Bloc II: Geometria descriptiva

1 Instruments de dibuix tècnic

2 Fonaments geomètrics

3 Transformacions geomètriques

4 Polígons

5 Tangències i enllaços

6 Corbes

7 Sistemes de representació

8 Sistema acotat

9 Sistema dièdric (I). Fonaments

10 Sistema dièdric (II). Operativitat bàsica

11 Sistema axonomètric (I). Fonaments

12 Sistema axonomètric (II). Operativitat

13 Sistema cònic

ÍNDEX

C10

1124

Bloc I: Geometria plana

0 Introducció al dibuix tècnic

Bloc III: Normalització i croquisació

14 Normalització i croquisació

Apèndixs

O1

O2

O4

O3

T1

T2

T3

T4

r2

r1

r

r

r

r2 +r

r1 +r

Y

X

Z

A

B

C

D

E

F

G

H

Aula3D és el projecte educatiu més complet i global de Vicens Vives que

enriqueix i modernitza l’aprenentatge complementant el material educa-

tiu en format paper i format digital.

Amb EduBook3D BASIC, el llibre digital bàsic de Vicens Vives, millorem i

optimitzem el procés d’ensenyament i d’aprenentatge.

icensVivesVDTB1Dibuix tècnic

Recursos per al professorat

Aquestdocument és

protegit per laLlei. Se’n

prohibeix qualsevol reproducció total o parcial i la seva difusió per qualsevol mitjà si no ha estat expressament autoritzada per l’Edito

r. ©20

15, E

dicio

nes V

icen

sVi

ves,

S.A.

Dipò

sit l

egal

:Fa

bric

atpe

r:

PROGRAMACIÓ

icensVivesV

Aquestdocument és

protegit per laLlei. Se’n

prohibeix qualsevol reproducció total o parcial i la seva difusió per qualsevol mitjà si no ha estat expressament autoritzada per l’Edito

r. ©20

15, E

dicio

nes V

icen

sVi

ves,

S.A.

Dipò

sit l

egal

:Fa

bric

atpe

r:

ACTIVITATSI AVALUACIONS

icensVivesV

VicensVives

PROPOSTA CURRICULAR

• Objectius

• Continguts

• Criteris d’avaluació

• Competències

GUIA DIDÀCTICA

• Orientacions didàctiques

• Solucionari

• Recursos didàctics– Naveguem per Tiching

• Llibre digital

ACTIVITATS DE REFORÇ I D’AMPLIACIÓ (Fotocopiables)

AVALUACIONS INICIAL I FINAL (Fotocopiables)

CD PROGRAMACIÓ

CD ACTIVITATS - AVALUACIÓ

El dibuix tècnic es treballa en el llibre DTB 1, de primer curs de batxillerat, com a llenguatge

universal, per part de l’alumnat, en els seus dos nivells de comunicació: com a sistema per

entendre o interpretar la informació codificada i expressar-se o elaborar informació com-

prensible per part dels destinataris.

A primer es treballen les competències bàsiques relacionades amb el dibuix tècnic com a llen-

guatge de comunicació i instrument bàsic per a la comprensió, l’anàlisi i la representació de la

realitat. Per això, s’hi introdueixen gradualment tres grans blocs: Geometria, Sistemes de repre-

sentació i Normalització. Es tracta que l’estudiant tingui una visió global dels fonaments del dibuix

tècnic que li permiti aprofundir diversos aspectes d’aquesta matèria el curs vinent. Durant el segon

curs s’hi introdueix un altre bloc, anomenat Projecte, per a la integració de les habilitats que ha

adquirit en aquesta etapa.

DTB1Dibuix tècnic

DIVISIÓ DE BLOCS TEMÀTICS

ACTIVITATS

C. Riera PlanellsProfessor d’IESEnginyer de Camins, Canals i Ports

J. Rodríguez ComesArquitecte

DTB 1 · ISBN: 978-84-682-3204-1DTB 1 Activitats · ISBN: 978-84-682-3270-6DTB 1 Manual d’AutoCAD · ISBN: 978-84-682-3271-3

218

Nor

mal

itzac

ióic

roqu

itzac

ió

14 NORMALITZACIÓ I CROQUITZACIÓNormalització

1.3.4.3. Procediments d'acotació

ACOTACIÓ D'ELEMENTS LINEALS

• Se situen fletxes i xifra de cota entre les dues línies auxiliars de cota, si la longitud de la línia

de cota ho permet (figura 14.7a).

