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1 CONOCIMIENTOS PREVIOS. 1 Trigonometr´ ıa. 1. Conocimientos previos. Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos b´ asicos: Operaciones b´ asicas con polinomios. Resoluci´ on de ecuaciones de primer grado. Resoluci´ on de ecuaciones de segundo grado. Resoluci´ on de sistemas de ecuaciones. Ser´ ıa conveniente realizar un ejercicio de cada uno de los conceptos indicados anteriormente. 2. El teorema de Thales. Desde muy antiguo ha sido necesario poder medir distancias y ´ areas. En el antiguo Egipto el Nilo anegaba frecuentemente los campos. Era necesario tener un m´ etodo para poder determinar la propiedad de los campos y medir el ´ area de los mismos. La medida de ´ areas en aquella ´ epoca tambi´ en estaba relacionada con la previsi´ on de las cosechas y el tama˜ no de los graneros que se hab´ ıan de construir para almacenar dichas cosechas. No menos importante era la medida de distancias en navegaci´ on. Los barcos de aquella ´ epoca, aunque usaban m´ etodos rudimentarios eran capaces de llegar al su puerto. Para ello era importante que los marinos pudiesen determinar la distancia al puerto o los d´ ıas de navegaci´ on hasta llegar a la costa. Para poder realizar dichas tareas era necesario desarrollar m´ etodos de c´ alculo que permitiesen obtener dichos resultados. No es, por lo tanto, de extra˜ nar que ya los griegos, en la antig¨ uedad, empezasen a desarrollar todas estas t´ ecnicas, pues eran de una importancia extraordinaria. Ya Thales desarrollo una forma de calcular los lados de un tri´ angulo conociendo, uno de sus lados y los la- dos de un tri´ angulo semejante a ´ el. a a ′ = b b ′ = c c ′ Con estas relaciones se pueden obtener los lados de uno de los tri´ angulos conociendo uno de sus lados y los lados de el otro. Hay que recordar que dos tri´ angulos ser´ an semejantes si tienen sus ´ angulos iguales.
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1 CONOCIMIENTOS PREVIOS. 1
Trigonometrıa.1. Conocimientos previos.
Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos basicos:
Operaciones basicas con polinomios.
Resolucion de ecuaciones de primer grado.
Resolucion de ecuaciones de segundo grado.
Resolucion de sistemas de ecuaciones.
Serıa conveniente realizar un ejercicio de cada uno de los conceptos indicados anteriormente.
2. El teorema de Thales.
Desde muy antiguo ha sido necesario poder medir distancias yareas. En el antiguo Egipto el Nilo anegabafrecuentemente los campos. Era necesario tener un metodo para poder determinar la propiedad de los campos ymedir el area de los mismos. La medida de areas en aquella epoca tambien estaba relacionada con la previsionde las cosechas y el tamano de los graneros que se habıan de construir para almacenar dichas cosechas.
No menos importante era la medida de distancias en navegaci´on. Los barcos de aquella epoca, aunque usabanmetodos rudimentarios eran capaces de llegar al su puerto.Para ello era importante que los marinos pudiesendeterminar la distancia al puerto o los dıas de navegacionhasta llegar a la costa.
Para poder realizar dichas tareas era necesario desarrollar metodos de calculo que permitiesen obtener dichosresultados. No es, por lo tanto, de extranar que ya los griegos, en la antiguedad, empezasen a desarrollar todasestas tecnicas, pues eran de una importancia extraordinaria.
Ya Thales desarrollo una forma de calcular los lados de un triangulo conociendo, uno de sus lados y los la-dos de un triangulo semejante a el.
a
a′=
b
b′=
c
c′
Con estas relaciones se pueden obtener los lados de uno de lostriangulos conociendo uno de sus lados y loslados de el otro.
Hay que recordar que dos triangulos seran semejantes si tienen sus angulos iguales.
3 OTRAS PROPIEDADESUTILES DE LOS TRIANGULOS. 2
Ejemplo:Sean los ladosa = 12; a′ = 1; b′ = 2, vamos a calcular el valor del ladob:Por lo que se ha visto el teorema de Thales relaciona un par de lados de un triangulo con otro par de lados deotro triangulo semejante a el. En este caso se relacionan los ladosa y b del triangulo grande, con los ladosa′ yb′ del triangulo pequeno:
a
a′=
b
b′; b = b′
a
a′; b = 2
12
1= 24
¿Se puede saber algo de los ladosc y c′? Segun el teorema de Thales, lo maximo que llegamos a conocer deellos es que:
a
a′=
c
c′=
12
1= 12; =⇒ c = 12c′
Pero como no se conoce el valor dec o dec′, no se puede averiguar el valor de exacto de cualquiera de ellos.
