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Contenido Trigonometr´ ıa: ´ Angulos y sus Medidas; Razones Trigonom´ etricas Carlos A. Rivera-Morales Prec´ alculo 2 Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometr´ ıa: ´ Angulos y sus Medidas

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Trigonometrıa: Angulos y sus Medidas;Razones Trigonometricas

Carlos A. Rivera-Morales

Precalculo 2

Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos y sus Medidas

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Tabla de Contenido

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Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos y sus Medidas

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Objetivos:

Discutiremos:

angulo trigonometrico

dos unidades de medidas de angulos: grados y radianes

razones trigonometricas (triangulos rectangulos)

identidades trigonometricas fundamentales

aplicaciones de las razones trigonometricas

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Objetivos:

Discutiremos:

angulo trigonometrico

dos unidades de medidas de angulos: grados y radianes

razones trigonometricas (triangulos rectangulos)

identidades trigonometricas fundamentales

aplicaciones de las razones trigonometricas

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Objetivos:

Discutiremos:

angulo trigonometrico

dos unidades de medidas de angulos: grados y radianes

razones trigonometricas (triangulos rectangulos)

identidades trigonometricas fundamentales

aplicaciones de las razones trigonometricas

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Objetivos:

Discutiremos:

angulo trigonometrico

dos unidades de medidas de angulos: grados y radianes

razones trigonometricas (triangulos rectangulos)

identidades trigonometricas fundamentales

aplicaciones de las razones trigonometricas

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Objetivos:

Discutiremos:

angulo trigonometrico

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razones trigonometricas (triangulos rectangulos)

identidades trigonometricas fundamentales

aplicaciones de las razones trigonometricas

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Objetivos:

Discutiremos:

angulo trigonometrico

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Angulos Trigonometricos

Definicion de Angulo Trigonometrico

Definicion: Un angulo trigonometrico es la rotacion que seobtiene al girar un rayo alrededor de su punto extremo(vertice) desde una posicion inicial (lado inicial del angulo)hasta una posicion final o terminal (lado final o terminal delangulo).

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Angulos Trigonometricos

Figura: Angulo trigonometrico

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Angulos Trigonometricos

Notas:

1 Si la rotacion es en el sentido contrario al de las manecillasdel reloj, entonces el angulo se considera positivo.

2 Si la rotacion es en el sentido a favor al de las manecillasdel reloj, entonces el angulo se considera negativo.

3 Dos angulos son coterminales si tienen el mismo ladoinicial y el mismo lado terminal.

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Angulos Trigonometricos

Notas:

1 Si la rotacion es en el sentido contrario al de las manecillasdel reloj, entonces el angulo se considera positivo.

2 Si la rotacion es en el sentido a favor al de las manecillasdel reloj, entonces el angulo se considera negativo.

3 Dos angulos son coterminales si tienen el mismo ladoinicial y el mismo lado terminal.

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Angulos Trigonometricos

Notas:

1 Si la rotacion es en el sentido contrario al de las manecillasdel reloj, entonces el angulo se considera positivo.

2 Si la rotacion es en el sentido a favor al de las manecillasdel reloj, entonces el angulo se considera negativo.

3 Dos angulos son coterminales si tienen el mismo ladoinicial y el mismo lado terminal.

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Unidades de Medidas de Angulos

Definicion de Grado

Definicion: Un grado (1◦) es la medida de un angulo positivocon medida igual a 1

360 de una revolucion o vuelta completa ensentido positivo. De otra forma, 1 rev(+) = 360◦ .

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Unidades de Medidas de Angulos

Definicion de Grado

Definicion: Un grado (1◦) es la medida de un angulo positivocon medida igual a 1

360 de una revolucion o vuelta completa ensentido positivo. De otra forma, 1 rev(+) = 360◦ .

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Unidades de Medidas de Angulos

Figura: 1 rev(+) = 360◦.

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Unidades de Medidas de Angulos

Definicion de Radian

Definicion: Un radian (1 rad) es la medida de un angulocentral positivo θ (angulo con vertice en el centro de unacircunferencia) que subtiende o intercepta un arco de longitudigual al radio de la circunferencia. Como consecuencia,1 rev(+) = 2π radianes.