• Si les línies auxiliars de cota estan pròximes, se situen les fletxes per l'exterior, i la xifra de

cota entre ambdues fletxes (figura 14.7b).

• Si la xifra de cota no hi cap, se situa damunt de la línia de cota i a la dreta (figura 14.7c) o

s'indica amb una línia de referència (figura 14.7d).

ACOTACIÓ DE RADIS I DIÀMETRES (figura 14.8)

• S'acota un radi quan es tracta d'un arc més petit que la semicircumferència i s'acota un dià-

metre si es tracta d'una circumferència o d'un arc més gran que la semicircumferència.

• En el cas d'una semicircumferència, es pot acotar de qualsevol de les dues maneres: diàme-

tre o radi.

ACOTACIÓ D'ANGLES

• Se segueix elmateix criteri queper a les cotes lineals, és a dir, la xifra de cota se situadamunt de la línia

de cota, paral·lela a ella i centrada (figura 14.9a). En alguns casos, les cotes angulars es poden inscriure

horitzontalment si això en facilita la lectura (figura 14.9b)

ACOTACIÓ DE CORDES I ARCS DE CIRCUMFERÈNCIA

• Cordes. Se segueix el mateix criteri que per a les cotes lineals, és a dir, la xifra de cota se si-

tua damunt de la línia de cota, paral·lela a ella i centrada (figura 14.10a).

• Arcs de circumferència. Les línies auxiliars de cota són perpendiculars a la corda que defineix

l'arc i la línia de cota és paral·lela a aquest arc (figura 14.10b).

Figura 14.7. Acotació d'elements lineals.

figura 14.9. Acotació d'angles.

200

78 20

20

figura 14.7a figura 14.7b figura 14.7c figura 14.7d

90 90

90˚

15˚

30˚

100˚135˚

135˚

10

R 2 ∅ 4

10

20

20 20

55

40

45

35

Figura 14.8. Acotació de radis i diàmetres. Figura 14.10. Acotació de cordes i arcs de circumferència.

Geometria plana: s’hi expliquen elstraçats bidimensionals fonamentals i tam-bé les operacions geomètriques bàsiquesque es poden fer amb aquests traçats i laconstrucció de diversos polígons regulars.

132

Geo

met

riade

scrip

tiva

9 SISTEMA DIÈDRIC (I)Elements geomètrics bàsics

2.2. La recta

2.2.1. Representació de la recta

Una recta en l'espai queda definida mitjançant dos punts. Per això, per representar-laen el sistema dièdric, només cal conèixer dos punts d'aquesta recta, A i B. Unint lesprojeccions horitzontals, A1 amb B1, i les projeccions verticals, A2 amb B2, s'obtenenles projeccions horitzontal, r1, i vertical, r2, de la recta r damunt dels plans de projec-ció (figura 9.10).

2.2.2. Traces d'una recta

La traça horitzontal és la intersecció de la recta r amb el PHP, punt Hr. La traça verti-cal és la intersecció de la recta r amb el PVP, Vr.

NOTA: En el sistema dièdric directe s'utilitzen com a plans de projecció dos plans quals-sevol que siguin paral·lels a un diedre de referència, amb la qual cosa desapareixen lestraces de les rectes.

Per determinar les traces d'una recta definida per les seves projeccions, r1 i r2, es pro-cedeix de la manera següent: (figura 9.11):Traça horitzontal. Es troba prolongant la seva projecció vertical, r2, fins que talli la LT

a Hr2. Per Hr2 es dibuixa una perpendicular a la LT fins que talli la projecció r1 a latraça horitzontal Hr = Hr1

Traça vertical. Es troba prolongant la seva projecció horitzontal, r1, fins que talli la LTa Vr1. Per Vr1 es dibuixa una perpendicular a la LT fins que talli la projecció r2 a latraça vertical Vr = Vr2 .

