Trigonometria plana y esferica

7/31/2019 Trigonometria plana y esferica

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Figura 1.2

Ms interesante y difcil an parece ser el problema de calcular la altura

de un cerro, haciendo mediciones desde su base.

Figura 1.3


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3

Una solucin ingeniosa de todos estos problemas queda ya insinuada en

los dibujos que se han presentado: no es difcil en el terreno losmedir

ngulos indicados, medir la distancia que es accesible, hacer un dibujo a

escala en un papel y medir con una regla la distancia a escala que se

busca. Solo se necesita multiplicar por el factor de escala para obtener la

distancia buscada.

Esta solucin tiene, al menos, tres desventajas:

lentitud del procedimientoprecisin precaria, sobretodo si las escalas a tomar son muy

grandes: all el simple grosor del trazado del lpiz con que se hace

el dibujo influye en el resultado final

dificultades manuales en realizar el dibujo en un papel.

Por otro lado la solucin obtenida dibujando a escala tiene una hiptesis

oculta que es necesario esclarecer y discutir:

Figura 1.4

Si , entonces se supone que tambin con elT V 5T V T F 5T Fw w w w

mismo factor de escala . Esta hiptesis es correcta pues los tringulos5

? ?T VF T V Fy son semejantes ya que , por construccin, tienenw w w

todos sus ngulos iguales: Teorema de Thales! Dividiendo las igualdades

anteriores resulta:

T F 5T F T FT V 5T V T V

w w w w

w w w w


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4

Es decir, las razones entre los lados del tringulo no dependen de la

escala. Slo depender de los ngulos y . Si llamamos: "

3 " T FT V

entonces bastar con conocer el nmero 3 " para resolver nuestroproblema. En efecto, la longitud (buscada) ser multiplicadaT F 3 "por (medida) : .T V T F T V3 "El problema se solucionara si pudiramos fabricar de esas razoneslistas

para una gama bastante amplia de ngulos y . Tales listas existen y "se llaman Sin embargo, tales Tablas yaTablas Trigonomtricas.

pertenecen a la Historia: el desarrollo de las calculadoras de bolsillo

proporcionan con un solo toque los nmeros que se han estado buscandoen las Tablas. Cmo hacer estas listas es un problema cuya solucin ms

completa exige un cierto desarrollo del Sinclculo infinitesimal.

embargo, en principio se pueden hacer con un despliegue de mucha

paciencia, midiendo con acuciosidad los ngulos y los trazos en cuestin.

1.2. DEFINICIONES BSICAS (para ngulos agudos)Histricamente surgen las siguientes razones, convencionales, definidas

para un tringulo rectngulo:

Figura 1.5

: es el seno del ngulo =/8 +

,es el coseno del ngulo -9= -,

: es la tangente del ngulo >1 +-


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5

Se definen tambin los inversos multiplicativos de las funciones

anteriores:

: es la cosecante de -9=/- ,

+ es la secante de =/- ,-: es la cotangente de -9>1 -

+

Las funciones coseno, cotangente y cosecante se denominan tambin

cofunciones de las funciones seno, tangente y secante respectivamente.

Es necesario destacar que estas definiciones, tal como han sido hechas,

solo tienen sentido si el ngulo es agudo: en un tringulo rectngulo losngulos, salvo el recto, deben ser agudos. Veremos ms adelante la forma

de extenderlas a ngulos cualquiera.

EJEMPLOS

1. Si tomamos , entonces el ABC de la figura 1.5 es isceles y ? %&

por lo tanto . Luego y por lo+ - , + - #+ + # # # #tanto:

=/8 %& + ", #

-9= %& - + ", , # >1 %& " +

-

2. Si tomamos , entonces el ABC resulta ser la mitad de un ? '!

tringulo equiltero:

Figura 1.6

De aqui se obtiene:


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6

=/8 '! -9= $! $

#

-9= ' ! =/8 $ ! "

#

>1 '! $ -9> $! =/- '! # -9=/- $!

3. Ser una mera casualidad que las co-funciones de un ngulo sean

precisamente las funciones del ngulo complementario? Desde luego que

no: basta hacer un dibujo para darse cuenta que el ngulo complementario

se encuentra precisamente en el vertice opuesto y la afirmacin resulta

directamente de las definiciones:

Figura 1.7

En efecto =/8*! -9= -9=*! =/8 - +, ,

>1*! -9>1 =/-*! -9=/- - ,+ +

TEOREMA 1

En un ABC (con ngulos agudos) vale:?

1. , donde es el radio de la circunferencia+ , -=/8 =/8 =/8 " #

#< 1 -9> =/- -9=/- ) ) )=/8 " " "-9= >1 -9= =/8

)) ) ) )

A estas alturas es conveniente introducir otra medida de los ngulos: larazn entre la longitud del arco medido sobre la circunferencia y su radio,

en sentido positivo o negativo. Como la longitud de la circunferencia

completa es entonces 360 corresponder a en la nueva# < #1 19 #


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funciones trigonomtricas de sus sumas. El siguiente teorema permite

llevar a cabo este mtodo.

TEOREMA 2

Sean y ngulos cualesquiera. Entonces: "(a) -9= -9= -9= =/8 =/8 " " "

,=/8 =/8 -9= -9= =/8 " " "

- >1 " >1 >1">1 >1 "

"

DEMOSTRACIN.

Haremos la demostracin para ngulos agudos por mayor claridad del

dibujo. Se invita al lector a extender esta demostracin para cualquier tipode ngulos.

