ESO3

MATEMÁTICASORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS

APLICADAS

SUMA piezaS

J. C olera J iménez , M .ª J . Ol ive ira González ,

I . Gaztelu Albero , R . C olera Cañas

TRIMESTRE 1

MATE

MÁTI

CAS

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LAS

ENSE

ÑANZ

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ADAS

TRIM

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E 1ES

O

tu libroASÍ ES

Aprendizaje cooperativo

Compromiso ODS

Desarrollo del pensamientoPlan Lingüístico

Las

clav

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yect

o

ODS

Implícate en tu apren-dizaje y participa en el de todo el grupo; com-probarás que cooperar mejora el rendimien- to y la convivencia en clase.

Descubre los Objetivos de Desarrollo Sosteni-ble y forma parte ac-tiva de nuestro com-promiso para lograr un mundo más igualitario y habitable.

Trabaja estrategias de pensamiento: reflexio-na sobre los contenidos que estás aprendiendo, genera ideas, organí-zalas, priorízalas, ar-guméntalas, exponlas…

Pon en práctica tus destrezas comunicati-vas en los diferentes ti-pos de texto que te pro-ponemos. El lenguaje siempre está presente, ¡comunícate!

Apertura de unidad

Desarrollo de los contenidos y actividades

Cada unidad comien-za con una breve in-troducción histórica de los contenidos que vas a estudiar.

Los iconos incluidos en algunas actividades su-gieren la clave del pro-yecto que puede aplicar-se en cada caso.

Los contenidos más importantes están resaltados.

El desarrollo de la

unidad se dividen en

epígrafes, y estos en

subepígrafes.

Ejemplos. Para practicar los proce-dimientos más importantes.

Piensa y practica. Son ejercicios de aplicación directa de la teoría que se acaba de explicar.

Su lectura enmarca los contenidos dentro del desarrollo histórico de las matemáticas y sirve de motivación para comenzar su estudio.

Educación emocional

Cultura emprendedora TIC Evaluación

Orientación académica y profesional

Aprende a conocerte; identifica las situacio-nes que te generan emociones bloquean-tes y gestiónalas con experiencias de autoa-firmación constructiva.

Confía en tus aptitudes y conocimientos, de-sarrolla la creatividad, adáptate a las situacio-nes cambiantes y ten una actitud proactiva y responsable.

Aprende a obtener in-formación, seleccionar-la y aplicarla; a planifi-car, gestionar y elaborar trabajos; a colaborar en Red de forma ética y segura.

Descubre diversas es-trategias para anali-zar qué has aprendido y cómo lo has apren-dido; entrénate para asumir compromisos o superar dificultades.

Valora tus capacidades personales, descubre y despierta tu vocación, entrénate en la toma de decisiones y apren-de a orientarte entre distintas opciones.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

autoevaluación y curiosidades matemáticas

Ejercicios y problemas. Contemplan la aplicación de todos los contenidos que se han ofrecido a lo largo de la unidad.

Ejercicios y problemas resueltos. Se muestran estrategias, sugeren-cias, pistas y formas de pensar que te serán útiles para enfrentarte a la resolución de problemas similares.

Hazlo tú. Son ejercicios y proble-mas para que practiques las estra-tegias que se acaban de mostrar.

Curiosidades matemáticas. Aquí puedes encontrar lecturas, activi-dades, consejos, informaciones… para contemplar desde otro punto de vista la materia trabajada en la unidad correspondiente.

Están convenientemente clasificados y para cada uno de ellos se especifi-ca su grado de dificul-tad, de uno a tres.

Autoevaluación. Podrás

comprobar, intentando

resolver las actividades

que se te proponen, si

tu aprendizaje está

siendo el deseado.

www.anayaeducacion.es

el bancode recursos

ASÍ ES

Recursos relacionados con

LAS CLAVES del proyecto

Compromiso ODS, con microvídeos que te ayudarán a conocer cuáles son las metas para alcanzar los Objetivos de Desarrollo Sostenible trabajadas en el proyecto.

Plan Lingüístico, con infografías que te darán las pautas para abordar el trabajo por medio de distintos tipos de textos (descriptivo, narrativo, expositivo, etc.).

Desarrollo del pensamiento, donde se incorporan explicaciones sobre cómo aplicar las distintas estrategias de pensamiento planteadas en el proyecto.

Aprendizaje cooperativo, que incluye la descripción de las técnicas de apren-dizaje cooperativo propuestas en el proyecto.

Educación emocional, con orientaciones para superar la inquietud generada en diferentes situaciones de tu proceso de aprendizaje (inicio del curso, enfren-tarte a un examen, etc.).

TIC, mediante fichas que reforzarán tu uso saludable, correcto y seguro de las tecnologías de la información y la comunicación.

Orientación académica y profesional, con información sobre diferentes profe-siones vinculadas a los contenidos tratados en la asignatura.

Evaluación, se presentan orientaciones para hacer tu portfolio, así como rúbri-cas y dianas que facilitan tu autoevaluación.

ODS

0:40/1:33

Más sobre las claves

Un espacio con recursos, técnicas y actividades, diseñado para afianzar tus conocimientos.

Accede al banco de recursos regis-trándote en www.anayaeducacion.es. Solo necesitas tener un correo elec-trónico, el código que se indica en la primera página de este libro y el permiso de tu padre, madre, tutor o tutora legales.

Recursos DESTACADOS de la materia

Recursos clasificados

por unidades

Tutoriales Recursos teóricos Actividades con GeoGebra Glosario Aprende jugando Autoevaluaciones

Todos los recursos clasificados para que pue-das localizar fácilmente los relacionados con cada apartado de tu unidad.

LOS contenidos del curso

ASÍ SON

1. Fracciones, números fraccionarios y números racionales .............................................................................. 29

2. Forma fraccionaria y decimal de los números racionales .............................................................................. 30

3. La fracción como operador ........................................... 314. Equivalencia de fracciones ............................................ 325. Operaciones con fracciones .......................................... 346. Problemas con fracciones .............................................. 367. Fracciones con la calculadora ...................................... 38Ejercicios y problemas ........................................................ 40Autoevaluación ........................................................................ 43Curiosidades matemáticas .................................................. 43

Fracciones 2 Pág. 28

1. Operaciones con números naturales .......................... 112. Divisibilidad .......................................................................... 123. Números enteros ................................................................ 164. Números decimales .......................................................... 185. Aproximaciones y errores .............................................. 216. Números decimales y divisibilidad

con calculadora .................................................................. 22Ejercicios y problemas ........................................................ 24Autoevaluación ........................................................................ 27Curiosidades matemáticas .................................................. 27

Números naturales, enteros y decimales 1 Pág. 10

1. Potencias ................................................................................ 452. Potencias de exponente cero o negativo ................. 483. Raíces exactas ..................................................................... 504. Notación científica ............................................................ 51Ejercicios y problemas ........................................................ 54Autoevaluación ........................................................................ 57Curiosidades matemáticas .................................................. 57

Potencias y raíces 3 Pág. 44

1. Razones y proporciones ................................................... 592. Proporcionalidad simple ................................................. 603. Proporcionalidad compuesta ........................................ 624. Porcentajes ........................................................................... 645. Aumentos y disminuciones porcentuales ................ 66Ejercicios y problemas ........................................................ 68Autoevaluación ........................................................................ 71Curiosidades matemáticas .................................................. 71

Problemas aritméticos4 Pág. 58

1. Ecuaciones ............................................................................ 1012. Ecuaciones de primer grado ......................................... 1033. Ecuaciones de segundo grado ..................................... 1064. Resolución de problemas mediante ecuaciones ... 109Ejercicios y problemas ........................................................ 112Autoevaluación ........................................................................ 115Curiosidades matemáticas .................................................. 115

Ecuaciones7 Pág. 100

1. Ecuaciones con dos incógnitas .................................... 1172. Sistemas de ecuaciones lineales .................................. 1183. Resolución de sistemas de ecuaciones ..................... 1204. Resolución de problemas mediante

sistemas de ecuaciones ................................................... 124Ejercicios y problemas ........................................................ 126Autoevaluación ........................................................................ 131Curiosidades matemáticas .................................................. 131

Sistemas de ecuaciones8 Pág. 116

Secuencias numéricas5 Pág. 72

1. Sucesiones ............................................................................ 732. Progresiones aritméticas ................................................. 763. Progresiones geométricas ............................................... 78Ejercicios y problemas ........................................................ 80Autoevaluación ........................................................................ 83Curiosidades matemáticas .................................................. 83