Les traces d'una recta són els punts d'intersecció de la recta amb els plans princi-pals de projecció.

r1 Hr

Vr r2

r2Vr2

Vr1

Hr2

Hr1

r1

r

Figura 9.11. Traça horitzontal i traça vertical d'una recta.figura 9.10. Representació de la recta

A2

r2

r2

r1A1

A1

A2

B1

B2

r2

r1

A1

A2

B1

B2

r1

B1

B2

B

A

r

A2

r2

A1

r1

B1

B2

B

A

r

DDDC

DC

Geometria descriptiva: s’hi introduei-xen els sistemes de representació permitjà dels quals es construeixen vistesd’objectes (dièdriques, axonomètriques ocòniques) que els descriuen tridimensio-nalment amb precisió.

Geo

met

riapl

ana

93

6CORBESCorbes tècniques

3. CORBES TÈCNIQUESLes corbes tècniques es configuren mitjançant la unió d'arcs de circumferència quesón tangents entre ells, i que donen lloc a la formació de figures planes que podenser:Tancades. Aquelles corbes en què, si es considera un punt d'origen, aquest coinci-

deix amb el punt final. Per exemple, l'oval i l'ovoide.Obertes. Aquelles corbes que es poden traçar indefinidament sense que arribin a

coincidir el punt origen i el punt final. Per exemple, les espirals o l'envolupant delcercle.

3.1. Oval

3.1.1. Definició

L'oval és una corba plana i tancada, simètrica respecte dels seus dos eixos per-pendiculars i formada per quatre arcs de circumferència iguals dos a dos.

3.1.2. Construcció d'un oval òptim coneixent-ne els dos eixos

n Donats els dos eixos d'un oval AB i CD,es vol obtenir un cas particular, que ésl'oval òptim.

n Es traça un arc de centre a O amb radiOA que talla la prolongació de CD, eixmenor, en el punt 1. S'uneix A amb C i esdescriu un arc de radi C1 amb centre a Cfins que talla AC a 2.

Es dibuixa la mediatriu de A2, que tallael semieix menor OD en el punt O2, i elsemieix major OA en el punt O1. Es de-terminen els punts simètrics de O1 i O2

respecte dels eixos de l'oval, O3 i O4.S'uneixen els punts O1 i O3 amb O2 i O4.

n Es tracen els arcs de centre O1 i O3 ambradi O1A i O3B, , i s'obtenen els punts E,H, F i G.

Finalment, es dibuixen els arcs de centreO2 i O4 amb radi O2C i O4D fins als puntsde tangència traçats anteriorment: E, H,F i G. D'aquesta manera, queda determi-nat l'oval (figura 6.5).

3.1.3. Construcció d'un oval coneixent-ne l'eix major

n Donat el segment AB, es vol traçar unoval l'eix major del qual sigui aquestsegment.

n Aplicant el teorema de Tales (⇐ pàgina25) es divideix el segment AB en tresparts iguals i s'obtenen els punts O1 i O2.Amb centre en aquests punts i radi iguala 1/3 de AB, per exemple O1A, es tracendues circumferències que es tallen en elspunts O3 i O4.

S'uneixen mitjançant rectes els punts O3 iO4 amb O1 i O2, i s'obtenen així els qua-tre punts de tangència: C i D, i E i F.

n Amb centre a O1 i O2, respectivament, iradi O2E, es tracen dos arcs fins ques'uneixin els punts E amb F, i C amb D.D'aquesta manera, queda determinatl'oval (figura 6.6).

3.1.4. Construcció d'un oval coneixent-ne l'eix menor

n Donat el segment CD, es vol traçar unoval l'eix menor del qual sigui aquestsegment.

n Es traça una circumferència de diàmetreCD amb centre a O, punt mitjà d'aquestsegment. Es traça una perpendicular alsegment CD pel punt O i s'obtenen elspunts O1 i O2 per intersecció amb la cir-cumferència. S'uneixen C i D ambaquests punts i es prolonguen aquestesrectes.

n Amb radi CD i centre a C i D, respectiva-ment, es tracen dos arcs que determinen1 i 4, 2 i 3, punts de tangència entre elsarcs que formen l'oval.

Finalment, amb centre a O1 i a O2, i radiO1, es tracen els altres dos arcs per unir1 amb 2, i 3 amb 4, de manera que esdetermina l'oval (figura 6.7).

O3

O1

A

B

O2

O4

F

C

E

D

rO1A

rO1A

r O2E

Figura 6.6. Construcció d'un oval coneixent-ne l'eix major.

O1

C O

2

3

D

1

4

O2

rO11

rO11

rCD / 2

rCD

Figura 6.7. Construcció d'un oval coneixent-ne l'eix menor

Figura 6.5. Construcció d'un oval òptim co-neixent-ne els dos eixos.

