Transporte y Asignaciones Destilería San Lorenzo SA La destilería San Lorenzo SA posee tres...

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  • Transporte y Asignaciones

  • Destilera San Lorenzo SA La destilera San Lorenzo SA posee tres plantas de produccin: Ensenada , Dock Sud y San Lorenzo. Las capacidades de las tres plantas durante el prximo trimestres sern de 1000 ,1500 ,2000 ( en camiones cisternas, unos 35000 litros por camin) y dos centros principales de distribucin, Rosario que demanda 2300 camiones y Buenos Aires que demanda 1400 . El costo de cada viaje en dlares est determinado por:

    Se desea determinar el mnimo costo del combustible a distribuir y las cantidades a transportar .

  • Minimizar C= 210X11+110X12+160X21+80X22+68X31+215X32SUJETO A :X11+X12=1000X21+X22=1500X31+X32=1200X11+X21+X31=2300X12+X222+X32=1400Si lo resolvemos con una planilla de clculo su solucin es X11=0,X12=1000,X21=1100,X22=400,X31=1200,X32=0 Costo mnimo de 399600

  • Analicemos desde otra perspectiva

  • Para resolverlo podemos utilizar la siguiente tabla:

    Rosario Buenos Aires OfertaEnsenada X11 210 X12 110 1000Dock Sud X21 160 X22 80 1500San Lorenzo X31 68 X32 215 1200Demanda 2300 1400

    Resolucin : Empiezo por la fuente uno y asigno el menor costo es decir las 1000 a la variable X12 ,bajo a la segunda fuente asigno lo que falta de Buenos Aires al menor costo que es X22 400 y el resto de la oferta a Rosario X21 es decir 1100 , y ahora analizo la otra fuente San Lorenzo , optimizo la mayor produccin a menor costo de distribucin que es Rosario donde restaban por cubrir 1200 camiones hago entonces X31=1200 y cubr todas las demanda sin que me sobre lo producido en alguna destilera.

  • MODELO GENERAL DEL TRANSPORTE La tabla de costos y requerimientos que se muestra enseguida: Costo por unidad distribuida DestinoOrigen 1 2 . . .n Recursos 1 c11 c12 . . .c1n s1 2 c21 c22. . . C2n s2..m.... Cm1 cm2. . . Cmn smDemanda d1 d2. . . dn

    Sea Z el costo total de distribucin y xij (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2,..., n) el nmero de unidades que se distribuyen del origen i al destino j, la formulacin de programacin lineal para este problema es:MinimizarZ = sujeta a

    yxij 0, para toda i y j

  • Como proceder si la demanda es diferente a la oferta? Supongamos ahora que en la destilera San Lorenzo se produce un excedente de 200 camiones, por lo que el problema queda desbalanceado , esto se resuelve fcilmente , agregando un destino ficticio de tal manera que en ese destino destinamos el sobrante de combustible , en la solucin estos 200 camiones son camiones que tendremos de reserva o para vender a otra destilera.

    Si Buenos Aires requiere supongamos un agregado de 300 camiones a su pedido habitual de 1400 , debemos instalar una fuente ficticia que abastezca esa cantidad, lo que significar que debemos comprar esa cantidad en otra destilera para abastecer el pedido de Buenos Aires

  • Farmacutica CarltonLa farmacutica Carlton abastece de drogas y otros suministros mdicos.Esta tiene tres plantas en: Claveland, Detroit, Greensboro.Tiene cuatro centros de distribucin en: Boston, Atlanta, St Louis.La gerencia de Carlton desea realizar el trnsporte de sus productos de la manera ms econmica posible.

  • DatosCosto de transporte por unidad, oferta y demanda.

    Supuestos* El costo de transporte por unidad es constante* Todos los transportes ocurren simultneamente.* Solo se considera el costo de transporte entre el lugar de origen y el de destino* La oferta total es igual a la demanda total.

  • RED QUE REPRESENTAEL PROBLEMA

    D1=1100D2=400D3=750D4=750

  • Modelo matemtico* La estructura del modelo es la siguiente:

    Minimizar sujeto a :cantidad a transportar desde la fabrica = oferta de la fbricacantidad a recibir por la distribuidora = demanda de la distribuidora.