Figura 1.11

Los tringulos BOP y AOD son claramente congruentes, pues ambos? ?contienen el ngulo en su vrtice O. Por lo tanto las longitudes de "

las cuerdas BP y AD son iguales. Para calcular estas longitudes entrminos de las coordenadas de los puntos respectivos, usamos el teorerma

de Pitgoras (restringido):


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12

Figura 1.12

La distancia PQ ser : B ? C @ # #

En nuestro caso las coordenadas del punto B son

-9= =/8 " " , mientras que las del punto A sony las de D :-9= =/8 -9= =/8 -9= =/8 " " " "

Finalmente las coordenadas de P son simplemente 1,0). Aplicando lafrmula anterior a la igualdad , resulta:FT EH-9= " =/8 " " # #

-9= -9= =/8 =/8 " " # #de donde, elevando al cuadrado y utilizando la identidad bsica

=/8 -9= "# #) ) (ver problemas 1.4) se obtiene:

# #-9= # #-9= -9= #=/8 =/8 " " " de donde se sigue directamente la frmula (a)Para demostrar (b) se puede usar la identidad : =/8 -9= ) )1#y aplicar la frmula ya demostrada.

Finalmente para demostrar la frmula (c) basta poner:

>1 " =/8 -9= -9= -9= =/8 =/8=/8 -9= -9= =/8 "

" " " " "

y dividir el numerador y el denominador por el factor -9= -9= "

COROLARIOS:1. =/8 # #=/8 -9= # -9=# # -9= " " #=/8 # #

$ =/8 # # #"-9= (signo segn cuadrante en que est )

4. (signo segn cuadrante en que est )-9= # # #

"-9=


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Para demostrar estos corolarios basta aplicar el teorema anterior con

" y proceder de modo inverso para las frmulas del ngulo medio.

Con estos resultados podemos, en principio, calcular las funciones

trigonomtricas para, prcticamente , cualquier ngulo. En efecto, puesto

que, por ejemplo, y entonces:=/8 $! -9= $! 9 9"# #$

=/8 "& 9 "-9=$!# #" 9 $#

-9= "& 9 "-9=$!# #" 9 $#

=/8 ( & 9 "-9= " #

" 9 " $##

-9= ( & 9 "-9= " #" 9

" $##

De este modo, con suficiente paciencia, podemos calcular senos y cosenos

de ngulos tan pequeos como sea necesario. Enseguida podemos

sumarlos apropiadamente y obtener as las funciones trigonomtricas que

necesitamos.

No podemos ocultar el hecho de que existen otros mtodos ms prcticos,

pero esos mtodos requieren clculo infinitesimal. En ese sentido, es

interesante hacerse la pregunta: cmo calculan estas funciones

trigonomtricas las calculadoras electrnicas? qu precisin pueden

asegurar?

1.4. PROBLEMAS

1. Demuestre los teoremas del seno y del coseno para tringuloscualquiera. Para esto demuestre previamente que, si es un nguloobtuso, entonces

=/8 =/8 -9= -9=1 1

2. Sea un ngulo cualquiera. Demuestre:) =/8 -9= "# #) ) =/8 -9=) )1

#

-9= =/8) )1#(el seno es una funcin ) =/8 =/8) ) impar


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14

(el coseno es una funcin ) -9= -9=) ) par =/8 # =/8) 1 )

(seno y coseno son funciones ) -9= # -9=) 1 ) peridicas

3 Calcule al rea de un tringulo en trminos de sus lados y ngulos

4. Sobre una colina hay una torre : cmo calculara Ud. su alturaobservndola desde el valle?

5. Desde la cspide de un faro de altura situado sobre un acantilado se2mide el ngulo que forma la visual hacia el barco respecto de lavertical y desde la base se mide el ngulo que forma la visual hacia el"barco respecto de la vertical.(Ver Figura 1.9) A qu distancia se

encuentra el barco? Haga el clculo para el caso: 2 ()7 )(* 9

*"(" 9

6. Desde un helicptero que pasa justo al medio de dos iglesias separadaspor una distancia que el piloto conoce, se mide el ngulo que subtienden.las iglesias. Calcule la altura a que vuela el helicptero. Una vez obtenida

una buena frmula, pngale estos nmeros: &' . #&!79

7. Qu ocurre en el problema anterior si el helicptero no pasa justo almedio de las iglesias? Debe hacer nuevas mediciones?. Discuta la

situacin segn diversos casos.

8. Una escala de 3[m] de largo est apoyada sobre la pared de unedificio. Si su base est a 1.3[m] del edificio qu ngulo forma la escalera

con el piso? Qu ocurre si el edificio es la torre de Pisa?

9. Justo frente a la ventana de mi departamento, al otro lado de la calle, seeleva un edificio nuevo en construccin. Por razones personales deseo

calcular su altura: mido desde mi ventana el ngulo que forma la visual

hacia la punta del edificio con la horizontal : 3 Despus bajo hasta la9puerta de calle de mi departamento y hago la misma medicin: 5 . Como9

estos datos no son suficientes, mido con una lienza la altura a que se

encuentra mi ventana: son 8 metros. Qu altura tena el edificio? a quedistancia del mo se encontraba?


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10. Se entiende por un tringulo, el obtener frmulas explcitas oresolvervalores numricos de los distintos elementos de un tringulo, en funcin

de otros elementos dados: resolver un ABC dados:?un lado y dos ngulosdos lados y el ngulo comprendido entre ellosdos lados y el ngulo opuesto al mayorlos tres lados

11. La paralaje de la estrella (la ms cercana conocida)proxima centauriies de 0,765 segundos de arco. Si la distancia de la Tierra al sol es de,

aproximadamente, 150 millones de kilmetros, cul ser la distancia de

esta estrella a nuestro sistema solar? Calclela tambin en aos-luz,

suponiendo que la luz viaja a 300.000 kilmetros por segundo.

12. La torre de Pisa tiene una inclinacin aproximada de 8 respecto a la9

vertical. Calcular la altura de la torre, si un observador que se encuentra a

29 metros de distancia v la cspide con un ngulo de elevacin de 38.59Le faltan datos? Cules?

13. El palo central de una tienda de campaa de forma de un cono circulartiene una altura de 6 metros y su parte superior est sostenida por cuerda

de 12 metros de largo amarradas a estacas clavadas en la tierra. A qu

distancia estn las estacas del pi del mstil? Cul es la inclinacin de los

cables con la tierra?

