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TriánguloLaura Marsiglia

ContenidosArtículos

Triángulo 1Triángulo rectángulo 16Teorema de Pitágoras 20

ReferenciasFuentes y contribuyentes del artículo 30Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 31

Licencias de artículosLicencia 33

Triángulo 1

Triángulo

El triángulo es un polígono de tres lados.

Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres rectasque se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentranalineados). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices ylos segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Doslados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.

Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 lados y 3vértices.Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, otrígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si estácontenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico.Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llamatriángulo geodésico.

Convención de escritura

Un triángulo llamado ABC

Los puntos principales de una figura geométrica, comolos vértices de un polígono, suelen ser designados porletras latinas mayúsculas: A, B, C,...

Un triángulo se nombra entonces como cualquier otropolígono, nombrando sucesivamente sus vértices, porejemplo ABC. En el caso del triángulo, los vérticespueden darse en cualquier orden, porque cualquiera delas 6 maneras posibles (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB,CBA), corresponde a un recorrido de su perímetro. Estoya no es cierto para polígonos con más vértices.

Los lados del triángulo se denotan, como todos los segmentos, por sus extremos: AB, BC y AC, en nuestro ejemplo.Para nombrar la longitud de un lado, por lo general se utiliza el nombre del vértice opuesto, convertido a minúsculalatina: para BC, para AC, para AB.

La notación general para el ángulo entre dos segmentos OP y OQ que comparten el extremo O es También podemos utilizar una letra minúscula, habitualmente griega, coronada por un acento circunflejo (en rigor,los ángulos deben ser designados por letras mayúsculas y su medida por minúsculas, pero a menudo se utilizan losmismos nombres para los dos con el fin de simplificar la notación). En el caso de un triángulo, el ángulo entre doslados todavía puede, por tolerancia y en ausencia de ambigüedad, ser designado por el nombre del vértice común,coronado por un acento circunflejo. En resumen, en nuestro ejemplo, podemos observar los ángulos:

Triángulo 2

Triángulos — Resumen de convenciones de designación

VérticesLados (como segmento)

Lados (como longitud)

Ángulos

Clasificación de los triángulosLos triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ángulos.

Por las longitudes de sus ladosPor las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:• como triángulo equilátero, si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados

ó radianes.)• como triángulo isósceles (del griego iso, igual, y skelos, piernas; es decir, "con dos piernas iguales"), si tiene dos

lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto,filósofo griego, demostró que un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación entrelongitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales[1] ), y

• como triángulo escaleno ("cojo", en griego), si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triánguloescaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).

Equilátero Isósceles Escaleno

Por la amplitud de sus ángulosPor la amplitud de sus ángulos, los triángulos se clasifican en:

(Clasificación por amplitud de sus ángulos)

Triángulos

Rectángulos

Oblicuángulos

Obtusángulos

Acutángulos

Triángulo 3

• Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto seles denomina catetos y al otro lado hipotenusa.

• Triángulo oblicuángulo: cuando ninguno de sus ángulos interiores son rectos (90°). Por ello, los triángulosobtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.• Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos

(menores de 90°).• Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°. El triángulo equilátero es un

caso particular de triángulo acutángulo.

Rectángulo Obtusángulo Acutángulo

Oblicuángulos

Clasificación según los lados y los ángulosLos triángulos acutángulos pueden ser:• Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto. Este

triángulo es simétrico respecto de su altura.• Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene eje de simetría.• Triángulo acutángulo equilátero: sus tres lados y sus tres ángulos son iguales; las tres alturas son ejes de

simetría (dividen al triángulo en dos triángulos iguales).Los triángulos rectángulos pueden ser:• Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada uno), dos lados son

iguales y el otro diferente: los lados iguales son los catetos y el diferente es la hipotenusa. Es simétrico respecto ala altura de la hipotenusa, que pasa por el ángulo recto.

• Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto, y todos sus lados y ángulos son diferentes.Los triángulos obtusángulos pueden ser:• Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que forman el ángulo

obtuso; el otro lado es mayor que éstos dos.• Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.

Triángulo 4

Triángulo equilátero isósceles escaleno

acutángulo

rectángulo

obtusángulo

Congruencia de triángulosDos triángulos son congruentes si hay una correspondencia entre sus vértices de tal manera que el ángulo del vérticey los lados que lo componen, en uno de los triángulos, sean congruentes con los del otro triángulo.

Postulados de congruencia

Triángulo Postulados de congruencia

Postulado LAL (Lado, Ángulo, Lado) Dos triángulos son congruentes si dos lados de uno tienen la misma longitud que doslados del otro triángulo, y los ángulos comprendidos entre esos lados tienen también la misma medida.

Postulado ALA (Ángulo, Lado, Ángulo) Dos triángulos son congruentes si dos ángulos interiores y el lado comprendido entreellos tienen la misma medida y longitud, respectivamente. (El lado comprendido entre dos ángulos es el lado común a ellos).

Postulado LLL (Lado, Lado, Lado) Dos triángulos son congruentes si cada lado de un triángulo tiene la misma longitud quelos correspondientes del otro triángulo.

Teoremas de congruencia

Triángulo Teoremas de congruencia

Teorema AAL (Ángulo, Ángulo, Lado) Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y un lado, no comprendido entre los ángulos,tienen la misma medida y longitud, respectivamente.

Triángulo 5

Congruencias de triángulos rectángulos• Criterio HC (Hipotenusa, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y el cateto de uno

de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.• Criterio CC (Cateto, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si los catetos de uno de los triángulos

tienen la misma medida que los catetos correspondientes del otro.• Criterio HA (Hipotenusa, Ángulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y un ángulo

agudo de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.• Criterio CA (Cateto, Ángulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si el cateto un ángulo agudo (el

adyacente o el opuesto) de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.

Semejanza de triángulos• Criterio aa (ángulo, ángulo). Si dos de sus ángulos son semejantes• Criterio lal (lado, ángulo, lado). Si dos de sus lados son proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es

congruente.• Criterio lll (lado, lado, lado). Si sus tres lados son proporcionales.

Semejanzas de triángulos rectángulosDos triángulos rectángulos son semejantes si cumple con al menos uno de los criterios siguientes:• Si uno tiene un ángulo agudo de igual amplitud que un ángulo agudo del otro.• Si uno tiene los dos catetos proporcionales con los del otro.• Si uno tiene un cateto y la hipotenusa proporcionales con los del otro.