    * Variables de decisin:

    Xij = cantidad a transportar desde la fbrica i a la distribuidora jdonde i = 1(Claveland), 2(Detroit), 3(Greensboro) j = 1(Boston), 2(Richmond), 3(Atlanta), 4 (St,Louis)

  • BostonRichmondAtlantaSt.LouisD1=1100D2=400D3=750D4=750Restricciones de la Oferta

  • El modelo matemtico completo

    ===

    ====

  • Solucin optima obtenida a travs de Excel

  • Anlisis de Sensibilidad por WINQSBSi utilizamos esta ruta, el costo total aumentara en $5 por unidad transportada.

  • Precio sombra de la distribuidora - el costo de demandar una unidad ms por la distribuidora.Precio sombra de la planta - el costo de cada unidad extra disponible en la planta.

  • Interpretacin de los resultados del anlisis de sensibilidad.

    * Reduccin de Costos: - La cantidad a transportar que reduce el costo por unidad entrega la ruta ms econmicamente atractiva.- Si una ruta debe usarse obligatoriamente, incurriendo asi en el costo que ello significa, por cada carga transportada , el costo total aumentara en una cantidad igual a la reduccin del costo hecha.

    * Precios Sombra:- Para las plantas el precio sombra de transporte corresponde al costo de cada unidad disponible en la planta.- Para las distribuidoras, el precio sombra de transporte corresponde al costo de cada unidad extra demandada por la distribuidora.

  • Compaa de ski MontpelierUsando un modelo de transporte para un itinerario de produccin* Montpelier planea su produccin de ski para los meses de julio, agosto y septiembre.

    * La capacidad de produccin y el costo de produccin unitario puede varia de un mes a otro.

    * La compaa puede destinar tiempo de produccin adicional para la fabricacin de skis.

    * El nivel de produccin es capaz de satisfacer la demanda proyectada y un trimestre del nivel de inventario.

    * La gerencia desea un itinerario de produccin que minimiza el costo del trimestre.

  • Datos:

    * Inventario inicial = 200 pares* Nivel de inventario requerido = 1200 pares* Nivel de produccin para el prximo trimestre= 400 pares (tiempo normal) 200 pares (sobretiempo)* La tasa de costo de almacenaje ed de 3% mensual por ski* El nivel de produccin, la demanda esperada para del trimestre, (en pares de ski) y el costo de produccin por unidad (por meses)

  • Anlisis de la demanada* Demanda neta a satisfacer en Julio = 400 - 200 = 200 paresen inventario* Demanda neta de agosto = 600* Demanda neta en septiembre = 1000 + 1200 = 2200 paresdemanda esperada inventario req.Anlisis de la oferta* La capacidad de produccin corresponde a la oferta* Existen dos tipos de oferta1.- Oferta producida en tiempo norma (capacidad de produccin)2.- Oferta producida en sobretiempo. Anlisis de los costos unitarios Costo Unitario= [costo unitario de produccint] + [costo unitario de almacenamiento por mes ][nmero de meses en inventario] Ejemplo: Una unidad producide en julio en tiempo normal y vendida en septiembre cuesta= 25+ (3%)(25)(2 meses) = $26.50

  • Representacin de la Red2525.7526.50 03030.9031.80 0+M 2626.78 0+M

    32

    32.96

    0+M

    +M

    29

    0+M

    +M

    37

    0ProduccinMes/periodoMesVentasJulyR/T Julio S/TAgst.T/NAgst.S/TSept.T/NSept.S/TJulioAgst..Sept.Exceso10005008004004002002006003002200DemandaCapacidad de Produccin Julio T/N

  • Produccin Julio: tiempo normalDestino: Demanda para JulioProduccin Agosto:SobretiempoDestino: Demanda de Septiembre32+(.03)(32)=$32.96Costo Unitario= $25 (produccin)Costo Unitario =Produccin+un mes de almacenamiento

  • Resumen de la solucin ptima.

    * En julio producir 1000 pares en tiempo normal y 500 pares en sobretiempo. Total Disponible : 1500 - 200 = 1300 a fines de julio

    * En agosto producir 800 pares en tiempo normal y 500 en sobretiempo. Disponibles = 800 + 300 - 600 = 500 pares

    * En septiembre producir 400 pares en tiempo normal. Con 1000 pares para la posible demanda los cuales se pueden distribuir:(1300 + 500 ) + 400 - 1000 = 1200 pares disponibles para ser transportados a Ski Chalet. Inventario + Produccin - Demanda

  • Problemas de AsignacinDefinicin del Problema

    * m trabajadores deben ser asignados a m trabajos.