1. Expresiones algebraicas ................................................. 872. Monomios ............................................................................. 883. Polinomios ............................................................................ 904. Identidades .......................................................................... 93Ejercicios y problemas ........................................................ 96Autoevaluación ........................................................................ 99Curiosidades matemáticas .................................................. 99

El lenguaje algebraico 6 Pág. 86

1. Transformaciones geométricas. Movimientos ........ 2012. Traslaciones .......................................................................... 2023. Giros. Figuras con centro de giro ................................ 2044. Simetrías axiales. Figuras con ejes de simetría ...... 2065. Composición de movimientos ...................................... 2086. Mosaicos, cenefas y rosetones ..................................... 210Ejercicios y problemas ........................................................ 213Autoevaluación ........................................................................ 215Curiosidades matemáticas .................................................. 215

Movimientos en el plano. Frisos y mosaicos13 Pág. 200

1. Cómo nos llegan las estadísticas ................................. 2192. El proceso que se sigue en estadística ..................... 2203. Variables estadísticas ....................................................... 2214. Población y muestra ......................................................... 2225. Confección de una tabla de frecuencias .................. 2246. Gráfico adecuado al tipo de información ................. 226Ejercicios y problemas ........................................................ 229Autoevaluación ........................................................................ 231Curiosidades matemáticas .................................................. 231

Tablas y gráficos estadísticos 14 Pág. 218

1. ¿Qué deben medir los parámetros estadísticos? .. 2332. Dos tipos de parámetros estadísticos ....................... 2343. Cálculo de x– y q en tablas de frecuencias ........... 2364. Interpretación conjunta de x– y q ............................... 2385. Parámetros de posición: mediana y cuartiles .......... 2406. Obtención de x– y q con la calculadora ................ 242Ejercicios y problemas ........................................................ 244Autoevaluación ........................................................................ 247Curiosidades matemáticas .................................................. 247

Parámetros estadísticos15 Pág. 232

1. Cómo se presentan las funciones ............................... 1352. Las funciones y sus gráficas .......................................... 1363. Aspectos relevantes de una función .......................... 1384. Expresión analítica de una función ............................. 142Ejercicios y problemas ........................................................ 144Autoevaluación ........................................................................ 147Curiosidades matemáticas .................................................. 147

9 Funciones. Características Pág. 134

1. Función de proporcionalidad y = mx ........................ 1492. Función lineal y = mx + n ................................................ 1513. Aplicaciones de la función lineal.

Problemas de movimientos ............................................ 1544. Estudio conjunto de dos funciones lineales ............. 1555. Parábolas y funciones cuadráticas ............................... 156Ejercicios y problemas ........................................................ 158Autoevaluación ........................................................................ 161Curiosidades matemáticas .................................................. 161

Funciones lineales y cuadráticas10 Pág. 148

1. Poliedros y cuerpos de revolución ............................... 1852. Prismas .................................................................................. 1863. Pirámides .............................................................................. 1884. Poliedros regulares ........................................................... 1905. Cilindros ................................................................................ 1916. Conos ..................................................................................... 1927. Esferas .................................................................................... 1938. Coordenadas geográficas .............................................. 194Ejercicios y problemas ........................................................ 196Autoevaluación ........................................................................ 199Curiosidades matemáticas .................................................. 199

Figuras en el espacio12 Pág. 184

Elementos de geometría plana11 Pág. 164

1. Dos rectas importantes ................................................... 1652. Relaciones angulares ........................................................ 1663. Figuras semejantes ........................................................... 1684. Triángulos semejantes. Teorema de Tales ................ 1705. Teorema de Pitágoras ...................................................... 1726. Áreas de los polígonos .................................................... 1767. Áreas y perímetros de algunas figuras curvas ....... 178Ejercicios y problemas ........................................................ 179Autoevaluación ........................................................................ 183Curiosidades matemáticas .................................................. 183

aritméticaBLOQUE 1

aritméticaBLOQUE 1 1 números naturales, enteros y decimales

2 fracciones

3 potencias y raíces

4 problemas aritméticos

5 secuencias numéricas

1Números naturales, enteros y decimales

10

Primero, los naturales

Desde los albores de la civilización, la humanidad ha ideado herramientas para controlar el medio en el que vive. Una de estas herramientas, en el ámbito intelectual, han sido los números. Inicialmente, los números se utilizaban para contar cantidades naturales (rebaños, frutos, monedas…), y los sistemas de numeración que se idearon eran tan rudimentarios como hacer muescas en un cayado o dibujar dedos y manos.

Después, los enteros (+, –)…

Con el desarrollo del comercio y la relación entre deber (deuda) y haber (tener), surgió la necesidad de utilizar los números negativos y el cero (la nada), práctica que se sistematizó en India en el siglo vii. Los números negativos, originalmente llamados deudos o absurdos, llega-ron a Occidente a través de la civilización árabe. Para distinguirlos de los naturales, se empezó a utilizar una «m» (del latín minus), y no fue hasta la publicación de un tratado del alemán Stifel (1487-1567) cuando aparece la notación +, – para diferenciar los positivos de los negativos. Por su parte, el matemático italiano Cardano (1501-1576) los llamaba números falsos, pero los estudió en profundidad en su obra Ars Magna. No fue hasta los aportes del matemático suizo Euler (1707-1783), que comen-zaron a ser usados regularmente.

… y los decimales

La notación específica para los números decimales apareció en Europa en el siglo xvi. El flamenco Stevin (1548-1620) escribía tras cada cifra el orden de unidades entre paréntesis: décimas (1), centésimas (2), etc. Fue el escocés Napier (1550-1612) quien empezó a separar la parte entera de la decimal con un punto o una coma, tal como seguimos haciendo en la actualidad.

1Unidad

11

OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALESEmpecemos recordando el cálculo de expresiones con números naturales.

ãOperaciones combinadasEn las expresiones con operaciones combinadas es necesario respetar el orden prefijado en la normativa matemática, pues no se obtiene el mismo resultado realizando primero unas operaciones que realizando otras. Observa estas expresiones con los mismos números y las mismas operaciones, pero con significados diferentes:• 3 + 4 · 5 = 3 + 20 = 23 → Hemos realizado primero la multiplicación.• (3 + 4) · 5 = 7 · 5 = 35 → Hemos realizado primero la suma (lo indicaba el

paréntesis).

➜ prioridad de las operaciones

1.° Los paréntesis ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 8 + 4 · (5 – 2)2 = 8 + 4 · 32

2.° Las potencias ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 8 + 4 · 32 = 8 + 4 · 9 3.° Las multiplicaciones y las divisiones ⎯⎯→ 8 + 4 · 9 = 8 + 364.° Las sumas y las restas ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 8 + 36 = 44

1

Piensa y practica

1 Resuelve las expresiones siguientes en el orden en que aparecen: a) 13 – 2 · 5b) 2 + 6 · (13 – 2 · 5)c) 2 + 6 · (13 – 2 · 5) – 7 · 2

2 Resuelve.a) 5 · 3 – 2 · 6b) (14 – 9) · 3 – (22 – 20) · 6c) (7 · 2 – 9) · 3 – (22 – 5 · 4) · 6

3 Calcula y comprueba que los resultados de los cuatro apartados son diferentes.a) 3 · 23 – 7 + 1 b) 3 · 23 – (7 + 1)c) 3 · (23 – 7) + 1 d) 3 · (23 – 7 + 1)

4 Calcula paso a paso y comprueba que el valor de cada una de estas expresiones es cero:a) 14 – 2 · (52 – 3 · 6)b) 35 – 2 · 42 – (23 – 10 : 2)c) (62 : 4 + 2) – (62 – 52)

8 + 4 · (5 – 2)2

8 + 4 · 32

8 + 4 · 9

8 + 36

44

Ejemplo

Ejercicio resuelto

Calcular el valor de estas operaciones:

a) 7 – 2 · 3 + 5 · (14 – 6) – 33 : (7 + 4) b) 25 – 3 · 22 + 4 : (12 – 10)2

Señalamos en cada paso, en rojo, las operaciones que vamos a realizar, y de-jamos las otras indicadas.a) 7 – 2 · 3 + 5 · (14 – 6) – 33 : (7 + 4) = 7 – 2 · 3 + 5 · 8 – 33 : 11 = = 7 – 6 + 40 – 3 = 38b) 25 – 3 · 22 + 4 : (12 – 10)2 = 25 – 3 · 22 + 4 : 22 = 25 – 3 · 4 + 4 : 4 = = 25 – 12 + 1 = 14

12

DIVISIBILIDAD2Recuerda, a continuación, algunos conceptos relativos a la divisibilidad que ne-cesitarás manejar en las unidades que siguen.

