Trigonometria esferica

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  • 1. E. T. S. DE INGENIERA en TOPOGRAFA, GEODESIA Y CARTOGRAFA UNIVERSIDAD POLITCNICA DE MADRID UNIDAD DOCENTE DE MATEMTICAS Madrid, Septiembre de 2008 TRIGONOMETRA ESFRICA FUNDAMENTOS

2. 2 Manuel Barrero Ripoll M Luisa Casado Fuente M ngeles Castejon Solanas Luis Sebastin Lorente Impreso en E.T.S.I. en Topografa, Geodesia y Cartografa. Madrid, 2008 I.S.B.N.: 84-96244-13-x 3. ndice U. D. de Matemticas. ETSI en Topografa, Geodesia y Cartografa 3 CONTENIDO CAPTULO PRIMERO: GEOMETRA SOBRE LA SUPERFICIE ESFRICA 1.1 Diedros y Triedros 6 1.2 Propiedades y Definiciones 7 1.3 Tringulos esfricos 9 1.4 Propiedades de los tringulos esfricos 11 1.5 Clasificacin de tringulos esfricos 12 1.6 Tringulos esfricos polares 12 1.7 Tringulos esfricos adyacentes y simtricos 13 1.8 Superficie de un tringulo esfrico 14 1.9 Superficie de un polgono esfrico 14 1.10 Ejercicios propuestos 16 CAPTULO SEGUNDO: RELACIONES ENTRE LOS LADOS Y LOS NGULOS DE UN TRINGULO ESFRICO 2.1 Teorema del seno 19 2.2 Teorema de coseno 20 2.3 Teorema de la cotangente 22 2.4 Teorema del coseno para los ngulos 23 4. ndice U. D. de Matemticas. ETSI en Topografa, Geodesia y Cartografa 4 2.5 Funciones de los ngulos mitad 24 2.6 Analogas de Gauss-Delambre 26 2.7 Analogas de Neper 27 2.8 Distancia esfrica entre dos puntos 28 2.9 Ejercicios propuestos 30 CAPTULO TERCERO: TRINGULOS ESFRICOS RECTNGULOS Y RECTILTEROS 3.1 Tringulos rectngulos. Regla de Neper 35 3.2 Proposiciones 36 3.3 Resolucin de tringulos rectngulos 37 3.4 Tringulos esfricos rectilteros. Resolucin 39 3.5 Ejercicios propuestos 42 CAPTULO CUARTO: PROBLEMAS 4.1 Problemas resueltos 46 4.2 Problemas propuestos 52 4.3 Soluciones 57 5. Geometra sobre la superficie esfrica. U. D. de Matemticas. ETSI en Topografa, Geodesia y Cartografa 5 CAPTULO PRIMERO: Geometra sobre la superficie esfrica 1.1 Diedros y Triedros 6 1.2 Propiedades y Definiciones 7 1.3 Tringulos esfricos. Definiciones y Propiedades 9 1.4 Propiedades de los tringulos esfricos 11 1.5 Clasificacin de tringulos esfricos 12 1.6 Tringulos esfricos polares 12 1.7 Tringulos esfricos adyacentes y simtricos 13 1.8 Superficie de un tringulo esfrico 14 1.9 Superficie de un polgono esfrico 14 1.10 Ejercicios propuestos 16 6. Geometra sobre la superficie esfrica. U. D. de Matemticas. ETSI en Topografa, Geodesia y Cartografa 6 6 1.1 Diedros y Triedros Se llama diedro, a la regin del espacio comprendido entre dos semiplanos a y b limitados por una recta comn AB (fig. 1.1-a). Los semiplanos a y b que lo forman se llaman caras del diedro, y la recta comn AB arista. Se llama ngulo correspondiente a un diedro, al ngulo formado por dos perpendiculares a la arista en un mismo punto y una en cada cara. As, si EF y HE son perpendiculares a la arista AB, el ngulo FEH es el ngulo del diedro. Tres semirrectas en el espacio no situadas en el mismo plano, y con origen comn en un punto V, constituyen un triedro (fig. 1.1-b). El punto V y las semirrectas se llaman, respectivamente, vrtice y aristas del triedro. Los ngulos que determinan cada dos aristas consecutivas se llaman lados o caras del triedro, su medida es siempre menor que 180, y se designan con las letras a, b y c. Cada semirrecta determina dos semiplanos que contienen respectivamente a