    * Un costo unitario (o ganancia) Cij es asociado al trabajador i que realizara el trabajo j.

    * Minimizar el costo total ( o maximizar la ganancia total) de la asignacin de trabajadores a sus respectivos empleos que le corresponde a cada uno, tratando de que esta asignacin sea la ptima posible.

  • Electrnica BallstonExisten 5 diferentes proyectos elctricos sobre 5 lneas de produccin que necesitan ser inspeccionadas.

    El tiempo para realizar una buena inspeccin de un rea de pende de la lnea de produccin y del rea de inspeccin.

    La gerencia desea asignar diferentes reas de inspeccin a inspectores de productos tal que el tiempo total utilizado sea mnimo.

  • Datos

    * Tiempo de inspeccin en minutos para la lnea de ensamble de cada rea de inspeccin.

  • RED QUE REPRESENTA EL PROBLEMA12345Lnea de ensamblerea de InspeccinABCDED1=1D2=1D3=1D4=1D5=1

  • Modelos de Asignacin Supuestos restricciones

    * El nmero de trabajadores es igual al nmero de empleos.

    * Dado a que el problema esta balanceado, cada trabajador es asignado slo una vez y cada trabajo tiene exactamente un solo trabajador.

    * Para un problema desbalanceado se debe agregar un trabajador ficticio (en el caso de que existan ms trabajos que trabajadores) o un empleo ficticio (en el caso de que existan ms trabajadores que trabajos), quedando as el problema balanceado.

  • El modelo general de asignaciones con n trabajadores y n puestos de trabajo se representa en la tabla:

    El elemento Cij representa el costo de asignar al trabajador i al uesto j .Si i es distinto de j se pueden agragar trabajadores y puestos ficticios.

  • Mtodo hngaro Los tres hijos de Giorgio , Juan , Karina y Toms tiene tres tareas designadas :cortar el pasto, pintar la cochera y lavar los autos de la familia .Cada hijo puede presentar sus costos ede manera secreta para cada actividad , ofertas que estan resumidad en la siguiente tabla:

    CortarPintarLavarJuan15109Karina91510Toms10128

  • Paso 1 : En la matriz original de costo , identificar el mnimo da cada fila y restarlo de todos los elementos de la filaPaso 2 : En la matriz que resulte del paso 1 identificar el mnimo de cada columna y restrselo a todos los elementos de la columna Paso 3 : Identificar la solucin ptima como la asignacin factible asociada con los elementos cero de la matriz obtenida en el paso 2

    CortarPintar Lavar MnJuan151099Karina 915109Toms 101288

  • CPLJ610K061T220Min010

    CPLJ600K051T230

  • Las celdas con elementos ceros subrayados son la solucin ptima , lo que significa que Juan va a pintar la cochera, Karina cortar el pasto y Toms lavar el auto. El Costo de Giorgio ser 9+10+8 = 27

  • Solucin mediante el mtodo HngaroProblema:El profesor Michell ha terminado 4 captulos de su libro y esta pensando en pedir ayuda para terminarlo. El ha elegido a 4 secretarias que podran tipearle cada uno de sus captulos. El costo asociado refleja la velocidad de la secretaria y la exactitud con la que realiza el trabajo. Adems los captulo difieren en la cantidad de hojas y en la complejidad. Qu puede hacer el profesor si conoce la siguiente tabla:CaptulosSecretara 13 14 15 16Juana 96 99 105 108Mara 116 109 107 96Graciela 120 102 113 111 Edith 114 105 118 115

  • Restricciones del Mtodo

    * Solo problemas de minimizacin.* Nmero de personas a asignar m es igual al nmero de lugares m.* Todas las asignaciones son posibles* Una asignacin por persona y una persona por asignacin

    Matriz de CostosCaptulosSecretara 13 14 15 16 MinJuana 96 99 105 108 96Mara 116 109 107 96 96Graciela 120 102 113 111 102 Edith 114 105 118 115 105