B

O1

O3

O4

E

1

2

F

H

G

O2

A

COD

rOA

rO1A

rO3B

rO

4 D

r O 4D

r C1

Normalització i croquisació: en projectesde disseny, enginyeria, arquitectura..., perpermetre la transmissió fiable de dades tèc-niques entre diverses persones i professio-nals s’unifiquen criteris per mitjà del procésde normalització.

L’explicació d’alguns processos o construccions de figuresgeomètriques s’ha dividit en tres parts quan s’ha consideratconvenient, de manera que se’n visualitzin ràpidament lesdades de sortida, el procés intermedi i el resultat final:Presentació: plantejament inicial del procés amb les dades departida.Nus: desenvolupament del procés.Desenllaç: solució o resultat final del procés que s’ha explicat.

5 TANGÈNCIES I ENLLAÇOSTangències

1.3. Traçat de rectes tangents

1.3.1. Recta tangent a una circumferència per un punt que hi pertany

n Donats una circumferència de centre O iun punt P, que pertany a aquesta cir-cumferència, es vol traçar una recta tan-gent a la circumferència en el punt P.

n S'uneix el punt P amb el centre O de lacircumferència. Amb centre a P i radi POes traça un arc auxiliar que talla la cir-cumferència donada en el punt A. Ambcentre a A i radi PO es traça un arc quetalla l'anterior a B.

Anàlogament, amb centre a B i radi POes traça un altre arc que talla l'anterior is'obté el punt C.

n Unint els punts C i P, s'obté la recta tan-gent tg a la circumferència que passapel punt P (figura 5.3).

P

O

A

B

C

tg

r PO r PO

r PO

Figura 5.3. Recta tangent a una circumferèn-cia per un punt que hi pertany.

Al final de cada unitat didàctica l’alumnat pot trobar activitatsper poder repassar i posar en pràctica els coneixements que haadquirit prèviament. Aquestes activitats estan dividides en quatregrups:

• Qüestions teòriques: pensades perquè es contestin d’unamanera ràpida després de la primera lectura de la unitatcorresponent.

• Exercicis: avaluen els coneixements bàsics i imprescindiblesde cada unitat.

• Exercicis resolts: inclouen la resolució d’una manera visible.• Activitats estrella: apleguen uns quants exercicis clau en

una mateixa activitat.

CONTINGUTS COMPLEMENTARIS

• Biografies.• Conceptes.• Aplicacions.• Casos exemplars.• Curiositats.• El dia a dia de...

La navegació a, que és una de les va-na marítima, es basa en lareferència a pun s de costa (fars, caps,puntes, illots…).

Si es disposa de ts fixos i d'un instru-ment per mesurar s entre dos objectes,es pot conèixer an precisió la posiciód'un punt en un ta nàutica.Si, per exemple, es a bord d'un vaixell ise'n vol saber la po cta O, donats trespunts fixos A, B i Cmapa els segmentsmesur

Finalm

punt oposició

B

C

iatriu, bisectriu i arc capaç.APLICACIÓ L'arc capaç i la navegació marítima

Pitàgores de Samos (illa de Samos, 580 a.C. – Metapont, 495

a.C.) va ser un filòsof i matemàtic grec considerat el primer ma-

temàtic pur. Va contribuir d'una manera significativa a l'avenç

de les matemàtiques hel·lèniques, la geometria i l'aritmètica. El

pitagorisme va formular principis que van influir en el desenvo-

ca-

ció uncional dels nombres en el món objectiu i en la música.

També se li atribueixen altres descobriments, com ara la in-

commensurabilitat del costat i la diagonal del quadrat o el teo-

ema que porta el seu nom per als triangles r tangles.

BIOGRAFIA Pitàgores de Samos

EL DIA A DIA DE… Les corbes

Escala en espiral

Ombra hiperbòlica

Espiral de Fibonacci a les onades del mar

Antena parabòlica

Espiral a la closca d'un cargol

Els Museus Vaticans són les galeries i altres estances de valor artístic propietat de l'Esglésiacatòlica. Van néixer amb una petita col·lecció privada d'escultures pertanyents al papa Juli II(1503-1513). Els papes van ser els primers sobirans que van fer accessibles les sevescol·leccions d'art i els seus palaus a la cultura i al públic a la Ciutat del Vaticà.