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Unidades de Medidas de Angulos

Definicion de Radian

Definicion: Un radian (1 rad) es la medida de un angulocentral positivo θ (angulo con vertice en el centro de unacircunferencia) que subtiende o intercepta un arco de longitudigual al radio de la circunferencia. Como consecuencia,1 rev(+) = 2π radianes.

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Unidades de Medidas de Angulos

Figura: La medida del angulo central θ es 1 radian.

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Unidades de Medidas de Angulos

Relacion entre Grados y Radianes

1 rev(+) = 360◦ = 2π radianes

180◦ =π radianes1◦ = π

180 rad

1 rad = (180π )◦ = 180◦

π

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Unidades de Medidas de Angulos

Relacion entre Grados y Radianes

1 rev(+) = 360◦ = 2π radianes180◦ =π radianes

1◦ = π180 rad

1 rad = (180π )◦ = 180◦

π

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Unidades de Medidas de Angulos

Relacion entre Grados y Radianes

1 rev(+) = 360◦ = 2π radianes180◦ =π radianes1◦ = π

180 rad

1 rad = (180π )◦ = 180◦

π

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Unidades de Medidas de Angulos

Relacion entre Grados y Radianes

1 rev(+) = 360◦ = 2π radianes180◦ =π radianes1◦ = π

180 rad

1 rad = (180π )◦ = 180◦

π

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Unidades de Medidas de Angulos

Ejercicios: Convierta a radianes:

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Unidades de Medidas de Angulos

Ejercicios: Convierta a grados:

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Unidades de Medidas de Angulos

Trigonometrıa del Triangulo Rectangulo

Figura: Teorema de Pitagoras: c2 = a2 + b2

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Funciones Trigonometricas

Razones Trigonometricas

Definicion: Sea θ un angulo agudo en un triangulo rectangulo.Entonces, las seis razones trigonometricas de θ se definencomo sigue:

sen(θ) = opuestohipotenusa csc(θ) = hipotenusa

opuesto

cos(θ) = adyacentehipotenusa sec(θ) = hipotenusa

adyacente

tan(θ) = opuestoadyacente cot(θ) = adyacente

opuesto

Nota: Los valores de las razones trigonometricas de un anguloagudo θ no dependen del triangulo rectangulo que se utilice paracalcularlas; dependen unicamente del la medida del angulo θ.

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Funciones Trigonometricas

Razones Trigonometricas

Definicion: Sea θ un angulo agudo en un triangulo rectangulo.Entonces, las seis razones trigonometricas de θ se definencomo sigue:

sen(θ) = opuestohipotenusa csc(θ) = hipotenusa

opuesto

cos(θ) = adyacentehipotenusa sec(θ) = hipotenusa

adyacente

tan(θ) = opuestoadyacente cot(θ) = adyacente

opuesto

Nota: Los valores de las razones trigonometricas de un anguloagudo θ no dependen del triangulo rectangulo que se utilice paracalcularlas; dependen unicamente del la medida del angulo θ.

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Funciones Trigonometricas

Razones Trigonometricas

Definicion: Sea θ un angulo agudo en un triangulo rectangulo.Entonces, las seis razones trigonometricas de θ se definencomo sigue:

sen(θ) = opuestohipotenusa csc(θ) = hipotenusa

opuesto

cos(θ) = adyacentehipotenusa sec(θ) = hipotenusa

adyacente

tan(θ) = opuestoadyacente cot(θ) = adyacente

opuesto

Nota: Los valores de las razones trigonometricas de un anguloagudo θ no dependen del triangulo rectangulo que se utilice paracalcularlas; dependen unicamente del la medida del angulo θ.

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Funciones Trigonometricas: Aplicaciones

Ejercicio: Si A es un angulo agudo tal que sen(A) = 23 .