  • Restar el Menor valor de cada filaCaptulosSecretara 13 14 15 16Juana 0 3 9 12Mara 20 13 11 0Graciela 18 0 11 9 Edith 9 0 13 10 Min 0 0 9 9

    Restar el menor valor de cada columna en la matriz anteriorCaptulosSecretara 13 14 15 16Juana 0 3 0 12Mara 20 13 2 0Graciela 18 0 2 9 Edith 9 0 4 10

  • Trazar el mnimo nmero de lneas que cubran los ceros de la matriz obtenida en el punto anterior.CaptulosSecretara 13 14 15 16Juana 0 3 0 12Mara 20 13 2 0Jackeline 18 0 2 9 Edith 9 0 4 10

    Si el nmero de lneas es igual al nmero de filas se esta en la solucin ptima, sino identificar el menor valor no rayado restarselo a los dems nmeros no rayados y sumarlo en las intersecciones.

    Pare este caso corresponde al valor 2

  • CaptulosSecretara 13 14 15 16Juana 0 5 0 14Mara 18 13 0 0Graciela 16 0 0 9 Edith 7 0 2 10

    Las asignaciones corresponde a los valores donde existen 0Juana Cap. 13Mara Cap. 16Graciela Cap. 15Edith Cap. 14

    *Costo Asignacin: 96 + 96 +113 +105 =410

  • Suele ocurrir que no siempre los pasos son tan sencillos de utilizar , por que puede que la asignacin no sea factible en ese caso hay que:Trazar la cantidad mnima de filas y columnas que en la ltima matriz cubren todos los ceros Seleccionar el mnimo elemento to no cubierto , restarlo de todo elemento no cubierto y a continuacin sumarlo a todo elemento en la interseccin de una fila con una columna ( dos lneas) Si no se puede encontrar una asignacin factible entre los elementos cero que resulten hay que repetir el procedimiento

  • Supongamos el siguiente caso :

    Tareas ABCD11463 1Personas297109 7345117 448785 5

  • Restamos mnimos de filas y luego mnimo de columnas :

    0322200201433200

  • La celda con valor mnimo no sombreada (rojo) es igual a 1 Este valor hay que restarlo a todas las celdas no sombreadas y se suma a la celda de las intersecciones

    0322200201433200

  • El ptimo es 1+10+5+5 = 21

    0211300200324200

  • 4.4 Problema del vendedor viajeroSe trata de un tour es un recorrido que comienza en una ciudad de partida visitando cada ciudad (nodo) de una cierta red, exactamente una vez y volviendo al punto de partida.

    El objetivo es minimizar el viaje, ya sea desde los puntos de vista de tiempo y distancia.- Definicin del problema

    Existen m nodosUn costo unitario Cij es asociado al arco (i,j).El objetivo es encontrar el ciclo que minimizeel costo total al visitar todos los nodos exactamente una vez.

  • Importancia

    - Diversas aplicaciones pueden ser resueltas como un problema de vendedor viajero

    - Ejemplo* Rutas a seguir por buses escolares* Distribucin de bombas militares

    - El problema tiene importancia terica porque este representa una clase de problemas llamados NP-completos. Complejidad Escribir el modelo matemtico y resolverlo resulta muchas veces incmodo, ya que un problema de 20 ciudades requiere de 500,000 restricciones.

  • AGENCIA GUBERNAMENTAL DE EMERGENCIA

    Se debe realizar una visita a cuetro oficinas locales de la AGE, partiendo de la oficina principal y volviendo a la misma, la cual esta ubicada en Northridge, Southern California.

    Datos Tiempo en minutos para trasladarse de una oficina a otra

  • Red que representa el problema de vendedor viajero de AGE

    30254035806545505040Of. Princ1234

  • Solucin

    - Identificacin de los posibles ciclos.* Existen (m-1)1 ciclos posibles* Solo problemas pequeos pueden ser resuletos.

    - Se utiliza una combinacin de problemas de asignacin con la tcnica Branch and Bound.* Problemas con menos de 20 nodos pueden ser resueltos en forma eficiente por este mtodo.