Propiedades de los triángulos

Un cuadrilátero con sus diagonales.

Un tetraedro.

Un triángulo puede ser definido como un polígono de tres lados, ocomo un polígono con tres vértices.El triángulo es el polígono más simple y el único que no tienediagonal. Tres puntos no alineados definen siempre un triángulo(tanto en el plano como en el espacio).

Si se agrega un cuarto punto coplanar y no alineado, se obtiene uncuadrilátero que puede ser dividido en triángulos como el de lafigura de la izquierda. En cambio si éste cuarto punto agregado esno coplanar y no alineado, se obtiene un tetraedro que es elPoliedro más simple y está comformado por 4 caras triángulares.

Por otra parte, cada polígono puede ser dividido en un númerofinito de triángulos, esto se logra por triangulación. El númeromínimo de triángulos necesarios para ésta división es ,donde n es el número de lados del polígono. El estudio de lostriángulos es fundamental para el estudio de otros polígonos, porejemplo para la demostración del Teorema de Pick.

Triángulo 6

La suma de los tres ángulos internos de un triángulo es siempre 180° loque equivale a π radianes, en geometría euclidiana.[2]

La suma de los ángulos de un triángulo es 180 grados.

Euclides había demostrado este resultado ensus Elementos (proposición I-32) de lasiguiente manera: trazamos la paralela a lalínea (AB) que pasa por C. Siendo paralelas,esta recta y la recta (AB) forman con larecta (AC) ángulos iguales, codificados encolor rojo en la figura de al lado (ángulosalternos-internos). Del mismo modo, losángulos codificados en color azul soniguales (ángulos correspondientes). Por otrolado, la suma de los tres ángulos del vérticeC es el ángulo llano. Así que la suma de lasmedidas del ángulo de color rojo, del ángulo verde y del azul es un ángulo de 180 ° (o π radianes). La suma de losángulos de un triángulo es 180 °.

Esta propiedad es el resultado de la geometría euclidiana. No se verifica en general en la geometría no euclidiana.• La suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que la longitud del tercer lado.• El valor de la paralela media de un triángulo (recta que une dos puntos medios de dos lados) es igual a la mitad

del lado paralelo.• Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del seno que establece: «Los lados de un triángulo son

proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:

El teorema de Pitágoras gráficamente.

• Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del coseno quedemuestra que «El cuadrado de un lado es igual a la suma de loscuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estoslados por el coseno del ángulo comprendido»:

Triángulo 7

• Para cualquier triángulo rectángulo, cuyos catetos miden a y b, y cuya hipotenusa mida c, se verifica el Teoremade Pitágoras:

(1) De la ecuación anterior se deducen fácilmente 3 fórmulas de aplicación práctica:

Pitágoras ( c²=a²+b² ) – Fórmulas prácticas

Centros del triánguloGeométricamente se pueden definir varios centros en un triángulo:• Baricentro: es el punto que se encuentra en la intersección de las medianas, y equivale al centro de gravedad• Circuncentro: es el centro de la circunferencia circunscrita, aquella que pasa por los tres vértices del triángulo.

Se encuentra en la intersección de las mediatrices de los lados. Además, la circunferencia circunscrita contiene lospuntos de intersección de la mediatriz de cada lado con las bisectrices que pasan por el vértice opuesto.

• Incentro: es el centro de la circunferencia inscrita, aquella que es tangente a los lados del triángulo. Se encuentraen la intersección de las bisectrices de los ángulos.

• Ortocentro: es el punto que se encuentra en la intersecciónn de las alturas.• Exincentros: son los centros de las circunferencias exinscritas, aquellas que son tangentes a los lados del

triángulo. Se encuentra en la intersección de una bisectriz interior y dos bisectrices exteriores de los ángulos.El único caso en que los cuatro primeros centros coinciden en un único punto es en un triángulo equilátero.

Cálculo de los lados y los ángulos de un triánguloEn general, hay varios métodos aceptados para calcular la longitud de un lado y la medida de un ángulo. Mientrasque ciertos métodos pueden ser adecuados para calcular los valores de un triángulo rectángulo, otros pueden serrequeridos en situaciones más complejas.Para resolver triángulos (en general) se suele utilizar los teoremas del seno y del coseno, para el caso especial detriángulos rectángulos se utiliza generalmente el Teorema de Pitágoras.

Triángulo 8

Razones trigonométricas en triángulos rectángulos

Un triángulo rectángulo siempre incluye unángulo de 90° (π/2 radianes), aquí etiquetado C.Los ángulos A y B puede variar. Las funcionestrigonométricas especifican las relaciones entre

las longitudes de los lados y los ángulos interioresde un triángulo rectángulo.

En triángulos rectángulos, las razones trigonométricas del seno, elcoseno y la tangente pueden ser usadas para encontrar los ángulos y laslongitudes de lados desconocidos. Los lados del triángulo sonencontrados como sigue:

• La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, o definida como ellado más largo de un triángulo rectángulo, en este caso h.

• El cateto opuesto es el lado opuesto al ángulo en que estamosinteresados, en este caso a.

• El cateto adyacente es el lado que está en contacto con el ángulo enque estamos interesados y el de ángulo recto, por lo tanto sunombre. En este caso el cateto adyacente es b.

Seno, coseno y tangente

El seno de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto opuestocon la longitud de la hipotenusa. En nuestro caso

El coseno de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto del lado adyacente y la longitud de la hipotenusa.En nuestro caso

La tangente de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto opuesto y la longitud del cateto adyacente. Ennuestro caso

Observe que este cociente de las tres relaciones anteriores no depende del tamaño del triángulo rectángulo, mientrascontenga el ángulo A, puesto que todos esos triángulos son semejantes.Las siglas "SOH-CAH-TOA" son un mnemónico útil para estos cocientes.

Funciones inversas

Las funciones trigonométricas inversas pueden ser usadas para calcular los ángulos internos de un triángulorectángulo al tener la longitud de dos lados cualesquiera.Arcsin (arcoseno) puede ser usado para calcular un ángulo con la longitud del cateto opuesto y la de la hipotenusa.

Arccos (arcocoseno) puede ser usado para calcular un ángulo con la longitud del cateto adyacente y la de lahipotenusa.

Arctan (arcotangente) puede ser usada para calcular un ángulo con la longitud del cateto opuesto y la del catetoadyacente.

