Transporte de Contaminantes

F.JavierSnchezSanRomnDpto.Geologa,UniversidaddeSalamanca(Espaa) http://hidrologia.usal.es Pg.1

Jun-12

TransportedecontaminantesCuandouncontaminanteentraenelaguasubterrnea,normalmenteendisolucin,se

producenvariosprocesoscomplejos.Parasuestudio,debemosdistinguirdosposiblessituaciones,quesuponendosgruposdeprocesos:

Noexisteningntipodeinteraccinconelmediogeolgico.Elcontaminantesemuevearrastradoporelflujosubterrneo,siexiste.Enestesupuestoestudiaremoslaadveccin,ladifusinyladispersin.Hablamosdecontaminantes(osolutos)noreactivosoconservativos.EsteseraelcasodelcloruroodelTritio.

Seproduceninteraccionesentrelassustanciascontenidasenelaguayelmediogeolgico:adsorcin,precipitacinodisolucin,diversasreaccionesqumicas,...Sehabladesolutosreactivos.Evidentemente,lacomprensindelfenmenoresultarmscomplejaqueenelcasoanterior,yaquehabrqueconsiderarconjuntamenteestosprocesosreactivosconloscitadosenelpuntoanterior.

Laaplicacindeestosconceptosyecuacionesauncasorealpuedehacersemanualmentesloparapequeosproblemasyconsiderandoaisladamentealgunosdelosprocesosinvolucrados.Paraelestudiodeuncasorealesnecesarialautilizacindeunmodelodetransporteenordenador1.

Losmodelosdetransportedebenejecutarsejuntoconunmodelodeflujo(generalmenteMODFLOW).Elmodelodeflujoactaprimeropararesolveryconocerlaestructuratridimensionaldelflujosubterrneoysuevolucintemporal,sitrabajamosenrgimenvariable.Sobreeseconocimientodelflujo,elmodelodetransporteefectasusclculosenbaseaconceptosyecuacionesqueveremosacontinuacin.

AdveccinLaadveccineselarrastredelasustancia

contaminanteporelagua.Sisloexistieraesteproceso,elcontaminanteviajaraalamismavelocidadqueelaguaylaextensinocupadaporelcontaminanteseraconstante(figura1).

Laadveccinsimplementetransportalassustanciascontaminantes.Enunmedioporoso,elflujodemasaatravsdeunaseccinunidadperpendicularalflujoesiguala:

J=me.C.v (1)Siendo:J=flujodemasa,porunidaddeseccinyporunidaddetiempo

me=porosidadeficazC=concentracinv=velocidadlinealmedia(=velocidadDarcy/me)

1MT3D,MT3DMS.Dominiopblico.SedenominMT3Dhasta1998,yMT3DMSapartirdeesafecha.MT3D99.(http://www.sspa.com/software/mt3d.html )VersindepagodeMT3DMSconmsopciones.RT3D.(http://bioprocess.pnnl.gov/)Modelodetransportereactivomultiespecies.Programagratuito.PHT3D(http://www.pht3d.org/)Modelodetransportereactivomulticomponentesenmediosaturado.

IncluyeMT3DMSyPHREEQC2(modelizacindereaccionesqumicas)

Fig 1.- Si se produjera slo adveccin


Ejemplo:EnunmedioporosoconunaconductividadhidrulicaK=8m/da,porosidad

eficazme=0,20ygradientehidrulico=0,03,calcularelflujodemasaporadveccindeunasustanciacontenidaenelmedioconunaconcentracinde0,5g/L.

Solucin:VelocidadDarcy=Kgradiente=80,03=0,24/diav=velocidadDarcy/me=0,24/0,20=1,20m/diaJ=0,20500g/m31,20m/dia=120g/m2/da(flujodemasaporm2deseccin)

DifusinSienunmediosinflujodepositamosuna

gotadecontaminanteenunpuntoyobservamosuntiempodespus,elpuntoinicialsehaampliadoydifuminado(figura2):

Lasmolculasdelasustanciadisueltaenel

aguasemuevendelospuntosdemayorconcentracinhacialosdemenorconcentracin.Esteprocesosedenominadifusinmolecularosimplementedifusinyseproduceacausadelaagitacincontinuadetodaslasmolculasdellquido.ParasuestudioconsideraremosquenoexistemovimientodelfluidoEnrealidad,cuandoexisteunflujoactivo,elefectodeladifusinesdespreciablefrentealadispersin,queveremosmsadelante;slotieneimportanciacuandoapenasexisteflujosubterrneo.