Ejercicios:
1. Un edificio proyecta su sombra, la cual mide10 m. Un baston de1 m de longitud proyecta una sombrade20 cm. ¿Cuanto mide el edificio?Sol.50 m
2. Se toma una foto de un campo de futbol del que se conoce que la diagonal vale111,8 m. En la foto ladiagonal tiene, aproximadamente,10 cm, y los lados9 cm y 4,5 cm, respectivamente. ¿Cuales son lasdimensiones del campo de futbol?Sol.50,3 m y 100,6 m
3. Otras propiedades utiles de los tri angulos.
Teorema Suma de los angulos de un triangulo: La suma de los angulosde un triangulo es 180o (o π si se usanradianes):
α + β + γ = π (1)
Demostracion: Para demostrarlo solo hay que desplazar los angulos del triangulo sobre uno de ellos y verificarque al colocar los tres se forma una lınea recta, es decir, unangulo de180o:
4 EL RADIAN. 3
Vamos a juguetear con esta expresion para ver su potencial:
En el caso de un triangulo rectangulo ya se sabe que uno de los lados vale90o, por lo que se puede hallaruna relacion entre los otros dos angulos:
γ =π
2; α + β = π − γ = π −
π
2=
π
2; α + β =
π
2
A los angulos que cumplen esta propiedad, que suman90o(= π
2 rad), reciben el nombre de anguloscomple-mentarios. Mas adelante se estudiaran las propiedades de estos angulos.
Para un trianguloequilatero, tiene los tres angulos y los tres lados iguales, se puede deducir que:
α = β = γ; α + β + γ = π; 3α = π; α =π
3= 60o
Para un trianguloisosceles, tiene dos angulos y dos lados iguales, se puede hallar una relacion entre los angulos:
α = β; α + β + γ = π; 2α + γ = π
Se deja al lector el ejercicio de repasar los conceptos de medianas, baricentro, mediatrices, incentro, bisectricesy circuncentro para un triangulo.
4. El radian.
Una cuestion interesante es pensar sobre el tipo de unidades que se pueden utilizar para medir angulos. Sepodrıa medir el angulo usando como unidad losgrados. Esta unidad considera que el angulo completo vale360o. Para el caso delradian se considera que un angulo completo vale2π rad.
Se puede, usando una regla de tres establecer relaciones entre los radianes y los grados. Ası, para el angulocompleto se tienen 360o, o bien,2π rad, por lo tanto:
g
360=
r
2π
Siendog el angulo en grados yr el angulo en radianes.
Con la expresion anterior se pueden calcular la correspondencia entre angulos en radianes y angulos en grados.Por ejemplo:Si g = 90o, ¿cuanto vale en radianes?
g
360=
r
2π; r = 2π
g
360= 2π
90
360=
π
2
En la siguiente tabla se muestra el valor de una serie de angulos importantes en grados y radianes. Convienesaberlos pues seran muy usados en secciones posteriores:
4 EL RADIAN. 4
Grados Radianes0o 0 rad
30o π
6 rad
45o π
4 rad
60o π
3 rad
90o π
2 rad
180o π rad
360o 2π rad
Ejercicios: En la tabla anterior practicar calculando el paso de radianes a grados y viceversa.
La causa de que alradianse le asocie este valor tan extrano se debe a que el arco de circunferencia abarcadopor un angulo cuyo vertice coincide con el centro de la circunferencia es proporcional al valor del angulo. Estaconstante de proporcionalidad dependera de la unidad de medida que se este usando para medir el angulo. Re-cordando que la longitud de una circunferencia vale2πR (siendoR el radio de la circunferencia), si al angulocompleto se le asigna como valor2π rad, entonces la longitud de la circunferencia abarcada sera2πR por loque la constante de proporcionalidad para elradian sera justamente la longitud de la circunferencia.
Segun esto:
La longitud del arco abarcado por unangulo cuyo vertice coincide con el centro de la circunferencia es pro-porcional al valor delangulo, expresado en radianes, siendo la constante de proporcionalidad el radio de lacircunferencia.
