TRIGONOMETRIA- 5 - 8 - 2011

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CICLO BÁSICO ÁNGULOS VERTICALES I. INTRODUCCIÓN : En muchos problemas de la vida cotidiana se presentan situaciones donde es necesaria graficar el enunciado e un texto en forma precisa. Para ello es necesario tener presente los distintos casos que se pueden presentar. En el presente tema estudiaremos aplicaciones de triángulos rectángulos que tienen gran utilidad en la vida diaria como por ejemplo en la topografía, navegación o cálculo indirecto de distancias inaccesibles. II. CONTENIDOS BÁSICOS : 1. ANGULOS VERTICALES Son aquellos ángulos obtenidos en un plano vertical formados por la línea de mira (o visual) y la línea horizontal que parten de la vista del observador. Visual : Es una línea imaginaria que une el ojo del observador con el objeto observado. I–5–8 Cada vez mejor 1m plano horizontal línea horizontal línea vertical plomada

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CICLO BÁSICO

ÁNGULOS VERTICALES

I. INTRODUCCIÓN :

En muchos problemas de la vida cotidiana se presentan situaciones donde es necesaria graficar el enunciado e un texto en forma precisa. Para ello es necesario tener presente los distintos casos que se pueden presentar.

En el presente tema estudiaremos aplicaciones de triángulos rectángulos que tienen gran utilidad en la vida diaria como por ejemplo en la topografía, navegación o cálculo indirecto de distancias inaccesibles.

II. CONTENIDOS BÁSICOS :

1. ANGULOS VERTICALESSon aquellos ángulos obtenidos en un plano vertical formados por la

línea de mira (o visual) y la línea horizontal que parten de la vista del

observador.

Visual: Es una línea imaginaria que une el ojo del observador con el

objeto observado.

Línea horizontal: Es cualquier línea contenida en el plano

horizontal.

Línea vertical: Es la línea coincidente con la línea que forma al

colgar una plomada.

1.1 Clasificación de los Ángulos Verticales

[1] Ángulo de Elevación: Es el ángulo vertical formado

por la línea horizontal y la visual cuando el objeto se

encuentra por encima de la línea horizontal.

I–5–8 Cada vez mejor

1m

planohorizontal

línea horizontal

línea vertical

plomada

Línea horizontalObservador

visual

ángulo de elevación

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CICLO BÁSICO

[2] Ángulo de Depresión: Es aquel ángulo vertical

formado por la línea horizontal y la visual cuando el

objeto se encuentra por debajo de la línea horizontal.

OBSERVACIÓN:

Cuando en los ejercicios y problemas a resolver no se indique la altura del observador, se debe considerar que este, está en la línea horizontal. Además y son ángulos arbitrarios.

III. EJERCICIOS RESUELTOS :

Ejemplo Nº 01 Un niño colocado en la orilla de un río observa un árbol plantado sobre la ribera opuesta bajo un ángulo de 60º, se aleja 40m y este ángulo mide 30º. ¿Cuál es la altura del árbol?

A)20m B)20 m C)10 m D)20 m E)40m

Resolución:

CLAVE: D

Ejemplo 2:Cuando observamos una torre desde un punto distante 2m más que su altura, el ángulo de elevación es “” pero si es observada desde otro punto distante 2m menos que su altura, el ángulo de elevación es “2”. Calcular la altura de la torre.

A) B) C) D) E)

Resolución:

I–5–8 Cada vez mejor

2m

visual

Línea horizontal

Observador

ángulo de depresión

60º30º

30º

C

D

BA 40m

2

C

D

BA

H

H – 2

H + 2

4

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CICLO BÁSICO

i)

ii) ∡ADB = ∡DAB =

iii) El triángulo rectángulo BCD

CLAVE: C

Ejemplo 3:Una persona de 1,50m de estatura observa un árbol con un ángulo de depresión de 30º, su base y con un ángulo de elevación de 60º, su parte superior. Calcular la altura del árbol.A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 10Resolución:

Altura del árbol = 1,5 + 1,5 Ctg 30º . Tg 60º

h = 6 m

CLAVE: B

I. PRÁCTICA DE AULA :

I–5–8 Cada vez mejor

3m

º60Tgº.30ctg5,1

m5,1m5,1

º60º30

º30ctg5,1 )h(

Árbol

delAltura

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CICLO BÁSICO01. Desde un punto en tierra se divisa lo alto del quinto

piso de un edificio con un ángulo de elevación “ ” y

la parte baja del tercer piso con un ángulo de

elevación “ ”. Determine el valor de:

A) 1/3 B) 2/5 C) 3/5D) 5/2 E) 5/3

02. Desde un punto en tierra ubicado a 36m de una torre, se observa la parte más alta con un ángulo de

elevación “ ” ( ). ¿Qué distancia

habrá que alejarse para que el ángulo de elevación tenga como tangente 1/5?A) 12 B) 18 C) 20D) 24 E) 36

03. Desde un punto en tierra se ve lo alto de una torre, con

un ángulo de elevación “ ” Nos acercamos una

distancia igual a la altura de la torre y el ángulo de

elevación es ahora 37º. Calcular: “ ”

A) 5/3 B) 4/3 C) 7/3D) 3 E) 2

04. Una hormiga observa la copa de un árbol con un ángulo de elevación de 37º, luego se acerca 7m y observa el mismo punto con un ángulo de elevación de 53º. Determine la altura del árbol.A) 12m B) 13m C) 14mD) 15m E) 16m

05. Desde el suelo se observa un monumento sobre un pedestal bajo un ángulo de 8º. Si la parte más alta del monumento se observa con un ángulo de elevación de 45º. Determine la altura del monumento, si el pedestal mide 18m.A) 1m B) 3m C) 4mD) 6m E) 8m

06. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de una

estatua con un ángulo de elevación “ ” y lo alto del

pedestal que lo sostiene con un ángulo de elevación “

”. Si la visual mayor mide “m”, halle la longitud de la

estatua.

A) B)

C)

D) E)

07. Una mosca que está en el suelo observa a un pajarito con un ángulo de elevación 45º. Si la mosca para llegar donde está el pajarito describe un recorrido similar al de un cuadrante. En cierto instante la mosca observa al pajarito con un ángulo de elevación de 37º. ¿A qué altura se encuentra la mosca?, si el pajarito está a una altura de 2,5m.A) 50cm B) 60cm C) 70cmD) 80cm E) 90cm

08. Un hombre de altura 1,7m observa el extremo de un árbol con un ángulo de elevación de 45º. Al subir por unas gradas se aleja 7m. más en la dirección del árbol, sube también 7m. desde su nueva posición, ve la parte más alta del árbol con un ángulo de elevación de 37º. Calcule la altura del árbol.A) 50,7m B) 44,7m C) 33,7mD) 32,7m E) 30,7m

09. Un ratón observa a una paloma con unágnulo de elevación “”, la paloma está en la parte ma´s alta de una torre y observa que el ratón se acerca una cierta distancia igual a la altura de la torre y lo observa con un ángulo de depresión complementario de “”.

Calcular el valor de:

A) B) C)

D) E)

10. Desde la parte superior de la torre de control de un aeropuerto, se observa dos aviones sobre la pista, el primero posado hacia el oeste y el segundo se encuentra al sur del primero. Si la altura de la torre es igual a 200m. Calcular la tangente del ángulo de

I–5–8 Cada vez mejor

4m

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CICLO BÁSICO

depresión con que se ve el sengundo avión, si el ángulo de depresión del primero es de 53º además la separación entre los aviones es de 200m.A) 1/5 B) 3/4 C) 4/3D) 4/5 E) 3/5

11. Un avión vuela horizontalmente y a una altura de 1200m al momento de pasar entre dos objetivos A y B los ve con ángulos de depresión de 45º y 37º respectivamente. Calcular la tangente el ángulo de depresión con que observaría al objetivo A cuando se halle exactamente sobre el objetivo B.A) 3/7 B) 7/3 C) 2/5D) 5/2 E) 5/3

