Trigonometria ejercicios resueltos

download Trigonometria ejercicios resueltos

of 22

  • date post

    19-Mar-2016
  • Category

    Documents

  • view

    225
  • download

    2

Embed Size (px)

description

Documento de Matematica

Transcript of Trigonometria ejercicios resueltos

  • MATEMTICAS TIMONMATE

    EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRA Juan Jess Pascual

    1/22

    TRIGONOMETRA

    A. Introduccin terica A.1 Razones trigonomtricas de un tringulo rectngulo.

    A.2. Valores del seno, coseno y tangente para ciertos ngulos significativos (en grados y radianes).

    A.3. Significado geomtrico de las razones trigonomtricas en la esfera goniomtrica.

    A.4. Relaciones entre las razones trigonomtricas.

    A.5. Resolucin de tringulos: Teoremas del seno y del coseno.

    B. Ejercicios resueltos B.1. Razones trigonomtricas.

    B.2. Ecuaciones trigonomtricas.

    B.3. Problemas.

    A. INTRODUCCIN TERICA

    A.1 Razones trigonomtricas de un tringulo rectngulo:

    Las razones trigonomtricas de un tringulo rectngulo son las siguientes funciones:

    La funcin seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente.

    Todas ellas pueden entenderse como relaciones entre los lados de un tringulo rectngulo.

    Veamos las expresiones de cada una de ellas referidas a los ngulos y del tringulo rectngulo aqu representado:

    a) Para el ngulo :

    funcin seno funcin coseno funcin tangente

    =a

    senc

    =b

    cosc

    =a

    tgb

    funcin cosecante funcin secante funcin cotangente

    1 ccos ec

    sen a = =

    = =

    1 csec

    cos b = =

    1 bcotg

    tg a

  • Ejercicios de trigonometra resueltos TIMONMATE

    2/22

    b) Para el ngulo :

    funcin seno funcin coseno funcin tangente

    = bsenc

    = acosc

    = btga

    funcin cosecante funcin secante funcin cotangente

    = =1 c

    cosecsen b

    = =1 c

    seccos a

    = =1 a

    cotgtg b

    A.2. Valores del seno, coseno y tangente para ciertos ngulos significativos

    (en grados y radianes)

    ngulo sen cos tg ngulo sen cos tg

    0 0 rad 0 1 0 60 rad3

    pi

    3

    2

    1

    2 3

    30 rad6

    pi

    1

    2

    3

    2

    1

    3 90 rad

    2

    pi 1 0

    45 rad4

    pi

    2

    2

    2

    2 1 180 radpi 0 1 0

    A.3. Significado geomtrico de las razones trigonomtricas en la esfera goniomtrica

    Se llama circunferencia goniomtrica a aquella que tiene por radio la unidad. Para una circunferencia goniomtrica es posible dar un sentido muy intuitivo a todas las razones trigonomtricas. Vamos a verlo mediante el siguiente dibujo.

  • TIMONMATE Ejercicios de trigonometra resueltos

    3/22

    A.4. Relaciones entre las razones trigonomtricas

    a) Relaciones fundamentales:

    El seno, el coseno y la tangente de un ngulo estn relacionados mediante la siguiente igualdad:

    sentg

    cos

    =

    Por otro lado, se cumple la siguiente igualdad, estrechamente vinculada al teorema de Pitgoras:

    2 2sen cos 1+ =

    b) Relaciones del ngulo sumadiferencia:

    ( ) = sen sen cos sen cos

    ( ) = cos cos cos sen sen

    ( ) =

    tg tgtg

    1 tg tg

    c) Relaciones del ngulo doble

    Es un caso particular del anterior en el que y son iguales.

    ( ) = sen 2 2sen cos

    ( ) = 2 2cos 2 cos sen

    ( ) = 22tg

    tg 21 tg

    d) Relaciones del ngulo mitad

    =

    2 1 cossen2 2

    + =

    2 1 coscos2 2

  • Ejercicios de trigonometra resueltos TIMONMATE

    4/22

    =

    + 2 1 costg

    2 1 cos

    A.5. Resolucin de tringulos: Teoremas del seno y del coseno

    Sea el siguiente tringulo. No hace falta que sea rectngulo! Se verifican las siguientes dos expresiones, conocidas como teorema del seno y teorema del coseno.