Pero no solo esto. Vamos a pensar ahora sobre el area abarcada por dicho angulo:
Si el angulo fuese completo,2π rad, el valor del area serıaπR2. Si el angulo fuese la mitad,π rad, soloabarcarıa la mitad del area,πR
2
2 . Si solo fuese un cuarto,π2 rad, se abarcarıa un cuarto del area,πR2
4 . Por lotanto, tambien parece existir una proporcionalidad entreel area abarcada y el angulo. En el caso del radian laconstante de proporcionalidad parece ser deR2
2 .
Nota:Es importante pensar en el significado de lo que se esta estudiando. Un ejemplo muy claro de la importancia depensar en lo que se esta estudiando es el siguiente:
4 EL RADIAN. 5
El bibliotecario de la biblioteca de Alejandrıa leyo en unmanuscrito que habıa una ciudad en la que ciertodıa del ano los rayos del Sol llegaban hasta el fondo de los pozos. En principio, parece solo una mera anecdota.Nuestro bibliotecario, a partir de esta informacion ideoun metodo para calcular ¡¡el radio de la Tierra!!:
Lo primero que hizo fue contratar a un hombre que contara los pasos que habıa hasta aquella ciudad. Unavez que tuvo dicha distancia, clavo una estaca en el suelo y midio el angulo que formaba la sombra. Ima-gino que se tenıa la siguiente figura:
Suponiendo que el anguloα es pequeno, se puede suponer que el arco de circunferencia que hay entre la ciudadA y la ciudad B es pequeno y se puede aproximar usando una lınea recta. Otra suposicion que se hace es que elSol esta muy lejos y sus rayos llegan practicamente paralelos.
Se conocen los siguientes datos:
AB representa la distancia entre las dos ciudades.
BD serıa la longitud de la sombra que proyecta la estaca.
BE es la longitud de la estaca.
CA=R es el radio de la Tierra y es lo que nos falta por averiguar.
Con estas conjeturas se puede considerar que los triangulos ABC y BED son semejantes. Por lo que se puedeaplicar el teorema de Thales obteniendo:
CA
AB=
BE
BD; R = CA = AB
BE
BD
Por lo que con estos datos pudo deducir el radio de la Tierra.
Ejercicios:
1. Un cerrajero necesitar fabricar un valla que rodea una fuente de forma circular. Si la fuente tiene un radiode2 m, ¿cuantos metros de valla necesita fabricar?Sol.:6,28 m
2. Se tiene una porcion de circunferencia que abarca36 o y tiene un radio de4 m, ¿que area tiene? ¿Cual esla longitud del arco que abarca?Sol.:49,61 m 2,51 m
5 EL TEOREMA DE PITAGORAS. 6
5. El teorema de Pit agoras.
Con el teorema de Thales se pueden relacionar dos triangulos semejantes. Para el caso especial de lostriangulos rectangulos (aquellos que tienen un angulo recto) se puede encontrar un relacion entre sus lados.
Teorema de Pitagoras En un triangulo rectangulo, la hipotenusa al cuadrado es la suma de los cuadrados delos catetos.
h2 = c21 + c2
2 (2)
Demostracion: Se demuestra primero el llamadoteorema del cateto:En un triangulo rectangulo:
c21 = hn
c22 = hm
Dondem,n ∈ R. Se considera la siguiente construccion:
5 EL TEOREMA DE PITAGORAS. 7
El trianguloADC es semejante alABC. Por el teorema de Thales:
c2
m=
h
c2; c2
2 = hm
El trianguloBDC es semejante alABC. Por el teorema de Thales:
c1
n=
h
c1; c2
1 = hn
Ademasn + m = h:
c21 + c2
2 = hn + hm = h
h︷ ︸︸ ︷
n + m = h2
c21 + c2
2 = h2
Hay que resaltar que lo anterior solo es valido para triangulos rectangu-los.
Ejemplo:Suponiendo quec1 = 1 y h = 1, vamos a calcularc2:
h2 = c21 + c2
2; c22 = h2 − c2
1 = 1 − 1 = 0; c2 =
∣∣∣∣
√
c22
∣∣∣∣= 0
Se puede ver que en este caso se obtiene quec2 = 0!!!!. Es decir, que el trianguloque cumple quec1 = 1 y h = 1 es una lınea recta.Tambien se pueden encontrar ejemplos de triangulos que noexisten realmente, por
ejemplo,c1 = 2 y h = 1 si se intenta resolver este supuesto triangulo, el lector se encontrara que no existe taltriangulo. Serıa recomendable que intentase dibujarlo yviera que no es posible encontrar un triangulo rectangu-lo con dichas caracterısticas.