14. El terreno ocupado por un granero es de 2 m] por 1 [m] y la( $inclinacin de las alas del techo es de 35 Hallar la longitud de las vigas9y el rea del techo completo, siendo la proyeccin horizontal de la cornisa

de 45[cm]

15. Desde lo alto de una roca de 150 pies de altura los ngulos dedepresin de dos botes situados al sur del observador son de 15 y 759 9Determinar la distancia que hay entre ellos.

16. Dos vias frreas se cortan en un ngulo de 26 . Del punto de9 w"'

interseccin parten dos trenes simultneamente, una por cada va. Unaviaja a 20 millas por hora. A qu velocidad debe viajar la otra para que

al cabo de tres horas la distancia entre ellas sea de 30 millas? Discuta el

realismo de este problema.


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17. Obtenga una frmula explcita y exacta para el seno de un ngulomenor que un grado sexagesimal, usando la frmula del ngulo medio

para el ngulo de 459

18. Demuestre las identidades (indicando el conjunto de excepciones): " >1 B =/- B# #

-9= B "-9> B " " !# #

1 -9= -9= -9= # -9= # # # " " " -9=$B % -9= B $-9= B$

"=/8 #-9= # ">1">1

1.5 LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS COMOFUNCIONES DE VARIABLE REAL

Qu significa un ngulo? A nuestro entender significa podermedir

asociarle unvocamente un nmero real. Con nuestro sistema de asociar a

cada ngulo, positivo o negativo, la longitud del arco de un crculo de

radio unitario que recorre la semirecta que define el ngulo, tenemos un

buen mtodo para medir ngulos. La unidad de medida ser en este caso el

radin. Si cambiamos de unidad de medida, el nmero real asociado ser

otro. Recprocamente, para cada nmero real nos gustara poder definir

un ngulo con esa medida. Aqu tropezamos con una dificultad

matemtica no trivial: poder en buena forma la de unadefinir longitudcurva en el plano y poder dicha longitud. Es que cualquier curvacalcular

plana tiene longitud? Cules curvas tienen longitud y cuales no?

En nuestro caso la cosa no es tan complicada: solo tenemos que poder

calcular la longitud de un arco de circunferencia, cuya existencia damos

por sentada. Aceptando esto, podemos asociar a cada nmero real,

positivo o negativo, un ngulo (positivo si se mide la longitud del arco

recorrido en el sentido contrario a los punteros del reloj, y negativo

cuando se recorre el arco al revs). Pero a cada ngulo podemos asociar

las funciones trigonomtricas, de modo que, combinando ambos

procedimientos, podemos definir las funciones trigonomtricas como

funciones reales de variable real:


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Figura 1.13

Sea un nmero real, si llamamos al ngulo asociado medido enB B)radianes, entonces podemos definir las funciones reales:

=/8B =/8 B -9=B -9= B >1B >1 B />-) ) )

Podemos bosquejar sus grficas:

Figura 1.14

Se observa que todas estas funciones son peridicas, es decir, repiten sus

mismos valores cada cierta distancia fija. En general, una funcin real

0 ! 3se llama si existe un nmero tal queperidica

0B 0B aB 3 3El nmero positivo que realiza estamenorigualdad se llama .perodo


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Figura 1.15

Por se entiende la de la diferencia entre el mayor y elamplitud mitadmenor valor posible. Por se entiende el desplazamientodiferencia de fase

a izquierda o derecha respecto a una posicin considerada de referencia

("fase cero"). Veamos esto mediante algunos ejemplos:

EJEMPLOS

1. perodo0 B =/8 B #1amplitud "diferencia de fase !

# 0B $-9=B #1

% : perodo 1amplitud $diferencia de fase 1%

( se ha desplazado hacia la izquierda respecto a la fase cero)B 1%

3. perodo0 B #=/8$B " #$1

amplitud #diferencia de fase "

$

Notar que, para obtener la diferencia de fase en este caso se ha planteado

la ecuacin: : o sea, se ha desplazado a la derecha$B " ! B B" "$ $

respecto a la fase cero.


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Figura 1.16

Todas las funciones anteriores suelen recibir el nombre de , essinusoidesdecir, parecidas al seno.

Consideremos ahora la funcin seno restringida al intervalo : 1 1# #se observa que esta funcin es biyectiva y por lo tanto posee una inversa,

llamada : En la Figura 1.17arco-seno +


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De forma anloga podemos proceder con las dems funciones

trigonomtricas Para el arco-coseno se acostumbra a usar la rama que esten En la Figura 1.18 mostramos el coseno y el arccos:! 1

Figura 1.18

En la Figura1.19 mostramos la grfica de la tangente y una rama de la

funcin arco-tangente:

-1.4-1.2-1.0-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

x

y

(a) Grfica de tangente (b) Grfica de arco-tangente

Figura 1.19

Resulta interesante resolver es decirecuaciones trigonomtricas,

ecuaciones donde intervienen funciones trigonomtricas. Como estas

funciones son peridicas, habr generalmente infinitas soluciones y el


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problema consistir en describir apropiadamente todas ellas. Vemoslo en

unos ejemplos:

EJEMPLOS1. Resolver la ecuacin:

$=/8 B " #=/8 BDespejando resulta: luego:=/8 B =/8 B "

B #5 5 1#

1

Figura 1.20

2. Resolver la ecuacin:$=/8 B " =/8B

de donde por lo tanto:=/8B

"

#

B #5 5

#5 5 1

1'&'

1

1


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Figura 1.21

3. Resolver la ecuacin:l#=/8B "l l=/8 B "l !

Aqu debe observarse que ambos sumandos son positivos y por lo tanto la

nica manera que su suma sea 0 es que ambos sean 0. En ese caso se

tendra: y a la vez lo que es imposible. Luego=/8B =/8 B ""#esta ecuacin no tiene soluciones.