ãMúltiplos y divisores6 es divisor de 18 porque la división 18 : 6 es exacta. Por lo mismo, decimos que 18 es múltiplo de 6. En general:

b es divisor de a o bien

si la división a : b es exacta.

a es múltiplo de b

ãNúmeros primos y números compuestosUn número es primo si tiene solo dos divisores: él mismo y la unidad.Los números primos menores que 50 son:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47Un número que no es primo es compuesto, y se puede expresar como producto de factores distintos de él mismo y de la unidad. Por ejemplo:

6 = 2 · 3 15 = 3 · 5 77 = 7 · 11 102 = 2 · 3 · 17El número 1 no se considera primo. Obviamente, tampoco es compuesto.

ãRecuerda los criterios de divisibilidad• Un número es divisible entre 2 (es par) si termina en 0, 2, 4, 6 u 8.

26 = •2 134 =

•2 57 ≠

•2

• Un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de tres.57 =

•3 144 =

•3 143 ≠

•3

(5 + 7 = 12 = •3) (1 + 4 + 4 = 9 =

•3) (1 + 4 + 3 = 8 ≠

•3)

• Un número es divisible entre 5 si termina en 0 o en 5.65 =

•5 180 =

•5 157 ≠

•5

• Un número es divisible entre 10 si termina en 0.80 =

•10 230 =

•10 157 ≠

•10

• Un número es divisible entre 11 si la suma de las cifras de lugar par, menos la suma de las cifras de lugar impar, es cero o múltiplo de 11.

3 256 = •11 5 146 ≠

•11

(3 + 5) – (2 + 6) = 0 (5 + 4) – (1 + 6) = 2

Los divisores de un número se pue-den emparejar de dos en dos. Por ejemplo, los divisores de 18:

1 y 18; 2 y 9; 3 y 6El producto de cada dos de ellos es 18.Análogamente, con los divisores de 36: 1 y 36; 2 y 18; 3 y 12; 4 y 9; 6 y 6

El 6 se empareja consigo mismo.

Ten en cuenta

Para saber si b es divisor de a, se comprueba si el cociente a : b es exacto, pero cuando b es 2, 3, 5, 10 u 11, podemos saberlo, sin efectuar la división, aplicando los criterios de divisibilidad.

Regla práctica

Para indicar que n es múltiplo de a, ponemos n = •a.

Notación

Piensa y practica

1 ¿Cuáles de estos números son múltiplos de 2 y tam-bién de 5? ¿Cuáles son múltiplos de 10?

34 35 40 72 85 90 108 115 1402 Comprueba si 528 es múltiplo de 2, 3, 5, 11, 13 y 17.3 Inventa un número que sea múltiplo de 2, 3 y 5 a la

vez, pero que no sea el menor.

4 Un número es divisible entre 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. a) A partir de este criterio, encuentra entre estos nú-

meros los múltiplos de 9:71 75 108 130 141 555 882 960

b) ¿Cuáles son múltiplos de 3?

13

1Unidad

Piensa y practica

5 Averigua, como hemos hecho más arriba, si alguno de los siguientes números es primo:

a) 83 b) 91 c) 107 d) 139 e) 221

6 Escribe los primos comprendidos entre 50 y 70.

7 Indica por qué cada uno de los siguientes números es compuesto:

a) 111 b) 207 c) 990

8 ¿Es divisible el número 109 por 2, 3 o 5? ¿Y por 9? ¿Y por 10?

9 Descompón en factores primos los siguientes núme-ros, teniendo en cuenta los criterios de divisibilidad:12, 15, 16, 18, 30, 100, 126, 168, 90, 125, 150, 528

10 Completa los huecos en tu cuaderno:a) 3 780 = 2 · 3 · 5 · b) 273 273 = · 7 · · 13

Averigua cuáles de los siguientes nú-meros son primos:a) 223 b) 351 c) 847d) 317 e) 1 029 f ) 409

Números primos

ã ¿Cómo averiguar si un número es primo?Veámoslo con un ejemplo: 113• No es múltiplo de 2.• No es múltiplo de 3, ya que 1 + 1 + 3 = 5 ≠

•3.

• Tampoco es múltiplo de 5.• ¿Es múltiplo de 7? 113 7 No lo es.

43 16 1

• No es múltiplo de 11, ya que (1 + 3) – (1) = 3 ≠ •11.

Ya no es necesario buscar más porque al dividir el número entre 11, el cociente, 10, es menor que el divisor, 11. 113 11 10 < 11 03 10 cociente 3 menor que divisor

ãDescomposición de un número en factores primosPara descomponer un número en factores primos, comenzamos dividiéndolo por uno de sus divisores primos. Después, hacemos lo mismo con el cociente obteni-do, repitiendo el proceso hasta obtener la unidad en el cociente.Ejemplo

Descomponemos el número 504.Así, de entrada, vemos que es divisible entre 2 y entre 3. Empezamos dividiendo por esos números tantas veces como sea posible:

504 2 252 2

126 2 63 3

21 3 7 7 1

504 2 252 2 126 2 63 3 21 3 7 7 1

Regla práctica

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 23 · 32 · 7El orden en que se toman los divisores es indiferente, pero por una cuestión de organización se suele empezar por los más pequeños.

Factores primos de 588

588 2 294 2 147 3 49 7 7 7 1

588 = 22 . 3 . 72

14

2 DIVISIBILIDAD

El número 60 es múltiplo común de 6 y de 10. También es múltiplo co-mún, por ejemplo, 60 000 000. Ob-serva que podemos encontrar múlti-plos comunes a 6 y a 10 tan grandes como queramos. No hay ninguno que sea el mayor de todos.

¿Por qué no hablamos del «máximo común múltiplo»?

ãMínimo común múltiplo de varios númerosVeamos algunos números que son simultáneamente múltiplos de 6 y de 10:Evidentemente, 60 es múltiplo de 6 y de 10. Es decir, es un múltiplo común.También son múltiplos comunes a 6 y a 10:

el 90, el 120, el 30, el 600…El menor de todos ellos es el 30. Decimos que el mínimo común múltiplo de 6 y 10 es 30.

El menor de los múltiplos comunes a dos o más números se llama su mínimo común múltiplo. Y se escribe así:

mínimo común múltiplo de a, b y c = mín. c. m. (a, b, c)

Es muy importante saber calcular el mínimo común múltiplo de varios números mediante sus descomposiciones en factores primos. Veamos cómo se hace: • Se descomponen los números en factores primos.• Se toman todos los factores presentes en esas descomposiciones (sean comu-

nes o no comunes), cada uno con el mayor exponente con el que aparece.• Se multiplican todos los factores tomados. El resultado es el mínimo común

múltiplo.

EjemploCalculamos el mínimo común múltiplo de 24, 36 y 45.

2412631

2223

31

22

3

36189 3

145551

335

···

24 2 336 2 345 3 5

3

2 2

2

===

_

`

a

bb

b mín. c. m. (24, 36, 45) = 23 · 32 · 5 = 360

El mínimo común múltiplo de 24, 36 y 45 es 360.

Ejemplo

Calculamos el mínimo común múltiplo de 18, 36 y 12. Como uno de ellos, el 36, es múltiplo de los otros dos, de 18 y de 12, entonces mín. c. m. (18, 36, 12) = 36.

15 → 15 - 30 - 45 - 60 - 75 - 90 - 105…21 → 21 - 42 - 63 - 84 - 105…

mín. c. m (15, 21) = 105

mín. c. m. (15, 21)

Piensa y practica

11 Calcula.a) mín. c. m. (12, 18) b) mín. c. m. (12, 30)c) mín. c. m. (18, 30) d) mín. c. m. (12, 15, 18)e) mín. c. m. (12, 15, 30) f ) mín. c. m. (12, 18, 30)

12 Calcula mentalmente el mín. c. m. de:a) 8 y 12 b) 20 y 30 c) 6, 8 y 12d) 4, 10 y 15 e) 2, 4, 5 y 8 f ) 4, 6, 9 y 12

13 Calcula.a) mín. c. m. (126, 168) b) mín. c. m. (90, 125, 150)

14 ¿Verdadero o falso?a) El mín. c. m. de tres números, a, b y a · b, es

a · b.b) Si dos números no tienen factores primos en co-

mún, su mín. c. m. es el producto de ellos.c) El mín. c. m. de tres números primos distintos es 1.