12. Un barco y un avión viajan en la misma dirección y en el mismo sentido, en la primera observación, desde el barco se ve el avión adelante con un ángulo de elevación de 53º, marcando con una boya dicho punto. En una segunda observación el ángulo de elevación de 53º, marcando con una boya dicho punto. En una segunda observación el ángulo de elevación es de 37º, si la velocidad del avión es 8 veces la del barco. Calcule la cotangente del ángulo de depresión con que el avión en la segunda posición ve la boya.A) 13/12 B) 15/12 C) 17/12D) 7/24 E) 19/24

II. PRÁCTICA DOMICILIARIA :

01. Una persona observa la parte superior de un poste con un ángulo de elevación de 37º. ¿Qué longitud debe acercarse al poste para observar nuevamente la

parte superior con un ángulo de elevación de 45º si inicialmente se encontraba a 3m del pie del poste?A) 2m B) 0,75m C) 0,25mD) 1m E) 1,25m

02. Un observador de 1,73m de altura ubicado a 3m de la base de un árbol lo observa con un ángulo de 60º al alejarse 3,46m. Observa la parte alta del árbol con un ángulo de elevación .Calcule: E = tan + cot(considere)

A) 2 B) 5 C) 4

D) 2 + E) 3

03. Una persona de altura m ubicado sobre la colina

cuya inclinación respecto a la horizontal es de 30º,

observa la parte superior de un poste de 9 m,

ubicado al pie de la colina con un ángulo de elevación 60º. Halle la distancia que separa a dicha persona del poste.

A) 4m B) 4 m C) 4 m

D) 6 m E) 8 m

04. Entre dos puntos A y B separados por una distancia d se encuentra una torre. Si la mitad inferior de la torre es observada desde A y B con ángulos y , halle la altura de la torre.

A) B)

I–5–8 Cada vez mejor

5m

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CICLO BÁSICO

C) D)

E)

05. Si por la mañana en cierto instante el sol incide con una depresión y proyecta una sombra (S1) de una

torre y pasado el medio día, el sol indice con una depresión , proyectando una sombra (S2) de la misma torre, halle la altura de dicha torre si:

S1 + S2 = 4(cot + cot)A) 2 B) 4 C) 8D) 6 E) 12

I–5–8 Cada vez mejor

6m

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CICLO BÁSICO

Á N G U L O S E N P O S I C I Ó N N O R M A LÁ N G U L O S C U A D R A N T A L E S

I. INTRODUCCIÓN :

La trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas en Egipto y Babilonia. Los Egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometría en las matemáticas. En el siglo II a.C. el astrónomo Tiparco de Nicea completó una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Posteriormente se ubicó, el ángulo trigonométrico en el plano cartesiano de Descartes obteniéndose así el ángulo en posición estándar o normal. La versatilidad de Descartes permite plantear, resolver y comprobar el resultado de cualquier problema de resolución de triángulos rectángulos. La resolución gráfica ayuda a comprender las operaciones algebraicas y facilita la depuración de errores.

II. CONTENIDOS BÁSICOS :

2.1 Ángulos en Posición Normal:Llamada también en posición canónica o estándar; es aquel ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema cartesiano, su lado inicial coincide con el semieje positivo de abscisas y su lado final se ubica en cualquier región del plano, siendo el que indica a que cuadrante pertenece el ángulo.En el gráfico, por ejemplo "” no es un ángulo canónico (note donde se inicia). Como “”, “”, y “” son ángulos canónicos; decimos: IIC, IIIC; IVC.

2.2 Ángulos Cuadrantales:Son aquellos ángulos canónicos, cuyo lado final coincide con cualquiera de los semi–ejes cartesianos. Su medida es siempre múltiplo de 90º y no pertenece a cuadrante alguno.