las otras dos. Los diedros as definidos se llaman ngulos del triedro, su medida es siempre menor que 180, y se designan mediante las letras A, B y C. (Se designa por A el diedro cuya arista contiene a la semirrecta que no est en el plano de la cara a, y anlogo para B y C). Los lados a, b y c se llaman, respectivamente, opuestos a los ngulos A, B y C, y recprocamente. b c a V C B A Fig.1.1-bFig. 1.1- a B F a b H A E b c a V C BA Fig.1.1-c A 7. Geometra sobre la superficie esfrica. U. D. de Matemticas. ETSI en Topografa, Geodesia y Cartografa 7 Cortando el triedro VABC de la figura 1.1-b por la arista VA se puede colocar las tres caras sobre un plano, como se expresa en la figura 1.1-c. As se obtiene el llamado desarrollo del triedro, que se compone de tres ngulos consecutivos. Triedros simtricos son los formados por semirrectas opuestas. Por consiguiente, sus caras son ngulos opuestos por el vrtice, y sus diedros son opuestos por la arista. Por lo tanto, en dos triedros simtricos los elementos homlogos son iguales, pero el orden de sucesin de estos elementos es inverso, por lo que, en general, dos triedros simtricos no son superponibles. 1.2 Propiedades Los lados y los ngulos de un triedro cumplen las propiedades siguientes: 1. En todo triedro, una cara es menor que la suma de las otras dos y mayor que su diferencia. cbacb + > 3. La suma de las caras de un triedro es menor que cuatro ngulos rectos. 360a b c+ + < 4. La suma de los tres ngulos diedros de un triedro est comprendida entre dos y seis ngulos rectos. 180 540A B C< + + < 8. Geometra sobre la superficie esfrica. U. D. de Matemticas. ETSI en Topografa, Geodesia y Cartografa 8 8 Definiciones Una Circunferencia mxima, o ciclo, sobre una esfera, es el permetro de la seccin producida por la interseccin de la esfera con un plano que pasa por el centro de la esfera; por tanto, su radio ser el de la esfera. Una Circunferencia menor es el permetro de la seccin producida por la interseccin de la esfera con un plano que no pase por su centro. Puesto que por tres puntos no alineados pasa un plano y slo uno; dados dos puntos A y B de la esfera, no diametralmente opuestos, siempre existe un plano y slo uno, cuya interseccin con la esfera define el ciclo AB. La distancia esfrica entre dos puntos A y B de una superficie esfrica es la longitud del menor arco de ciclo comprendido entre los dos puntos A y B. O BA Fig. 1.2.a Circunferencia mxima Circunferencia menor A B P P O Fig. 1.2-b C 9. Geometra sobre la superficie esfrica. U. D. de Matemticas. ETSI en Topografa, Geodesia y Cartografa 9 La medida de la distancia AB es la del ngulo plano AOB. Dos ciclos siempre se cortan en dos puntos P y P diametralmente opuestos. Se llama ngulo esfrico entre dos ciclos al ngulo formado por las dos tangentes a las semicircunferencias en uno de sus puntos de contacto. Puesto que dichas tangentes son perpendiculares al dimetro PP, el ngulo esfrico es el correspondiente al diedro formado por los planos de los dos ciclos y su medida es la misma que la del arco AC. Se llaman polos de un ciclo a los extremos del dimetro perpendicular a su plano, trazado por el centro de la esfera. As, en la figura 1.2-b, P y P son los polos del ciclo AC. Todo ciclo posee dos polos. Dos ciclos son perpendiculares si el ngulo esfrico formado por ambos es recto. La