4. Resolver la ecuacin:l#=/8 B "l l=/8 B "l "

Esta ecuacin es muy parecida a la anterior, pero tiene, sin embargo,

muchas soluciones. En efecto, primero hay que observar que el trmino

=/8 B " es siempre negativo, por lo que la ecuacin se simplifica yqueda:

l#=/8B "l =/8 B !Para eliminar el valor absoluto, es necesario buscar las soluciones en dos

mbitos diferentes:

3 #=/8 B " ! =/8 B , es decir si , entonces la ecuacin es:"#

#=/8 B " =/8 B !luego , que pertenece al mbito de busqueda y por lo tanto=/8B "

B #51# 1es una familia infinita de soluciones.

33 #=/8 B " ! =/8 B , es decir si , entonces la ecuacin es:"# #=/8B " =/8 B !


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luego que pertenece al nuevo mbito de bsqueda y por lo=/8 B "$tanto tendremos dos familias infinitas de soluciones:

B !$% #5#)! #5

1

1

5. Resolver la ecuacin:(1)+


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Figura 1.22

Las ramas (1) corresponden a las ramas standard de estas funciones,

mientras que las (2) son ramas desplazadas en un perodo hacia arriba y1hacia abajo.

Llamando: entonces y aplicando la funcin" " +B >1 "-9>"tangente a la igualdad anterior, la ecuacin queda:

B "B

cuyas soluciones son: . Pero si observamos las ramasB " B "standard (1), stas no se cortan en , por lo tanto la nica solucinB "en este caso es: Para obtener como solucin habra que usarB " "ramas diferentes, por ejemplo la (1) de arcotangente con la (2) de

arcocotangente (en cuyo caso no es solucin).B "

De un modo anlogo se pueden plantear trigonomtricas, esinecuaciones

decir, problemas de bsqueda de nmeros reales que satisfacen alguna

relacin de desigualdad y que contiene funciones trigonomtricas.

EJEMPLOS

1. Resolver la inecuacin:=/8B "#


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Utilizando un grfico, se puede ver que el conjunto solucin en el

intervalo es:! # 1 1 1' '&

Figura 1.23

2. Resolver la inecuacin:=/8B -9= B "

Una forma poco inteligente de abordar este problema es hacer una

elaboracin algebraica del tipo:

=/8 B " =/8 B " # luego" =/8 B " =/8B# , elevando al cuadrado" =/8 B " #=/8 B =/8 B # # y simplificando y factorizando

=/8 B=/8 B " ! =/8 B "y como es siempre negativo, seconcluye

=/8 B ! B #por lo tanto mas las traslaciones debido al1 1perodo. Pero este resultado se obtiene directamente de la inecuacin:

=/8 B " -9= Bpuesto que es positivo. Del mismo modo , despejando el" -9= Bcoseno:

-9= B " =/8 Blo que se cumple si , es decir, si mas el perodo.-9= B ! B 1 1

# #$

Luego, la inecuacin se cumple en todo el intervalo ms las # 1# 1

traslaciones debido al perodo. La pregunta ahora es si acaso estas son lasnicas soluciones. Para esto hay que investigar que ocurre en el intervalo

! =/8 B -9= B1# Pero en ese intervalo y son los lados del tringulo

rectngulo de hipotenusa de largo 1. Por lo tanto en=/8 B -9= B "ese intervalo. Por lo tanto la solucin final es:


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W B #5 B 5 1 1 1# #$

De modo anlogo se pueden plantear de ecuaciones , sistemas desistemas

inecuaciones y sistemas mixtos, es decir, de ecuaciones e inecuaciones. En

el caso de los sistemas el problema consiste en encontrar aquellos

nmeros que satisfacen las condiciones propuestas. Veamostodas

ejemplos:

EJEMPLOS

1.- Resolver el sistema mixto:

l" #-9= Bl "l B "l #

La segunda condicin, de desigualdad, es fcil de resolver:

si entonces la desigualdad es , es decir, B " B " # B $si , entonces la desigualdad es o sea: B " B " #

. Por lo tanto la condicin de desigualdad es:B " " B $

Para resolver la primera condicin, de igualdad, es necesario buscar en

dos mbitos diferentes:

3 " -9= #B ! -9= B En , es decir, donde . Aqu la"#

ecuacin es:" #-9= B " -9= B !, luego que est en el mbito de bsqueda, por

lo tanto B #5

#51

1#$#

1

1

Pero debe estar entre 1 y 3 , por lo tanto la nica solucin en esteB mbito es 1

#

33 " -9= #B ! -9= B En es decir, donde . Aqu la1#ecuacin es:

" # -9= B " -9= B ", luego que est en el mbito debsqueda , por lo tanto

B #51 1Pero debe estar entre 1 y 3 , por lo tanto no hay solucin en esteB mbito. Luego, el conjunto-solucin del sistema es:

W 1#


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2.- Resolver el sistema mixto:+1 +1B"B ""B #

lB "l "

donde se considera la rama standard de arcotangente.

En primer lugar resolveremos la desigualdad, para saber dnde debemos

buscar las soluciones del sistema ! B #

Llamando , y aplicando la funcin tangente a ambos lados" +1 "B"Bde la igualdad, obtenemos:

>1# B " #>1">1 %B

#

"

#"B ""#

"B"B"B

"B

#

#

de donde . Pero debe estar en el intervalo [0,2], luego la nicaB B"$

solucin es: ."$

1.6 PROBLEMAS

1. Determinar perodo, amplitud y diferencia de fase de las siguientessinusoides y dibujar sus grficas:

0B #=/8#B 1$ 0B #-9=$B "1#

0B $ -9=B

1

%

2. Escribir la ecuacin de una sinusoide con las siguientes caractersticas:

perodo amplitud dif. de fase " 1 1# #perodo amplitud dif. de fase 1 1"

#

3. Encuentre : +


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5. Resolver las siguientes ecuaciones:

+ #-9= $-9= ##) ) , =/- B -9= B =/8 B - =/8 " -9=BB# . +1 B $=/-B $ !#

0 +


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"" Resolver el sistema mixto (ecuaciones con inecuaciones)

-9=#B =/8 B " B 'B & !# 1#. Resolver:

#=/8 B &-9= B ! en 1 1# #

1$. Resolver el sistema de inecuaciones:

>1B -9>B >1 1% #B 'B #! !#

"%. Resolver:

%=/8 B " " #=/8 B#lB $l !