medida deun ángulo = 90º.n; n Zcuadrantal

R. T. DE ÁNGULOS CUADRANTALES:

I–5–8 Cada vez mejor

7m

y

x

90º180

º

-180º

-90º

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CICLO BÁSICO

0 /2 3/2 2Sen

0 1 0 -1 0

Cos

1 0 -1 0 1

Tg 0 0 0

Ctg 0 0

Sec 1 -1 1

Csc 1 -1

2.3 Ángulos Coterminales:Son aquellos ángulos trigonométricos no necesariamente canónicos que tienen el mismo lado inicial y final; motivo por el cual también se les llama ángulos cofinales. Las medidas de estos ángulos se diferencian siempre en un número entero de vueltas; o dicho de otra manera, la diferencia de sus medidas es siempre un múltiplo de 360º. y : canónicos y coterminales

y :canónicos y coterminales

Si: y : coterminales – = 360º . n ; n Z

Definición de las Razones Trigonométricas para un Ángulo en Posición NormalSea “” un ángulo en posición normal y P(x; y) un punto que pertenece a su lado final.Se define:

I–5–8 Cada vez mejor

8m

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CICLO BÁSICO

SIGNOS DE LAS R.T Esto dependerá del cuadrante en el que se ubique el ángulo considerado, en el cuadro adjunto se aprecia un criterio para recordar los signos; entendiéndose que están indicadas las que son positivas y sobreentendiendo que las no mencionadas en cada cuadrante, son negativas.

III. EJERCICIOS RESUELTOS :

Ejemplo Nº 01:Siendo P(-1; 2) un punto que pertenece al lado final del ángulo en posición normal.

Calcular: M = (sen + cos )

A) 1 B) -1 C) 2D) -2 E) 3

Resolución:Como P pertenece al lado final del ángulo se tiene:x = -1y = 2

r =

Reemplazamos:

M = 1

Ejemplo Nº 02:

Si:

Calcular:

A) 5 B) 11 C) 9D) 7 E) 13

Resolución:Como IIIC, entonces 180º < < 270º

Luego:

Además Sen

I–5–8 Cada vez mejor

9m

2

54

3x

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CICLO BÁSICO

R = 6

R = 7 CLAVE: D

Ejemplo 3:

Si cos > 0 y ctg < 0

Tg x > 0 y cos x < 0

Determinar el signo de la expresión:

A) + B)– C) (+) (–)

D) (+) v (–) E)No se puede determinar

Resolución:

Con los datos:

Luego en la expresión M:

M = – CLAVE: B

I–5–8 Cada vez mejor

10m

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CICLO BÁSICO

IV. PRÁCTICA DE AULA :

1. Si el lado terminal de un ángulo “” en posición

normal pasa por el punto P(5; -2 ), determine el

valor de la expresión:

A) B) 1 C) -1

D) - 2 E) -

2. De la figura,calcular el valor de:

A) 1 B) 3 C) 5D) 7 E) 9

3. De la figura ABCD es un cuadrado calcular el valor de:

A) -5 B) -3 C) -2D) 3 E) 5

4. Determinar el signo de la siguiente expresión:

A) (+) B) (-) C) (+) ó (-)D) (+) y (-) E) Carece de signo

5. Si: ; además .

Calcule el valor de:

A) 3/2 B) -5 C) 2D) 3 E) 5

6. Siendo “” y “” ángulos coterminales, tal que se cumple:

; 270º 360º

Además:

Determine el valor de “n” A) 1/3 B) -1/2 C) 1/2 D) 3 E) 2

7. Si: Tg = 1, 5

I–5–8 Cada vez mejor

11m

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CICLO BÁSICO

Siendo “” un ángulo de IIICángulo de IIIC, determine el valor de la expresión:

A) - 1/2 B) - 1/3 C) - 1/4D) - 1/5 E) - 1/6

8. ¿Cuántos ángulos cuadrantales se encuentran entre 1360º y 1720º?A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) más de 4

9. Simplificar la expresión:

A) 0 B) 1 C) 2

D) E) N.D.