1Unidad

15

Está claro que el 1 es siempre divisor común de dos números. Por tanto, sería una tontería preguntar cuál es el «mínimo común divisor» de dos o más números: seguro que es el 1.

¿Por qué no hablamos del «mínimo común divisor»?

ãMáximo común divisor de varios númerosVeamos algunos números que son divisores tanto de 60 como de 100:Evidentemente, 10 es divisor de 60 y de 100. Es decir, es un divisor común. También son divisores comunes a 60 y a 100:

el 1, el 2, el 4, el 5 y el 20.El mayor de todos ellos es el 20. El 20 es, pues, el máximo común divisor de 60 y 100.

El mayor de los divisores comunes a dos o más números se llama su máximo común divisor. Y se escribe así:

máximo común divisor de a, b y c = máx. c. d. (a, b, c)

Es muy importante saber calcular el máximo común divisor de varios números mediante sus descomposiciones en factores primos. Veamos cómo se hace: • Se descomponen los números en factores primos.• Se toman solamente los factores primos comunes, elevado cada uno al me-

nor exponente con que aparecen.• Se multiplican todos los factores tomados. El resultado es el máximo común

divisor.

Ejemplo

Calculamos el máx. c. d. (240, 660, 360).

24012060301551

222235

00

1

22

66331655511

3511

1 0

1551

222

35

36089045 3

240 2 3 52 3 5 112 3 5

660360

···

4

2

3 2

$

$ $

$

===

_

`

a

bb

b máx. c. d. (240, 660, 360) = 22 · 3 · 5 = 60

El máximo común divisor de 240, 660 y 360 es 60.

Piensa y practica

15 Calcula el máx. c. d. de:a) 12 y 18 b) 12 y 30 c) 18 y 30d) 30, 60 y 45 e) 12, 15 y 30 f ) 60, 100 y 140

16 Si a es divisor de b y b es divisor de c, ¿cuál es el máximo común divisor de a, b y c ?

17 Si a es múltiplo de b y b es múltiplo de c, ¿cuál es el máximo común divisor de a, b y c ?

18 Calcula mentalmente el máx. c. d. de:a) 8 y 12 b) 20 y 30 c) 6, 8, y 12d) 60, 15 y 30 e) 1, 11 y 22 f ) 4, 6, 8 y 10

19 Calcula.a) máx. c. d. (630, 720)b) máx. c. d. (315, 420, 273)c) máx. c. d. (31 500, 42 000, 27 300)

Hallamos el máx. c. d. de 60 y 100:Divisores de 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60Divisores de 100:

1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100máx. c. d. (60, 100) = 20

máx. c. d. (60, 100)

16

NÚMEROS ENTEROS3El manejo ágil de los números positivos y negativos, que vamos a revisar ahora, será imprescindible para poder seguir avanzando en tu aprendizaje matemático.

ãEl conjunto Z de los números enterosSi al conjunto de los números naturales le añadimos sus opuestos (los negativos), obtenemos el conjunto de los números enteros, que se designa por la letra Z.

… –10 … –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 … 10 …

Z = {…, – 4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

➜ El valor absoluto de un número es el tamaño de ese número, prescindiendo de su signo. Por ejemplo:

|–5| = 5 |5| = 5

ã Suma de números enteros ➜ Para sumar dos números del mismo signo, se suman sus valores absolutos y se pone el signo que tenían los números. Por ejemplo:

7 + 5 = +12 (–7) + (–5) = –12

➜ Para sumar dos números de distinto signo, se restan sus valores absolutos y se pone el signo del que tenga mayor valor absoluto. Por ejemplo:

–5 + 7 = 2 5 + ( –7) = –2

➜ Al quitar un paréntesis precedido del signo +, los signos de los sumandos interiores quedan como estaban. Pero si está precedido del signo –, cada uno de los signos de los sumandos interiores cambia. Por ejemplo:

+(–5) = –5 – (–2) = 2 – (4 – 5 + 1) = – 4 + 5 – 1

Piensa y practica

1 Calcula.a) –5 – 12 + 8 – 6 + 4 – 3b) +(+8) + (–6) – (+5) – (–2) + (–3)c) (12 – 15 + 9 – 7) – (2 – 13 + 6 – 1) d) (–9) – (9 – 11) + (–8) – (10 – 7)

2 Hemos ido midiendo la temperatura en un cierto lugar a diferentes horas del día, observando estas va-riaciones: subió 2 °C, después bajó 3 °C y luego bajó otros 5 °C.Si inicialmente había –1 °C, ¿cuál fue la temperatura final?

¿Por qué la letra Z para designar el conjunto de los números enteros?En alemán, número se escribe zahl.

De dónde viene…

0, 1, 2, 3, 4, 5, …

–1, –2, –3, –4, –5, …

ZN

Ejercicio resuelto

Calcular el valor de las siguientes expresiones:a) 2 – 6 – 4 + 7 – 12 + 5 – 11 b) (–6) + (+4) + (–8) – (+1) – (–7)c) 13 – (6 – 4) + (3 – 11) – (–7)a) 2 – 6 – 4 + 7 – 12 + 5 – 11 = 2 + 7 + 5 – 6 – 4 – 12 – 11 = 14 – 33 = –19b) (–6) + (+4) + (–8) – (+1) – (–7) = –6 + 4 – 8 – 1 + 7 = 4 + 7 – 6 – 8 – 1 =

= 11 – 15 = – 4c) 13 – (6 – 4) + (3 – 11) – (– 7) = 13 – 6 + 4 + 3 – 11 + 7 =

= 13 + 4 + 3 + 7 – 6 – 11 = 27 – 17 = 10

17

1Unidad

Piensa y practica

3 Resuelve expresando el proceso paso a paso.a) 5 – 6 [(12 – 9) + (7 – 11)]b) 21 + 4 [1 + 2 · (6 – 10)]c) 15 – 3 [5 · (2 – 8) – (–14)]d) 5 – 32 : [9 : (7 – 10) + (–5)]e) 7 – 2 · [(3 – 8) : (–5) + 3]f ) 3 – (– 4) · (–6) – [(5 – 9) · (–2) + 1] · (–3)

4 Resuelve.a) (–5)2 + (– 4)3

b) (4 – 1)3 + (1 – 4)3

c) (7 – 2)2 + (2 – 7)2

d) (3 – 7)2 + (3 – 4)3 + (–3)3

e) (1 – 7)2 – (7 – 5)3 + (3 – 5)5

f ) (12 – 4 – 5)4 – [(2 – 6)2 – (1 – 5)3]

ãMultiplicación y división de números enteros ➜ Para multiplicar números enteros, recordamos la «regla de los signos» (la tienes a la izquierda). • El resultado de multiplicar dos números del mismo signo es positivo.

(+4) · (+3) = +12 (–2) · (–7)= +14• El resultado de multiplicar dos números de distinto signo es negativo.

(+4) · (–3) = –12 (–2) · (+7)= –14

➜ En la división se aplica la misma regla de los signos que en la multiplicación. (+12) : (+4) = +3 (–30) : (–5) = +6(+18) : (–3) = –6 (–20) : (+4) = –5

ãPotencias de números enterosAl elevar un número negativo a una potencia, si el exponente es par, el resulta-do es positivo; y si el exponente es impar, el resultado es negativo.

(–2)4 = 16 (–2)5 = –32 Pero, –24 = –(24) = –16

ãOperaciones combinadasLas operaciones combinadas con números enteros las realizamos siguiendo las mismas normas que aplicábamos con los números naturales.

,

,

– –– –

– – –

MISMO SIGNO RESULTADO

DISTINTO SIGNO RESULTADO

$

$

$

$

+ +=+=+ +

+ =+=

2

2

Regla de los signos

anayaeducacion.es Actividades para repasar las operaciones con números enteros.

anayaeducacion.es Actividades para reforzar las operaciones con números enteros.

