Trigo No Me Tria

5/26/2018 Trigo No Me Tria

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Matemticas Nivel II 8.TRIGONOMETRA

CEPA de COSLADA: Fernando Moya

1

8. Trigonometra

1. Sentido y medida de ngulos2. Razones trigonomtricas de un

ngulo agudo3. Relaciones trigonomtricas

fundamentales4. Razones trigonomtricas de 30, 45

y 60

5. Razones trigonomtricas de unngulo cualquiera

6. Aplicaciones de la trigonometra7. Soluciones de los ejercicios de la

unidad

1. Sentido y medida de ngulos

Un ngulo es la porcin de plano limitada por dos semirrectas con origen en unmismo punto. Las semirrectas se llaman lado inicial y final. Al origen comn, se ledenomina vrtice del ngulo. Se designa por letras griegas.

La medida de un ngulo es positiva si se mide girando en sentido contrario a lasagujas del reloj y negativasi se mide en el mismo sentido que las agujas del reloj. Unngulo puede estar situado en cualquier parte del plano, pero a veces, nos ser tiltrasladarlo a un sistema cartesiano de coordenadas de modo que el vrtice del ngulocaiga sobre el origen de coordenadas y el lado inicial sobre el eje positivo de abscisas.

Utilizaremos dos sistemas de medida de ngulos: el sistema sexagesimal y el sistema

circular (sistema internacional).

Sistema sexagesimal


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2

En el sistema sexagesimal se trazan radios que dividan la circunferencia en 360 partesiguales. La amplitud de cada uno de esos ngulos es un grado sexagesimal.

El grado sexagesimal tiene los siguientes submltiplos:

Minuto, cada una de las 60 partes iguales en que se divide un grado. Segundo, cada una de las 60 partes en que se divide un minuto.Una circunferencia completa mide 360.

Sistema internacional (circular)

En el sistema internacional la medida oficial de ngulos esel radin:

Si en una circunferencia de radio r trazamos un ngulocentral que abarque un arco de longitud igual al radio r, lamedida del ngulo trazado es un radin. Se expresa mediante

las letras .Un ngulo completo (circunferencia) mide:360 = 2

Las equivalencias entre los dos sistemas se establecen mediante la proporcin:

gr os = r i nes Ejercicios

8.1Completa la siguiente tabla:Grados 0 45 150 270Radianes 3 2

8.2 Contesta razonadamente:a) Cunto mide en radianes un ngulo que abarca una semicircunferencia?b) Cunto mide en radianes un ngulo que abarca tres cuadrantes de una

circunferencia?8.3 Completa las siguientes frases:

a) Un ngulo agudo mide entre ____ rad y ____ rad.b) Un ngulo recto mide ____ rad.c) Un ngulo obtuso mide entre ____rad y ____ rad.d) Un ngulo llano mide _____ rad.e) Dos ngulos son complementarios si suman _____ rad.f) Dos ngulos son suplementarios si sus amplitudes suman _____ rad.

8.4 Expresa en grados sexagesimales las siguientes medidas de ngulos:a) 3

4

b) 43

c) 6

8.5 Expresa en radianes: (a) 60 (b) 150 (c) 330

Los ngulos se clasifican segn su amplitud y su medida de la siguiente forma:


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2. Razones trigonomtricas de un ngulo agudo

Sobre un ngulo agudo,, de vrtice O construimosun tringulo rectngulo OAB. Se llaman razonestrigonomtricas del ngulo a las siguientes razonesentre los lados del tringulo OAB:

Seno del ngulo es la razn entre el catetoopuesto al ngulo y la hipotenusa. Se denota por :

Coseno del ngulo es la razn entre el cateto contiguo al ngulo y la hipotenusa.Se denota por :

Tangente del ngulo es la razn entre el cateto opuesto y el cateto contiguo alngulo. Se denota por :

Ejemplo: Calcula las razones trigonomtricas de los ngulos agudos deltringulo rectngulo de la figura.

sen

=

3

5= 0,6 cos

=

4

5= 0,8 tg

=

3

4= 0,75

sen = 45 = 0,8 cos = 35 = 0,6 tg = 43 = 1,33Observa que el seno y el coseno de un ngulo agudo sonmenores que 1; esto se debe a que la hipotenusa es siempremayor que cualquiera de sus catetos.


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4

Ejercicios

8.6Calcula las razones trigonomtricas de los ngulos y .

