Traza de una Matriz Cuadrada

Departamento de Matematicas, CSI/ITESM

10 de septiembre de 2008

Indice

7.1. Definiciones y propiedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2. La traza de un producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

7.1. Definiciones y propiedades basicas

A pesar de su aparente sencillez, la traza de una matriz cuadrada es un elemento clave en desarrollosposteriores. Veremos su definicion y sus propiedades basicas. En la lectura posterior se entendera su aplicacion.Definicion

Sea A una matriz m × m, la traza de A se define como la suma de los elementos de la diagonal principal:

tr(A) =

m∑

i=1

aii = a11 + a22 + · · · + amm (1)

En particular:tr(In) = n, y tr(Jn) = n

Ejemplo

Determine la traza de la matriz:

A =

1 −1 20 −3 −1

−2 −3 8

Solucion

Directamente de la definiciontr (A) = (1) + (−3) + (8) = 6

⋄

Lema 7.1

Sean A y B matrices m × m:

1. tr (kA) = k tr (A)2. tr (A + B) = tr (A) + tr (B)3. tr (A′) = tr (A)

Demostracion

1. Tomemos C = k A, ası cij = k aij y por tanto

tr (kA) = tr (C) =m

∑

i=1

cii =m

∑

i=1

(k aii) = k

m∑

i=1

aii = k tr (A)

3. Si C = A′, cij = aji y ası cii = aii:

tr(

A′)

= tr (C) =m

∑

i=1

cii =m

∑

i=1

aii = tr (A) ⋄

Ejercicio 1

Sean A y B matrices m × m, demuestre que

tr (A + B) = tr (A) + tr (B)

Sugerencia

Tome C = A + B, ası cii = aii + bii. Aplique ahora la definicion de la traza.

Ejercicio 2

Demuestre que si A y B matrices m × n y n × m respectivamente: entonces

tr (AB) = tr(

B′A′)

Sugerencia

Utilice la propiedad 3 del lema 5.1 y la propiedad de la transpuesta de un producto.

Ejercicio 3

Verifique que las matrices siguientes cumplen la propiedad:

tr (AB) = tr(

B′A′)

A =

[

1 2 33 2 1

]

y B =

−2 12 34 1

Lema 7.2

Sea A una matriz cuadrada particionada tal que

A =

A11 A12 · · · A1k

A21 A22 · · · A2k

......

. . ....

Ak1 Ak2 · · · Akk

Entoncestr (A) = tr (A11) + tr (A22) + · · · + tr (Akk)

2

Demostracion

Este resultado se deduce de que la diagonal principal de la matriz A es justo la concatenacion de las diagonalesprincipales de las matrices Aii.

7.2. La traza de un producto

Teorema 7.3

Sean A y B matrices m × n y n × m respectivamente.

tr (AB) = tr (BA)

Demostracion

Tomemos C = AB, ası

cij =n

∑

k=1

aikbkj

Para j = i la formula anterior queda:

cii =n

∑

k=1

aikbki

Ası:

tr (C) =m

∑

i=1

cii =m

∑

i=1

n∑

k=1

aikbki =n

∑

k=1

m∑

i=1

aikbki =n

∑

k=1

m∑

i=1

bkiaik

Por otro lado si D = BA, ası

dij =m

∑

k=1

bikakj

Para j = i la formula anterior queda:

dii =m

∑

k=1

bikaki

Ası:

tr (D) =n

∑

i=1

dii =n

∑

i=1

m∑

k=1

bikaki

Comparando las formulas:

tr (AB) =

n∑

k=1

m∑

i=1

bkiaik y tr (BA) =

n∑

i=1

m∑

k=1

bikaki

Concluimos que, intercambiando los nombres de los ındices i y k, tr (AB) = tr (BA)⋄

Ejercicio 4

3

Encuentre dos matrices A y B, 2 × 2, tal que

tr (AB) 6= tr (A) · tr (B)

Sugerencia

Pienselo facil. Tome por ejemplo

A =

[

1 00 0

]

.

Ejercicio 5

Verifique que las matrices siguientes cumplen la propiedad:

tr (AB) = tr (BA)

A =

[

1 2 33 2 1

]

y B =

−2 12 34 1

Ejercicio 6

Demuestre que si A, B y C son matrices n × n se cumple

tr (ABC) = tr (CAB) = tr (BCA)

Sugerencia

Para la primera igualdad tome D = AB y E = C y aplique el teorema 5.3. Para la segundaigualdad tome D = A y E = BC y aplique el mismo teorema.

Ejercicio 7

Demuestre que si A, B y C son matrices n × n se cumple

tr (ABC) = tr(

B′A′C′)

= tr(

A′C′B′)

Sugerencia

Para la primera igualdad tome D = AB y E = C y aplique como valido el ejercicio 2. Para lasegunda igualdad tome D = A y E = BC. y aplique el mismo teorema 5.3.

Ejercicio 8

Demuestre que si A, B y C son matrices n × n simetricas se cumple

tr (ABC) = tr (BAC)

Sugerencia

Utilice como valido el ejercicio anterior y que X′ = X para las matrices simetricas.

4

Ejercicio 9

Encuentre matrices cuadradas A, B y C 2 × 2 que cumplen

tr (ABC) 6= tr (BAC)

Ejercicio 10

Sea A una matriz m × n, demuestre que el elemento (i, i) de AA′ es

n∑

j=1

a2

ij

Ejercicio 11

Sea A una matriz m × n, demuestre que

tr(

AA′)

=m

∑

i=1

n∑

j=1

a2

ij

Sugerencia

Utilice como valido el resultado del ejercicio anterior.

Ejercicio 12

Utilice el resultado anterior para determinar tr (AA′) Si

A =

[

1 2 33 2 1

]

Ejercicio 13

Sea A una matriz m × n. Entonces A = 0 si y solo si tr(A′A) = 0.Sugerencia

Utilice la propiedad 3 del lema 5.1 y asuma como valido el resultado del ejercicio 11. Y recuerdeque la suma de cantidades mayores o iguales a cero es cero si y solo si cada cantidad es cero.

Ejercicio 14

Sea A una matriz m × n. Entonces A = 0 si y solo si A′A = 0.Sugerencia

Tome como valido el resultado del ejercicio anterior.

Lema 7.4

5

Sean A, B, y C matrices, m × n, n × p, y n × p respectivamente.

AB = AC si y solo si A′AB = A′AC

Demostracion

Claro que AB = AC implica que A′AB = A′AC. Si suponemos que

A′AB = A′AC

Entonces, desarrollando

(AB − AC)′ (AB − AC) = (B − C)′ A′ (AB − AC)= (B − C)′ (A′AB − A′AC)= 0

Por el ejercicio anterior, AB − AC = 0⋄

Ejercicio 15

Sea A una matriz m × m que cumple A′A = A2. Muestre que

1. tr ((A − A′)′(A − A′)) = 0.

2. A es simetrica.

Sugerencia

Para el primer inciso desarrolle el producto de matrices, utilice la hipotesis, y tome como valido elresultado del ejercicio 1. Para el segundo inciso, utilice como valido el resultado del ejercicio 13.

Ejercicio 16

La traza y la tecnologıa

Asumiendo que una matriz ya esta almacenada en memoria. Indique como determinar la traza detal matriz en

una calculadora cientıfica (HP o TI)

en Maple

en Matlab

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