Ejercicio resuelto

Calcular el valor de estas expresiones:

a) 12 – 2 · [25 : (–4 – 1) + (–2) – (6 – 10)]

b) –5 + 4 · (–2 + 1)3 – (–9 + 6)2

Señalamos en cada paso, en rojo, las operaciones que vamos a realizar, y de-jamos las otras indicadas.a) 12 – 2 · [25 : (– 4 – 1) + (–2) – (6 – 10)] = 12 – 2 · [25 : (–5) – 2 – (– 4)] =

= 12 – 2 · [–5 – 2 + 4] = 12 – 2 · (–3) = 12 + 6 = 18b) –5 + 4 · (–2 + 1)3 – (–9 + 6)2 = –5 + 4 · (–1)3 – (–3)2 =

= –5 + 4 · (–1) – 9 = –5 – 4 – 9 = –18

18

NÚMEROS DECIMALES4 ãOperaciones con decimales

En muchas situaciones de tu vida cotidiana, te encontrarás en la necesidad de interpretar y manejar números decimales. A continuación, te hacemos una serie de propuestas para que recuerdes algunos aspectos sobre ellos y sus operaciones:

➜ propuesta 1. Calcula mentalmente.a) 151,56 + 82,44 b) 123,47 – 12,25c) 12,8 + 3,2 – 5,1 d) 25,4 – 15,2 + 5,8e) 0,347 · 100 f ) 3,482 : 100g) 34,25 · 0,01 h) 34,25 : 0,01i) 14,8 · 0,5 j) 24 · 0,25k) 14,8 : 0,5 l) 2,4 : 0,25

➜ propuesta 2. Calcula mentalmente.a) ¿Cuánto le falta a 0,85 para llegar a 1?b) ¿Cuánto le falta a 3,26 para llegar a 4?c) ¿Cuánto le falta a 15,21 para llegar a 16?d) ¿Cuánto le falta a 12,36 para llegar a 12,4?e) ¿Cuánto le falta a 5,84 para llegar a 5,9? ¿Y a 6?

➜ propuesta 3. Recuerda las normas para interpretar las expresiones con opera-ciones combinadas y calcula.a) 0,25 · 100 – 1,75 · 10 b) 2 – 0,5 · (6,4 – 2,32) c) (0,6 – 1,61 : 4,69) · 10d) 6,35 · 0,3 + 0,25 · (1,7 – 2,4)e) 1,88 – 1,3 · [0,1 · 3 – 5,25 : (3,41 + 3,59)]

➜ propuesta 4.

Observa cómo estimamos el resultado de dividir 14,89 entre 1,48:— Aproximamos las cantidades: 14,89 → 15; 1,48 → 1,5— Como 15 : 1,5 = 10, el resultado de 14,89 : 1,48 será próximo a 10.Si ahora realizamos la operación exacta, 14,89 : 1,48 = 10,06081…, vemos que el error cometido en la estimación ha sido menor que una décima.Ahora, inténtalo tú. Estima mentalmente el resultado; después, calcula y compara.a) 6,974 · 2,01b) 2,975 : 1,02c) (3,978 + 4,0125) · 4,986d) (15,034 – 2,99) · (3,101 + 2,973)

Calcula mentalmente.a) 1,5 + 0,25 b) 3,25 + 2,2c) 2,75 – 0,5 d) 3 – 2,8e) 2,75 · 100 f ) 3,2 : 10g) 6 · 0,5 h) 6 · 0,25i) 4,8 : 2 j) 4,8 : 4

Aún más sencillo

Calcula mentalmente.a) ¿Cuánto le falta a 0,5 para llegar a

1?b) ¿Cuánto le falta a 2,6 para llegar a

3?

Aún más sencillo

Estima mentalmente, calcula y des-pués compara.a) 2,9 · 3,1b) 5,99 : 1,9c) (4,9 + 1,01) · 2,99

Aún más sencillo

19

1Unidad

ãProblemas con números decimales

➜ problema 1

Para conseguir 3,60 €, calcula:

a) ¿Cuántas monedas de veinte céntimos (0,20 €) necesitamos?

b) ¿Cuántas de diez céntimos (0,10 €)?

c) ¿Cuántas de cinco céntimos (0,05 €)?

a) 3,60 : 0,20 = 36 : 2 = 18 Necesitamos 18 monedas de veinte céntimos.b) 3,60 : 0,10 = 36 : 1 = 36 Necesitamos 36 monedas de diez céntimos. (También podríamos haber pensado que necesitamos el doble de monedas

de diez que de veinte céntimos, 18 · 2 = 36).c) 3,60 : 0,05 = 360 : 5 = 72 Necesitamos 72 monedas de cinco céntimos (el doble que de monedas de

diez céntimos).

➜ problema 2

¿Cuánto cuesta una caja de manzanas de 10 kilogramos, si por 3,5 kg hemos pagado 4,34 €?

Coste de un kilo → 4,34 : 3,5 = 1,24 €Coste de 10 kilos → 1,24 · 10 = 12,40 €

Una caja de 10 kg de manzanas cuesta 12,40 €.

➜ problema 3

Rosa compró en la frutería 0,645 kg de manzanas a 1,35 €/kg; 1,245 kg de peras a 1,25 €/kg, y 2,25 kg de naranjas a 0,95 €/kg. Sabiendo que llevaba 8,56 €, ¿cuánto dinero le sobró?

Gasto en manzanas → 0,645 · 1,35 = 0,87075 → 0,87 €Gasto en peras → 1,245 · 1,25 = 1,55625 → 1,56 €Gasto en naranjas → 2,25 · 0,95 = 2,1375 → 2,14 €Gasto total: 0,87 + 1,56 + 2,14 = 4,57 €Dinero que le sobró: 8,56 – 4,57 = 3,99 €

A Rosa le sobraron 3,99 €.Podríamos haber escrito todas las operaciones anteriores en una misma expre-sión. Observa cómo:

8,56 – (0,645 · 1,35 + 1,245 · 1,25 + 2,25 · 0,95) = = 8,56 – (0,87075 + 1,55625 + 2,1375) = = 8,56 – 4,5645 = 3,9955 → 4 €

(El céntimo de diferencia entre los dos resultados se debe a los distintos mo-mentos en que se han hecho los redondeos. En la vida real, el resultado que se tome dependerá de las normas establecidas en el comercio).

Comprueba que es lo mismo:a) Dividir entre 0,5 que multiplicar

por 2.b) Dividir entre 0,1 que multiplicar

por 10.c) Multiplicar por 0,5 que dividir

entre 2.d) Multiplicar por 0,1 que dividir

entre 10.

Reflexiona

Debes usar la calculadora de forma racional. Es lógico utilizarla para cal-cular

3 652,28 : 2,789pero no para hallar 12 : 2; 120 : 10 u otras operaciones sencillas.

Ten en cuenta

20

ã Tipos de números decimalesEn la resolución de problemas y al hacer operaciones te encontrarás con distintos tipos de números decimales. Veamos cuáles son y cómo se llaman en cada caso.

➜ decimales exactos

Un decimal exacto es el que tiene un número limitado de cifras decimales.

Por ejemplo, al dividir 197 : 40 obtenemos 4,925.

tres cifras decimales

➜ decimales periódicos puros

Un decimal periódico es el que tiene infinitas cifras decimales que se re-piten periódicamente. Si el periodo comienza inmediatamente después de la coma, se llama decimal periódico puro.

Por ejemplo, al dividir 86 : 11 obtenemos 7,8181… = ,7 81#

.

periodo

➜ decimales periódicos mixtos

Si en un decimal periódico hay una o varias cifras no periódicas entre la coma y el periodo, el número se llama decimal periódico mixto.

Por ejemplo, al dividir 87 : 66 obtenemos 1,31818… = ,1 318#

.

parte decimal no periódica periodo

➜ decimales no exactos y no periódicos

Existe otro tipo de números decimales que tienen infinitas cifras decimales que no se repiten periódicamente. Se llaman números irracionales.

Por ejemplo:• Al calcular 2 obtenemos 1,4142135…• El número π es igual a 3,14159265…

4 NÚMEROS DECIMALES

Piensa y practica

1 Indica qué tipo de número decimal es cada uno de los siguientes:

3,52 2,888... 1,5454... 3,222…2,7333... 3,5222… 1,030030003…

2 Indica qué tipo de número decimal se obtiene en cada división:a) 7 : 16 b) 13 : 25 c) 1,6 : 0,9d) 4 : 11 e) 0,04 : 0,3 f ) 13,41 : 0,11

3 Ordena de menor a mayor estos números:

2,5 2,5!

2,35!

2,505005…

4 Escribe tres números decimales comprendidos entre 2,5 y 2,5

!.

5 Escribe los dos números, a y b, que dividen el inter-valo entre cero y uno en tres partes iguales.

0 a b 1

enteros

decimales exactos

decimales periódicos

decimales no periódicos con infinitas cifras

racionales

irracionales

Números racionales e irracionales

anayaeducacion.es GeoGebra. Representación de números irracionales.

