecen tres cuartiles como son Q1, Q2 y Q3, y estos están dentro del total de información que va desde cero o también llamado Límite Inferior hasta el 100% de datos llamado Limite Superior. Para construir únicamente la caja, está se forma con los cuartiles Q1 y Q3.

Sí se tiene la misma canasta con: 3 Mangos, 3 Naranjas, 4 Peras, 1 Durazno, 5 Guayabas y 4 Manzanas. Primero se divide el 100% entre las 20 frutas, para saber la equivalencia de una, dando como resultado el 5%, ahora se divide el 25% entre el 5% para tener cuantas frutas son el 25%, igual a 5 frutas, esta es la cantidad que hay del límite Inferior al primer cuartil.

Para esto ya sabemos que 5 frutas son el 25%, con esta información ya se puede deducir los cuartiles faltantes, para el tercer cuartiles se divide 75% entre el 5% resultando 15 frutas que hay desde el Límite Inferior hasta el Q3. Quedando el Diagrama de Cajas de la siguiente manera.

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DIAGRAMA DE TALLO Y HOJA.

Este diagrama es muy fácil y útil para organizar cuando se tienen varios datos o números muy grandes, por ejemplo el 52, su tallo es el 5 y su hoja el 2, los valores del tallo se escriben de arriba hacia abajo y los valores de las hojas hacia la derecha.

Por ejemplo sí se quisiera organizar las edades de cinco mujeres y cinco hombres quedando el diagrama de la siguiente manera.

HOMBRES

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SOLUCIÓN DE PROBLEMAS.

Ejemplo 1.

En una materia dada se asignan pesos de importancia, de la siguiente forma: Unida I (20% del curso), Unidad II (25% del curso), Unidad III (20% del curso), Unidad IV (15% de la calificación), Unidad V (20% de la calificación ). Si las calificaciones de un alumno son 8 en la primera unidad, 5 en la segunda, 8 en la tercera unidad, 10 en la cuarta unidad y 8 en la última unidad. Es decir, se tienen la siguiente tabla:

Unidad Ponderacion (Wi) Datos (Wi)I 20% = 0.2 8II 25% = 0.35 5III 20% = 0.2 8IV 15% = 0.15 10V 20% = 0.10 8

Ejemplo 2.

Calcular la desviación estándar de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

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Ejemplo 3.

Ejemplo 4.

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Ejemplo 5.

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TEMA III: TEORÍA DE CONJUNTOS.

Introducción

Un conjunto es una colección bien definida de objetos, los cuales se denominan elementos o miembros del conjunto. Generalmente se utilizan letras mayúsculas, como A, B, X , Y,… para designar los conjuntos, y letras minúsculas, como a, b, x, y,… para designar los elementos de los conjuntos. Las palabras clase, colección y familia son sinónimos de conjunto.

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, por ejemplo:

El conjunto a, b, c también puede escribirse:

a, c, b , b, a, c , b, c, a , c, a, b , c, b, a

En teoría de conjuntos se acostumbra no repetir los elementos por ejemplo:

El conjunto b, b, b, d, d simplemente será b, d .

Sí “a” es un elemento del conjunto “A” se denota con la relación de pertenencia a.

En caso contrario, si “a” no es un elemento de “A “se denota a A.

Algunos ejemplos de conjuntos son:

: el conjunto vacío, que carece de elementos. N: el conjunto de los números naturales. Z: el conjunto de los números enteros. Q : el conjunto de los números racionales. R: el conjunto de los números reales. C: el conjunto de los números complejos.

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SUBCONJUNTO

Sean los conjuntos A= 0, 1, 2, 3, 5, 8 y B= 1, 2, 5

En este caso decimos que B está contenido en A, o que B es subconjunto de A. En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que B es un subconjunto de A si todo elemento de B lo es de A también.

Por lo tanto si B es un subconjunto de A se escribe B A. Si B no es subconjunto

de A se indicará con una diagonal .

Note que se utiliza solo para elementos de un conjunto y solo para conjuntos.

El conjunto universal y el conjunto vacío

Se supone que todos los conjuntos bajo investigación en cualquier aplicación de una teoría de conjuntos están contenidos en algún conjunto grande fijo denominado el conjunto universal o universo de discurso. Por ejemplo, en geometría de planos, el conjunto universal comprende todos los puntos en el plano; en los estudios de población humana, el conjunto universal consiste en todas las personas del mundo.