Ejercicios:
1. Sea un triangulo rectangulo dondeh es la hipotenusa,c1 y c2 son los catetos. Dados los siguientes datoscalcular el lado que falta:
a) c1 = 1, c2 = 3
b) c1 = 4, c2 = 3
c) h = 4, c2 = 3
d) h = 5, c2 = 2
Sol.:h =√
10, h = 5, h =√
7, h =√
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2. Un campo de futbol tiene100 m de largo por50 m de ancho. ¿Cuanto vale su diagonal?Sol.:111,8 m
6 LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS. 8
6. Las razones trigonom etricas.
Con los dos teoremas que hemos visto anteriormente, el teorema de Thales y el teorema de Pitagoras, sepueden resolver gran cantidad de triangulos. Se podrıan crear tablas de triangulos rectangulos el los que seindicasen la longitud de sus lados y los angulos que forman.Con estas tablas podrıan resolverse gran cantidadde triangulos aplicando el teorema de Thales y de Pitagoras. Pero, ¿que triangulos se pueden coger para realizardichas tablas? Por convenio se podrıan elegir aquellos triangulos cuya hipotenusa es el radio de una circunfe-rencia de radio unidad y clasificarlos segun uno de sus angulos de la forma siguiente:
Respecto a el anguloα se denominac.o. al cateto opuestoy c.c. al cateto contiguo. h sera, evidentemente, lahipotenusa. Ya hemos dicho que por convenioh = 1.Por el teorema de Thales se pueden establecer relaciones conotros triangulos semejantes. Manipulando la ex-presion del teorema de Thales:
a
a′=
b
b′;
a
b=
a′
b′
Por lo que para aplicar dicho teorema solo necesitamos tabular los cocientes entre los lados de los triangulosrectangulos que se toman como referencia. Para facilitar el trabajo a estos cocientes se les puede poner nombre.Ası respecto a el anguloα se pueden definir los siguientes cocientes orazones trigonometricas:
Seno:
sen(α) =cateto opuesto
hipotenusa(3)
Coseno:
cos(α) =cateto contiguo
hipotenusa(4)
Tangente:
tg(α) =cateto opuesto
cateto contiguo(5)
Ademas se definen tambien lasrazones trigonometricas inversas:
Cosecante:
cosec(α) =1
sen(α)(6)
Secante:
sec(α) =1
cos(α)(7)
6 LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS. 9
Cotangente:
cotg(α) =1
tg(α)(8)
Podemos ası realizar las tablas a las que nos referıamos:
α sin(α) cos(α) tg(α)
0o 0 1 0
30o 12
√3
21√3
45o√
22
√2
2 1
60o√
32
12
√3
90o 1 0 ∞
Nota:Una regla memotecnica para recordar de forma sencilla las razones trigonometricas de los angulos de30o, 45o
y 60o, es ir realizando la siguiente construccion:
Primero se realiza la siguiente tabla:
α sin(α) cos(α) tg(α)
30o
45o
60o
Tanto el seno como el coseno estan divididos entre 2:
α sin(α) cos(α) tg(α)
30o2 2
45o2 2
60o2 2
Despues solo hay que rellenar los denominadores del seno con√
1,√
2 y√
3. De forma identica con el cosenopero en orden inverso
√3,
√2 y
√1:
α sin(α) cos(α) tg(α)
30o√
12
√3
2
45o√
22
√2
2
60o√
32
√1
2
7 RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS. 10
Para terminar de completar la tabla, solo hay que recordar quetg(x) = sen(x)cos(x) :
α sin(α) cos(α) tg(α)
30o 12
√3
21√3
45o√
22
√2
2 1
60o√
32
12
√3
7. Resoluci on de tri angulos rect angulos.
Para resolver triangulo rectangulos usando las razones trigonometricas, solo hay que:
1. Se identifica que angulo y que lado se conoce y que lado se desea averiguar. Evidentemente no es validoel angulo de90o.
2. Se busca una razon trigonometrica que relacione los doslados respecto a el angulo conocido.
3. Se plantea una ecuacion usando la razon trigonometrica conocida, sustituyendo los valores conocidos ydejando el valor desconocido como incognita.
Ejemplo:Se considera el triangulo rectangulo de la figura.