1Unidad

21

APROXIMACIONES Y ERRORES

ãExpresión aproximada de números y cantidades Cuando en la vida real usamos los números para transmitir resultados o infor-maciones, generalmente hacemos redondeos dando solo algunas de sus cifras:• El número π o el valor de 2 tienen infinitas cifras decimales:

π = 3,141592… redondeando⎯⎯⎯⎯⎯→ π = 3,14 o bien π = 3,1416

2 = 1,414213… redondeando⎯⎯⎯⎯⎯→ 2 = 1,41 o bien 2 = 1,414

• Si una persona nos dice que gana 1 300 €, seguramente en su nómina figura una cantidad ligeramente distinta. Por ejemplo, 1 324,56 €.El sueldo se ha redondeado usando solamente dos cifras significativas. Los ceros solo sirven para completar la expresión.

Se llaman cifras significativas a aquellas con las que se expresa un número aproximado. Solo se deben utilizar aquellas cuya exactitud nos conste.

ãError absoluto y error relativoCuando damos una cantidad de forma aproximada, cometemos un error.

Se llama error absoluto, Ea , a la diferencia, en valor absoluto, entre la can-tidad real y la aproximada.

Error absoluto = |Valor real – Valor aproximado|

En una cantidad obtenida mediante redondeo, el error absoluto es menor que media unidad del orden decimal de la última cifra significativa utilizada.

Por ejemplo, si damos como cantidad aproximada del sueldo de una persona 1 300 €, estamos cometiendo un error absoluto menor que «medio centenar» de euros, es decir, Ea < 50 €.

El error relativo, Er , es el cociente entre el error absoluto y la cantidad exac-ta. El error relativo es tanto menor cuantas más cifras significativas tenga la expresión aproximada.

Veamos, por ejemplo, dos valoraciones aproximadas de longitudes:• El ciprés del jardín mide 23 m ⎯⎯→ Ea < 0,5 m• La longitud de esta vía es 258 km ⎯→ Ea < 0,5 km = 500 mObserva que, aunque el error absoluto sea mayor en el caso de la vía que en el del ciprés, un error de 0,5 km en 258 km es menos significativo que 0,5 m en 23 m (error relativo):

Ciprés → Er = 0,5/23 < 0,022 Vía → Er = 0,5/258 < 0,002

5

Piensa y practica

1 ¿Qué podemos decir del error absoluto de estas medi-ciones?a) Ballena → 37 toneladas b) Pavo → 3 kg

2 ¿Cuál de las mediciones del ejercicio anterior es más precisa?Razona tu respuesta.

anayaeducacion.es Practica la aproximación de números decimales.

3,1416 es más próximo a π que 3,1415. Por eso, cuando la prime-ra cifra que desechamos es 5 o más, redondeamos aumentando en una unidad la última cifra.

Siendo absolutamente rigurosos, en vez de 1 300 € habría que decir 13 cientos de euros, indicando así que solo se ha afinado hasta los «cientos».

23 m: dos cifras significativas.258 km: tres cifras significativas.Por tanto, la segunda medición es más precisa que la primera, tiene menos error relativo.

22

NÚMEROS DECIMALES Y DIVISIBILIDAD CON CALCULADORA6En este curso es recomendable comenzar a utilizar una calculadora científica que pueda servir en lo que resta de la ESO y Bachillerato. Para muchas de las indicaciones que damos, tomaremos como referente el modelo de calculadora CASIO CLASSWIZ, ya que es la más utilizada en este nivel. Pero podría ser cualquier otra de características similares.

ãConfiguraciónLa calculadora la utilizamos fundamentalmente para cálculos aritméticos. Para eso entramos en � y elegimos 1:Calcular. Es fundamental configurar la calculadora para que, tanto la forma en que recibe los datos (ENTRADA) como la expresión resultante (SALIDA), sea acorde con lo que necesitamos.

Sugerimos que, para trabajar con decimales, se configure el modo matemático para ENTRADA y el modo decimal para SALIDA. Para ello, hemos de pulsar la tecla configuración �. A continuación, elegimos 1:Entrada/Salida y, des-pués, seleccionamos 2:E Mat/S Decimal (ENTRADA matemática y SALIDA decimal).

ã Introducción de números decimalesLos números decimales no periódicos se escriben de forma natural teniendo en cuenta que, en vez de la coma, se pone un punto, ..La tecla � aplicada a un número obtenido en la SALIDA lo transforma de de-cimal a fracción, o viceversa.

3,875 → 3 . 875 = 3.875

3.875 �

3.875318

Para escribir un decimal periódico, usaremos las teclas .

,5 491#

→ 5 . 4 91 = 5.491

5.491919192 �

5.4915437990

Observa cómo la calculadora nos da directamente la fracción generatriz del de-cimal introducido.Tanto en la expresión de números periódicos como en la de fracciones, la calcu-ladora impone limitaciones debidas al excesivo tamaño de la ENTRADA o de la SALIDA. Puedes explorar y averiguar estas limitaciones.

En las calculadoras científicas, la mayoría de las teclas tienen dos fun-ciones secundarias (que aparecen en-cima de la tecla). Las dos funciones se suelen diferen-ciar con dos colores: • SHIFT 8 amarillo• ALPHA 8 rojoPor ejemplo, esta tecla:

Pulsando actúa como raíz cú-bica.Pulsando sirve para escribir números decimales periódicos, como ves en esta página.A partir de ahora, cuando nos refi-ramos a una función secundaria, la destacaremos en la tecla correspon-diente. Por ejemplo, para referirnos a la función raíz cúbica, pondremos:

Funciones secundarias

salida

entrada

Piensa y practica

1 Introduce en la calculadora cada una de las expresio-nes que ves a la derecha y comprueba que, al pulsar la tecla �, se obtiene la fracción correspondiente.

a) 3,52 b) 0,27 c) –0,321d) 0,0012 e) –3,213 f ) ,5 73

#g) ,0 23–

# h) ,1 803

# i ) ,2 01–

!

Si introducimos un decimal exacto en el que una o más cifras se repiten «muchas» veces, es probable que la calculadora lo interprete como pe-riódico:

5.43434343434343 =�5.43434343434343

5.43

Atención

23

1Unidad

ãOperaciones combinadas con decimalesLa calculadora, lógicamente, respeta la jerarquía de las operaciones. Es decir, si escribimos la operación 3,21 + 5,4 · 2,9, primero hace la multiplicación y el re-sultado lo suma al primer número:

3 . 21 + 5 . 4 * 2 . 9 = 3.21 + 5.4 x 2.918.87

Cuando se realizan operaciones combinadas, para revertir el sentido lógico de la jerarquía hay que echar mano de paréntesis y corchetes. En la calculadora no existen los corchetes, por lo que se utilizan paréntesis para todo. Veamos algunos ejemplos de operaciones combinadas: • (2,4 + 3,91) · 2,14

( 2 . 4 + 3 . 91 )* 2 . 14 = (2.4 + 3.91) x 2.1413.5034

• 3 : [ ,0 123#

· (2,01 – 1,62)]

3 /( 0 . 1 23 ”*( 2 . 01 - 1 . 62 ))=3 ÷ (0,123 x (2,01 – 1,62))

62.42118537

ãDivisibilidad en la calculadoraLas funciones , , sirven, respectivamente, para descomponer un número en factores primos y para hallar el máx. c. d. y el mín. c. m. de dos números (solo dos). Veamos cómo:

• 504 = 50423 x 32 x 7

Hemos descompuesto 504 = 23 · 32 · 7.

• 24 36 = MCD (24, 3612

Hemos hallado máx. c. d. (24, 36) = 12.

• 24 36 = MCM (24, 3672

Hemos hallado mín. c. m. (24, 36) = 72.Observa cómo se calcula el máx. c. d. de tres números, 24, 36 y 45, en dos pasos:

24 36 = MCD (24, 3612

q 45 = MCD (Ans, 453

Calculamos máx. c. d. (24, 36) = 12 Calculamos máx. c. d. (12, 45) = 3

Piensa y practica

2 Opera con ayuda de la calculadora: a) 3,2 · (1,7 – ,1 13

#)

b) 2,3 : [ ,3 41!

– 3 · (2,1 + ,0 8!

)]

3 Factoriza los números 60, 840 y 450. Calcula: a) máx. c. d (60, 840, 450)b) mín. c. m (60, 840, 450)

sirve para poner una coma.

Recuerda

Cuando obtenemos un resultado en la calculadora (al pulsar =), este se guarda en una memoria. Para echar mano de él, se pulsa la tecla q.