  • EL PROBLEMA AGE - Identificacin de los posibles ciclosCicloCosto Total 1. H-O1-O2-O3-O4-H210 2. H-O1-O2-O4-O3-H 195 3. H-O1-O3-O2-O3-H 240 4. H-O1-O3-O4-O2-H 200 5. H-O1-O4-O2-O3-H 225 6. H-O1-O4-O3-O2-H 200 7. H-O2-O3-O1-O4-H 265 8. H-O2-O1-O3-O4-H 235 9. H-O2-O4-O1-O3-H 25010. H-O2-O1-O4-O3-H 22011. H-O3-O1-O2-O4-H 26012. H-O3-O1-O2-O4-H260

  • 30254035806545505040Of. Princ1234

  • 4.5 Problemas de la Ruta ms cortaSe trata de encontrar la ruta de menor distancia, o costo ,a entre el punto de partida o nodo inicial y el destino o nodo terminal.

    Definicin del Problema

    - Se tienen n nodos, partiendo del nodo inicial 1 y terminando en el nodo final n.- Arcos bi-direccionales conectan los nodos i y j con distancias mayores que cero, dij- Se desea encontrar la ruta de mnima distancia que conecta el nodo 1 con el nodo n.

  • Lineas Fairway Van

    Determine la ruta mas corta entre Seattle y El Paso para la siguiente red de carreteras.

  • Salt Lake City12345678910111213141516171819El PasoSeattleBoisePortlandButteCheyenneRenoSac.BakersfieldLas VegasDenverAlbuque.KingmanBarstowLos AngelesSan DiegoTucsonPhoenix599691497180432345440102452621420526138291280432108469207155114386403118425314

  • Solucin - Analoga de un problema de programacin lineal

    - Variables de decisin

    Xij = 1 si un transporte debe viajar por la carretra que une la ciudad i con la ciudad j. 0 En cualquier otro caso

    Objetivo = Minimizar S dijXij

  • [El numero de carreteras para salir de Seattle (Nodo de inicio)] = 1 X12 + X13 + X14 = 1De una forma similar:[El nmero de carreteras para llegar a El Paso (Nodo final)] = 1 X12,19 + X16,19 + X18,19 = 1[El nmero de carreteras para entrar a la cuidad] = [El nmero de carreteras para salir de la ciudad]. Por ejemplo, en Boise (Ciudad 4):X14 + X34 +X74 = X41 + X43 + X47.Sujeto a las siguientes restriccionesRestricciones mayores que cero

  • Solucin Optima por WINQSB

  • Solucin-Analoga con un problema de redes

    El algoritmo de Dijkstras:-Encontrara la distancia mnima del nodo de partida a los otros nodos, en el orden que se encuentrana los nodos con respecto al nodo de inicio.

    - Este algoritmo encuentra la ruta ms corta desde el nodo de inicio a todos los nodos de la red.

  • SEA.842Una representacin del algoritmo de Dijkstras Y de esta manera hasta cubrir toda la red..

  • 4.6 Arbol de expansin mnimaEste problema surge cuando todos los nodos de una red deben conectar entre ellos, sin formar un loop.

    El rbol de expansin mnima es apropiado para problemas en los cuales la reundancia es expansiva, o el flujo a lo largo de los arcos se considera instantneo.

  • EL TRANSITO DEL DISTRITO METROPOLITANOLa ciudad de Vancouver esta planificando el desarrollo de una nueva lnea en sistemas de trnsito.El sistema debe unir 8 residencias y centros comerciales.El distrito metropolitano de transito necesita seleccionar un conjunto de lneas que conecten todos los centros a un mnimo costo.La red seleccionada debe permitir:- Factibilidad de las lneas que deban ser construdas.- Mnimo costo posible por lnea.

  • 52647813Zona OesteZona NorteUniversidadDistritoComercialZona EsteShoppingCenterZona SurZona Centro3350305534283235394538434441373640RED QUE REPRESENTAEL ARBOL EXPANDIDO.

  • Solucin - Analoga con un problema de redes- El algoritmo que resuelve este problema es un procedimiento muy fcil (trivial).- Corresponde a una categora de algoritmos vidos.- Algoritmo:* Comience seleccionando el arco de menor longitud.* En cada iteracin, agregue el siguiente arco de menor longitud del conjunto de arcos disponibles , tomando la precaucin de no formar ningn loop.* El algoritmo finaliza cuando todos los nodos estn conectados.

