Trigonometr­a Bachillerato TRIGONOMETRIA - agarci28/PRIMERO/trigonometria/  ...

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  • Trigonometra Bachillerato

    - 1/15 - A.G.Onanda

    TRIGONOMETRIA

    1. Introduccin. Medidas de ngulos

    ngulos orientados.

    Consideraremos los ejes cartesianos, y representaremos sobre ellos los ngulos de tal forma

    que el vrtice coincida con el origen de coordenadas, y uno de sus lados

    sobre el semieje de abscisas positivo, que se denomina origen de ngulos.

    Diremos que un ngulo tiene medida positiva si la medicin se realiza en

    sentido antihorario y negativo en sentido horario.

    Llamaremos circunferencia trigonomtrica a cualquier circunferencia

    cuyo centro est en el origen de coordenadas y la llamaremos goniomtrica si tiene adems

    radio 1.

    Grado sexagesimal. Un grado sexagesimal (DEG) es el ngulo cuyo arco abarca 1/360 parte

    de una circunferencia trigonomtrica.

    Se denota por y tiene dos submltiplos el minuto y el segundo . 1=60 y 1=60.

    Radin. Un radin (RAD) es el ngulo cuyo arco abarca una

    longitud igual a un radio de la circunferencia trigonomtrica.

    Se denota por rad.

    Una circunferencia tiene 360 o 2 rad.

    .rad2r

    r2

    radio

    nciacircunfere.long.radn

    El cambio de unidades se realiza mediante reglas de tres.

    La importancia de la medida en radianes.

    Normalmente se representan los ngulos en circunferencias goniomtricas entonces, como el

    radio es 1, la medida de los ngulos en radianes coincide con la longitud del arco, de este

    modo medir ngulos da el mismo resultado que medir longitudes.

    En general

    Ejemplos:

    - Expresar en radianes: 45, 120, 315, 857.

    - Expresar en grados sexagesimales /4 rad., 3/5 rad., 13/5 rad.

    +

    - 0

    long. arco = .radio (=ngulo en radianes)

    0=0 rad

    90=/2 rad

    180= rad

    270=3/2 rad

  • Trigonometra Bachillerato

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    2. Razones trigonomtricas en un tringulo rectngulo

    Por el teorema de Thales (semejanza de tringulos):

    tetancons''b

    ''a

    'b

    'a

    b

    a =sen

    A esta constante se le llama seno y

    como solo depende del ngulo la

    llamamos seno de y la denotamos

    por sen.

    Los tringulos ABC, ABC,

    ABC, ... son semejantes

    (tringulos rectngulos con un ngulo

    agudo igual).

    Tambin se sabe que:

    cosdeenocostetancons''b

    ''c

    'b

    'c

    b

    c

    tgdegentetantetancons''b

    ''a

    'b

    'a

    c

    a

    Las razones inversas son: cosecante de = cosec=1/sen

    secante de = sec=1/cos

    cotangente de = cotg=1/tg

    A todas estas razones se les llama razones trigonomtrica. Por tanto en un tringulo rectngulo

    quedan definidas de la siguiente forma:

    Ejemplo:

    Hallar las RT en el siguiente tringulo

    sen=3/5 cos=4/5 tg=3/4

    cosec=5/3 sec=5/4 ctg=4/3

    A

    B B

    B

    C

    C

    a

    a

    a

    b

    c

    b

    c c

    b

    H

    .E.C

    hipotenusa

    enfrentedecatetosen

    H

    C.C

    hipotenusa

    contigocatetocos

    .C.C

    .E.Ctg

    .E.C

    Heccos

    .C.C

    Hsec

    .E.C

    .C.Cgcot

  • Trigonometra Bachillerato

    - 3/15 - A.G.Onanda

    3. Relaciones entre las razones trigonomtricas.

    Relaciones que se deducen de la definicin:

    cos

    sen

    H

    .C.CH

    .E.C

    .C.C

    .E.Ctg

    sen

    1eccos

    cos

    1sec

    sen

    cosctg

    Relaciones pitagricas.

    Si aplicamos el teorema de Pitgoras CE2+CC

    2=H

    2 se obtiene: sensen

    2+cos

    2=

    1H

    H

    H

    CCCE

    H

    CC

    H

    CE2

    2

    2

    22

    2

    2

    2

    2

    2 2cos 1 Resen lacin Pitagrica

    Dividiendo por sen20 se tiene:

    22

    2

    2

    2

    sen

    1

    sen

    cos

    sen

    sen

    22 eccosctg1

    Dividiendo por cos20 se tiene:

    22

    2

    2

    2

    cos

    1

    cos

    cos

    cos

    sen

    22 sectg1

    Estas igualdades nos permiten resolver tringulos rectngulos, simplificar expresiones y

    demostrar identidades trigonomtricas.