Observación importante

2424

Ejercicios y problemasEn el «Portfolio» del banco de recursos de anayaeducacion.es,

encontrarás orientaciones sobre cómo elaborar tu portfolio.

PracticaDivisibilidad

1 Encuentra, entre los números siguientes, los que son múltiplos de 2, los múltiplos de 3 y los múltiplos de 5:

120 148 125 114 285 270 171

2 Averigua si los números 89 y 217 son primos.

3 Dado el número 34X averigua, en cada caso, los valores que puede tener X para que sea:a) Múltiplo de 2. b) Múltiplo de 3.c) Múltiplo de 5. d) Múltiplo de 9.e) Múltiplo de 6 (múltiplo de 2 y de 3).

4 Calcula el máx. c. d. y el mín. c. m. de:a) 48 y 72 b) 12, 30 y 14 c) 90 y 150 d) 24, 36 y 40

5 Escribe los números primos comprendidos entre 70 y 90.

Números enteros y decimales. Operaciones

6 Ordena de menor a mayor los siguientes números:5,28 5,2 5,8 5,285 5,08 5,58

7 Ordena de menor a mayor estos números:+11 –15 –1 +12 +1 0 –22 –3 +13

8 Escribe dos números decimales comprendidos en-tre los dos que se dan en cada caso:a) 2,8 y 2,9 b) 3,25 y 3,25

#c) 0,25 y 0,5 d) 3,83 y 3,83

#

9 Efectúa la división en cada caso e indica qué tipo de decimal obtienes:a) 147 : 20 b) 22 : 1,8 c) 5,68 : 1,8

10 Calcula mentalmente.a) 7 – 2 + 4 b) 7 – (2 + 4)c) 7 – (2 – 4) d) –7 + 2 – 4e) 11 + 3 · 5 – 2 f ) (7 + 3) · 5 – 2g) 11 + 3 · (5 – 2) h) (7 + 3) · (5 – 2)

11 Halla mentalmente.a) 20 · (–350) b) (50 · 60) : 20c) (–2) · 75 · (–2) d) 1 640 · 4

12 Calcula mentalmente.a) (–2)5 b) (–2)8 c) (–1)10 d) (–1)23

e) (–5)2 – 52 f ) (–2)3 – 23

13 Resuelve.a) 6 – 5 · [–4 – 1 + (–2)2 – 32]b) 12 – 8 · [–2 + 4 : (–1) – (–3 + 2)4]c) (–2)5 : (3 + 1)2 + 2 · (–5 – 4 + 3)d) 10 – 10 · [–6 + 5 · (–4 + 7 – 3)]e) 8 – (–3) · (–5) – [(1 – 6) · (–4) + 2] · (–2)f ) [(5 – 9) · (–2) + 1] – (–3) · (–7) + (–11)g) [(7 – 3) · (–1)] · (–2) + (–13) – (+4) · (–7)h) –[(–2)2 · (3 – 4)] + (–3)3 – (5 · 4 – 10)

14 Calcula.a) (+3) · (–2)3 – (+2) · (–3)3

b) (+3) · [(–2)3 – (+2)] · (–3)3

c) (–20) – (10 – 15)2 + [(–5)2 + (8 – 13)2]d) 60 – (8 – 5)3 + (–2) · [(–2)4 + 3 · (2 – 7)]

15 Copia en tu cuaderno y coloca los paréntesis necesarios para que cada igualdad sea cierta:a) 1 – 23 + 3 · 2 – 2 = 3b) 1 – 23 + 3 · 2 – 2 = –3c) 1 – 23 + 3 · 2 – 2 = –7d) 1 – 23 + 3 · 2 – 2 = –1

16 Opera mentalmente.a) 2,75 + 3,25 b) 8,75 – 3,25c) 3,47 + 2,2 d) 14,8 – 2,3e) 45,3 · 100 f ) 45,3 : 100g) 7,46 · 1 000 h) 74,6 : 1 000i) 14,5 · 0,1 j) 28 · 0,01k) 14,5 : 0,1 l) 28 : 0,01

17 Resuelve.a) 135,87 + 25,3 + 35,185b) 125,3 – 34,85 + 27,14c) 25,3 · 0,85d) 12,8 · 6,07e) 0,89 · 0,47f ) 1,875 · 8

25

1Unidad

18 Calcula.a) 10 : 2 – (15,875 + 12,34 – 3,215) : 5b) (3,4 – 2,8) · 12 + 15,4 : 2c) 7,5 – 3 · (12,6 – 15)d) 15,45 + 0,45 · (28,2 : 3 – 4)

19 Elige la respuesta correcta en cada caso.a) Añado 3,2 a 7,9 y multiplico el resultado por 0,4. La expresión que traduce este cálculo es:

i) 3,2 + 7,9 · 0,4 ii) (3,2 + 7,9) · 0,4b) Pago 28,80 € por un libro de 18 € y 6 cuadernos

iguales. La expresión que nos da el precio de un cuaderno es:

i) (28,80 – 18) : 6 ii) 28,80 – 18 : 6

20 En cada caso, convierte en minutos:a) 2,5 h b) 390 s c) 3 h 25 min 15 s

21 En cada caso, convierte en horas:a) 45 min b) 1 h 36 min c) 270 min

Aproximaciones y errores

22 Calcula los cocientes de estas divisiones, dando el resultado redondeado a las centésimas:a) 134,2 : 0,31 b) 2,53 : 2,5c) 0,345 : 0,28 d) 58,2 : 0,47

23 Opera con la calculadora y da cada resultado re-dondeado a las milésimas:a) 3,845 – 2,83 · (4,53 : 2,8 + 2,75)b) 12,4 – 3,85 · 2,6 – (3 – 4,7 : 2,6)c) 5,47 · 2,83 – (5,28 + 4,5 : 2,7)

24 ¿Qué podemos decir del error absoluto en cada una de estas mediciones?a) Volumen de una bañera → 326 litrosb) Volumen de una piscina → 320 m3

¿Cuál de las dos se ha realizado con mayor precisión? Explica tu respuesta.

25 Compara el error absoluto en las siguientes aproxi-maciones:a) Altura de un árbol: 3,58 m.b) Distancia de mi casa al gimnasio: 1,5 km.c) Longitud de una etapa ciclista: 98 km.¿Cuál de estas tres mediciones es más precisa?

Resuelve problemas26 Tengo una cinta de 120 cm y otra de 96 cm. Quie-

ro cortarlas de modo que todos los trozos sean iguales pero lo más largos posible. ¿Cuánto medirá cada uno? ¿Cuántos trozos de cinta serán?

27 El autobús A sale cada 6 minutos; el B, cada 8 mi-nutos, y el C, cada 10 minutos. Si los tres han coinci-dido en la parada a las 7:00, ¿cuándo volverán a estar los tres juntos?

28 Tres amigas trabajan como voluntarias en una ONG de acuerdo con sus posibilidades de tiempo. Una de ellas va cada 4 días al local de la ONG, otra lo hace cada 20 días y la otra, cada 10 días. Suponiendo que un día se encuentran las tres, ¿cuántos días después volverán a encontrarse?

29 Hugo ha comprado 2,5 kg de manzanas a 1,65 €/kg, y 3,2 kg de peras a 2,1 €/kg. Tenía un vale descuento por valor de 3 €.a) ¿Cuánto ha tenido que pagar en total?b) Si ha pagado con un billete de 20 €, ¿cuánto le ha

sobrado?

30 María ha comprado una parcela de 5,24 m de largo por 12,8 m de ancho. Averigua cuánto le ha costado, sa-biendo que ha pagado 50,20 € por cada metro cuadrado.

31 Una compañía telefónica cobra en las llamadas in-ternacionales 2,35 € por la conexión y 1,25 € por mi-nuto. ¿Cuánto costará una conferencia de 8 min 48 s?

32 Un grifo llena dos botellas de 1 litro de capacidad en un minuto. Determina cuántas botellas se pueden llenar en cada caso:a) En 20 minutos.b) En tres cuartos de hora. c) En 1,6 horas.

33 Una cadena de montaje de electrodomésticos es-tá programada para fabricar una lavadora cada 6 min 12 s. ¿Cuántas horas y minutos tardará en preparar un pedido de 50 lavadoras?

34 Una empresa que fabrica ordenadores tiene que atender un pedido de 160 para la tienda A, de 240 pa-ra la tienda B y de 80 para la tienda C. La empresa decide, para optimizar el transporte, mandar camiones a cada tienda de manera que lleven la misma cantidad de ordenadores y que sea la máxima posible. ¿Cuántos camiones debe enviar a cada tienda?