8.7 Calcula las razones trigonomtricas de los ngulos marcados en la siguiente figura:

8.8 Calcula las razones trigonomtricas de los ngulos que se indican

Las razones trigonomtricas no dependen del tringulo escogido

Mediante la figura de la derecha se puede

comprobar que las razones trigonomtricas seno,coseno y tangente no dependen del tringulorectngulo que se considere y solo dependen delvalor del ngulo . Esto se debe a que todos lostringulos que se obtienen al aumentar odisminuir proporcionalmente los catetos, sinmodificar el ngulo , son semejantes y, portanto, las razones entre los catetos y lahipotenusa permanecen invariables (teorema de Tales). Comprobmoslo para el seno:

Como los tringulos ABC y ABC son semejantes: = Es indiferente calcular el en cualquiera de los tringulos. Lo mismo se puede decir

para el y para la .En la mayora de los casos, las razones trigonomtricas de un ngulo son nmeros

irracionales. Tradicionalmente se han utilizado tablas para obtener su valor. En laactualidad se utilizan las calculadoras (Ver apndice al final del tema).


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Clculo del ngulo

Cuando se conoce el seno, el coseno o la tangente deun ngulo, para obtener la medida del ngulo es necesarioconocer las funciones recprocas.

La funcin recproca del seno se denomina arcoseno.En un tringulo rectngulo, el arcoseno equivale a laexpresin en grados o radianes del ngulo agudocorrespondiente a la razn entre su cateto opuesto y la hipotenusa:

= = La funcin recproca del coseno se denomina arcocoseno. En un tringulo

rectngulo, el arcocoseno equivale a la expresin en grados o radianes delngulo agudo correspondiente a la razn entre su cateto contiguo y la

hipotenusa: = = La funcin recproca del seno se denomina arcotangente. En un tringulo

rectngulo, el arcotantenteo equivale a la expresin en grados o radianes delngulo agudo correspondiente a la razn entre su cateto opuesto y su catetocontiguo:

=

=

En las calculadoras cientficas las funciones arcsen, arccos y arctg se denominan respectivamente,

sin-1, cos-1y tan-1.

Ejercicios

8.8 bis Calcula las razones trigonomtricas del ngulo que se indica y el valor del nguloayudndote de una calculadora cientfica.

a) a=13; b=17. ngulo .b) a= 6; c=11. ngulo .c) b=31; c:25. ngulo .


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3. Relaciones trigonomtricas

fundamentales

Los valores del , y de un mismo nguloestn relacionados, de tal modo que, conociendo uno de ellos,se pueden calcular los otros dos. Las relaciones que los ligan sesuelen llamar relaciones fundamentales:2 + 2 = 1 I

cos = II2 + 1 = 1cos 2 III

Estas igualdades son fciles de demostrar:

[I] 2 + 2 = 2 + 2 = 22 + 22 = 2 + 22 = 22 = 1Tngase en cuenta que por el Teorema de Pitgoras, en el tringulo de la figura es2 + 2 = 2.

II

cos =

=

=

=

IIISi en la expresinIse dividen todos los trminos entre 2:22 + 22 = 12 2 + 1 = 1cos 2

En los siguientes ejemplos, vemos cmo, conocida una razn trigonomtrica de unngulo, se pueden calcular las otras dos.

Ejemplo 1: Halla todas las razones trigonomtricas de sabiendo que = ,.Mediante la igualdad I, conocido el (s) obtenemos el (c) y viceversa.2 + 0,632 = 1 2 = 1 0,632 = 0,6031 = 0,6031 = 0,777(Solo tomamos la raz positiva porque el ha de ser positivo).

= 0,7770,63

= 1,23

Solucin:

=

,

y

=

,


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Ejemplo 2: Si =2, calcula las dems razones trigonomtricas del ngulo .Mediante las igualdades III y II, se obtienen los valores de la tangente y del seno:

t2 + 1 =1

2 22 + 1 = 1

2 5 = 1

2 2 = 1

5

= 15 =racionalizando 55 ; t = sc = 2 = 255 = 255 y cos = 55 Ejercicios

8.9Calcula el resto de las razones trigonomtricas conociendo la que se indica.

(a) = 0,3; (b) = 0,4; (c) = 1,3; (d) = 08.10 Si = , halla cunto valen sus razones trigonomtricas, sabiendo que esun ngulo agudo.