10. Simplificar la siguiente expresión:

A) 0 B) 1 C) 2 D) -1 E) 1/2

11. Si los ángulos “” y “” son cuadrantales, determine cuántos valores diferentes puede tomar:

A) Ninguno B) 1 C) 2D) 3 E) más de 3

12. Siendo “” “” ángulos cuadrantales diferentes que cumplen con:

(además se verifica que )

Calcular el valor de:

A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2

13. Con el empleo de una circunferencia trigonométrica determine si las proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F)I.- El seno es creciente en el IICII.- El coseno es creciente en el IIICIII.- El seno es decreciente en el IVC

A) VVV B) VFF C) FVV D) FVF E) VFV

V. PRÁCTICA DOMICILIARIA :

1. Siendo P(1; -2 ) un punto perteneciente al lado

final de un ángulo en posición normal. Calcular:

E = sen - 3 cos

A) -

C) -

D) E) -2

2. Del gráfico, hallar: tg

A) -3/2 B) -4/5 C) -1/3D) -3/4 E) -2/3

3. Del gráfico mostrado, calcular:

T = 5tg + cos

I–5–8 Cada vez mejor

12m

2;0A

x 0;3B

y

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CICLO BÁSICO

A) 1/2 B) -4 C) -2D) 4 E) ½

4. Determinar el signo de la expresión P, si se cumple: 180º x 250º.

P = tg

A) (+) B) (-) C) (+) v (-)D) (+) (-) E) Neutro

5. Siendo tg = -3 y sen 0

Calcular: P = 2cos + sen

A) B) C) 2

D) E) 4

6. Sabiendo que:

sen =

Calcular: K = sec(2tg - 5sec)A) + 2 B) +10 C) +4D) +3 E) +5

I–5–8 Cada vez mejor

13m

y

x

5;3M

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CICLO BÁSICO

R E D U C C I Ó N A L P R I M E R C U A D R A N T E

I. INTRODUCCIÓN :

Para aplicar las técnicas de reducción al primer cuadrante en el presente capítulo es necesario considerar al ángulo x como agudo, aunque este no lo sea. De esta manera será correcto aplicar las reglas de reducción al primer cuadrante

II. CONTENIDOS BÁSICOS :

1. Angulo referencial (r): Ángulo agudo formado por el lado terminal del ángulo en P.N y el eje “x”

2. Para ángulos del IICSi: IICR.T () = () R.T (180º - )(+) para seno, cosecante(-) para las demás R.TSen150º=Sen(180º-150º)=Sen30º= ½

3. Para ángulos del IIICSi IIICR.T () = () R.T ( - 180º)(+) para Tg y Ctg(-) para las demás R.TCos240º=-Cos(240º-180º)=-Cos60º = -1/2

4. Para ángulos del IV CSi IVCR.T () = () R.T (360º - )(+) para Cos y Sec(-) para las demás R.T

Csc.315º=Csc(360–315º)=-Csc45º=

5. Para ángulos mayores de una vuelta se divide la medida del ángulo entre la medida del ángulo de una vuelta (360º, 400g, 2 rad) y se trabaja con el residuo.Hallar:Sen480º 480º 360º

(120º) 1

Sen480º = Sen120º = Sen60º =

6. Formas Especiales:a) R.T (180º x) = ()R.T (x)b) R.T (90º x) = Co-R.T(x)c) R.T (270º x) = ()Co- R.T(x)d) R.T (360º. nx) = R.T (x) n Z

Ejemplos:Sen(180º + x) = -Sen x Tg (270º - x) = Ctgx

7. Identidades de Arcos Negativossen(-x) = -senx

I–5–8 Cada vez mejor

14m

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CICLO BÁSICO

cos(-x) = cosx

tan(-x) = -tanx

ctan (-x) = -ctan (x)

sec (-x) = sec(x)

csc (-x) = -csc (x)

Ejemplos:

sen(-120º) = -sen120º cos(-210º) = cos210

sec(-30º) = -sen30º =

cos(-90º) = cos90º = 0

tan(-60º) = -tan60º =

ctan(-x) = -ctan (x) sec(-x) = sec(x) csc(-x) = -csc(x)

III. EJERCICIOS RESUELTOS :

1. Calcular:

A) B) C) D) E) 2

Solución:Evaluando cada función trigonométrica de la expresión:Sen 210º = Sen (180º + 30º) = -sen 30º = 1 – 1/2

Tan 300º = tan (360º – 60º) = – Tan 60º =

Sen 225º = Sen (180º + 45º) = - Sen 45º =

Cos 330º = Cos (360º – 30º) = cos 30º =

Reemplazando:

CLAVE: C

2. Si A y B son complementarios, además B y C son suplementarios, calcular:

A) -1 B) 1 C) -2 D) 2 E) 0

I–5–8 Cada vez mejor

15m

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CICLO BÁSICO

Solución:Por datos del problema, se tiene: A + B = 90º

B + C = 180ºSumando: A + 2B + C = 270º A + B + C = 270º – CRestando: C – A = 90º C = A + 90ºReemplazando:

M = 0 CLAVE: E

3. Calcular: C = sen 1206º - Cos 792º

A) -1/2 B) C) 1/2 D) E) 1

Solución:Reescribiendo los ángulos convenientemente:C = Sen (3 x 360º + 126º) – Cos (2x 360º + 72º)= Sen 126º – cos 72º= Sen (90º + 36º) – cos 72º= cos 36º – sen 18º

=

C = 1/2 CLAVE: C

I–5–8 Cada vez mejor

16m

Page 17: TRIGONOMETRIA- 5 - 8 - 2011

CICLO BÁSICO

IV. PRÁCTICA DE AULA :

01. Calcular:

A) 1 B) 8/7 C) 4/3D) 8 E) 3/4

02. Calcular el valor de:D = Tg 120º Ctg210º + Tg225ºA) -2 B) -1 C) CeroD) 1 E) 2

03. Calcular:

A) B) C) 1

D) - E) -

04. Reducir:M = Sen(2910º) Tg(1305º)

A) - B) C)

D) E) 1

05. Calcule el valor de:

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

06. Calcule el valor de:

A) -2 B) -1 C) 1

D) E) 2

07. Si IIIC y se cumple que:

Calcule el valor de:

A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2

08. Simplificar:

A) -1 B) 1 C) TgxD) - Tgx E) – Ctgx

09. Si: A =

Calcular “x” si se cumple que Sen A = x – 3

Sen B =

A) 1 B) 2 C) 3D) A B E) A B

10. Reducir:

I–5–8 Cada vez mejor

17m

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CICLO BÁSICO

A) -2 B) -1 C) -1/2 D) 1 E) 2

11. En un triangulo ABC, simplificar

A) 2 B) 1 C) ceroD) -1 E) -2

12. Del gráfico, calcular:

A) 5/6 B) 1/5 C) 1/6D) 6/5 E) 2/5

13. Del gráfico, halle:G = Tg + Ctg

A) -17/4 B) 17/4 C) -1/4D) 4 E) 1

V. PRÁCTICA DOMICILIARIA :

01. Calcular:E = sec135º.csc150º.tan240º.cot210º

A) B) -6 C) 1

D) -1 E) -

02. Calcular:E =

A) -1 B) 1 C) 2

D) - E)

03. Calcular:

E =

A) 0 B) 1 C) -1

D) - E)

04. Simplificar:E =

A) -1 B) –tgx C) –ctgxD) 1 E) tgx

05. Simplificar:

I–5–8 Cada vez mejor

18m

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CICLO BÁSICO

E =

A) 0 B) -1 C) 1D) tan2x E) cot2x

06. Hallar: E = csc + cot

A)

B)

C)

D)

E) -2

I–5–8 Cada vez mejor

19m

0

13

x

5;x

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CICLO BÁSICO

I D E N T I D A D E S T R I G O N O M É T R I C A S

I. INTRODUCCIÓN :

En este capítulo se estudiarán las equivalentes que relacionan las razones trigonométricas de un mismo ángulo, dichas identidades tienen un papel muy importante en el cálculo, en la física, en la biología, y en la economía donde se usan para simplificar expresiones complicadas.

En las identidades trigonométricas la variable (x), (ax) o arcos de la forma (ax + b) se encuentran afectadas por operadores trigonométricos (tales como seno, coseno, …, etc).

II. CONTENIDOS BÁSICOS :

Ejemplos de Identidades Trigonométricas

tanx =

sen2x = 2senx cosx sen(180º - x) = senx sen2 4x = 1 – cos2 4x sen(x + 90º) = cosx

2cos2

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICASUna identidad trigonómetrica es una igualdad de razones trigonométricas que se verifican para los valores admisibles del ángulo o ángulos que tuvieron.