    a) Teorema del seno: = =a b csenA senB senC

    b) Teorema del coseno: = + 2 2 2a b c 2bc cosA

    B. EJERCICIOS RESUELTOS

    B.1. Clculo de razones trigonomtricas

    1. Sabiendo que sen 0,86 = calcula las dems razones trigonomtricas

    directas e inversas

    Solucin:

    Las razones trigonomtricas directas son el seno, el coseno y la tangente, y las inversas la cosecante, la secante y la cotangente. Vamos a relacionar todas ellas con el seno, que es el dato que nos dan:

    sen 0,86 =

    C B

    A

    c b

    a

  • TIMONMATE Ejercicios de trigonometra resueltos

    5/22

    El coseno se deduce a partir de la ecuacin fundamental 2 2sen cos 1 + = :

    2 2 2 2 2sen cos 1 cos 1 sen cos 1 sen+ = = =

    Sustituyendo datos:

    2 2 1cos 1 sen cos 1 0,86 cos2

    = = =

    La tangente buscada se deduce de la frmula fundamental sen

    tgcos

    =

    . Slo hay que sustituir en ella los valores conocidos:

    sen 0,86

    tg tg tg 1,72cos 0,5

    = = =

    La cosecante es la inversa del seno.

    1 1cosec sen 1,260,86

    = = =

    La secante es la inversa del coseno.

    1 1sec cos 21

    2

    = = =

    La cotangente es la inversa de la tangente.

    1 1cotg tg 0,581,72

    = = =

    2. Calcula las relaciones trigonomtricas directas de y

    Solucin:

    Las razones trigonomtricas directas son el seno, el coseno y la tangente.

    Para el ngulo :

    40

    sen sen 0,850

    = = ,

    30cos cos 0,6

    50 = =

    40tg tg 1,33

    30 = =

    Observa que se cumple que 2 2sen cos 1 + =

  • Ejercicios de trigonometra resueltos TIMONMATE

    6/22

    Para el ngulo : 30

    sen sen 0,650

    = =

    40

    cos cos 0,850

    = =

    30tg tg 0,75

    40 = =

    Observa que tambin se cumple que 2 2sen cos 1 + = , como no poda ser de otra manera.

    3. Halla las razones trigonomtricas de los siguientes ngulos:

    135

    Solucin:

    El ngulo 135 est en el 2 cuadrante. Ser equivalente a un ngulo de 45 para el que sen45 es positivo y cos45 es negativo, tal como se indica en la figura.

    - 560

    Solucin:

    Como el ngulo es mayor que 360 lo tratamos del siguiente modo:

    560 360 1 vuelta 360 200

    200 1

    +

    El ngulo que tenemos que manejar es -200. Ello es equivalente a un ngulo de 20 en el segundo cuadrante, en donde sen20 es positivo y cos20 es negativo

    135 45

    - cos 45

    sen 45

  • TIMONMATE Ejercicios de trigonometra resueltos

    7/22

    4. Sabiendo que 3

    cos2

    = y que est en el 4 cuadrante, halla las

    dems razones trigonomtricas.

    Solucin:

    Si est en el 4 cuadrante entonces cos es positivo y sen es negativo. El sen lo deducimos usando la relacin fundamental de la

    trigonometra: 2 2sen cos 1+ =

    As:

    2

    2 2 2 3 3 1sen cos 1 sen 1 sen 12 4 2

    + = + = = =

    El resto de razones trigonomtricas se obtiene de forma inmediata:

    1sen 12tgcos 3 3

    2

    = = =

    ; 1

    cotg 3tg

    = =

    ;

    1 3sec

    cos 2 = =

    ;

    1co sec 2

    sen = =

    5. Sabiendo que 1

    tg3

    = y que est en el 2 cuadrante, halla las

    dems razones trigonomtricas.

    Solucin:

    Si est en el 2 cuadrante entonces cos es negativo y sen es positivo.

    - Utilizamos la relacin 22

    1tg 1

    sen+ =

    para hallar sen :

    2

    2

    2 2 2

    1 1 1 4 1 3tg 1 1 sen

    sen sen 3 sen 23

    + = + = = =

    -200

    20

    - cos 45

    sen 20

  • Ejercicios de trigonometra resueltos TIMONMATE

    8/22

    - Hallamos cos a partir de sen

    tgcos

    =

    :

    3sen 32cos

    1tg 23

    = = =

    .

    - Las obtencin de las razones trigonomtricas inversas es inmediata:

    1 2sec

    cos 3 = =

    ;

    1 2c