8.11 Comprueba si son ciertas las siguientes afirmaciones:

a) Si = 0,4, entonces cos = 0,6.b) Si = 2, entonces el es doble que el .

4. Razones trigonomtricas de 30, 45 y 60

Vamos a calcular las razones trigonomtricas de los ngulos 45, 30 60 queaparecen con mucha frecuencia.

Razones trigonomtricas de 45Consideremos un tringulo rectngulo issceles cuyos catetos midan 1 cm. Sus

ngulos agudos miden 45 cada uno. La hipotenusa de estetringulo mide:

= 12 + 12 = 2. Por tanto,45 = 12 45 = 12 45 = 1

Razones trigonomtricas de 30 y de 60Consideremos un tringulo equiltero de lado 1 cm. Sus ngulos miden 60. Trazamos

la altura sobre uno de los lados y formamos dos tringulosrectngulos cuyos ngulos agudos miden 30 y 60. Fijmonos,por ejemplo, en el de la izquierda (en rojo).

La altura de este tringulo equiltero mide:

=

12

1

2

2

=

1

1

4=

3

4=32


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8

Por tanto,

30 = 12 cos 30 =

32

30 = 1 232 = 13 = 33

60 = 3

2 cos 30 =

1

2 30 = 3

2

1 2 = 3 Tabla de razones trigonomtricas de algunos ngulos

Ejercicios

8.12 Un carpintero quiere construir una escalera de tijera cuyos brazos, una vezabiertos, formen un ngulo de 60. Para que la altura de la escalera, estando abierta seade 2 metros, qu longitud deber tener cada brazo?

8.13 Utiliza la calculadora para obtener los ngulos agudos con la razn trigonomtricaindicada. Expresa el ngulo en grados sexagesimales y en radianes:

a) cos = 0,93a) =

8.14 Completa la siguiente tabla teniendo en cuenta que en las operaciones dondeaparezcan fracciones y/o radicales, debes operar con ellos sin utilizar su expresindecimal:

0,94 4/5cos 0,82 3

2

3,5 1


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5. Razones trigonomtricas de un ngulo cualquiera

En unos ejes de coordenadas con centro en el origen trazamos una circunferenciacuyo radio mide la unidad. Dicha circunferencia se denomina circunferencia goniomtrica.Tomamos como origen de medida de los ngulos el eje de abscisas y como sentidopositivo el contrario a las agujas del reloj.

En estas condiciones consideremos un punto P delprimer cuadrante. Si Q es la proyeccin de P sobre eleje de abscisas, en el tringulo OQP resulta:

= = 1 = = = 1 =

Es decir, el seno y el coseno de un ngulo vienen representados por la ordenada y laabscisa de un punto P sobre la circunferencia goniomtrica:

, = cos , Esta nueva forma de definir las razones trigonomtricas de un ngulo agudo permite

definir las razones de cualquier ngulo a travs de las coordenadas (, ) de un puntosobre la circunferencia goniomtrica.

En esta nueva situacin, dependiendo del cuadrante donde est el punto, las razonestrigonomtricas tendrn un signo tal y como se muestra en la siguiente imagen:

Las razones de los ngulos que coinciden en los ejes de coordenadas: 0, 90, 180 y270 vienen dadas en la siguiente tabla:

ngulo 0 90 180 270

Seno 0 1 0 -1Coseno 1 0 -1 0Tangente 0 No existe 0 No existe

Ejercicios

8.15 Cuntos ngulos hay en la circunferencia tales que el seno sea 0,5? Y coseno0,342? Y seno -0,875?


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10

8.16 Dibuja los siguientes ngulos en la circunferencia goniomtrica indicando cul es elsigno de cada una de sus razones trigonomtricas.

a) 34; b)23; c) 340; d) 7

6

8.17 Contesta a estas cuestiones.

a) Est acotado el valor de la tangente de un ngulo?b) Indica en qu cuadrantes la tangente toma valores positivos y en cules

negativos.c) Para qu valores de es = 0?d) Qu sucede con el valor de si = 0?. Y si cos = 0?e) Cmo estn relacionados los valores del seno, del coseno y de la tangente de un

ngulo?

8.18 Sabiendo que la = 0,5y es un ngulo del primer cuadrante, obtener el valorde

y de

.