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El conjunto universal se suele representar por la letra U o bien por Ω.

Ejemplo:

Si tenemos que

Entonces una manera de ilustrarlo sería:

Por otro lado el conjunto vacío es un aquel que no contiene ningún elemento. Puesto que lo único que caracteriza a un conjunto es su número de elementos, el conjunto vacío es único. Por cuestiones de nomenclatura se utiliza el símbolo Ø, y en forma consecuente se le considera como un subconjunto de todos los demás.

Por ejemplo:

Sean A= 2, 4, 6 y B= 1, 3, 5, 7 encontrar A B.

A B=

El resultado de A B= muestra que no hay elementos entre las llaves, si este es el caso se le llamará conjunto vacío ó nulo y se puede representar como:

A B=

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El conjunto vacío tiene las siguientes propiedades:

El conjunto vacío actúa como cero en las operaciones de algebra de conjuntos.

Nota: Más adelante profundizaremos en álgebra de conjuntos, para comprender en su totalidad las propiedades que se enuncian.

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Complemento

El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A y se denota como A' y que se representa como:

A'= x U/x y x A

Ejemplo:

Sea U = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

A= 1, 3, 5, 7, 9 donde A U

El complemento de A estará dado por:

A'= 2, 4, 6, 8

Conjuntos disyuntos

Se dice que dos conjuntos son disyuntos si no tienen ningún elemento en común.

Formalmente, dos conjuntos A y B son disjuntos si su intersección es el conjunto vacío; es decir, si:

Por ejemplo, 1, 2, 3 y 4, 5, 6 son conjuntos disyuntos.

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A


Otro ejemplo podría ser:

Los conjuntos A y B no tienen ningún elemento en común.

Diagramas Venn

Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de la Matemática y Lógica de clases conocida como teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la agrupación de cosas elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante un círculo o un óvalo. La posición relativa en el plano de tales círculos muestra la relación entre los conjuntos. Por ejemplo, si los círculos de los conjuntos A y B se intersectan, se muestra un área común a ambos conjuntos que contiene todos los elementos contenidos a la vez en A y en B. Si el círculo del conjunto A aparece dentro del círculo de otro B, es que todos los elementos de A también están contenidos en B.

Diagrama de Venn mostrando la intersección de dos conjuntos.

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Diagrama de la unión de dos conjuntos.

En teoría la unión de dos conjuntos podemos definirla como una “suma” de un conjunto con otro. Pues el diagrama que se muestra a continuación representa la situación descrita anteriormente.

La unión de los conjuntos A y B es la parte colorada, podemos ver que se han sumado el conjunto A y el B. En matemáticas la unión se representa AUB.

Diagrama del complemento de un conjunto.

El complemento de un conjunto se hace en referencia a un conjunto universal y se define como los elementos que no pertenecen al conjunto. Como se muestra a continuación:

El conjunto U es el universal (parte amarilla y blanca) y el complemento de A es solo la parte amarilla del dibujo. El complemento de un conjunto se representa Ac.

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Diagrama de la diferencia de conjuntos.

La diferencia B - A es la parte de B que no está en A.

La diferencia de conjuntos en matemáticas se expresa B\A, para este caso.

Leyes de álgebra de conjuntos:

Los conjuntos bajo las operaciones de unión, intersección y complemento satisfacen las diversas leyes (identidades) que se enumeran en la siguiente tabla:

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SOLUCION DE PROBLEMAS.

Ejemplo 1.

Conos de helado

Hay conos de dos sabores: chocolate y vainilla. Usted y sus 24 amigos (25 personas en total), van a comprar conos. Si 15 personas compran conos de vainilla y 20 conos de chocolate, ¿cuántas personas compraron conos de chocolate y vainilla?

Respuesta: No menos de 10 personas y no más de 15 personas.

Ejemplo 2.

Barras de chocolate

Un grupo de 50 personas va al supermercado a comprar barras de chocolate. Cada persona compra como mínimo una barra. El supermercado vende dos tipos de barras de chocolate: con relleno y sin relleno. Si 45 personas compran de los dos tipos de barras, y 47 compran como mínimo una barra con relleno cada uno, ¿cuántas personas compraron únicamente barras de chocolate sin relleno?

Respuesta: 3 personas

Ejemplo 3.