Triángulo 9

En los cursos introductorios de geometría y trigonometría, la notación sin−1, cos−1, etc., es frecuentemente usada enlugar de arcsin, arccos, etc. Sin embargo, la notación de arcsin, arccos, etc., es estándar en matemáticas superioresdonde las funciones trigonométricas son comúnmente elevadas a potencias, pues esto evita la confusión entre elinverso multiplicativo y el inverso compositivo.

Elementos notables de un triángulo

Medianas y centro de gravedad

Medianas y centro de gravedad de un triángulo.

El segmento de recta que va de un vértice al punto medio del ladoopuesto se llama mediana.

• Las tres medianas de un triángulo concurren en un punto, en lafigura, llamado centroide o baricentro del triángulo. Si éste es dedensidad homogénea, entonces el centroide es el centro demasas del triángulo.[3]

• Cada una de las tres medianas dividen el triángulo en dos triángulosde áreas iguales. La distancia entre el baricentro y un vértice son 2/3de la longitud de la mediana.

• Las tres medianas dividen al triángulo en 6 triángulos de áreas iguales. Demostración: por simetría, para untriángulo equilátero. Un triángulo cualquiera con sus tres medianas puede transformarse en un triángulo equiláterocon su tres medianas mediante una transformación afín o una transformación lineal. El jacobiano (el factor por elque aumentan o disminuyen las áreas) de una transformación afín es el mismo en cualquier punto, de lo que sededuce la proposición que encabeza este párrafo.

Del teorema de Apolonio, también llamado "teorema de la mediana", pueden deducirse varias fórmulas prácticas(válidas para cualquier triángulo), éstas permiten calcular a partir del conocimiento de tres elementos, a un cuartoelemento desconocido, (los elementos en cuestión son lados y medianas). La siguiente tabla muestra un resumen delas mismas (con notación acorde a la figura de la propia tabla ):

Triángulos — Medianas ( fórmulas prácticas II )

Triángulo 10

( Lados: a, b y c ) — ( Medianas: Ma, M

b y M

c )[4] — ( Semilados: m

a=n

a = ½ a , m

b=n

b = ½ b y m

c=n

c = ½ c ).

Mediatrices y circunferencia circunscrita

Mediatrices y circunferencia circunscritade un triángulo.

Se llama mediatriz de un lado de un triángulo a la recta perpendicular a dicholado trazada por su punto medio (también llamada simetral). El triángulotiene tres mediatrices, una por cada uno de sus lados , y .Las tres mediatrices de un triángulo son concurrentes en un punto equidistante de los tres vértices. La circunferencia de centro y radio que pasa por cada uno de los tres vértices del triángulo es la circunferenciacircunscrita al triángulo, y su centro se denomina circuncentro.[5]

• En un triángulo acutángulo, el centro de la circunferencia circunscrita estádentro del triángulo.

• En un triángulo obtusángulo, el centro de la circunferencia circunscritaestá fuera del triángulo.

• En un triángulo rectángulo, el centro de la circunferencia circunscrita es el punto medio de la hipotenusa.PropiedadUn triángulo es rectángulo si y sólo si el centro de su circunferencia circunscrita es el punto medio de su hipotenusa.

Bisectrices, circunferencia inscrita y circunferencias exinscritas

Bisectrices y circunferencia inscrita deun triángulo.

Las bisectrices de un triángulo son las bisectrices de sus ángulos. Existenbisectrices internas (las usuales) y externas a estos ángulos.

Las tres bisectrices internas de un triángulo son concurrentes en un punto O.La circunferencia inscrita del triángulo es la única circunferencia tangente alos tres lados del triángulo y es interior al triángulo. Tiene por punto central elincentro, que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.[6]

Además, las bisectrices exteriores de dos ángulos concurren con la bisectrizinterior del ángulo restante en puntos denominados exincentros, que son loscentros de las circunferencias exinscritas del triángulo. Hay 3 exincentros,al igual que 3 circunferencias exinscritas. Las circunferencias exinscritasson tangentes a un lado y a la extensión de los otros dos.

Triángulo 11

Alturas y ortocentro

Alturas y ortocentro de un triángulo.

Se llama altura de un triángulo a cada una de las tres rectas que pasan por unvértice del triángulo y que son perpendiculares al lado opuesto del vértice. Laintersección de la altura y el lado opuesto se denomina «pie» de la altura.[7]

Estas 3 alturas se cortan en un punto único llamado ortocentro deltriángulo.[8]

Notas:• Un triángulo es rectángulo si y sólo si su ortocentro es el vértices recto del

triángulo.• Un triángulo es obtusángulo si y sólo si su ortocentro se encuentra fuera

del triángulo.• Un triángulo es acutángulo si y sólo si su ortocentro está dentro del triángulo.

Recta de Euler

Recta de Euler de un triángulo.

Los tres puntos , y están alineados en una línea rectallamada recta de Euler del triángulo y verifica la relación de Euler:[9]

[10]

Los puntos medios de los tres lados, los tres pies de las alturas y lospuntos medios de los segmentos , y están en unamisma circunferencia llamada circunferencia de Euler o circunferenciade los nueve puntos del triángulo.

Área de un triángulo

El área de un triángulo suele expresarse por una fórmula de lo mássencilla: es igual al semiproducto de la base por la altura:

Esto vale para cualquier triángulo plano.

Área con fórmula de Herón

Conociendo la longitud de los tres lados a, b y c, se puede calcular el área para cualquier triángulo euclideo. Primerose calcula el semiperímetro s y luego se aplica la fórmula de Herón, (no se requiere conocer la altura).

Triángulo 12

Área con longitud de sus lados

Conociendo la longitud de los tres lados a, b y c, se puede calcular el área para cualquier triángulo euclideo, (éstasfórmulas no requieren pre calcular el semiperímetro ni conocer la altura).

Área usando coordenadas cartesianas

Si un triángulo genérico (en el plano euclidiano ℝ²), tiene alguno de sus vértices (supongamos el A) ubicado en (0, 0)—el origen de las coordenadas cartesianas—, y las coordenadas de los otros dos vértices (supongamos B y C)vienen dadas por B = (xB, yB) y C = (xC, yC), entonces el área puede ser calculada como ½ del valor absoluto deldeterminate (reducido a los dos vértices arbitrarios B y C).