1 Determine los valores de las otras funciones de A.

2 Determine las medidas de los angulos A, B y C.

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Triangulos y Angulos Especiales

Triangulos y Angulos Especiales

Grados 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦

Radianes 0 π/6 π/4 π/3 π/2

sen(θ) 0 1/2√

2/2√

3/2 1

cos(θ) 1√

3/2√

2/2 1/2 0

tan(θ) 0√

3/3 1√

3 no definida

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Funciones Trigonometricas

Identidades Trigonometricas Fundamentales

Identidades recıprocassen(θ) = 1

csc(θ) cos(θ) = 1sec(θ) tan(θ) = 1

cot(θ)

csc(θ) = 1sen(θ) sec(θ) = 1

cos(θ) cot(θ) = 1tan(θ)

Identidades cocientetan(θ) = sen(θ)

cos(θ) cot(θ) = cos(θ)sen(θ)

Identidades pitagoricassen2(θ) + cos2(θ) = 1 1 + tan2(θ) = sec2(θ)cot2(θ) + 1 = csc2(θ)

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Funciones Trigonometricas

Identidades Trigonometricas Fundamentales

Identidades recıprocassen(θ) = 1

csc(θ) cos(θ) = 1sec(θ) tan(θ) = 1

cot(θ)

csc(θ) = 1sen(θ) sec(θ) = 1

cos(θ) cot(θ) = 1tan(θ)

Identidades cocientetan(θ) = sen(θ)

cos(θ) cot(θ) = cos(θ)sen(θ)

Identidades pitagoricassen2(θ) + cos2(θ) = 1 1 + tan2(θ) = sec2(θ)cot2(θ) + 1 = csc2(θ)

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Funciones Trigonometricas

Identidades Trigonometricas Fundamentales

Identidades recıprocassen(θ) = 1

csc(θ) cos(θ) = 1sec(θ) tan(θ) = 1

cot(θ)

csc(θ) = 1sen(θ) sec(θ) = 1

cos(θ) cot(θ) = 1tan(θ)

Identidades cocientetan(θ) = sen(θ)

cos(θ) cot(θ) = cos(θ)sen(θ)

Identidades pitagoricassen2(θ) + cos2(θ) = 1 1 + tan2(θ) = sec2(θ)cot2(θ) + 1 = csc2(θ)

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Funciones Trigonometricas: Aplicaciones

Ejercicio: Determine los valores de las seis funcionestrigonometricas de los angulos A y B en el M ABC dado.

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Funciones Trigonometricas: Aplicaciones

Ejercicio: En los ejercicios siguientes calcule los valorestrigonometricos restantes del angulo agudo A.

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Funciones Trigonometricas: Aplicaciones

Ejercicio: La parte inferior de una escalera de 17pies de longitud esta a 8 pies de la base de una pared.

1 ¿A que altura la parte superior de la escalera toca la pared?

2 Determine la medida, en grados y en radianes, de losangulos agudos del triangulo rectangulo formado por laescalera y la pared.

Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos y sus Medidas

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ObjetivosDefinicion de Angulo TrigonometricoUnidades de Medidas de Angulos: Grados y RadianesTrigonometrıa del Triangulo RectanguloTriangulos y Angulos EspecialesIdentidades Trigonometricas FundamentalesAplicacionesApendice Alfabeto Griego

Funciones Trigonometricas: Aplicaciones

Ejercicio: La parte inferior de una escalera de 17pies de longitud esta a 8 pies de la base de una pared.

1 ¿A que altura la parte superior de la escalera toca la pared?

2 Determine la medida, en grados y en radianes, de losangulos agudos del triangulo rectangulo formado por laescalera y la pared.

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Funciones Trigonometricas: Aplicaciones

Ejercicio: La parte inferior de una escalera de 17pies de longitud esta a 8 pies de la base de una pared.

1 ¿A que altura la parte superior de la escalera toca la pared?

2 Determine la medida, en grados y en radianes, de losangulos agudos del triangulo rectangulo formado por laescalera y la pared.

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Funciones Trigonometricas: Aplicaciones

Angulo de Elevacion; Angulo de Depresion

Figura: α : Angulo de elevacion; β : Angulo de depresion

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Funciones Trigonometricas: Aplicaciones

Angulos de elevacion y depresion

Definicion:

Cuando el objeto observado se encuentra por encima de lalınea horizontal, el angulo de elevacion α es el anguloformado por la lınea visual y la lınea horizontal.

Cuando el objeto observado se encuentra por debajo de lalınea horizontal, el angulo de depresion β es el anguloformado por la lınea visual y la lınea horizontal.