    Solucin mediante el computador- Los entrada consiste en el nmero de nodos, el largo de los arcos y la descripcin de la red.

  • Solucin ptima mediante WINQSB

  • ShoppingCenterLoop52647813Zona OesteZona NorteUniversidadDistritoComercialZona EsteZona SurZonaCentror3350305534283235394538434441373640Costo Total = $236 millionesRED QU EREPRESENTA LASOLUCIN PTIMA

  • 4.7 Problema del flujo mximoEste modelo se utiliza para reducir los embotellamientos entre ciertos puntos de partida y destino en una red.Existe un flujo que viaja desde un nico lugar de origen hacia un nico lugar destino a travs de arcos que conectan nodos intermediosCada arco tiene una capacidad que no puede ser excedidaLa capacidad no debe ser necesariamente la misma para cada direccin del arco.

  • Definicin del Problema

    - Existe un nodo origen (con el nmero 1), del cual los flujos emanan.

    - Existe un nodo terminal (con el nmero n), en el cual todos los flujos de la red son depositados.

    - Existen n-2 nodos (nmerados del 2, 3,....,n-1), en el cual el flujo que entra es igual al flujo que sale.

    - La capacidad Cij que transita del nodo i al nodo j, y la capacidad Cji para la direccin opuesta.

  • El objetivo es encontrar la mxima cantidad de flujo que salga del nodo 1 al nodo n sin exceder la capacidad de los arcos.

  • COMPAA QUIMICA UNIDA Qumica unida produce pesticidas y otros productos de control agrcola.El veneno qumico necesario para la produccin es depositado en grandes tambores. Una red de tubos y vlvulas regula el flujo del qumico de los tambores a las diferentes reas de produccin.El departamento de seguridad debe disear un procedimiento que vace los tambores de la forma ms rpida posible dentro de los tubos del rea de depsito, usando la misma red de tubos y vlvulas.El procedimiento debe determinar:- Qu vlvulas deben abrirse y cerrarse- Estimar el tiempo total de descarga.

  • Datos

    Tambores con qumicoTubo de Seg.1742365100800000001061121442283372El mximo flujo de 2 a 4 es 8No se permite flujo de 4 a 2.

  • Solucin - Analoga de un problema de programacin linealVariables de decisinXij - Flujo que viaja desde el nodo i hacia el nodo j a travs del arco que conecta ambos nodos.Funcin Objetivo - Maximizar el flujo que sale del nodo 1Max X12 + X13Restricciones[Flujo total que sale del nodo 1] = [Flujo total que entra en el nodo 7]X12 +X13 = X47 + X57 + X67[Para cada nodo intermedio: Flujo que entra = flujo que sale]Nodo 2: X12 + X32= X23 +X24 + X26 Nodo 3:X13 +X23 + 63 = X32 +X35 + X36Nodo 4:X24 +X64= X46 + X47Nodo 5:X35 +X65= X56 + X57Nodo 6:X26 +X36 + X46 +X56 = X63 +X64 +X65 + X67

  • EL flujo no puede exceder la capacidad de los arcosX12 10; X13 10; X23 1; X24 8; X26 6; X32 1; X35 15; X36 4; X46 3; X47 7; X56 2; X57 8; X63 4; X64 3; X65 2; X67 2;

    Los flujos no pueden ser negativos: Todos Xij >= 0

    Se debe tener presente que este problema es relativamente pequeo y la solucin puede ser obtenida rpidamente usando el modelo de programacin lineal.

    Sin embargo para problemas de mayor envergadura se aconseja usar el modelo de redes.

  • Solucin-Analoga con un problema de redes

    - La idea bsica es la siguiente:

    * Encontrara un sin capacidad en cada uno de sus arcos.* Aumentar el flujo de esos arcos por la mnima capacidad de uno de los arcos de la ruta.* Repetir este procedimiento hasta completar la ruta de manera tal que todos los arcos tengan una capacidad residual positiva.*Designar un nodo origen y un nodo de flotacin* Definir las capacidades de todos los arcos en la red ( en ambos sentidos)* A continuacin se muestra la solucin obtenida usando WINQSB.

  • El mximo flujo obtenido por WINQSB Tambores con qumicoTubo de Seg.17423658Flujo Mximo= 17