Si un triángulo genérico (en el plano euclidiano ℝ²), tiene sus tres vértices ubicados de modo arbitrario (ninguno enel origen), entonces la ecuación es:

Para un triángulo genérico (en el espacio euclidiano ℝ³), cuyas coordenadas son { A = (xA, yA, zA), B = (xB, yB, zB) yC = (xC, yC, zC) }, entonces el área viene dada por la suma Pitagórica de las áreas del las respectivas proyeccionessobre los tres planos prinipales (es decir x = 0, y = 0 y z = 0):

Área de triángulos rectángulos con lados enterosCuando consideramos la obtención de triángulos rectángulos con lados enteros se encuentra la solución general dela ecuación x² + y² = z²:x = m 2 u.v; y = m (u² - v²); z = m (u² + v²)

En estas fórmulas, u y v son dos enteros positivos arbitrarios de distinta paridad tales que u > v y son primos entre sí.El entero positivo m es uno cualquiera que cubre los casos en los que los elementos de la terna pitagórica tienen unfactor común. Cuando m = 1, tenemos las ternas pitagóricas con elementos primos entre sí dos a dos. Como el lectorpuede apreciar, aunque estas fórmulas fueron diseñadas para obtener ternas con lados enteros, al ser una identidad,también son válidas para lados reales, exceptuando el caso en que ambos catetos son iguales (que la hipotenusa seadiagonal de un cuadrado).Si realizamos el cálculo del área en base a las expresiones encontradas para los catetos, nos queda una forma cúbica:

Los números de la forma , cuando u y v son u > v y enteros positivos impares y primos entre sí, son números congruentes de Fibonacci, introducidos en su Liber Quadratorum (1225). No hay razón conocida para que u

Triángulo 13

y v no puedan ser de distinta paridad. Fibonacci demostró que el producto de un congruente por un cuadrado tambiénes congruente.Como el área de cualquier triángulo puede ser descompuesto en la suma o resta del área de dos triángulosrectángulos, tenemos dos expresiones para el área de triángulos no rectángulos:

Acutángulo: Obtusángulo:

Sin olvidar que esto solamente es válido para pares de triángulos rectángulos que no tengan catetos iguales. Es unaforma más complicada de calcular el área de un triángulo, y también es poco conocida. Pero en algunos casos, suescritura puede echar luz sobre cuestiones que de otra forma pasan inadvertidas.

En el espacio

Octaedro; poliedro de ocho carastriángulares.

Icosaedro; poliedro de veintecaras triangulares.

El triángulo es la forma de las caras de tres poliedros regulares:• tetraedro: cuatro triángulos equiláteros en las caras y esquinas formadas por la

confluencia de 3 triángulos (es la pirámide de base triangular),• octaedro: ocho triángulos equiláteros en las caras y esquinas formadas por la

confluencia de 4 triángulos (las pirámides de Egipto son medio-octaedros),• icosaedro: veinte triángulos equiláteros en las caras y esquinas formadas por la

confluencia de 5 triángulos,

Triángulo 14

Historia

Problemas R49-> R55 del papiro Rhind.

Ningún documento matemático del Antiguo Imperio ha llegado hastanosotros. Pero la arquitectura monumental de la III Dinastía y la IVDinastía de Egipto es una prueba notable de que los egipcios de esaépoca tenían conocimientos relativamente sofisticados de geometría,especialmente en el estudio de los triángulos.

Figura del triángulo representada en el problemaR51 del papiro Rhind.

El cálculo del área de esta figura se analiza en los problemas R51 delpapiro Rhind, M4, M7 y M17 del papiro de Moscú, que datan todos delImperio Medio. El problema R51 constituye en la historia mundial delas matemáticas, el primer testimonio escrito que trata del cálculo delárea de un triángulo.

Enunciado del problema R51 del papiro Rhind:[11]

Ejemplo de cálculo de un triángulo de tierra. Si alguien te dice: untriángulo de 10 khet sobre su mryt y de 4 khet de base. ¿Cuál es suárea? Calcular la mitad de 4, que es 2 para formar un rectángulo.Multiplica 10 por 2. Esta es su área.

El término mryt significa probablemente la altura o el lado. Sin embargo, la fórmula utilizada para calcular el áreahace pensar en la interpretación en favor de la primera solución.[12] El escriba tomaba la mitad de la base deltriángulo y calculaba el área del rectángulo formado por ese lado y la altura; es decir

equivalente a la fórmula general utilizada en nuestros días:

El hecho de que un triángulo de lados 3-4-5 es rectángulo también era conocido por los antiguos egipcios ymesopotámicos.Euclides, en el Libro I de sus Elementos , hacia el 300 antes de Cristo, enunció la propiedad de la suma de losángulos del triángulo.

Triángulo 15

Véase también• Área triangular• Relaciones métricas en el triángulo• Congruencia de triángulos• Triángulos semejantes• Altura de un triángulo• Teorema de la altura (para triángulos rectángulos)• Vértice• Teorema de Pitágoras• Teorema de Tales• Teorema del cateto• Teorema del seno• Teorema del coseno• Teorema de Apolonio (teorema de las medianas)• Recta de Euler• Anexo:Ecuaciones de figuras geométricas• Fórmula de Herón• CatetoTipos de triángulos:• triángulo equilátero, si tiene los tres ángulos y los tres lados iguales;• triángulo rectángulo, si tiene uno de sus ángulos recto;• triángulo de Kepler, es un triángulo rectángulo de lados , y , donde es el número áureo;• triángulo sagrado egipcio, un triángulo rectángulo cuyos lados guardan la relación 3, 4, 5;• triángulo esférico, si está contenido en una superficie esférica;• triángulo Bézier, una superficie geométrica cuyos lados son curvas de Béizer;• triángulo de Sierpinski, un fractal que se puede construir a partir de un triángulo.