8.19 Dada una razn trigonomtrica, calcula en cada caso las restantes:

a) = 0,3, siendo un ngulo del primer cuadrante.b) = 1/5, siendo un ngulo del segundo cuadrante.c) = 3, siendo un ngulo del tercer cuadrante.d) Dibuja los ngulos que has obtenido en los apartados anteriores.

8.20 Seala en qu cuadrante est cada ngulo:

a)

= 0,8y

= 0,6.

b)

=

0,8y

=

0,6.

c) = 0,5y = 0,57.6. Aplicaciones de la trigonometra

Las razones trigonomtricas y su definicin proporcionan herramientas matemticasmuy tiles en el clculo de reas y longitudes en situaciones que puedan esquematizarsemediante tringulos rectngulos.

Los ngulos agudos suman 90: + = 90Teorema de Pitgoras:

2

= 2

+ 2

Razones de y : = ; = ; = = ; = ; =

Veamos algunos ejemplos:


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Ejemplo 1: Calcula el rea de un pentgono regular depermetro 25 cm.

Si el permetro tiene 25 cm, cada uno de los lados medir 5cm. Cada ngulo del pentgono regular mide:

180

5

2

5 = 108Para calcular el rea nos falta conocer la apotema:cos 54 =

2,5 cos 54 = 2,5Despejando, obtenemos el valor de r:

= 2,5cos54

=2,5

0,59= 4,24

Por otro lado, 54 = = 4,24 0,81 = 3,43 El rea del pentgono es: =

2=

253,43

2= ,

Ejemplo 2: Halla la altura de un edificio si desde el otrolado de la calle, a 30 m de su base, vemossu extremo superior con un ngulo de 60

Sabemos que:

60 =

30 = 3 0

60 = 30

3 = 51,96

El edificio mide aproximadamente 52 m de altura.

Ejemplo 3: El mstil de un velero se halla unido a la proa y a la popa del mismo pordos cables que forman con la cubierta ngulos de 45 y 60,respectivamente. Si el barco tiene unalongitud de 100 m, Cul es la altura delmstil?

La longitud desde la popa al mstil es metros,luego del mstil a la proa ser 100 metros.Vamos a calcular ahora la altura y la distancia delmstil a los extremos del barco.

60 = 100 45 = 60 = 100 45 45 60 + 45 = 100 45 Y despejando nos queda:

= 100 4545 + 60 = 1 0 0 11 + 3 = 36,63

= 60 = 36,63 60 = 63,44 La altura del mstil es de 63,44 m


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12

Ejemplo 4: Desde un barco vemos la luz de un faro con unainclinacin de 55 y, despus de avanzar 20 millas enesa direccin, se ve con un ngulo de 70. A qudistancia estamos del faro?

La distancia a la que nos encontramos del faro la llamamos. 20 + 55 = 70 = 20 + 55 = 70 20 55 + 55 = 70Agrupamos las en el 2 miembro y despejamos:

20 55 = 70 55

=

20

55

70 55=

20 1,43

2,75 1,43= 21,67

Nos encontramos a 21,67 millas del faro.

Ejercicios

8.21Un edificio de 3m de altura proyecta una sombra de 4 m. Plantea el tringulo querepresenta esta situacin y calcula todos sus elementos. Qu ngulo forman los rayosdel sol en ese momento?

8.22 En un safari por Tanzania vemos a lo lejos el monte Kilimanjaro. El ngulo con elque observamos su cima es de 30. A qu distancia nos encontramos del monte? (Laaltura del Kilimanjaro es de 5.895 m.

8.23Un repetidor de telefona mvil se halla sujeto pordos cables separados 50 m tal como indica la figura. Hallala altura que tiene el repetidor y calcula la longitud de loscables.

8.24 Calcula la cantidad de chapa necesaria para fabricar unaseal de STOP de forma octogonal, sabiendo que la diagonalmarcada mide 1,25 m.


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8.25 Calcula la altura de una torre si situndonos a 25 metros desu pie, observamos la parte ms alta con un ngulo de 45.