Invasión de extraterrestres

Un grupo de 100 extraterrestres llega en la nave Estrella 2000 para invadir su planeta. Estos extraterrestres se distinguen por dos características: sus ojos y sus colas. Algunos de ellos tienen ojos, pero no tienen cola, otros tienen cola pero no tienen ojos, y otros tienen ojos y cola. Si hay 75 extraterrestres que tienen ojos y 50 que tienen ojos y cola, ¿cuántos de ellos tienen ojos pero no tienen cola? ¿Cuántos tienen solamente cola?

Respuesta: 25 extraterrestres tienen ojos pero no tienen cola. 25 tienen solamente cola.

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Ejemplo 4.

Paseo al zoológico

Un grupo de 30 estudiantes decide ir de paseo al zoológico. Hay dos exhibiciones principales abiertas para visitas: la pajarera y la cueva del león. Ocho estudiantes visitan la pajarera, de los cuales seis visitan también la cueva del león. ¿Cuántos estudiantes visitan únicamente la cueva del león? ¿Cuántos estudiantes visitan únicamente la pajarera?

Respuesta: Entre 0 y 22 estudiantes visitan únicamente la cueva del león (dependiendo de cuántas personas no visitan ninguna). 2 estudiantes visitan únicamente la pajarera.

Ejemplo 5.

Fiesta de disfraz

Hay 70 niños en la ciudad de Cartagena, y todos se van a vestir en forma especial para ir a una fiesta. Hay dos actividades para la noche de la fiesta: un baile y un concurso de disfraz. Si 30 niños fueron tanto al baile como al concurso de disfraz, y solamente 24 niños fueron únicamente al baile, ¿cuántos niños en total participaron en el concurso de disfraz? ¿Cuántos fueron únicamente al concurso de disfraz?

Respuesta: 46 niños participaron en el concurso. 16 fueron únicamente al concurso.

Ejemplo 6.

Cine

Actualmente se están exhibiendo dos películas en un teatro de la ciudad: Ficción Increíble 3 y Las matemáticas en las estrellas. Un total de 68 personas asistieron al teatro. Si 35 personas vieron Las matemáticas en las estrellas, y 10 vieron tanto Ficción Increíble 3 como Las matemáticas en las estrellas, ¿cuántas personas vieron únicamente Ficción Increíble 3? ¿Cuántos boletas se vendieron en total en el teatro?

Respuesta: 33 personas han visto únicamente Ficción increíble 3. En el teatro se vendieron un total de 78 boletas.

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Ejemplo 7.

Bebidas

Se anotaron 75 órdenes de bebidas en un restaurante, donde se ofrecen dos tipos de bebidas: jugo de naranja y leche. Si 59 personas tomaron jugo de naranja y 18 tomaron leche, ¿cuántas personas tomaron tanto leche como jugo de naranja?

Respuesta: 2 personas.

Ejemplo 8.

Deportes

Hay 100 atletas y tres estaciones diferentes en que se presentan deportes: fútbol en el otoño, basketball en el invierno y baseball en la primavera. Algunos de los atletas juegan solamente un deporte, otros dos y otros tres. Cuarenta personas juegan fútbol. Si 15 juegan los tres deportes, 5 juegan basketball y fútbol, pero no baseball, y 10 juegan solamente fútbol, ¿cuántas personas juegan tanto baseball como fútbol?

Respuesta: 25 personas.

Ejemplo 9.

Mascotas

Hay 49 personas que tienen mascotas. 15 personas tienen únicamente perros, 10 tienen únicamente gatos, 5 personas tienen perro y gato y 3 tienen gato, perro y serpientes. ¿Cuántas serpientes hay?

Respuesta: 19 serpientes.

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Ejemplo 10.

Juegos de computador

Tres juegos populares de computador son: La invasión de los extraterrestres, Las carreras de carros y Fútbol de lujo. Cincuenta personas de su barrio tienen juegos de computador. 16 tienen los tres juegos, 5 tienen Las carreras de carros, 7 tienen Fútbol de lujo, y 19 tienen únicamente La invasión de los extraterrestres. En total ¿cuántos juegos de computador hay en su vecindario?

Respuesta 10: Un total de 85 juegos de computador.

2. Técnicas de conteo

El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el número de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre varios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.

Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede n2 maneras diferentes entonces, el número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a n1 x n2.

¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio?

Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras distintas de repartir los tres premios.

n

10 x 9 x 8 = 720

n un número entero positivo, el producto n (n-1) (n-2)...3 x 2 x 1 se llama factorial de n.

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El símbolo ! se lee factorial y es el producto resultante de todos los enteros positivos de 1 a n; es decir, sea

n

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Por definición 0! = 1

Si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados. Al tirar un dado, por ejemplo, hay seis posibles resultados.

Diagrama de árbol

Un diagrama de árbol es una representación gráfica que muestra los resultados posibles de una serie de experimentos y sus respectivas probabilidades; consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.

Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final). Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.

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El diagrama de árbol va de lo general a lo especifico, es decir, parte de un problema general (el “tronco”) y continua con niveles subsecuentes o causas (las “ramas”).

Los diagramas en árbol son muy útiles para "fabricar" cualquier tipo de agrupación, ya sean variaciones, permutaciones o combinaciones.

Ejemplo:

Experimento: Se lanza una moneda, si sale águila se lanza un dado y si sale sol se lanza la moneda de nuevo.

Espacio muestral

S:A1,A2,A3,A4,A5,A6,SS,SAn(s)=8

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Permutación

La permutación se utiliza para determinar el número de posibles arreglos cuando solo hay un solo grupo de objetos. Permutación: un arreglo o posición de r objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles. Si nos damos cuenta los arreglos a, b, c y b, a, c son permutaciones diferentes, la fórmula que se utiliza para contar el número total de permutaciones distintas es:

FÓRMULA: n P r = n! (n - r)

Ejemplo:

¿Cómo se puede designar los cuatro primeros lugares de un concurso, donde existen 15 participantes? Aplicando la fórmula de la permutación tenemos:

n P r = n! (n - r)! = 15! = 15*14*13*12 *11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 (15-4)! 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 32760

Dónde: n= número total de objetos r= número de objetos seleccionados!= factorial, producto de los números naturales entre 1 y n.

NOTA: se puede cancelar números cuando se tiene las mismas cifras en numerador y denominador. !

41


Combinación

En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes:

Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB

Combinaciones: AB, AC, BC

Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden.

La fórmula de combinaciones es:

n C r = n! r! (n – r)!

Ejemplo: En una compañía se quiere establecer un código de colores para identificar cada una de las 42 partes de un producto. Se quiere marcar con 3 colores de un total de 7 cada una de las partes, de tal suerte que cada una tenga una combinación de 3 colores diferentes. ¿Será adecuado este código de colores para identificar las 42 partes del producto?

Usando la fórmula de combinaciones:

n C r = n! = 7! = 7! = 35

r! (n – r )! = 3! (7 – 3)! 3! 4!

El tomar tres colores de 7 posibles no es suficiente para identificar las 42 partes del producto.

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Solución de problemas

Ejemplo 1.

Dos equipos denominados A y B se disputan la final de un partido de baloncesto, aquel equipo que gane dos juegos seguidos o complete un total de tres juegos ganados será el que gane el torneo. Mediante un diagrama de árbol diga de cuantas maneras puede ser ganado este torneo,

Solución:

A = gana el equipo A

B = gana el equipo B

En este diagrama se muestran que hay solo diez maneras de que se gane el torneo, que se obtienen contando las ramas terminales de este diagrama de árbol, las que es posible enumerar;

AA, ABB, ABAA, ABABA, ABABB, etc, etc.

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Ejemplo 2.

Un hombre tiene tiempo de jugar ruleta cinco veces como máximo, él empieza a jugar con un dólar, apuesta cada vez un dólar y puede ganar o perder en cada juego un dólar, él se va a retirar de jugar si pierde todo su dinero, si gana tres dólares (esto es si completa un total de cuatro dólares) o si completa los cinco juegos, mediante un diagrama de árbol, diga cuántas maneras hay de que se efectué el juego de este hombre.

Si contamos las ramas terminales nos daremos cuenta que hay 11 maneras de que este hombre lleve a cabo sus apuestas, en este diagrama se han representado los cinco juegos o apuestas que este hombre tiene tiempo de jugar.

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Ejemplo 3.

¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.?

r = 5 n = 5

Sí entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.

Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.

No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

P5=5 !=5.4 .3 .2.1=120

Ejemplo 4.

¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?

Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.

P8=8!=40320

Ejemplo 5.

¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?

Pn−r=P8−1=(8−1 )!=7 !=5040

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Ejemplo 6.

Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?

La palabra empieza por i u o seguida de las 4 letras restantes tomadas de 4 en 4.

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos.

P2 P4=(2 ! ) ( 4 !)=48

Ejemplo 7.

En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?

No entran todos los elementos.

No importa el orden: Juan, Ana.


C353 =35.34 .33

3.2.1=6545

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Ejemplo 8.

¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco

iris tomándolos de tres en tres?


No importa el orden.


C73=7.6 .5

3.2=35

Ejemplo 9.

A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado?


No importa el orden.


C102 =10.9

2=45

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Ejemplo 10.

En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?

No entran todos los elementos. Sólo elije 4…

No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís.

Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo.

CR54=

(5+4−1 ) !4 ! (5−1 )!

= 8 !4 ! . 4 !

=70

TEMA IV.- TEORÍA DE LA PROBABILIDAD.

4.1.1. CONCEPTO Y USOS DE PROBABILIDAD.

PROBABILIDAD.

La probabilidad es la posibilidad que existe entre varias posibilidades, que un hecho o condición se produzcan. La probabilidad, entonces, mide la frecuencia con la cual se obtiene un resultado en oportunidad de la realización de un experimento sobre el cual se conocen todos los resultados posibles gracias a las condiciones de estabilidad que el contexto supone de antemano.

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APLICACIÓN DE LA PROBABILIDAD.

Una de las primeras aplicaciones de la probabilidad fue en las ciencias actuariales, que comprenden el estudio de seguros de vida, fondos de pensiones y problemas relacionados.

Otro uso importante de la probabilidad está en la estadística, la cual penetra en una multitud de campos, tales como finanzas, economía, biología, psicología y las ciencias sociales en general.

El cálculo de probabilidades también se emplea en la física y química modernas y en muchas ingenierías, como por ejemplo en la teoría de ajuste por mínimos cuadrados, en el estudio de problemas de aglomeración (problemas de tráfico), en la teoría de muestreo y en el control de calidad de productos manufacturados.

4.2. TIPOS DE PROBABILIDAD.

Probabilidad Clásica

Se define la probabilidad de que un evento ocurra como:

Número de resultados en los que se presenta el evento / número total de resultados posibles.

Cada uno de los resultados posibles debe ser igualmente posible.

La probabilidad clásica, a menudo, se le conoce como probabilidad a priori, debido a que si utilizamos ejemplos previsibles como monedas no alteradas, dados no

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cargados y mazos de barajas normales, entonces podemos establecer la respuesta de antemano, sin necesidad de lanzar una moneda, un dado o tomar una carta. No tenemos que efectuar experimentos para poder llegar a conclusiones.

Este planteamiento de la probabilidad tiene serios problemas cuando intentamos aplicarlo a los problemas de toma de decisiones menos previsibles. El planteamiento clásico supone un mundo que no existe, supone que no existen situaciones que son bastante improbables pero que podemos concebir como reales. La probabilidad clásica supone también una especie de simetría en el mundo.

Probabilidad de Frecuencia relativa de presentación

En el siglo XIX, los estadísticos británicos, interesados en la fundamentación teórica del cálculo del riesgo de pérdidas en las pólizas de seguros de vida y comerciales, empezaron a recoger datos sobre nacimientos y defunciones. En la actualidad, a este planteamiento se le llama frecuencia relativa de presentación de un evento y define la probabilidad como:

La frecuencia relativa observada, de un evento durante un gran número de intentos, ó La fracción de veces que un evento se presenta a la larga, cuando las condiciones son estables.

Este método utiliza la frecuencia relativa de las presentaciones pasadas de un evento como una probabilidad. Determinamos qué tan frecuente ha sucedido algo en el pasado y usamos esa cifra para predecir la probabilidad de que suceda de nuevo en el futuro.

Cuando utilizamos el planteamiento de frecuencia relativa para establecer probabilidades, el número que obtenemos como probabilidad adquirirá mayor precisión a medida que aumentan las observaciones.

Una dificultad presente con este planteamiento es que la gente lo utiliza a menudo sin evaluar el número suficiente de resultados.