Referencias• Este artículo fue creado a partir de la traducción parcial del artículo Triangle de la Wikipedia en francés,

concretamente de esta versión [13], bajo licencia Creative Commons Compartir Igual 3.0 y GFDL.[1] Denis Guedj, El teorema del loro: Novela para aprender matemáticas, trad. francés Consuelo Serra, Colección Compactos, Editorial

Anagrama, Barcelona, 2002, ISBN 84-339-6726-6.[2] En la geometría no euclidiana, como la de Riemann y Lobachevsky la suma de los ángulos internos es diferente a 180°.[3] Weisstein, Eric W., « Triangle Median (http:/ / mathworld. wolfram. com/ TriangleMedian. html)» (en inglés), MathWorld, Wolfram

Research, .[4] Déplanche, Y.,Diccio fórmulas, 1996, Edunsa (publ.), "Medianas de un triángulo" pág. 25. (http:/ / books. google. com/

books?id=1HVHOwAACAAJ), isbn=9788477471196[5] Weisstein, Eric W., « Circumcircle (http:/ / mathworld. wolfram. com/ Circumcircle. html)» (en inglés), MathWorld, Wolfram Research, .[6] Weisstein, Eric W., « Incircle (http:/ / mathworld. wolfram. com/ Incircle. html)» (en inglés), MathWorld, Wolfram Research, .[7] Weisstein, Eric W., « Altitude (http:/ / mathworld. wolfram. com/ Altitude. html)» (en inglés), MathWorld, Wolfram Research, .[8] Weisstein, Eric W., « Orthocenter (http:/ / mathworld. wolfram. com/ Orthocenter. html)» (en inglés), MathWorld, Wolfram Research, .[9] Weisstein, Eric W., « Euler Line (http:/ / mathworld. wolfram. com/ EulerLine. html)» (en inglés), MathWorld, Wolfram Research, .[10] Rodríguez, R.A. (3 de octubre de 2010). « Recta de Euler (http:/ / cbtis54. webcindario. com/ Euler. html)». Consultado el 9 de octubre de

2010. «Demostración interactiva realizada con GeoGebra».[11] A. Buffum Chace, Rhind papyrus, pl. 73.[12] C. Marshall, Ancient Egyptian Science, p.70[13] http:/ / fr. wikipedia. org/ wiki/ Triangle

Triángulo 16

Enlaces externos• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre triángulos. Commons• Wikcionario tiene definiciones para triángulo.Wikcionario• Weisstein, Eric W., « Triangle (http:/ / mathworld. wolfram. com/ Triangle. html)» (en inglés), MathWorld,

Wolfram Research.• Triangle (http:/ / planetmath. org/ encyclopedia/ Triangle. html) en PlanetMath

Triángulo rectángulo

Un triángulo rectángulo y sus elementos.

Triángulo rectángulo se denomina al triángulo en elque uno de sus ángulos es recto, es decir, mide 90°(grados sexagesimales) ó π/2 radianes.

(Clasificación por amplitud de sus ángulos)

Triángulos

Rectángulos

Oblicuángulos

Obtusángulos

Acutángulos

Fórmulas para calcular un lado desconocido en función de los otros dos, donde a y b son los catetos y c es lahipotenusa.

Triángulo rectángulo 17

Pitágoras ( c²=a²+b² ) – Fórmulas prácticas

Se denomina hipotenusa al lado mayor del triángulo, el lado opuesto al ángulo recto.Se llaman catetos a los dos lados menores, los que conforman el ángulo recto.Cualquier triángulo se puede dividir en 2 triángulos rectángulos.

Nombre de sus elementos (designación convencional)Los elementos principales de un triángulo rectángulo son: vértices, lados y ángulos.Para la designación convencional de los mismos véase → ( [1] )

Relaciones métricas

En un triángulo rectángulo:La medida de un cateto es media proporcional entre lamedida de la hipotenusa y su proyección sobre ella.

   , también se cumple:   

La medida de la altura es media proporcional entre los dos segmentos que determina sobre la hipotenusa.

   , es decir:   

Las tres alturas del triángulo rectángulo pueden calculase como:

   ;       ;   

donde b y c son los catetos y a, la hipotenusa, en tanto que ha, h

b y h

c son las alturas sobre los respectivos lados.

La relación entre catetos e hipotenusa se establece mediante el Teorema de Pitágoras:

donde es la medida de la hipotenusa.

Triángulo rectángulo 18

Razones trigonométricasEn un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas del ángulo con vértice en A, son:El seno: la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa,

El coseno: la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa,

La tangente: la razón entre el cateto opuesto y el adyacente,

Área

fig. ar1: Relación entre el rectángulo y dos de las tres alturas (la delos catetos) de un triángulo rectángulo.

Se puede considerar el área de un triángulo rectángulocomo la mitad del área de un rectángulo partido por sudiagonal, véase fig. ar1, (o un cuadrado si el triángulorectángulo es además isósceles).

(A1)

donde a y b de la ecuación (A1) representan las medidas de los dos catetos que coinciden con los dos lados y lascorrespondientes alturas del rectángulo (véase fig. ar1).En todo triángulo rectángulo cada uno de los dos catetos es siempre la respectiva altura del otro. Asumiendo que a =cateto1 y b = cateto2 se puede escribir una versión equivalente de ecuación (A1) de la siguiente manera:

Triángulo rectángulo 19

La demostración anterior es solo un caso especial, restringido, de una mucho más general que vale para todotriángulo (no solo para los triángulos rectángulos); Y esta es la "proposición I.41[2] de Euclides, la cual se basa enel concepto más general de paralelogramo y no se restringe al rectángulo. Dicha proposición I.41 extiende la validezde la ecuación (A1) a todo triángulo.

Notas

Triángulos — Resumen de convenciones de designación

VérticesLados (como segmento)

Lados (como longitud)

Ángulos

[2] Euclides Los Elementos, proposición I.41 → "Si un paralelogramo tiene la misma base que un triángulo y está contenido entre las mismasparalelas, el paralelogramo es el doble del triángulo".

Véase también• Teorema de Pitágoras• Triángulo• Cateto• Hipotenusa• Triángulo de Kepler• Teorema de la altura• Triángulo sagrado egipcio

Enlaces externos• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Triángulo rectángulo. Commons• Weisstein, Eric W., « Triángulo rectángulo (http:/ / mathworld. wolfram. com/ RightTriangle. html)» (en inglés),

MathWorld, Wolfram Research.

Teorema de Pitágoras 20

Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Pitágoras de Samos

El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (ellado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los doscatetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que:

(1) De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:

Pitágoras ( c²=a²+b² ) – Fórmulas prácticas

HistoriaEl Teorema de Pitágoras lleva este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica.Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con loslados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal comose indica en algunas tablillas y papiros, pero no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente surelación. La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide que se construyóbasándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.