8.26 Calcula la profundidad de un pozo de 2 metrosde ancho si vemos el borde opuesto del fondo conun ngulo de 30.

8.27 Halla el rea y el permetro del siguiente trapecio rectngulo.


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7 Soluciones de los ejercicios de la unidad8.1Completa la siguiente tabla:

Grados 0 45 150 270Radianes 3 2

= 180 = 0 180 = 0 =

180 = 45

180=4

= 180 = 3 180 = 1803 = 60 =

180 =

2 180

=

180

2= 90

= 180 = 150 180 = 56 = 180 = 180 = 180 =

180 = 270

180=

32

Grados 0 45 60 90 150 180 270Radianes 0

3 2

8.2 Contesta razonadamente:

c) Cunto mide en radianes un ngulo que abarca una semicircunferencia?Una semicircunferencia mide . En radianes:

= 180

= 180 180

= d) Cunto mide en radianes un ngulo que abarca tres cuadrantes de una

circunferencia?

Tres cuadrantes corresponden a

. En radianes:

= 180 = 270 180 = 32 8.3 Completa las siguientes frases:

g) Un ngulo agudo mide entre 0rad y rad.h) Un ngulo recto mide rad.i) Un ngulo obtuso mide entre rad y rad.

j) Un ngulo llano mide rad.k) Dos ngulos son complementarios si suman

rad.

l) Dos ngulos son suplementarios si sus amplitudes suman rad.


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8.4 Expresa en grados sexagesimales las siguientes medidas de ngulos:

d) 34

=

180 =

34

180

=

3 1 8 0

4= 135

e) 43

= 180 =43

180 = 4 1 8 03 = 4 60 = 240f)

6

=

180 =

6

180

=

180

6= 30

8.5 Expresa en radianes:

(a) 60

= 180

= 60 180

=3

(b) 150

= 180

= 150 180

=56

(c) 330

= 180

= 330 180

=11

6

8.6Calcula las razones trigonomtricas de los ngulos y .

= = 610 = 0,6 = = 810 = 0,8 tan = = 68 = 0,75 = = 810 = 0,8 cos = = 610 = 0,6 tan = = 86 = 1,3333


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8.7 Calcula las razones trigonomtricas de los ngulos marcados en la siguiente figura:

Calculamos la diagonal utilizando el teorema de Pitgoras: = + = = cm = = 45 = 0,8 = = 35 = 0,6 tan = = 43 = 1,3333 = = 35 = 0,6 cos = = 45 = 0,8 tan = = 34 = 0,75

8.8 Calcula las razones trigonomtricas de los ngulos marcados en cada caso.

= 35 cos = 4

5 tan = 3

4

= 810

=4

5 cos = 6

10=

3

5 tan = 8

6=

4

3

=12

13 cos =5

13 tan =12

5

= 1634

=8

17 cos = 30

34=

15

17 tan = 16

30=

8

15

=

30

34=

15

17 cos

=

16

34=

8

17 tan

=

30

16=

15

8

8.8 bis Calcula las razones trigonomtricas del ngulo que se indica y el valor del nguloayudndote de una calculadora cientfica.

a) a=13; b=17. ngulo .b) a= 6; c=11. ngulo .c) b=31; c:25. ngulo .

Este ejercicio se realizar en clase con el fin de practicar el uso de la calculadora cientfica.


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8.9Calcula el resto de las razones trigonomtricas conociendo la que se indica.

(a) = 0,32 + 2 = 1 cos = 1 2 = 1 0,32 = 0,9539

=

cos =0,3

0,9539 = 0,3145

(b) = 0,42 + 2 = 1 sen = 1 2 = 1 0,42 = 0,9165

= cos = 0,30,9539 = 0,3273

(c) = 1,3

2 + 1 = 12 12 = 1,32 + 1 12 = 2,69 cos = 12,69 = 0,6097 = cos = cos tan = 0,6097 1,3 = 0,7926

(d) = 02 + 2 = 1 cos = 1 02 = 1 = 1

=cos

=

0

1= 0

8.10 Si = , halla cunto valen sus razones trigonomtricas, sabiendo que esun ngulo agudo.

Como es un ngulo agudo, se trata de un ngulo del primer cuadrante en donde todas las razones tienensigno positivo.

2 + 2 = 1 2 + 2 = 1 22 = 1 = 12 = 22 cos =

2

2

= cos =

2222

= 1

8.11 Comprueba si son ciertas las siguientes afirmaciones:

c) Si = 0,4, entonces cos = 0,6.

2 +

2 = 1

cos

=

1

0,4

2 = 0,9165

No es cierto.