Els Museus Vaticans tenen dues escales en espiral.

La primera escala va ser dissenyada per l'arquitecte italià Donato d'Angelo Bramante (Fer-mignano, 1444 - Roma, 1514) i s'hi podia pujar a cavall en casos d'urgència. Es tracta d'unarampa helicoïdal construïda a l'antic palau d'Innocenci VIII com un accés a les plantes supe-riors des d'un extrem del jardí de Belvedere, amb un punt de fuga únic a la part superior en-tre les columnes.

La segona escala va ser dissenyada el 1932 per l'arquitecte i enginyer italià Giuseppe Momo(Vercelli, 1875 - Torí, 1940). Aquesta escala és a la sortida dels Museus Vaticans i és l'últimaobra d'art que es contempla. Es tracta d'una escala de doble espiral i coberta de vidre, unaespiral de pujada per accedir a l'exposició i una altra de baixada que serveix de sortida delmuseu.

CAS EXEMPLAR L'escala de Giuseppe Momo als Museus Vaticans

132

Geo

met

ria

desc

ript

iva

9 SISTEMA DIÈDRIC (I)Elements geomètrics bàsics

2.2. La recta

2.2.1. Representació de la recta

Una recta en l'espai queda definida mitjançant dos punts. Per això, per representar-laen el sistema dièdric, només cal conèixer dos punts d'aquesta recta, A i B. Unint lesprojeccions horitzontals, A1 amb B1, i les projeccions verticals, A2 amb B2, s'obtenenles projeccions horitzontal, r1, i vertical, r2, de la recta r damunt dels plans de projec-ció (figura 9.10).

2.2.2. Traces d'una recta

La traça horitzontal és la intersecció de la recta r amb el PHP, punt Hr. La traça verti-cal és la intersecció de la recta r amb el PVP, Vr.

NOTA: En el sistema dièdric directe s'utilitzen com a plans de projecció dos plans quals-sevol que siguin paral·lels a un diedre de referència, amb la qual cosa desapareixen lestraces de les rectes.

Per determinar les traces d'una recta definida per les seves projeccions, r1 i r2, es pro-cedeix de la manera següent: (figura 9.11):Traça horitzontal. Es troba prolongant la seva projecció vertical, r2, fins que talli la LT

a Hr2. Per Hr2 es dibuixa una perpendicular a la LT fins que talli la projecció r1 a latraça horitzontal Hr = Hr1

Traça vertical. Es troba prolongant la seva projecció horitzontal, r1, fins que talli la LTa Vr1. Per Vr1 es dibuixa una perpendicular a la LT fins que talli la projecció r2 a latraça vertical Vr = Vr2 .

Les traces d'una recta són els punts d'intersecció de la recta amb els plans princi-pals de projecció.

r1 Hr

Vr r2

r2Vr2

Vr1

Hr2

Hr1

r1

r

Figura 9.11. Traça horitzontal i traça vertical d'una recta.figura 9.10. Representació de la recta

A2

r2

r2

r1A1

A1

A2

B1

B2

r2

r1

A1

A2

B1

B2

r1

B1

B2

B

A

r

A2

r2

A1

r1

B1

B2

B

A

r

DDDC

DC

Dièdric clàssic i dièdric directeL’elecció del sistema dièdric (clàssic i/o direc-te) no és una qüestió menor. En aquest llibres’ha optat per analitzar els dos mètodes amb elmateix grau de detall.

MATERIAL ADJUNT

Quadern d’activitats: Al Quadern d’activitats l’alumne hi trobaràexercicis complementaris que cobreixen una gamma més àmplia delscontinguts que s’han tractat a la unitat corresponent.

Manual d’AutoCAD: Al final de cada unitat hi ha una introduc-ció conceptual a les eines d’AutoCAD que tenen relació amb elscontinguts que s’han exposat. La finalitat és que l’alumne entengui elsconceptes i el nom d’alguns comandaments bàsics d’AutoCAD.Per a més indicacions concretes sobre la manera d’utilitzar aquestscomandaments adjuntem a aquest llibre el Manual d’AutoCAD.

Com a complement de la teoria, encapses d’un color diferent, l’alumnat hipot trobar diversos tipus de contingutsagrupats d’aquesta manera:

icensVivesV