Vamos a considerar queh = 2 y α = 30o, se desea calcular el valor dea y deb. Respecto a el anguloα se tie-ne quea es el cateto opuesto yh es la hipotenusa. La razon trigonometrica que relaciona ambos lados es el seno:
sen(α) =a
h; sen(α) =
a
2; a = 2sen(α)
Si nos fijamos en las tablas:
sen(30o) =1
2Por ello:
a = 2sen(30o) = 21
2= 1; a = 1
Para calcular el valor deb se sigue un procedimiento similar:Respecto a el anguloα se tiene queb es el cateto opuesto yh es la hipotenusa. La razon trigonometrica querelaciona ambos lados es el coseno:
cos(α) =b
h; cos(α) =
b
2; b = 2cos(α)
7 RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS. 11
Si nos fijamos en las tablas:
cos(30o) =
√3
2
Por ello:
b = 2cos(30o) = 2
√3
2=
√3; b =
√3
Ejemplo:Se considera el triangulo rectangulo de la figura.
De este triangulo se conoce queδ = 60o y quea = 3. Se pueden calcular el restode valores.Respecto aδ, a es el cateto contiguo,b es el cateto opuesto (solo hay que girar el triangulo para darse cuenta).Para calcularh hay que buscar la razon trigonometrica que relacionaa conh, que en este caso sera el coseno:
cosδ =a
h; cos(60o) =
3
h;h =
3
cos(60o);h = 6
Se procede de forma identica para calcularb. En este caso la razon trigonometrica que relacionaa conb es latangente:
tg δ =b
a; tg(60o) =
b
3; b = 3 tg(60o); b = 3
√3
Ejercicios: Sea el triangulo:
Calcular los lados desconocidos en los siguientes casos:
1. δ = 30o, h = 10 cm Sol.:b = 5 cma = 8,66 cm
2. α = 45o, a = 10 cm Sol.:b = 10 cmh = 14,142 cm
3. α = 60o, h = 10 cm Sol.:b = 5 cma = 8,66 cm
4. El angulo de elevacion del Sol sobre el horizonte es de30o, calcular la sombra de una persona que mida1,65 m. Sol.: En este caso es como resolver un triangulo conα = 30o y a = 1,65m. Resolviendob = 2,86 m
Por ultimo se le plantea a lector una cuestion: ¿por que nose puede usar el angulo de 90o para resolver lostriangulos?
8 TEOREMAS DEL SENO Y DEL COSENO. 12
8. Teoremas del seno y del coseno.
Los teoremas del seno y del coseno permiten resolver triangulos de cualquier tipo. Aplicar un teorema uotro solo dependera de los datos que nos suministren.
8.1. Teorema del seno.
Sea el triangulo:
Dondeα es el angulo opuesto al ladoa, β es el angulo opuesto al ladob y γ es el lado opuesto al ladoc.
El teorema del seno indica:sen(α)
a=
sen(β)
b
sen(α)
a=
sen(γ)
c
sen(β)
b=
sen(γ)
c
Ejemplo:Sea el triangulo:
Dondea = 1, α = 30o y β = 45o. Cuanto valeb:Hay que buscar una relacion que use todos los datos anteriores:
sen(α)
a=
sen(β)
b⇒
sen(30o)
1=
sen(45o)
b⇒ b =
sen(45o)
sen(30o)=
√
2
2
1
2
=√
2
Ejercicios: Sea el triangulo:
8 TEOREMAS DEL SENO Y DEL COSENO. 13
Calcular los lados desconocidos en los siguientes casos:
1. a=1,α = 30o, β = 45o Sol.:b = 1,42, c = 1,93 Recordar queα + β + γ = 180o
2. a=2,α = 45o, β = 30o Sol.:b = 1,41, c = 2,73
8.2. Teorema del coseno.
Sea el triangulo:
Dondeα es el angulo opuesto al ladoa, β es el angulo opuesto al ladob y γ es el lado opuesto al ladoc.
El teorema del coseno indica:a2 = b2 + c2 − 2bc · cos(α)
b2 = a2 + c2 − 2ac · cos(β)
c2 = a2 + b2 − 2ab · cos(γ)
Ejemplo:Sea el triangulo:
Dondeα = 30o, b = 1 y c = 2. ¿Cuanto valea?Hay que buscar una relacion que use todos los datos anteriores y devuelvaa:
a2 = b2 + c2 − 2bc · cos(α) = 12 + 22 − 2 · 1 · 2cos(30o) = 1 + 4 − 41
2= 3
Ejercicios: Sea el triangulo:
9 LA IDENTIDAD PITAGORICA. 14
Calcular los lados desconocidos en los siguientes casos:
1. c=7, b=5,α = 30o Sol.:a = 3,65
2. a=2, c=3,β = 45o Sol.:b = 2,12
3. a=3, b=3,β = 60o Sol.:b = 3
9. La identidad Pitag orica.
Es la siguiente expresion:
sen2(α) + cos2(α) = 1
Demostracion: Por el teorema de Pitagoras:
c21 + c2
2 = h2;c21
h2+
c22
h2= 1; sen2(α) + cos2(α) = 1;
La identidad Pitagorica da una forma de calcular el seno conociendo el coseno o viceversa. Por ejemplo:
Si sen(α) = 13 :
sen2(α) + cos2(α) = 1; cos(α) =√
1 − sen2(α) =
√
1 −1
3=
√
8
32= 2
√2
3
Tambien es muy util a la hora de simplificar expresiones en la ecuaciones trigonometricas.Se ha hallado una relacion entresen(α) y cos(α). ¿Se podrıa hacer lo mismo con elsen(α) y la tg(α)? ¿Yentre el resto de la razones trigonometricas? La respuestaes que sı.Se divide la identidad pitagorica porsen2(α):
sen2(α) + cos2(α) = 1 ⇒sen2(α)
sen2(α)+
cos2(α)
sen2(α)=
1
sen2(α)⇒ 1 + cotg2(α) =
1
sen2(α)
⇒ 1 +1
tg2(α)=
1
sen2(α)
De forma identica se puede operar dividiendo entre el coseno:
sen2(α) + cos2(α) = 1 ⇒sen2(α)
cos2(α)+
cos2(α)
cos2(α)=
1
cos2(α)⇒ tg2(α) + 1 =
1
cos2(α)
En los ejercicios se puede solicitar calcular, por ejemplo,un coseno y la tangente a partir del seno. Para ello sepodrıan usar las formulas que se han deducido anteriormente, o bien usar el siguiente truco:
10 SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS. 15
Por ejemplo: Sabiendo quesen(α) = 23 calcular elcos y la tg.
Por la definicion de seno se sabe que:
sen(α) =cateto opuesto
hipotenusa=
2
3⇒
{cateto opuesto = 2hipotenusa = 3
Es decir, de un triangulo rectangulo se conocen la hipotenusa y el cateto opuesto. Aplicando el teorema de Pitagoras:
h2 = c2
1+ c2
2⇒ cateto contiguo =
√
h2 − c2
1=
√
32 − 22 =√
5
Aplicando las definiciones de coseno y tangente se pueden calcular rapidamente el valor del coseno y la tangente:
cos(α) =
√5
3
tg(α) =2√5
Ejercicios:
1. Sabiendo quesen α = 0,1 calcularcos α y tg α. Sol.:cosα = 0,99 y tg α = 0,1.
2. Sabiendo quecos α = 0,3 calcularsen α y tg α. Sol.:senα = 0,95 y tg α = 3,17
3. Sabiendo quetg α = 0,5 calcularcos α y sen α. Sol.:senα = 0,45 y cosα = 0,89
10. Signos de las razones trigonom etricas.
Segun en el cuadrante en el que se encuentren situados los angulos las razones trigonometricas pueden serpositivas o negativas. Por ejemplo:
Segun el cuadrante en el que se encuentre el angulo, el senosera positivo o negativo. Esquematicamente:
11 OPERACIONES CONANGULOS. 16
De forma identica se pueden definir los signos para cada cuadrante para el coseno y la tangente:
Ejercicios:
1. Sabiendo quesen(174o) = 0,1 calcularcos(174o) y tg(174o). Sol.:cos(174o) = −0,99 y tg(174o) = −0,1.
2. Sabiendo quecos(287o) = 0,3 calcularsen(287o) y tg(287o). Sol.:sen(287o) = −0,95 y tg(287o) = −3,17
3. Sabiendo quetg(206o) = 0,5 calcularcos(206o) y sen(206o). Sol.: sen(206o) = −0,45 y cos(206o) =
−0,89
11. Operaciones con angulos.
Puede ser interesante obtener el seno, o el coseno, de la sumade dos angulo, o su diferencia. Para ello seusaran las siguientes expresiones:
sen(α + β) = sen(α) · cos(β) + sen(β) · cos(α)
sen(α − β) = sen(α) · cos(β) − sen(β) · cos(α)
cos(α + β) = cos(α) · cos(β) − sen(β) · sen(α)
cos(α − β) = cos(α) · cos(β) + sen(β) · sen(α)
tg(α + β) =tg(α) + tg(β)
1 − tg(α) · tg(β
tg(α − β) =tg(α) − tg(β)
1 + tg(α) · tg(β
sen
(α
2
)
= ±
√
1 − cos(α)
2
cos
(α
2
)
= ±
√
1 + cos(α)
2
El signo± depende del cuadrante en el que este situadoα
2 .Ejemplo:Calcularsen(30o + 45o):
sen(30o + 45o) = sen(30o) · cos(45o) + sen(45o) · cos(30o) =1
2·√
2
2+
√2
2·√
3
2=
√2
4
(
1 +√
3)