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d) Si = 2, entonces el es doble que el .2 + 1 = 12 12 = 22 + 1 12 = 5 cos = 15 = 0,4472

=

cos = cos tan = 0,4472 2 = 0,8944Si es cierto.8.12 Un carpintero quiere construir una escalera de tijera cuyos brazos, una vezabiertos, formen un ngulo de 60. Para que la altura de la escalera, estando abierta seade 2 metros, qu longitud deber tener cada brazo?

cos 60 =2

cos 6 0 = 2

= 2cos60 = 20,5 = 4

8.13 Utiliza la calculadora para obtener los ngulos agudos con la razn trigonomtricaindicada. Expresa el ngulo en grados sexagesimales y en radianes:

b) cos = 0,93

= arccos0,93 = 0,3764rad

= 180 = 0,3764 180 = 213355b) =

= arctan3,14 = 1,2626rad = 180 = 1,2626 180 = 722036

8.14 Completa la siguiente tabla teniendo en cuenta que en las operaciones dondeaparezcan fracciones y/o radicales, debes operar con ellos sin utilizar su expresin

decimal:

0,94 4/5cos 0,82 3

2 3,5 1

(Tomaremos solo los valores positivos de las races por considerar que los ngulos se encuentran en el primer

cuadrante)

a)

2 + 2 = 1 cos = 1 0,942 = 0,3412


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19

= cos = 0,940,3412 = 2,7552

b)

2 +

2 = 1

sen

=

1

2 =

1

0,82

2 = 0,5724

= cos = 0,57240,82 = 0,6980c)

2 + 2 = 1 cos = 1 452 = 1 16

25= 9

25=

3

5

=cos

=

45

3

5=

4

3

d)12 = 2 + 1 cos = 1(tan )2 + 1 = 13,52 + 1 = 0,2747

= cos tan = 0,2747 3,5 = 0,9615e)

2 + 2 = 1 sen = 1 2 = 1 32 2 = 1 34 = 14 = 12 =

cos = 1 232

=13 = 33

f)1

2=

2 + 1

cos

=

1

(tan )2 + 1=

1

12 + 1=

1

2=

2

2

= cos tan =22

1 =22

La tabla completa queda en esta forma:

0,94 0,5724 4/5 0,2747 12 2

2

cos

0,3412 0,82

3

5 0,9615 3

2

22

2,7552 0,6980 43 3,5 33 1


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8.15 Cuntos ngulos hay en la circunferencia tales que el seno sea 0,5? Y coseno0,342? Y seno -0,875?

a) Hay dos: uno en el primer cuadrante y otro en el segundo cuadrante.

b) Hay dos: uno en el primer cuadrante y otro en el cuarto cuadrante.

a) Hay dos: uno en el tercer cuadrante y otro en el cuarto cuadrante.

8.16 Dibuja los siguientes ngulos en la circunferencia goniomtrica indicando cul es elsigno de cada una de sus razones trigonomtricas.

a) 34Las tres razones son positivas

b) 23(=120) Se trata de un ngulo del 2 cuadrante: el seno es positivo; el coseno y la tangente

son negativos.


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21

c) 340Se trata de un ngulo del 4 cuadrante: el coseno es positivo; el seno y la tangente sonnegativos.

d) 76(=210) Se trata de un ngulo del tercer cuadrante: el coseno y el seno son positivos; la

tangente es negativa.

8.17 Contesta a estas cuestiones.

a) Est acotado el valor de la tangente de un ngulo? No. La tangente puede valercualquier nmero real.

b) Indica en qu cuadrantes la tangente toma valores positivos y en culesnegativos. La tangente toma valores positivos en los cuadrantes primero y tercero. La tangentetoma valores negativos en los cuadrantes segundo y cuarto.

c) Para qu valores de es = 0? Para y . Tambin para cualquier mltiplo deestos.

d) Qu sucede con el valor de si = 0? Que es 0. Y si cos = 0? Que no existeporque en los nmeros reales no es posible la divisin entre cero.

e) Cmo estn relacionados los valores del seno, del coseno y de la tangente de unngulo? Estn relacionados mediante la expresin: = .


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22

8.18 Sabiendo que la = 0,5y es un ngulo del primer cuadrante, obtener el valorde y de .

1

2

= 2 + 1 cos = 1(tan )2 + 1 = 1

0,5

2 + 1

= 0,8944

= cos tan = 0,8944 0,5 = 0,44728.19 Dada una razn trigonomtrica, calcula en cada caso las restantes:

a) = 0,3, siendo un ngulo del primer cuadrante.2 + 2 = 1 cos = 1 0,32 = 0,9539

= cos = 0,30,9539 = 0,3145

b)

=

1/5, siendo

un ngulo del segundo cuadrante.