    Ejemplos:

    - Demostrar si es verdadera o falsa

    cos

    eccostg

    ctgsen

    - Simplificar:

    ctg

    )tg1(cos 22

    - Resolver el siguiente tringulo rectngulo en A sabiendo que B=321830y a=16 cm.

    - Una escalera de bomberos de 10 m de longitud se ha fijado en un punto de la calzada.

    Si se apoya sobre una de las fachadas forma un ngulo de 45 con el suelo y se apoya

    sobre la otra fachada forma un ngulo de 30. Hallar la anchura de la calle a qu altura

    se alcanza con dicha escalera sobre cada una de las fachadas?.

    - Calcular las RT de los ngulos de 30, 45 y 60.

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    - 4/15 - A.G.Onanda

    4. Generalizacin de las razones trigonomtricas para cualquier ngulo

    Llamamos sistema de referencia angular a ={0,X,Y,C} ejes cartesianos y una

    circunferencia trigonomtrica.

    En un sistema de referencia angular las razones trigonomtricas las podemos representar as:

    Siendo el ngulo, P el punto asociado a la circunferencia

    con coordenadas (x,y) as:

    sen = C.E./H = y/r = ordenada/radio

    cos = C.C./H = x/r = abscisa/radio

    Teniendo en cuenta esta nueva expresin podemos calcular

    las RT de un ngulo cualesquiera.

    Es ms las RT no dependen del radio de la

    circunferencia elegida para definirlas:

    Por semejanza de tringulos sen=y/r=y/r

    cos=x/r=x/r

    Como la definicin de las RT no dependen del

    radio, puedo elegir circunferencias goniomtricas

    r=1 obteniendo:

    sen=y=ordenada; cos=x=abscisa

    Ejemplo:

    - En una circunferencia trigonomtrica de radio 10, tres puntos de la circunferencia tienen

    como coordenadas A(-6,8), B(-8,-6), C(6,-8). Hallar las RT de los ngulos que tienen como

    extremos de los arcos los puntos A, B y C.

    - Dibuja, sobre la circunferencia goniomtrica, un ngulo que cumpla las siguientes

    condiciones: 3

    90 1805

    sen y , hallar el valor de las restantes razones

    trigonomtricas.

    r

    x

    y

    0

    y

    x

    P(x,y)

    x

    y

    0

    P(x,y)

    P(x,y)

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    - 5/15 - A.G.Onanda

    x

    y

    P

    Q R

    T

    S

    M

    5. Signo y valor de las razones trigonomtricas.

    Como las RT van asociadas a las coordenadas

    de una circunferencia goniomtrica los signos

    son los de la tabla y los valores mximos y

    mnimos son:

    -1sen1 -1cos1 tgR

    cosecR-(-1,1) secR-(-1,1) ctgR

    Ejemplo: Calcular los signos de las RT de 130,

    220, 179, 299, 91, 355,180, 1, 272.

    6. Lneas trigonomtricas

    Los ngulos POQ y MTO son iguales (alternos internos) y por tanto los tringulos OPQ,

    OSR y MTO son semejantes ( son tringulos rectngulos con un ngulo agudo igual )

    Son homlogos por tanto los siguientes lados :

    OTOSOP OMOROQ MTSRPQ

    Considerando el radio=1

    PQOP

    PQsen OQ

    OP

    OQcos

    RSOR

    RS

    OQ

    PQtg

    OTOM

    OT

    PQ

    OPeccos OS

    OR

    OS

    OQ

    OPsec

    MTOM

    MT

    PQ

    OQctg

    Para recordar:

    Todas las razones tienen una sencilla

    interpretacin como segmentos orientados

    salvo la secante y la cosecante, para los

    cuales debe considerarse su valor absoluto y

    luego asociarle el signo.

    Ejercicio:

    - Calcular las RT de III cuadrante

    sabiendo que cos=-06.

    sen cos tg

    I cuadr. + + +

    II cuadr. + - -

    III cuad. - - +

    IV cuad. - + -

    x

    y

    Eje de cotangentes

    Eje de cosenos

    Eje

    de

    tang

    ente

    s

    Eje

    de

    sen

    os

    O

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    - 6/15 - A.G.Onanda

    A B

    C

    h b a

    C=150 m.

    75 55

    A B

    C

    b

    c

    a

    H