Designaciones convencionales

Teorema de Pitágoras 21

Triángulos — Resumen de convenciones de designación

VérticesLados (como segmento)

Lados (como longitud)

Ángulos

DemostracionesEl Teorema de Pitágoras es de los que cuenta con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizandométodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración delteorema para alcanzar el grado de Magíster matheseos.Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el matemático estadounidense E. S.Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 The Pythagorean Proposition.En ese mismo libro, Loomis clasificaría las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde serelacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones de áreas;dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y las cuaterniónicas, mediante el uso de vectores.

China: el Chou Pei Suan Ching, y el Chui Chang Suang Shu

Prueba visual para un triángulo de a = 3, b = 4 y c = 5como se ve en el Chou Pei Suan Ching, 500-200 a. C.

El Chou Pei es una obra matemática de datación discutida enalgunos lugares, aunque se acepta mayoritariamente que fueescrita entre el 500 y el 300 a. C. Se cree que Pitágoras noconoció esta obra. En cuanto al Chui Chang parece que esposterior, está fechado en torno al año 250 a. C.

El Chou Pei demuestra el teorema construyendo un cuadradode lado (a+b) que se parte en cuatro triángulos de base a yaltura b, y un cuadrado de lado c.

DemostraciónSea el triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c. Setrata de demostrar que el área del cuadrado de lado c es igual ala suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b. Esdecir:

Teorema de Pitágoras 22

Si añadimos tres triángulos iguales al original dentro del cuadrado de lado c formando la figura mostrada en laimagen, obtenemos un cuadrado de menor tamaño. Se puede observar que el cuadrado resultante tiene efectivamenteun lado de b - a. Luego, el área de este cuadrado menor puede expresarse de la siguiente manera:

Ya que .Es evidente que el área del cuadrado de lado c es la suma del área de los cuatro triángulos de altura a y base b queestán dentro de él más el área del cuadrado menor:

Con lo cual queda demostrado el teorema.

Demostraciones supuestas de Pitágoras

Se cree que Pitágoras se basó en la semejanza delos triángulos ABC, AHC y BHC. La figuracoloreada hace evidente el cumplimiento del

teorema.

Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza detriángulos: sus lados homólogos son proporcionales.[1]

Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la alturarelativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’,proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente.

Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres basesiguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos soniguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares.En consecuencia dichos triángulos son semejantes.• De la semejanza entre ABC y AHC:y dos triángulos son semejantes si hay dos o más ángulos congruentes.

• De la semejanza entre ABC y BHC:

Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:

Pero , por lo que finalmente resulta:

Teorema de Pitágoras 23

La relación entre las superficies de dos figurassemejantes es igual al cuadrado de su razón de

semejanza. En esto pudo haberse basadoPitágoras para demostrar su teorema

Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en larelación entre las superficies de figuras semejantes.Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que:

siendo r la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la relación entre sus superficies:

obtenemos después de simplificar que:

pero siendo la razón de semejanza, está claro que:

Es decir, "la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza".Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemos que:

que de acuerdo con las propiedades de las proporciones nos da:

(I)

y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que:

pero según (I) , así que:

y por lo tanto:

quedando demostrado el teorema de Pitágoras.

Teorema de Pitágoras 24

Los cuadrados compuestos en el centro y a laderecha tienen áreas equivalentes. Quitándoles

los triángulos el teorema de Pitágoras quedademostrado.

Es asimismo posible que Pitágoras hubiera obtenido una demostracióngráfica del teorema.Partiendo de la configuración inicial, con el triángulo rectángulo delados a, b, c, y los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa–izquierda-, se construyen dos cuadrados diferentes:

• Uno de ellos –centro- está formado por los cuadrados de los catetos,más cuatro triángulos rectángulos iguales al triángulo inicial.

• El otro cuadrado –derecha- lo conforman los mismos cuatrotriángulos, y el cuadrado de la hipotenusa.

Si a cada uno de estos cuadrados les quitamos los triángulos, evidentemente el área del cuadrado gris ( ) equivalea la de los cuadrados amarillo y azul ( ), habiéndose demostrado el teorema de Pitágoras.

Demostración de Euclides: proposición I.47 de Los Elementos

Figura Euclides 1: La proposición I.41EuclidesLos Elementos, proposición I.41 → "Si unparalelogramo tiene la misma base que untriángulo y está contenido entre las mismasparalelas, el paralelogramo es el doble deltriángulo". de Euclides. La superficie del

rectángulo ABCD es el doble de la de cualquierade los triángulos: sus bases son la misma –DC-, yestán entre las mismas paralelas. Esto es cuantonecesita Euclides para demostrar el teorema de

Pitágoras.

Figura Euclides 2: La proposición I.36EuclidesLos Elementos, proposición I.36 → "Los

paralelogramos que tienen las bases iguales yestán contenidos entre las mismas paralelas, soniguales entre sí". de Euclides: los paralelogramos

ABCD y EFCD tienen áreas equivalentes, portener igual base, y estar comprendidos entre las

mismas paralelas.

El descubrimiento de los números irracionales por Pitágoras y losPitagóricos supuso un contratiempo muy serio.[4] De pronto, lasproporciones dejaron de tener validez universal, no siempre podíanaplicarse. La demostración de Pitágoras de su teorema se basaba muyprobablemente en proporciones, y una proporción es un númeroracional. ¿Sería realmente válida como demostración? Ante esto,Euclides elabora una demostración nueva que elude la posibilidad deencontrarse con números irracionales.

El eje de su demostración es la proposición I.47[5] de Los Elementos:

Teorema de Pitágoras 25

Figura Euclides 3: La demostración de Euclideses puramente geométrica. Su columna vertebral

es la sencilla proposición I.41 de Los Elementos.

En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los lados quecomprenden el ángulo recto.

Euclides (proposición I.47)

Basándose en la proposición I.41[2] de Los Elementos, que equivale a decir que a igual base y altura, el área delparalelogramo dobla a la del triángulo, (véase Figura Euclides 1).Se tiene el triángulo ABC, rectángulo en C (véase Figura Euclides 3), y se construye los cuadrados correspondientesa catetos e hipotenusa. La altura CH se prolonga hasta J. Seguidamente se traza cuatro triángulos, iguales dos a dos:• Triángulos ACK y ABD: son iguales, pues siendo AD=AC, y AK=AB, necesariamente BD=CK. Sus tres lados

son iguales.• Triángulos ABG y CBI: análogamente, AB=BI, y BG=BC, así que AG=CI. Sus tres lados son asimismo iguales.Abundando en las anteriores consideraciones, nótese que un giro con centro en A, y sentido positivo, transformaACK en ABD. Y un giro con centro en B, y sentido también positivo, transforma ABG en CBI. En la demostraciónde Leonardo da Vinci se encontrará nuevamente con giros que demuestran la igualdad de figuras.Véase (en la Figura Euclides 3) que:1. Las paralelas r y s comprenden al triángulo ACK y el rectángulo AHJK, los cuales tienen la misma base, AK. Por

tanto de acuerdo con la proposición I.41[2] de Los Elementos, AHJK tiene doble área que ACK, (véaseFigura Euclides 1).