condicin necesaria y suficiente para que dos ciclos sean perpendiculares es que uno de ellos pase por los polos del otro, en cuyo caso ste pasa por los polos de aqul. 1.3 Tringulos esfricos Un tringulo esfrico es la regin de superficie esfrica limitada por tres arcos de circunferencia mxima que se cortan dos a dos. Los arcos son los lados del tringulo esfrico, y los vrtices de los tres ngulos esfricos son los vrtices del tringulo esfrico. (fig. 1.3). Cuando se unen los vrtices de un tringulo esfrico con el centro de la esfera, se obtiene un triedro. Podemos, entonces, dar otra definicin de tringulo esfrico: Es la interseccin de la esfera con las tres caras del triedro. C O a b Fig. 1.3 c B A 10. Geometra sobre la superficie esfrica. U. D. de Matemticas. ETSI en Topografa, Geodesia y Cartografa 10 10 Los tres arcos AB, BC y CA del tringulo ABC llamados lados del tringulo se designan por c, a, y b, respectivamente; su medida, es por tanto la de los ngulos de las caras del triedro. Los tres puntos A, B, y C de interseccin de las aristas del triedro con la esfera son los vrtices o ngulos del tringulo esfrico y su medida es la misma que la de los diedros del triedro, OA, OB, y OC. Segn esto, a cada propiedad de los ngulos triedros corresponde una propiedad anloga de los tringulos esfricos, y recprocamente. Es evidente que los ngulos de las caras y los ngulos diedros de un ngulo triedro no se alteran en magnitud variando el radio de la esfera; por tanto, las relaciones entre los lados y los ngulos de un tringulo esfrico son independientes de la longitud del radio. Los lados de un tringulo esfrico, siendo arcos, son expresados normalmente en unidades angulares, grados o radianes. Si se desea conocer la dimensin lineal de un lado, ser necesario saber el radio de la esfera correspondiente al tringulo. En la prctica la longitud de un lado (arco) puede hallarse en funcin de cualquier unidad lineal, por medio de la siguiente analoga: r2 = arcodelgrados 360 = arcodelLongitud ciclodelLongitud 11. Geometra sobre la superficie esfrica. U. D. de Matemticas. ETSI en Topografa, Geodesia y Cartografa 11 1.4 Propiedades de los tringulos esfricos 1 Cualquier lado de un tringulo esfrico es menor que una semicircunferencia 180a < . 2 Cada lado del tringulo esfrico es menor que la suma de los otros dos y mayor que el mdulo de su diferencia. bacba + 5 En un tringulo esfrico, a lados iguales se oponen ngulos iguales. Y recprocamente. BAba == 6 La suma de los ngulos de un tringulo esfrico es mayor que dos rectos y menor que seis rectos. 540CBA180 ++ 540CBA ; y esto segn la formula ccosbcosacos = se verifica si > > 0ccos 0bcos 0c 0ccos 0bcos > < 0ccos 0bcos ; por tanto, slo uno de ellos es agudo. En todo tringulo esfrico rectngulo, la hipotenusa es menor o mayor que 90, segn que los dos catetos sean de la misma o de distinta especie, respectivamente. Es consecuencia inmediata de la proposicin anterior. 37. Tringulos esfricos rectngulos y rectilteros. U. D. de Matemticas. ETSI en Topografa, Geodesia y Cartografa 37 3.3 Resolucin de tringulos rectngulos Son seis los casos de resolucin: Primer caso.- Conocidos los catetos b y c Utilizando las frmulas I, II.3 , III.4, sale senb tgc tgC; senc tgb tgB;ccosbcosacos === Segundo caso.- Conocida la hipotenusa a, y un cateto b Utilizando las formulas