1&. Resolver el sistema mixto:

-9=/- B -9> B $" B 6

"' Resolver las ecuaciones:

l" #=/8 Bl =/8 B

| " $-9=Bl -9= B


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"( :Resolver la inecuacin con parmetro real :

=/8 B : " -9= B#

(Aqu debe usted clasificar las posibles soluciones segn el valor del

parmetro . Distinga en particular los casos y ): : ! : "#

1.7 . TRIGONOMETRA ESFRICA

Se cuenta que, a finales de los aos 70, la Gobernacin Martima de

Valparaso contrat a dos jvenes ingenieros para calcular las rutas de

acercamiento de los barcos que se dirigan a puerto desde lejanas latitudes.En aquella poca recin se estaban difundiendo las computadoras

personales y su uso se estaba convirtiendo en una moda muy extendida

entre los jvenes profesionales. Haciendo uso de ellas, nuestros ingenieros

comenzaron su tarea con gran entusiasmo. Sin embargo aparecieron

errores reiterados que hacan perder tiempo ( y dinero) a las compaas

navieras. Pensando que eran errores de redondeo en los clculos,

introdujeron en los programas computacionales. Pero losdoble precisin

errores persistan. Hasta que un viejo ingeniero naval se percat que

nuestros jvenes profesionales haban programado los clculos usando

Trigonometra Plana, la nica que haban aprendido en la Universidad.

Pero la Tierra no es plana y si los barcos estaban bastante lejos, laredondez de la Tierra haba que tomarla en cuenta.

Si bien la Tierra no es exactamente una esfera, se acerca bastante a esa

forma: pero hay versiones de los teoremas del seno y el coseno cuando

los lados del tringulo ya no son rectas sino arcos de crculo? Qu

relaciones se pueden establecer entre los elementos de un tringulo cuyos

lados son arcos de crculo mximo de una esfera?

Hay dos problemas bsicos en la navegacin: uno es el de determinar la

direccin en que se debe navegar para llegar al punto deseado. Este es el

Problema del Rumbo. El otro es el problema inverso: partiendo de cierto

punto conocido y con un rumbo dado, despus de recorrer una cierta

distancia, cul es la ubicacin del barco? Este es el llamado Problema deColn. Para resolver estos problemas se necesita un sistema de

coordenadas sobre la esfera terrestre ( y , por supuesto, considerar la

Tierra como una esfera). Adems, se necesita desarrollar una versin de la

Trigonometra sobre la esfera: la Trigonometra Esfrica.


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31

Entenderemos por ABC a la figura sobre la superficieo

tringulo esfrico ?de una esfera formada por tres puntos A, B, C sobre ella , llamados

vrtices, y los tres arcos de crculo mximo que unen dichos vrtices.

Figura 1.24

Se van a entender como del tringulo esfrico ABC loso

lados + , - ?ngulos que subtienden los arcos respecto del centro de la esfera. Los

ngulos , y en los vrtices respectivos A, B, C son los " # ngulosdiedros formados por los planos que pasan por el centro y los vrtices

respectivos. Por ejemplo, ser el ngulo diedro formado por los planosOAC y OBC en la Figura 1.17. Recordemos que el ngulo diedro entre

dos planos se obtiene trazando perpendiculares a la interseccin de los

planos:

Figura 1.25


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32

Ntese que en un tringulo esfrico la suma de los ngulos " # puede ser mayor que 180 . Por ejemplo en el tringulo esta9 trirectngulo

suma es de 2709

Figura1.26

Dados dos puntos A, B cualquiera sobre la esfera, el arco AB se entender

como el arco menor o igual a 180 . Todo arco posee dos que son9 polos

los puntos sobre la esfera que intersecta la recta perpendicular al plano

OAB.

Figura 1.27

Si C es el tercer vrtice del tringulo esfrico ABC , entonces podemoso?

elegir como polo del arco AB aqul que est en el mismo hemisferio que

el vrtice C. Llamaremos a este polo C' . Lo mismo podemos hacer con los


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33

otros dos arcos del tringulo esfrico: A' ser el polo del arco BC que est

en el mismo hemisferio que A y B' el polo del arco AC que est en el

mismo hemisferio que B. De este modo hemos definido un nuevo

tringulo esfrico: A'B'C' que llamaremos de ABC.o o? ?tringulo polarEs til notar que cualquier arco que vaya desde el polo al planoTdeterminado por el arco AB medir 90 , es decir radianes.9

#1

Los teoremas bsicos de la Trigonometra Esfrica hacen uso del tringulo

polar y sus propiedades.

Demostraremos previamente estas propiedades en forma de Lema:

LEMA

Sea A'B'C' el tringulo polar de ABC . Entonces:o o? ?

+ + , - + , -w w w w w w1 1 " 1 # donde y son loslados ngulosdel tringulo polar, mientras que , y son los del " #

tringulo ABCo?

, El tringulo ABC es el tringulo polar de A'B'C'o o? ?

DEMOSTRACIN

Consideremos el arco AC y su polo asociado B' y adems el arco AB consu polo C'. Luego, por definicin el arco B'A es recto y del mismo modoel arco C'A tambin mide Por lo tanto, el vrtice A es polo del arco1

#

C . De modo anlogo, B ser el polo del arco A y C el polo dew w w wF G

E EFG w wB Esto demuestra que el tringulo es el tringulo polar de suo?

tringulo polar.