2. Las paralelas m y n contienen a ABD y ADEC, cuya base común es AD. Así que el área de ADEC es doble de lade ABD.

Pero siendo ACK=ABD, resulta que el rectángulo AHJK y el cuadrado ADEC tienen áreas equivalentes. Haciendosérazonamientos similares con los triángulos ABG y CBI, respecto al cuadrado BCFG y al rectángulo HBIJrespectivamente, se concluye que éstos últimos tienen asimismo áreas iguales. A partir de lo anterior, surge deinmediato que: "la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos, es igual al área del cuadradoconstruido sobre la hipotenusa".

Teorema de Pitágoras 26

Demostración de Pappus

La proposición I.36 de Euclides: losparalelogramos ABCD y EFCD tienen áreas

equivalentes, por tener igual base, y estarcomprendidos entre las mismas paralelas.

La demostración de Pappus parece ser unasmusicales variaciones sobre un mismo tema,

respecto a la de Euclides.

Unos 625 años después que Euclides, Pappus[6] parece seguir su senda,y desarrolla una demostración del teorema de Pitágoras basada en laproposicón I.36[3] de Los Elementos de Euclides:

Dos paralelogramos de igual base, y entre las mismas paralelas,tienen superficies equivalentes.

Partimos del triángulo ABC rectángulo en C, sobre cuyos catetos ehipotenusa hemos construido los cuadrados correspondientes.

Prolongando CH hacia arriba se obtiene el rectángulo CEGI cuyadiagonal CG determina en aquél dos triángulos rectángulos iguales altriángulo ABC dado:

• Los ángulos agudos GCI y ABC tienen sus lados perpendiculares• El lado CI es igual al lado CBEn consecuencia los triángulos rectángulos ABC, ICG y EGC tienensus tres lados iguales.1. Los paralelogramos ACGF y AHMN tienen la misma base

CG=HM, y están comprendidos entre las mismas paralelas, r y s.Por lo tanto tienen la misma superficie (Elementos I.36)

2. Aplicando el mismo principio a ACGF y ACED –base común AC,y paralelas m y n- resulta que ambos paralelogramos tienensuperficies asimismo equivalentes.

De 1) y 2) se sigue que las superficies de ACED y AHMN son iguales.

Análogamente:1. CGJB y BLMH tienen la misma base CG=MH, y están comprendidos entre las paralelas s y t. Sus superficies son

equivalentes.2. CGJB y CIKB tienen base común CB, y están entre las paralelas o y p. Sus superficies son iguales.De dónde se deduce la equivalencia de las superficies de BLMH y de CIKB.El teorema de Pitágoras queda demostrado.

Demostración de Bhaskara

Bhaskara desarrolla una demostración gráfica yalgebraica del teorema de Pitágoras.

Bhaskara II, el matemático y astrónomo hindú del siglo XII, nos da lasiguiente demostración del teorema de Pitágoras.

Con cuatro triángulos rectángulos de lados a, b y c se construye elcuadrado de lado c –izquierda-, en cuyo centro se forma otro cuadradode lado (a-b).

Redistribuyendo los cuatro triángulos y el cuadrado de lado (a-b),construimos la figura de la derecha, cuya superficie resulta ser la sumade la de dos cuadrados: uno de lado a –azul- y otro de lado b -naranja-.

Se ha demostrado gráficamente que Algebraicamente: el área del cuadrado de lado c es la correspondiente a los cuatro triángulos, más el área delcuadrado central de lado (a-b), es decir:

Teorema de Pitágoras 27

expresión que desarrollada y simplificada nos da el resultado , y el teorema queda demostrado.

Demostración de Leonardo da Vinci

El diseño inicial, con el triángulo y los cuadradosde catetos e hipotenusa, es modificado porLeonardo da Vinci al añadir dos triángulos

iguales al ABC: el ECF y el HIJ.

En el elenco de inteligencias que abordaron el teorema de Pitágoras nofalta el genio del Renacimiento, Leonardo da Vinci.

Partiendo del triángulo rectángulo ABC con los cuadrados de catetos ehipotenusa, Leonardo añade los triángulos ECF y HIJ, iguales al dado,resultando dos polígonos, cuyas superficies va a demostrar que sonequivalentes:

1. Polígono ADEFGB: la línea DG lo divide en dos mitades idénticas,ADGB y DEFG.

2. Polígono ACBHIJ: la línea CI determina CBHI y CIJA.Comparemos los polígonos destacados en gris, ADGB y CIJA:• De inmediato vemos que tienen tres lados iguales: AD=AC,

AB=AJ, BG=BC=IJ• Asimismo es inmediata la igualdad entre los ángulos de los

siguientes vértices:• A de ADGB y A de CIJA

• B de ADGB y J de CIJASe concluye que ADGB y CIJA son iguales.De modo análogo se comprueba la igualdad entre ADGB y CBHI.Además, de un modo semejante a lo explicado en la demostración de Euclides, nótese que un giro de centro A, ysentido positivo, transforma CIJA en ADGB. Mientras que un giro de centro B, y sentido negativo, transforma CBHIen ADGB.Todo ello nos lleva a que los polígonos ADEFGB y ACBHIJ tienen áreas equivalentes. Pues bien, si a cada uno lequitamos sus dos triángulos –iguales- las superficies que restan forzosamente serán iguales. Y esas superficies noson sino los dos cuadrados de los catetos en el polígono ADEFGB, por una parte, y el cuadrado de la hipotenusa enel polígono ACBHIJ, por la otra. El teorema de Pitágoras queda demostrado.

Demostración de Garfield

El polígono construido por Garfield es untrapecio (figura)trapecio de bases a y b,

compuesto por tres triángulos rectángulos.

James Abram Garfield (1831-1881), el vigésimo Presidente de losEstados Unidos,[7] desarrolló una demostración del teorema dePitágoras publicada en el New England Journal of Education.