Probabilidades Subjetivas

Las probabilidades subjetivas están basadas en las creencias de las personas que efectúan la estimación de probabilidad. La probabilidad subjetiva se puede definir como la probabilidad asignada a un evento por parte de un individuo, basada en la

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evidencia que se tenga disponible. Esa evidencia puede presentarse en forma de frecuencia relativa de presentación de eventos pasados, o puede tratarse simplemente de una creencia meditada.

Las valoraciones subjetivas de la probabilidad permiten una más amplia flexibilidad que los otros dos planteamientos. Los tomadores de decisiones puede hacer uso de cualquier evidencia que tengan a mano y mezclarlas con los sentimientos personales sobre la situación.

Las asignaciones de probabilidad subjetiva se dan con más frecuencia cuando los eventos se presentan sólo una vez o un número muy reducido de veces.

Como casi todas las decisiones sociales y administrativas de alto nivel, se refieren a situaciones específicas y únicas, los responsables de tomar decisiones hacen un uso considerable de la probabilidad subjetiva.

Probabilidad Teórica:

Esta probabilidad se basa en la consideración de que los resultados de un experimento son igualmente posibles.

La probabilidad de que suceda un evento se calcula dividendo el número de resultados favorables entre el dividendo el número de resultados favorables entre el número total de resultados posibles

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4.2.1. CLÁSICA, CONDICIONAL (DEPENDIENTE E INDEPENDIENTE).

PROBABILIDAD CLÁSICA.

Es el número de resultados favorables a la presentación de un evento dividido entre el número total de resultados posibles. Asignación de probabilidad "a priori", si necesidad de realizar el experimento.

La probabilidad clásica o teórica se aplica cuando cada evento simple del espacio muestral tiene la misma probabilidad de ocurrir.

Fórmula:

Probabilidad de un evento=númerode resultados favorables al eventonúmerototal deresultados posibles

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PRBABILIDAD CONDICIONAL O CONDICIONADA:

Es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee “la probabilidad de A dado B”.

Fórmula:

se puede interpretar como, tomando los mundos en los que B se cumple, la fracción en los que también se cumple A. Si el evento B es, por

ejemplo, tener la gripe, y el evento A es tener dolor de

cabeza, sería la probabilidad de tener dolor de cabeza cuando se está enfermo de gripe.

Gráficamente, si se interpreta el espacio de la ilustración como el espacio de todos los mundos posibles, A serían los mundos en los que se tiene dolor de cabeza y B el espacio en el que se tiene gripe. La zona verde de la

intersección representaría los mundos en los que se tiene gripe y dolor de cabeza

.

En este caso , es decir, la probabilidad de que alguien tenga dolor de cabeza sabiendo que tiene gripe, sería la proporción de mundos con gripe y dolor de cabeza (color verde) de todos los mundos con gripe: El área verde dividida por

el área de B. Como el área verde representa y el área de B representa

a , formalmente se tiene que:

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PROBABILIDAD CONDICIONAL DEPENDIENTE:

La probabilidad condicional dependiente es cuando dos o más eventos, presentan una ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado expresión P(A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.

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PROBABILIDAD CONDICIONAL INDEPENDIENTE:

La probabilidad condicional independiente es cuando dos o más eventos son independientes, o sea cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.

Fórmula:

Si A y B soneventos independientes ,P ( A y B )=P ( A )∗P ( B )

Dónde:

A es el primer evento.

B es el segundo evento.

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4.3. SOLUCIÓN DE PROBLEMAS.

Ejemplo 1.

¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 3, en el lanzamiento de un dado? Si E: 4, 5, 6, entonces el número de resultados favorables es n (E) = 3.Si S: 1, 2, 3, 4, 5, 6, entonces el número total de resultados posibles es (S) = 6.

Por lo tanto:

Ejemplo 2.

56

http://1.bp.blogspot.com/_B7kvBOp5G_s/SN0V70PuZvI/AAAAAAAAABA/kCyQCurldPU/s1600-h/JMDC.gif


Ejemplo 3.

Ejemplo 4.

57


Ejemplo 5.

Ejemplo 6.

58


Ejemplo 7.

59


Ejemplo 8.

Ejemplo 9.

60


Ejemplo 10.

61


BIBLIOGRAFÍA.

Tema I

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“PROBABILIDAD”. Seymour Lipschutz y Marc Lipson. Ed. McGRAW-HILL .( Segunda edición)

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Tutorial de probabilidad y estadística.

Education

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