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34

Figura 1.28

El arco C se intersecta con el arco AC en el punto E y con el arcow wFAB en el punto D. Como B es polo del arco AC, el arco B E midew w

tambin , lo mismo que el arco puesto que es polo del arco A .1#

w wG H G F

Observando el arco se tiene:G IHFw w

1 + I H G F G H F I w w w w w # #1 1

de donde : .+ w 1 Si se teme que esta deduccin depende de la distribucin de los puntos

HE F I H I w w sobre el arco, sera necesario ver que ocurre si los puntos yse encuentran en otros lugares:

Supongamos que la secuencia es : tambin se cumple: IG HFw w

IH G F G H F Iw w w w

Si la secuencia es, finalmente nuevamente se tiene: IG F H w w

IH G F G H F I

w w w w

Notar que en todos los casos se est sumando dos veces el arco interior.

Las otras dos relaciones se demuestran solo por cambio de nombre de los

elementos.


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TEOREMA 3 Sea un tringulo esfrico. Entonces:?

9

EFG

1. (Ley de los senos)=/8 + =/8 , =/8 -=/8 =/8 =/8 " #

2. -9= + -9= , -9= - =/8, =/8- -9= -9=, -9=- -9=+ =/8 - =/8 + -9= " -9= - -9= + -9= , =/8+ =/8, -9= #

(Ley de los cosenos para los lados)

3. -9= -9= -9= =/8 =/8 -9= + " # " # -9= -9= -9= =/8 =/8 -9= ," # #

-9= -9= -9= =/8 =/8 -9= -# " " (Ley de los cosenos para los ngulos diedros)

DEMOSTRACIN

Consideremos primero el caso particular de un tringulo esfrico

rectngulo en C, es decir, # *! 9

Figura 1.2*

Tracemos por B un plano perpendicular a OA. Este plano cortar a OA en

el punto E y a OC en el punto D. Notar que entonces los ngulos OEB y

OED son rectos. Por lo tanto el ngulo BED ser el ngulo diedro . Elplano BED es perpendicular al plano OAC pues ste contiene la recta OA


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que es perpendicular al plano BED. Por otro lado, ya que el tringulo

esfrico es rectngulo en C, el plano ODB es perpendicular al plano OAC.

Por lo tanto la recta BD es perpendicular al plano OAC, pues es la

interseccin de dos planos que son perpendiculares a OAC. En particular

BD es perpendicular a OC y tambin BD es perpendicular a DE.

Observando la Figura 1.22 y aplicando directamente las definiciones de

las funciones trigonomtricas pertinentes, se obtiene:

(1) =/8 + =/8 =/8 -FH FH IFSF IF SF

(2) >1 + >1 =/8 ,FH FH HI SH HI SH

(3) -9= - -9= , -9= +SI SI SHSF SH SF

(4) >1 , -9= >1 -HI HI IFSI IF SI

Sea ahora ABC un tringulo esfrico cualquiera. Por el vrtice C y elo?

centro O de la esfera podemos trazar un plano perpendicular al plano

AOB, lo que corresponde a la altura :2

Figura 1.$!

Este plano corta al arco AB en un punto D determinndose los lados y7- 7 7 -( o bien si la altura corta fuera de AB). Se determinan as

dos tringulos esfricos rectngulos en el vrtice D y podemos aplicar las

relaciones obtenidas ms arriba


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1. Demostremos ahora la ley de los senos

( usando (1) en ADC )

o

=/8 2 =/8 =/8 , ?( usando (1) en DBC )

o=/8 2 =/8 =/8 +" ?

Luego: Bajando la otra altura se completa la igualdad=/8 + =/8 ,=/8 =/8 "

con el cuociente =/8-=/8 #

2. Para demostrar la ley de los cosenos para los lados observamos:

(5) usando (2) en ADC )o

>1 2 >1 =/8 7 ?

(6) (usando (1) en ADC)o

=/82 =/8,=/8 ?

(7) (usando (3) en ADC )

o

-9= , -9= 2 -9= 7 ?(8) (usando (3) en DBC )

o-9= + -9= 2 -9=- 7 ?

Luego, usando el teorema del coseno de la suma en (8), tenemos:

-9=+ -9= 2 -9=- -9=7 =/8 - =/8 7reemplazando aqu y de (7) y (5) respectivamente:-9= 7 =/8 7-9= + -9= 2-9= - =/8 - -9= , =/8 2 -9=

-9= 2 -9= 2 =/8

-9=- -9= , =/8 - =/8 2 -9==/8

reemplazando finalmente de (6) se obtiene la ley del coseno para el=/8 2lado . Las otras dos leyes se obtienen simplemente cambiando el nombre-a los elementos. Aqu conviene notar que, en caso que la altura corte fuera

de AB el lado deber ser reemplazado por y el coseno no- 7 7 -cambia en la relacin (8).

3. Para demostrar la ley de los cosenos para los ngulos diedros es preciso

pasar al tringulo polar Apliquemos el teorema de los cosenoso?E F G w w w

para los lados al tringulo polar :o?E F Gw w w

-9=+ -9=, -9=- =/8, =/8- -9=w w w w w wPero por el Lema, adems, como+ , - w w w1 1 " 1 #

? ? 1 o o

es el tringulo polar de , es decir,EFG E F G + w w w w

1w + Sustituyendo estas relaciones en la igualdad anterior:

-9= -9= -9= 1 1 " 1 # =/8 =/8 -9= +1 " 1 # 1luego, utilizando la relacin de las funciones trigonomtricas con los

ngulos suplementarios, se tiene:

-9= -9= -9= =/8 =/8 -9= + " # " #


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es decir:

-9= -9= -9= =/8 =/8 -9= + " # " # que era lo que queramos demostrar. Las otras dos leyes se obtienen

nuevamente cambiando el nombre a los elementos.