12 LAS FUNCIONES ARCO. 17
12. Las funciones arco.
Al igual que la operacion contraria a la suma es la resta, a partir del resultado de una funcion trigonometricalas funciones “arco” averiguan el angulo la genera. Por ejemplo:
sen(30o) = 12 por lo tantoarc sen(1
2) = 30o
cos(30o) =√
32 por lo tantoarc cos(
√3
2 ) = 30o
tg(45o) = 1 por lo tantoarc tg(1) = 45o
La siguiente tabla puede ser util para encontrar el valor del angulo buscado:
α sen(α) cos(α) tg(α)0 0,00 1,00 0,00
10 0,17 0,98 0,1820 0,34 0,94 0,3630 0,50 0,87 0,5840 0,64 0,77 0,8450 0,77 0,64 1,1960 0,87 0,50 1,7370 0,94 0,34 2,7580 0,98 0,17 5,6790 1,00 0,00 ∞
100 0,98 −0,17 −5,67110 0,94 −0,34 −2,75120 0,87 −0,50 −1,73130 0,77 −0,64 −1,19140 0,64 −0,77 −0,84150 0,50 −0,87 −0,58160 0,34 −0,94 −0,36170 0,17 −0,98 −0,18180 0,00 −1,00 −0,00190 −0,17 −0,98 0,18200 −0,34 −0,94 0,36210 −0,50 −0,87 0,58220 −0,64 −0,77 0,84230 −0,77 −0,64 1,19240 −0,87 −0,50 1,73250 −0,94 −0,34 2,75260 −0,98 −0,17 5,67270 −1,00 −0,00 −∞280 −0,98 0,17 −5,67290 −0,94 0,34 −2,75300 −0,87 0,50 −1,73310 −0,77 0,64 −1,19320 −0,64 0,77 −0,84330 −0,50 0,87 −0,58340 −0,34 0,94 −0,36350 −0,17 0,98 −0,18360 −0,00 1,00 −0,00
13 ECUACIONES TRIGONOMETRICAS. 18
Viendo la tabla, por ejemplo paraarc sen 0,5, se puede ver que hay varias soluciones posibles. Ası paraarc sen 0,5 se puede ver que tanto 30o como 150o son soluciones. En el tema de funciones se estudiaran lasfunciones periodicas y se descubrira que hay muchas mas soluciones para elarc sen 0,5.
Ejercicios: Calcular el primer valor de las siguientes funciones arco:
1. arc sen 0,64 Sol.:40o
2. arc cos 0,77 Sol.:40o
3. arc tg 0,84 Sol.:40o
4. arc sen 0,94 Sol.:70o
13. Ecuaciones trigonom etricas.
Existen ecuaciones en las que aparecen incognitas en las funciones trigonometricas. Por ejemplo:
sen α =1
2
En este caso es sencillo solo hay que aplicar la funcion ‘arco’ correspondiente:
senα =1
2⇒ α = arc sen
1
2= 30o
Otro ejemplo:cos x + 1 = 2
Operando:cos(x) + 1 = 2 ⇒ cos x = 2 − 1 ⇒ cos x = 1 ⇒ x = arc cos 1 = 0
Es decir, basicamente hay que aislar la funcion trigonom´etrica que tiene la incognita en uno de los miembrosde la ecuacion y aplicar la funcion arco correspondiente alos dos miembros de la ecuacion.
Una ecuacion un poco mas elaborada:
tg x + 3 = 2 tg x
Para resolverla llevamos las funciones con incognita a un lado de la ecuacion y el resto de elementos al otrolado:
tg x + 3 = 2 tg x ⇒ tg x − 2 tg x = −3 ⇒ − tg x = −3 ⇒ tg x = 3 ⇒ x = arc tg 3 = 71,5o
Ejercicios:
1. − sen x = 12 Sol.: x=330o
2. 3 cos x = cos x + 1 Sol.: x=60o
3. sen x + 3 = 0 Sol.: No tiene solucion.Tantosen comocos solo devuelven valores entre -1 y 1.