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Funciones Trigonometricas: Aplicaciones

Angulos de elevacion y depresion

Definicion:

Cuando el objeto observado se encuentra por encima de lalınea horizontal, el angulo de elevacion α es el anguloformado por la lınea visual y la lınea horizontal.

Cuando el objeto observado se encuentra por debajo de lalınea horizontal, el angulo de depresion β es el anguloformado por la lınea visual y la lınea horizontal.

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Funciones Trigonometricas: Aplicaciones

Ejercicio: Un dirigible esta a una altura de 4280 pies sobre elnivel del suelo y el angulo de depresion desde su lınea horizontalde vision a la base de una casa en el suelo es de 24◦. Bajo lasuposicion de que el suelo es completamente llano, ¿cual es ladistancia x a lo largo del suelo del dirigible a la base de la casa?

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Funciones Trigonometricas: Aplicaciones

Ejercicio: Desde un punto sobre el suelo a 400 pies de la basede una montana el angulo de elevacion al tope de la montana esde 25◦. A 500 pies directamente hacia atras, el angulo deelevacion es de 20◦. Determine la altura de la montana.

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Funciones Trigonometricas: Aplicaciones

Nota: La formula de la medida en radianes de un angulo,θ = s

r se puede utilizar para mediar la longitud s de un arco decircunferencia.

Figura: s = θr, θ en radianesRivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos y sus Medidas

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Funciones Trigonometricas: Aplicaciones

Nota: El area A de un sector de un cırculo con angulo centralθ, en radianes, esta dado por: A = 1

2r2θ.

Figura: Sector circular con angulo central θ

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Funciones Trigonometricas: Aplicaciones

Ejercicio: Suponga que el radio es 5 y determine la longitudde arco, correcta a dos lugares decimales, si el angulo centralmide:

1.2 radianesπ2 radianes

45◦

Ejercicio: Determine el area, correcta a dos lugares decimales,para cada uno de los sectores circulares del ejercicio anterior.

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Angulos y sus Medidas: Aplicaciones

Considere una partıcula que se mueve a velocidad constante, alo largo de un arco de radio r.

Velocidad lineal

Definicion: Si s es la longitud del arco recorrida en el tiempot, entonces la velocidad lineal, v, de la partıcula es

Velocidad lineal v = longitud de arcotiempo = s

t

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Angulos y sus Medidas: Aplicaciones

Considere una partıcula que se mueve a velocidad constante, alo largo de un arco de radio r.

Velocidad angular

Definicion: Si θ es el angulo, medido en radianes, quecorresponde a la longitud de arco s, entonces la velocidadangular, ω, de la partıcula es

Velocidad angular ω = medida del angulo centraltiempo = θ

t

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Angulos y sus Medidas: Aplicaciones

Ejemplo: Una bolita gira a razon de 15 revoluciones cada 10segundos en una ruleta de casino. Suponga que la distancia encualquier momento entre la bolita y el centro de la ruleta es de3 pies.

Determine la velocidad lineal y angular de la bolita.

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Angulos y sus Medidas: Aplicaciones

Solucion: La distancia s recorrida por la piedra en 10 seg ess = 15× 2πr = 15× 2π × 3 = 90π pies. Por lo tanto, lavelocidad lineal de la bolita es

v = st = 90π pies

10 seg = 9π piesseg

En 10 segundos, el angulo θ cambia en 15(2π) = 30π radianes.Por lo tanto la velocidad angular de la bolita es

ω = θt = 30π rad

10 seg = 3π radseg

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Angulos y sus Medidas: Aplicaciones

Ejercicio: Un ventilador de techo con aspas de 16 pulg delongitud gira a 45 revoluciones por minuto.

Determine la velocidad angular del ventilador en radianespor minuto.

Determine la velocidad lineal de las puntas de las aspas enpulgadas por minuto.

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Angulos y sus Medidas: Aplicaciones

Subunidades de la unidad grado (◦)

1◦ = 60minutos = 60′

1′ = 60 segundos = 60”

Ejercicio: Convierta cada medida del angulo en gradosdecimales.a) 30◦20′36” b)− 450◦18′47” c) 85◦34′15”

Ejercicio: Convierta cada medida del angulo a la formaG◦M ′S”(grados, minutos y segundos).a) 345,68◦ b)− 23,335◦ c) 0,7654◦

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Alfabeto Griego

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