LOS PROBLEMAS DE LA NAVEGACIN

Para resolver los dos problemas clsicos de la navegacin, debemos

introducir un sistema de coordenadas apropiado: uno de los "ejes" es el

llamado que es el arco de crculo mximo quemeridiano de Greewich

pasa por los polos y por la ciudad de Greenwich (cerca de Londres). El

otro es el Ecuador, que es el crculo mximo situado en el plano

perpendicular a la recta que pasa por los polos. Un punto A sobre la esfera

quedar determinado por el ngulo entre los planos que pasan por lospolos y A y el plano que contiene al meridiano de Greenwich. Este ngulo

se llama y se mide entre 0 y 180 hacia el Este o hacia el Oeste.longitud 9

La otra coordenada es la llamada , que es el ngulo sobre ellatitud

meridiano que va desde el ecuador hasta el punto A. La latitud se medir

entonces desde 0 a 90 hacia el norte o hacia el sur.9

Figura 1.3"


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Se entiende por de un de un navo que se mueve sobre un arco derumbo

crculo mximo sobre la superficie de la tierra, al ngulo que forma su

movimiento medido desde el meridiano que pasa por la posicin en que se

encuentra. Este ngulo se mide de 0 a 180 hacia el Este o hacia el Oeste.9

Figura 1.3#

El rumbo se puede medir tambin de 0 a 90 hacia el NE (noreste), hacia9

el NO (noroeste), hacia el SE (sureste) o hacia el SO (suroeste). Ntese

que el rumbo depende de la direccin del movimiento y que, a menos que

se navegue por un meridiano o por el Ecuador, el rumbo cambia

constantemente.


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Figura 1.3$

El problema del RumboDados los puntos A y B, determinar el rumbo de salida, el rumbo de

llegada y la distancia que los separa. En este caso se forma un tringulo

esfrico tomando como tercer vrtice el polo norte ( o el polo sur):

Figura 1.3%Los datos son:

el lado a: 90 latitud de B (se tomar el signo si B se 9

encuentra en el hemisferio Norte y el signo + si est en el Sur)


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el lado b : 90 latitud de A (se tomar el signo si A se 9

encuentra en el hemisferio Norte y el signo + si est en el Sur)

el ngulo : la diferencia de longitudes de A y B #Se busca: rumbo de salida : ; rumbo de llegada: 180 y distancia : c "9

La distancia se obtiene directamente del teorema del coseno paralos lados:

-9= - -9=+ -9= , =/8+ =/8,-9= #

Para calcular el rumbo de salida usamos el teorema de los senos:

=/8 =/8+=/8=/8-

#

donde ya que el ha sido calculado.=/8 - " -9= - -9= -#

El rumbo de llegada se calcula anlogamente:

=/8 " =/8,=/8=/8-#

Apliquemos estos resultados a un problema concreto: partimos de Buenos

Aires (35 ) y queremos llegar a las Islas Canarias (309 9 96+>W '! 6981 S6+> R #! 6981 S9 )

Figura 1.35

Entonces: # %! + *! $! '! , *! $& "#&9 9 9 9 9 9 9

Por lo tanto, la distancia ser:


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-9= - !& !&( !)(!)#!(( !#'luego millas marinas (una milla marina es- (% '( %%)! %%)!9 w

aproximadamente un minuto de arco sobre la esfera terrestre. Como una

milla marina corresponde a 1,852 Km, la distancia ser de 8.297 Km.

aproximadamente.

Por otro lado y por lo tanto=/8 - =/8 (%'( !*' 9

=/8 !&( $% *) I !)'!'%!*'

9

Anlogamente, resulta " $$#' I9

Resulta interesante calcular esta distancia .como si la tierra fuese plana

Para esto aplicamos el teorema del coseno al tringulo BCN, considerado

plano. Los lados sern [Km] [Km] , luego:+ '''( , "$)*!

- + , #+,-9= *((## # # [Km]que contrasta con los 8.297 Km calculados anteriormente

El problema de ColnPartimos de un punto dado A con un rumbo de salida dado y recorremosuna distancia siguiendo un arco de crculo mximo: cules son las-coordenadas (latitud y longitud) del punto B de llegada? Nuevamente

podemos tomar como tercer vrtice el polo Norte.

Esta vez los datos son (ver Figura 1.27):

el ngulo (rumbo de salida)

el lado b : 90 latitud de A (se tomar el signo si A se 9encuentra en el hemisferio Norte y el signo + si est en el Sur)

el lado (medido en millas marinas nos dar el ngulo en -minutos)

El lado lo podemos calcular directamente de la ley de los cosenos:+-9= + -9= , -9= - =/8, =/8- -9=

La latitud del punto B ser 90 o segn resulte ser + + *! +9 9

menor o mayor que 90 . Si es menor que 90 significa que el punto de9 9+llagada B se encuentra en el hemisferio norte.

Usando la ley de los senos, se tiene:

=/8 # =/8- =/8=/8+

La longitud de B ser igual a la longitud de A ms (o menos) el ngulo ,#segn sin el rumbo tomado fu Este u Oeste.


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Apliquemos estos resultados a un problema concreto: partimos de

Valparaso (33 S , 72 O) con rumbo de salida 45 O y9 9 96+> 6981recorremos 3000 millas marinas. dnde nos encontramos?

Figura 1.36

En este caso : 3000 50 %& - , *! $$ "#$9 w 9 9 9 9

-9= + !&%! !)%! !(" !643 766 129

Luego 84 0 y por lo tanto la latitud de B ser 5,98 N+ # 9 9

=/8 !# !!'!("!995

545

luego 3 99 y por lo tanto la longitud del punto B ser de 104,99# # 9 9

O.

OBSERVACIONES.