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES

A) I. RECÍPROCASSenx. Cscx = 1Cosx . Secx = 1Tgx. Ctgx = 1

B) I. DE COCIENTE

tgx = ctgx =

C) I. PITÁGORASSen2x + cos2x = 11 + tg2x = sec2x1 + ctg2x = csc2x

IDENTIDADES AUXILIARESsen4x + cos4x = 1 – 2sen2x cos2xsen6x + cos6x = 1 – 3sen2x cos2xtgx + ctgx = secx . cscxsec2x + csc2x = sec2x. csc2x(1senx cosx)2 = 2(1 senx) (1 cosx)

III. EJERCICIOS RESUELTOS :

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CICLO BÁSICO

Ejemplo Nº 1El equivalente de la expresión:

E =

A) CosA B) SecA C) CscAD) CtgA E) TgA

Solución:E =

E = CscA CLAVE: C

Ejemplo Nº 2

E =

A) 0 B) -1 C) 1D) 2 E) Sen2x

Solución:

W =

= Sen2x + Cos2x W = 1 CLAVE: C

Ejemplo Nº 3

Simplificar:

A) sen x B) cos x C) tan xD) cot x E) sec x

Solución:

A = Tan x CLAVE: C

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CICLO BÁSICO

IV. PRÁCTICA DE AULA :

01. Reduzca la expresión:(sen + tan)(1 - sen)

A) sen B) cos C) cscD) sec E) ctg

02. Reducir la siguiente expresiónE= Cosx(Secx + Cosx . Csc2x)

A) Sen2 x B) Cos2 x C)Tg2xD) Ctg2x E) Csc2x

03. Simplifique:

A) 2 B) 1/2 C) 4D) 1 E) -2

04. Reduzca:

A) ctg3 x B) tan x C) tan3 xD) ctg x E) cos x

05. Simplifique:

A) sen2 B) csc2 C) sen2 D) sec E) sec2

06. Simplifique

A) sen B) cos C) ctgD) csc E) tan

07. Simplifique la expresión:

A) tan B) cos C) sencosD) ctg E) sen

08. Si: P = (1 + senx)-1 + (1 - cosx)-1

Q = (1 + cscx)-1 + (1 - secx)-1

Calcular: P + QA) -2 B) -1 C) 0D) 1 E) 2

09. Simplificar:

A) sen2x B) cos2x C) cos4xD) sen4x E) cos6x

10. Siendo:

x IIC. Calcular:J = senx – tanx

A) B) C)

D) E)

11. Si senx + cosx =

Calcular: I = tanx + ctgx

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CICLO BÁSICO

A) 3 B) 6 C) 9

D) E)

12. Eliminar el ángulo “x” de:

Senx + Cosx =

Tgx + Ctgx = bA) b(a - 1) = 1 B) b(a - 1) = 2C) b(a + 1) = 1 D) b(a + 1) = 2E) a(b + 1) = 1

13. Determine la relación entre “m” y “n” a partir de:mSen + nCos = m + 1nSen - mCos = n + 1

A) m - n – 1 = 0 B) m – n + 1 = 0C) m + n – 1 = 0 D) m + n + 1 = 0E) m + n= 0

V. PRÁCTICA DOMICILIARIA :

01. Si: 0º 45º tan4 + cot4 = 119Calcular:E = tan - cotA) -3 B) 3 C) + 3

D) E) +

02. Si: 1 + cos2 = 3(1 - sen)Calcular:E = sen + cscA) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

03. Si: tanx + tan2x + tan3x = 1Calcular:E = cotx + tan3xA) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

04. Si: M =

N = sennx · secx + cosnx · cscx

Calcular el valor de “n” para que:M NA) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

05. Si: tan2x – k tanx + 1 = 0Calcular “E” en términos de “k”

E =

A) B) C)

D) E)

06. Eliminar “”tan + sen = m … (I)tan - sen = n… (II)

A) n

B)

C)

D)

E) m2 + n2 = 4mn

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