2 + 2 = 1 sen = 1 2 = 1 152 = 1 1

25= 24

25=24

5

= cos =

24515

= 24c) = 3, siendo un ngulo del tercer cuadrante.

12 = 2 + 1 cos = 1(tan )2 + 1 = 132 + 1 = 12 = cos tan = 1

2 3 = 3

2

d) Dibuja los ngulos que has obtenido en los apartados anteriores.(a) = 0,3 = 172727


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23

(b) = 0,2 = 1013213

(c) = 3 = 240

8.20 Seala en qu cuadrante est cada ngulo:

d) = 0,8y = 0,6. El ngulo se encuentra en el primer cuadrante.e) = 0,8y = 0,6. El ngulo se encuentra en el tercer cuadrante.f) = 0,5y = 0,57. El ngulo se encuentra en el primer cuadrante.

8.21 Un edificio de 3 m de altura proyecta unasombra de 4 m. Plantea el tringulo que representaesta situacin y calcula todos sus elementos. Qungulo forman los rayos del sol en ese momento?

Calculamos la hipotenusa:

= 9 + 16 = 25 = 5 tan = 3

4 = arctan0,75 = 365212

= 90

3652

12

= 537

48

Los rayos del sol forman 53748en ese momento.


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24

8.22 En un safari por Tanzania vemos a lo lejosel monte Kilimanjaro. El ngulo con el queobservamos su cima es de 30. A qu distancianos encontramos del monte? (La altura delKilimanjaro es de 5.895 m.)

tan 30 = 5895 = 58950,5774

= 10210 8.23Un repetidor de telefona mvil se halla sujeto pordos cables separados 50 m tal como indica la figura. Hallala altura que tiene el repetidor y calcula la longitud de loscables. 40 =

50 = 50 =

40

=

50

50

0,8391 = 50 1,1918 1,1918 2,0309 = 59,59 =

59,59

2,0309= 29,34 = 40 = 29,34 0,8391 = 24,62

La altura del repetidor es: 8 + 24,62 = ,Las longitudes de los cables son:

1 = 40 = 24,620,6428 = 38,30 2 = 50 = 24,620,7660 = 32,14

8.24 Calcula la cantidad de chapa necesaria para fabricar unaseal de STOP de forma octogonal, sabiendo que la diagonalmarcada mide 1,25 m.

Un octgono est formado por ocho tringulos issceles cuyos lados igualesmedirn:

1,25: 2 = 0,625 Para calcular la apotema utilizaremos la funcin seno teniendo en cuentaque cada uno de los ngulos del octgono regular es:

180 8 28

= 135

6730 =

0,625

= 0,625 0,9239 = 0,5774

El lado:


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25

= 2 0,6252 0,57742 = 0,4783 =

2=

0,4783 8 0,5774

2= 1,102

8.25 Calcula la altura de una torre si situndonos a 25 metros de su pie, observamos laparte ms alta con un ngulo de 45.

tan 45 = 25

= 25 tan 45 = 25 1 = 25

8.26 Calcula la profundidad de un pozo de 2 metros de ancho si vemos el borde opuestodel fondo con un ngulo de 30.

tan 30 = 2 = 2 tan30 = 2 0,5774 = 1,15

8.27 Halla el rea y el permetro del siguiente trapecio rectngulo.

Calculemos los lados:

tan 55 =160

1 = 60 tan 55 = 60 1,4281 = 85,69 tan 75 =

2

60

1 = 60 tan 75 = 60 3,7321 = 223,92

El clculo del tercer lado lo haremos utilizando el teorema de Pitgoras:

3 = 602 + 223,92 85,692 = 150,69 Permetro: 60 + 223,92 + 150,69 + 85,69 = 520,31 rea:

+2

=223,92+85,69

2 60 = 9268,36 2


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26

USO DE LA CALCULADORA

Las explicaciones son vlidas para calculadoras cientficas CASIO FX-82SX. En calculadoras de las series

CASIO FX-82MS y CASIO FX-82ES deben introducirse previamente las funciones a los nmeros.

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