1. En el clculo de los ngulos aparece con frecuencia el seno del ngulobuscado. Pero en general habr dos ngulos, en el intervalo que! 1tienen el mismo seno. En efecto:

=/8 =/8 =/8 1 1 1# # # 1


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cul ser el ngulo buscado, el agudo o el obtuso? Para responder a esta

pregunta es necesario analizar el problema concreto.

Vemoslo con un ejemplo:

Se zarpa desde Valparaso con rumbo 30 hasta alcanzar una9R Sdiferencia de longitud de 20 se ha cruzado el ecuador?9

Figura 1.37

Llamemos B al punto en que la trayectoria cruzara al ecuador. En el

tringulo BVN calculemos el ngulo : si este ngulo resulta menor queo? #

20 entonces no se habra cruzado el ecuador. Apliquemos el teorema de9los senos a este tringulo:

=/8R F =/8R Z =/8$! =/8 "

Pero el arco NB es de 90 y el arco NV es de 90+33 , luego:9 9 "#$

=/8 =/8"#$ =/8$! #%)"&

" "=/8"#$ =/8 $!=/8*!

9

9, de donde cul de las dos soluciones es la correcta? Para dilucidarlo apliquemos el

teorema de los cosenos al BVN:o?

-9= "#$ -9=FR -9=FZ =/8FR =/8FZ -9= =/8F -9=" "VPero el coseno de 123 es negativo mientras que el seno del arco BV es9

positivo: luego el coseno de debe ser negativo y por lo tanto el ngulo" "debe ser el ngulo obtuso: De la igualdad anterior se obtiene" "&


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el seno del arco BN y nuevamente aplicando el teorema de los senos, se

tiene:

=/8 =/8$! =/8 FR#

de donde : Por lo tanto el barco cruza el ecuador.# "( %& 9

2. La distancia ms corta entre un punto en el plano y una recta es ladistancia del punto al pi de la perpendicular. Ser vlida esta propiedad

en la esfera? . Tomemos un punto P en la esfera y una "recta" en laEFesfera, es decir un arco de crculo mximo:

Figura 1.38

Si aplicamos el teorema de los cosenos al ABP, obtenemos:o?

-9= , -9= + -9= - =/8 + =/8 , -9= *! -9= + -9= - -9= +9

Luego, si es decir, si A, B, C se encuentran en el mismo+ ,- *! 9

hemisferio, entonces el coseno es decreciente, por lo tanto + ,Ntese que esto no es ya vlido para arcos mayores de 90 , ms an, es9

fcil ver que el arco PA perpendicular al arco AB corta a este ltimo endos puntos, uno de los cuales provee la distancia ms corta y el otro la ms

larga.


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1.8. PROBLEMAS

1. El rumbo inicial de un barco que parte desde Nueva York(40 O ) es de Localizar el punto M del9 w 9 w 9 w%# R (% "! $! "! R Irecorrido que sea el ms cercano al polo Norte y calcular las distancias

desde M al polo y a Nueva York.

2. Un barco parte de San Francisco (37 ) con un rumbo9 w 9 w%) R"## #% Sinicial de 40 . Calcule la distancia hasta el cruce con el Ecuador.9 w$! WSCul ser la longitud en ese punto? Localice adems el punto en que se

encuentra el barco despus de recorrer 340 millas marinas.

3. Un aeroplano sale de Honolul (21 ) con rumbo9 w 9 w") R "&( Sinicial de 40 Encuentre el punto ms cercano al polo Norte de su9%$RItrayectoria y calcule la latitud en que se encuentra cuando la longitud es

de 749 S

4. Un barco parte de Valparaso (33 con un rumbo inicial de9 9W(# S32 Qu distancia se puede recorrer de modo que el error cometido9 WSen el clculo de la latitud usando Trigonometra Plana sea menor o igual a

un grado sexagesimal? Use el Polo Sur como tercer vrtice.

(Indicacin: use el mtodo de ensayo y error)

5. Un barco que navega en la polinesia francesa (15 necesita9 9W "%! Sser guiado a Valparaso (33 : calcule el rumbo de salida. Calcule9 9W (# Seste rumbo como si la tierra fuese plana (use el polo sur como tercer

vrtice): adnde ira a parar en Chile si se usa ese rumbo errneo?

6. Un barco parte de un punto A (20 ) con rumbo 30 y9 9 9R ! 6981 R I recorre 3000 millas marinas alcanzando el punto B.

Calcule latitud y longitud de BSi el capitn no sabe trigonometra esfrica y aplica plana,

encuentre los valores de latitud y longitud calculados de este modo

errneo.La (falsa) posicin calculada por este capitn se encuentra ms

al Sur o ms al Norte, ms al Oeste o ms al Este de la verdadera?

Cul es el error total cometido? (es decir, la distancia en millasentre la posicin falsa y la verdadera?


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7. Un barco parte de Valparaso con la intencin de llegar a Isla de Pascua(27 pero parte con un rumbo levemente equivocado de 86 S .9 9 9W "!* S SCalcule la distncia mnima a Isla de Pascua por la que pasa el barco.

Cul debi ser el rumbo (de salida) correcto?

8. Dos barcos A y B parten desde un mismo punto a las 12:00 hrs. y sealejan uno de otro segn un ngulo de 7 . Si el barco A se desplaza en9

lnea recta a 8 nudos y B a 6 nudos, A qu distancia estar uno de otro a

las 16:00 hrs.? Use Trigonometra Plana y Esfrica y calcule el error

cometido. Estudie cmo aumenta el error a medida que los barcos se

alejan.

(1 nudo 1 milla marina por hora 1.852 Km/hora )

9. Dos submarinos zarpan desde un mismo punto y al mismo tiempo enrumbos que difieren en un ngulo . Uno navega con un a velocidad de25 nudos y el otro a 23 nudos. Tres horas despus de partir distan entre si

10 millas. cul es el ngulo comprendido entre sus cursos? (Haga un

anlisis como en el problema anterior). Que puede Ud. concluir ?

Trigonometria plana y esferica

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