Ejercicios y problemas

2626

35 Ana compró un paquete de pasta y tres botes de to-mate, uno para su padre y dos para un vecino. Pagó con un billete de 10 € y le devolvieron 1,40 €. Ana recuer-da que el paquete de pasta costaba 2,30 €. ¿Cuánto le tiene que cobrar a su vecino por los dos botes de tomate?

36 Cada cápsula de un antibiótico lleva 4,5 mg de su principio activo. ¿Cuántas cápsulas se pueden fabricar con 1,8 kg de principio activo?

37 En un aparcamiento del centro de una ciudad se paga por minutos. Ayer estuve 3 horas y media y pagué 8,40 €. Calcula lo que hay que pagar si el tiempo de estancia es:a) 2 h 40 min b) 18 min c) 1,8 h

38 Para limpiar un centro escolar, se necesitan cuatro empleados de limpieza trabajando 3 horas y media ca-da uno. Si uno está de baja y no lo sustituyen, ¿cuánto tiempo emplearán los otros tres en limpiar el centro escolar? Exprésalo en horas y minutos.

39 En un triángulo isósceles, el perímetro es 25,2 cm, y el área, 29,1 cm2. Si el lado desigual mide 6,8 cm, calcula la medida de cada uno de los lados iguales y la altura sobre el lado desigual del triángulo.

40 El sistema de seguimiento GPS de la Vuelta Ci-clista indica que el grupo que encabeza la carrera está a 15 min 30 s de diferencia del ciclista que les persigue. Si la distancia se acorta 15 segundos cada kilómetro, ¿al cabo de cuántos kilómetros atrapará al grupo?

41 Los vecinos y las vecinas de una urbanización abo-nan 390 € mensuales por las 130 farolas que alumbran sus calles. ¿Cuántas farolas han de suprimir si desean reducir la factura mensual a 240 €?

42 El dueño de una papelería ha abonado una fac-tura de 670 € por un pedido de 25 cajas de folios. ¿A cuánto ascenderá la factura de un segundo pedido de 17  cajas? ¿Cuántas cajas recibirá en un tercer pedido que genera una factura de 938 €?

43 Un autobús ha tardado 1 h 45 min en ir de un pueblo A a otro B a una velocidad media de 75 km/h. Si a la vuelta emplea 20 minutos más en hacer el mis-mo recorrido, ¿cuál ha sido su velocidad?

44 Una locomotora, a 85 km/h, tarda 3 horas y 18 minutos en realizar el viaje de ida entre dos ciuda-des. ¿Cuánto tardará en el viaje de vuelta si aumenta su velocidad a 110 km/h?

45 Un campamento de refugiados de 4 600 personas tiene víveres para 24 semanas. ¿En cuánto se reducirá ese tiempo con la llegada de 200 nuevas personas?

46 Tres amigas, Ana, Berta y Carla, han repartido folletos publicitarios y les han pagado 900 €. Si Ana repartió 150 folletos; Berta, 250, y Carla, 200, ¿qué cantidad de dinero le corresponde a cada una?

47 Veinte vacas consumen 210 kg de pienso a la semana.a) ¿Cuánto pienso consume una vaca en un día?b) ¿Cuántos kilogramos de pienso se necesitan para ali-

mentar a 35 vacas durante 30 días?

48 Una comerciante compra 125 kg de fresas a 1,75 €/kg. Durante el transporte se estropean 2 kg que tiene que eliminar. ¿A cuánto debe vender el kilo de las fresas que le quedan si quiere ganar 75 €?

49 Una empresa china que fabrica móviles debe en-viar un pedido de un millón de teléfonos a EE. UU. Esta empresa cuenta con cinco modelos: A1, A2, A3, A4 y A5. El pedido se especifica en la siguiente tabla:

unidades

a1 230 000a2 165 000a3 155 000a4 210 000a5 240 000

El pedido se envía en lotes con la misma cantidad de teléfonos y separados por modelo. Si se desea que la cantidad de lotes sea la mínima posible, ¿cuántos lotes de cada modelo debe haber?

50 Se reparten 190 € de un premio entre tres perso-nas de modo que la segunda reciba 20 € más que la primera, y la tercera, 30 € más que la segunda. ¿Cuán-to le corresponde a cada una?

51 María hace un viaje de 300 km en tres etapas. Si en la primera recorre 80 km, y en la segunda 20 km más que en la tercera, ¿cuál es la distancia que recorre en la última etapa?

52 Un comerciante del mercadillo pone a la venta 100 pares de calcetines a 2,85 € el par. Cuando lleva vendidos 75 pares, decide rebajarlos a 1,99 € para ace-lerar la venta. Así, consigue agotar la mercancía antes de levantar el puesto. ¿Cuál será su ganancia, teniendo en cuenta que pagó 225 € por el lote?

1Unidad

27

53 ¿A qué precio medio ha vendido el par de calceti-nes el comerciante del ejercicio anterior?

54 En un mercadillo hacen las siguientes ofertas:• 5 calzoncillos valen lo mismo que 3 camisetas.• 2 camisetas valen como 5 bragas. • 1 braga vale 1,90 €.¿Cuánto cuesta un calzoncillo?

55 Un gimnasio mide 21,25 m de ancho por 34,8 m de largo. Para limpiar el suelo, se utiliza una máquina fregadora que limpia 1 000 m2 por hora. ¿Se podrá lim-piar el gimnasio en tres cuartos de hora con esa máquina?

56 Se desea cubrir con baldosas cuadradas una habita-ción de 330 cm de ancho por 390 cm de largo. ¿Qué tamaño deben tener las baldosas si deben ser lo más grandes posible y no se quiere cortar ninguna?

1 Resuelve.a) 34 – 24 : 3 + 6 · 7b) 18 – (–2)2 · (–10) + (–8) · (–3)c) (5 – 9)2 : 2 – (–12 + 8) · 23 – 10

2 Calcula.a) (2,4 – 0,5) – (7,2 : 4)b) 3,5 · 1,2 – 4 · 0,8 – 3,8

3 Escribe tres números comprendidos entre ,2 6!

y 2,65.4 Averigua si los números 113 y 143 son primos.5 En una carpintería se quiere cortar una plancha de

madera, de 128 cm de largo y 96 cm de ancho, en cuadrados lo más grandes posible. a) ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada cuadra-

do? b) ¿Cuántos cuadrados se obtienen de la plancha de

madera?6 Un grifo que vierte 4 litros por minuto tarda 8 min

30 s en llenar un depósito. ¿Cuánto tardaría si echase 5 litros por minuto? Da la respuesta en minutos y se-gundos.

7 ¿Verdadero o falso? a) Dividir por 0,25 es lo mismo que multiplicar por 4.b) Multiplicar por 0,4 es lo mismo que dividir por 2.c) 1 – (–3)2 = 10d) Si a es múltiplo de b, entonces:

mín. c. m. (a, b) = ae) Si a es múltiplo de b, entonces:

máx. c. d. (a, b) = bf ) (–1)3 – (5 – 12)2 = –50

8 En un obrador han sacado una hornada de magdale-nas. Si las envasan en bolsas de 10, sobran cinco, y lo mismo ocurre si las envasan en bolsas de 12. ¿Cuántas magdalenas han salido del horno, sabiendo que son más de 150 pero menos de 200?

9 En una cooperativa tienen 420 litros de un tipo de aceite y 225 litros de otro. Quieren envasarlo, sin mez-clar, en el menor número posible de garrafas iguales. ¿Qué capacidad tendrá cada garrafa?

AUTOEVALUACIÓN anayaeducacion.es Resoluciones de estos ejercicios.

Visualiza el vídeo meta 12.3, piensa en una acción con la que podrías contribuir al logro de esa meta y comprométete a llevarla a cabo.Compromiso

El origen de algunas palabrasAritmética. Es una palabra de origen griego. Aritmos sig-nifica número.Cálculo. En la antigua Roma se utilizaban piedras pequeñas para echar cuen-tas. De ahí viene la palabra cálculo. En latín, calculus significa piedra pequeña.

Una cuestión de comas Poniendo una coma en el lugar adecuado, la siguiente ex-presión es cierta:«cinco por cuatro veinte más uno, veintidós»

¿Podrías aclarar la cuestión?

CURIOSIDADES MATEMÁTICAS

y construye tu aprendiza

je.

SUMA

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