Teorema de Pitágoras 28

Garfield construye un trapecio de bases a y b, y altura (a+b), a partir del triángulo rectángulo de lados a, b y c. Dichotrapecio resulta compuesto por tres triángulos rectángulos: dos iguales al dado, y un tercero, isósceles de catetos c.En consecuencia:

(g.1)

como corresponde a la superficie del trapecio, pero asimismo tenemos una figura compuesta por tres triángulos, dosde ellos iguales, de modo que:

(g.2)

igualando la ecuación (g.2) con la (g.1) obtenemos:

pasando el ½ al otro miembro y simplificando ...

expandiendo el miembro derecho ...

restando (2 a b) a ambos miembros, finalmente nos da:

y el teorema está demostrado.

Véase también• Teorema de De Gua• Trigonometría

• Triangulación• Trigonometría esférica• Función trigonométrica

• Geometría del triángulo• Teorema del coseno• Teorema del seno• Relaciones métricas en el triángulo

• Pitágoras• Escuela de Kerala• Matemática en la India

Teorema de Pitágoras 29

Notas[1] Una vez descubiertos los números irracionales esta demostración quedaba invalidada. Será Euclides el primero en prescindir de la

proporcionalidad para demostrar el teorema.[2] Euclides Los Elementos, proposición I.41 → "Si un paralelogramo tiene la misma base que un triángulo y está contenido entre las mismas

paralelas, el paralelogramo es el doble del triángulo".[3] Euclides Los Elementos, proposición I.36 → "Los paralelogramos que tienen las bases iguales y están contenidos entre las mismas

paralelas, son iguales entre sí".[4] Los pitagóricos habían llegado a la conclusión de que el número racional lo explicaba todo. Por eso el descubrimiento de los números

irracionales causó un verdadero trauma. Juraron mantener el secreto de lo descubierto pero, según la leyenda (¿o realidad?) el pitagóricoHipaso de Metaponto lo reveló. En represalia, sus compañeros invocaron la ira de los dioses e Hipaso murió en un naufragio.

[5] Euclides Los Elementos, proposición I.47 → "En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado opuesto al ángulo recto es igual a la sumade los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto".

[6] Pappus nació en Alejandría -Pappus de Alejandría- sobre el año 290, y murió alrededor del 350. Es el último de los grandes geómetrasgriegos.

[7] James A. Garfield murió el 19 de septiembre de 1881, a consecuencia de un atentado sufrido el 2 de julio del mismo año. Fue el segundoPresidente asesinado, después de Abraham Lincoln. Su demostración del teorema de Pitágoras es de 1876, cuando era miembro de la Cámarade Representantes.

Bibliografía• PLATÓN: Diálogos. Menexenos-Menon-Kratilos-Faidros. Ediciones Ibéricas. Madrid, 1958• PAUL STRATHERN: Pitágoras y su teorema. Siglo XXI de España Editores. Madrid, 1999• LOOMIS E. S.: The Pythagorean Proposition. NCTM. Míchigan, 1940• GONZÁLEZ URBANEJA, P. M.: Pitágoras. El filósofo del número. Nivola. Madrid, 2001• Martínez Delgado, Alberto. Teorema de Pitágoras: originalidadde las demostraciones de E. García Quijano

(1848) (http:/ / www. rsme. es/ gacetadigital/ abrir. php?id=262). Consultado el 4 de octubre de 2010.

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Fuentes y contribuyentes del artículo 30

Fuentes y contribuyentes del artículoTriángulo  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=46438071  Contribuyentes: .José, .snoopy., 9 parabellum, Adis, Af3, Airunp, Aleposta, Alexav8, Alexis 14s, Alhen, Alvaro qc,Amadís, Angel GN, Angus, Antur, Aparejador, Arkady, Arquen, Asaraya, Avm, Açipni-Lovrij, Balderai, Barteik, Belgrano, BetoCG, Brindys, BuenaGente, Camilo, Camiloccc, Carlos AlbertoCarcagno, Carmin, Cavernario67, Ce6z53, Charly genio, Chuck es dios, Cinabrium, Cobalttempest, Comunanark, Correogsk, Cristian max 77, Ctrl Z, DAVORT, DJ Nietzsche, Dark, Darwino,David0811, Diegusjaimes, Dodo, Dorieo, EL Willy, Eamezaga, Echani, Edmenb, Eduardosalg, Edwardyanquen, Ejmeza, Elabra sanchez, Eligna, Eloy, Emopg, Er Komandante, Erfil, Eric,Escalda, Escarlati, Feli94, Felipegil9, Felviper, Flakinho, Foundling, Fran89, FrancoGG, GermanX, Greek, Grillitus, Gurgut, Gusbelluwiki, Götz, Hgz1111, HiTe, HighwaytoHell, Hosg, House,Hrry, Hugozam, Humberto, Interwiki, JMCC1, Jarfil, Jarke, Jjafjjaf, Jorge c2010, JorgeGG, Joseaperez, Jsanchezes, Jtico, Juan Mayordomo, Julie, Jurock, Justinhgross, Kiensvay, Krli2s, Kved,Kzman, Larocka, Laura Fiorucci, Lucien leGrey, MILO, Mafores, Mahadeva, Malasodi, Mansoncc, Manwë, Marb, Markoszarrate, Martingala, Matdrodes, Maturanna49, Miss Manzana,Monta990, Montgomery, Moriel, Morza, Mpeinadopa, Mqs, Nachosan, Netito777, Nihilo, Nixón, No sé qué nick poner, Obelix83, Ortisa, Oscar ., Oscar armando romero loreto, Osiris fancy,Pabloa, Pan con queso, Pedritorico, Petronas, Petruss, Planeador negro, PoLuX124, Porao, Primogenito1977, ProfeMatematica, Qwertymith, R2D2!, Rakant, Renacimiento, Ricardogpn,Rondador, Roxana555, RoyFocker, Ruy Pugliesi, Saloca, Sauron, Savh, Siabef, Sigmanexus6, Sistemo, Super braulio, Tano4595, Tirithel, Tortillovsky, Tosin2627, Valentin estevanez navarro,Vandal Crusher, Vatelys, Veon, Vic Fede, Victormoz, Vmars, William1509, Willtron, WizardLuigi, Xexito, Yeimyalexa, Youssefsan, Yustin carolina, 715 ediciones anónimas

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