13 ECUACIONES TRIGONOMETRICAS. 19
4. 2 cos x + 9 = − cos x − 10 Sol.: No tiene solucion.Tantosen comocos solo devuelven valores entre -1 y 1.
Existen otras ecuaciones en las que la funcion trigonometrica puede estar elevada a una potencia:
− sen2 x + sen x − 2 = 0
Nota: sen2 x = (sen x)2 = (sen x)(sen x)
Se considera que es una ecuacion de segundo grado cuya incognita essen x. Por ello, se usa la formula dela ecuacion de segundo grado:
sen x =−1 ±
√1 + 4 · 2
−2=
−1 ± 3
−2=
{
−12
Por lo tanto se tienen dos resultados:sen x = −1 ⇒ x = arc sen(−1) = 270o
sen x = 2 ⇒ No tiene solucion. Tantosen comocos solo devuelven valores entre -1 y 1.
Ejercicios:
1. sen2 x − 2 sen x + 1 = 0 Sol.: x=90o
2. sen2 x − 3 sen x + 2 = 0 Sol.: x=90o
3. cos2 −8 cos x + 15 = 0 Sol.: No tiene solucion.Tantosen comocos solo devuelven valores entre -1 y 1.
A veces hay que usar las relaciones entre las funciones trigonometricas para poder encontrar la solucion.Este truco se debe usar cuando hay funciones trigonometricas diferentes dentro de la misma ecuacion. Porejemplo:
sen x = 3cos x
En este caso habra que buscar una relacion entresen y cos, como por ejemplotg x = sen x
cos x. Ası:
sen x = 3cos x ⇒sen x
cos x= 3 ⇒ tg x = 3 ⇒ x = arc tg 3 = 71o
En otros caso habra que usar la identidad pitagoricasen2(α) + cos2(α) = 1 y despejar. Por ejemplo:
sen x + cos2 x = 3
Aplicando la identidad pitagorica:sen2(α) + cos2(α) = 1 ⇒ cos2(α) = 1 − sen2(α):
sen x + cos2 x = 3 ⇒ sen x + 1 − sen2x = 3 ⇒ − sen2 x + sen x − 2 = 0
La ecuacion que se obtiene ya se sabe resolver:
sen x =−1 ±
√1 + 4 · 2
−2=
−1 ± 3
−2=
{
−12
14 ACTIVIDADES. 20
Por lo tanto se tienen dos resultados:sen x = −1 ⇒ x = arc sen(−1) = 270o
sen x = 2 ⇒ No tiene solucion. Tantosen comocos solo devuelven valores entre -1 y 1.
Ejercicios:
1. sen2 x + 3 sen x = 0 Sol.: x=0o
2. tg x
sen x= 1 Sol.: x=0o !! Intente verificar la solucion y vera que tiene sorpresa.
14. Actividades.
1. Sea el triangulo:
Resolverlo en los siguientes casos (calcular el resto de lados y angulos desconocidos):
a) γ = 90o, α = 60o, a=2
b) γ = 90o, α = 30o, b=1
c) γ = 90o, α = 45o, c=3
d) γ = 30o, α = 45o, c=2
e) α = 60o, a=3,β = 30o
f ) α = 60o, c=1, b=2
g) γ = 30o, b=2, a=3
2. Un arbol proyecta una sombra de 2 m que forma un angulo conla horizontal de 60o. ¿Que altura tiene elarbol?
3. Un pentagono esta inscrito en una circunferencia de radio 2. ¿Cuanto miden los lados del pentagono?Suponiendo que el pentagono se puede dividir en 5 triangulos iguales, ¿cual es el area del pentagono?
4. Desde dos faros separados entre sı 2 km se observa un barco. Desde el primer faro el barco forma unangulo de 30o con el segundo faro. Desde el segundo faro el barco hace un angulo de 45o con el primero.¿A que distancia esta el barco de cada faro?
14 ACTIVIDADES. 21
5. Una empresa de telefonos moviles desea averiguar la posicion en la que se encuentra un usuario. Paraello se conoce perfectamente la posicion de cada antena y son direccionables (se pueden girar un ciertonumero de grados para mejorar la recepcion). ¿Que metodo se podrıa seguir para conocer la posicion deun abonado?
6. Calcular, usando la identidad pitagorica y las razones trigonometricas cuanto valen:
a) El cos(α) y la tg(α) sabiendo que elsen(α) = 0,2
b) El cos(α) y el sen(α) sabiendo que eltg(α) = 3