Enladifusin,lassustanciasdisueltassemuevenporungradientedeconcentraciones.Enunlquido(nocontenidoenunmedioporoso),elflujodemasapordifusinestregidoporlaprimeraleydeFick:

dxdCDF m (2)

donde:F=flujodemasaporunidaddetiempoyporunidaddeseccinperpendicularalflujo(M/T)

Dm=coeficientededifusin(L2/T)C=concentracin(M/L3)dC/dx=gradientedeconcentraciones:entredospuntossituadosaunadistancia

dxexisteunadiferenciadeconcentracionesdC.Elaspectodelafrmularesultafamiliar,recuerdaalaleydeDarcy:allelcaudalporunidaddesuperficie

eraproporcionalalgradientehidrulico,ylaconstantedeproporcionalidaderalaconductividadhidrulica.Aquelflujodemasaesproporcionalalgradientedeconcentraciones,ylaconstantedeproporcionalidadsedenominacoeficientededifusin.AligualqueenlaleydeDarcy,elsignonegativoindicaqueelsentidodelflujoeshacialadisminucindelaconcentracin.Odichodeotromodo:comoalaplicarlafrmula,elincrementodCesnegativo,elsignomenoshacequeelresultadodelafrmulaseapositivo.UnagrandiferenciaentreambasexpresionesesquelaconstantedeproporcionalidadenelcasodelaLeydeDarcyesfcildeobtener,mientrasqueesmuydifcilenlaLeydeFick.

ElvalordelcoeficientededifusinDmoscilaentre1109y9109m2/sparalosionescomunesenelagua(LiyGregory,1974,citadosenFetter,1999oenSchwartz,2003).Cohen

Fig 2.- Difusin


yMercer(1993,enFitts,2002,p.363)indicanvaloresde1,11010a8,31010m2/sparacompuestosorgnicosvoltiles(dicloroetano,tricloroetano,...).

Loexplicadohastaaquserefiereaunmediolquido(100%lquido).Sielprocesosedesarrollaenelaguaqueseencuentraenunmedioporoso,lafacilidaddemovimientodisminuyeyhayqueconsiderarlascaractersticasdelmedioporoso(principalmentelaporosidadeficazylatortuosidad).Estoseexpresasimplificadamenteas(Fetter,2001,1999):

D*=Dmw(3)

D*=CoeficientededifusinefectivaDm=Coeficientededifusinw=Coeficientequedependedelmedioporoso

SegnFreezeyCherry(1979)estecoeficientewpuedevariarde0,01a0,5.Coutelieris(2012,p.41)oGrathwohl(1998,p.28)sonmsespecficos:

D*=Dmme/2(4)

me=Porosidadeficaz=Tortuosidad(=longitudrecorrida/longituden

lnearecta)2=Factordeconstriccin(constrictivity)3

Ycomonormalmentetodosloscoeficientesysondesconocidos,Coutelieris(op.cit.,p.43)simplificalarelacincomounafuncindelaporosidadeficaz:

D*=Dm(me)c(5)

me=Porosidadeficazc=coeficiente(1,8a2,0paramateriales

consolidados;1,3paraarenasnoconsolidadas)

Encualquiercaso,laprimeraleydeFickparaunmedioporosoeslamismaecuacin

(2),peroutilizandoelcoeficientededifusinefectivaD*[obtenidodelasecuacionesecuaciones(3),(4)(5)]:

F=D*dxdC (6)

Variacinconeltiempo.SegundaleydeFickElflujoexpresadoenlaprimeraleydeFicknoconsideraeltiempo:Expresaunflujo

permanentedemateriamientrassemantenganconstanteslasvariablesdelasquedepende.Ahoranosenfrentamosaunproblemadiferente.Supongamosquetenemosunpunto

conunaconcentracinconstantedeunasustancia(aplicacindeuncontaminante)ydeseamosconocercmovaaumentando(variandoconeltiempo)laconcentracindedicha

2Elconceptodetortuosidadestconfusoenlabibliografa.Epstein(1988)haceunarevisindelembrollo

histricobibliogrficodelconcepto,resumiendoqueunasvecesseconsideraelcocientecomolohemosreferidoyenotrasocasioneselcuadradodedichocociente.Entodosloscasoses>1.

3Reflejaladificultaddecircularmoleculasgrandesatravsdeporospequeos.Existenvariasexpresiones,lamssencillaes:=(1)4;[siendo:=dimetrodelamolcula/dimetrodelporo]


sustanciaenotropuntosituadoaxmetrosdedistancia.EstavariacinestreflejadaenlasegundaleydeFick4:

2

2

xCD

tC

m

(8)UnasolucindeestaecuacinparaunmedioporosofueexpresadaporCrank(1956,en

Delleur,1999,p.230):

tDxCtxC

*2erfc),( 0 (9)

donde:C0=Concentracininicialdelcontaminante,quepermanececonstanteC(x,t)=ConcentracinaunadistanciaxtranscurridountiempotD*=coeficientededifusinefectivaerfc=Funcinerrorcomplementaria,esttabulada(vertablaalfinal)

Estasolucin(9)presuponeelmediosaturadoyquelaconcentracinpreviadelasustanciaconsideradaenelmedioesnulaodespreciable.Mientrasqueen(8)apareceelcoeficientededifusinDm,ensusolucin(9)seincluyeelcoeficientededifusinefectivaD*paramediosporosos.

Ejemplo:Enunmedioporososaturadosinflujoexisteunpuntoconunaconcentracinde1000mg/L

deNa+,quesemantieneconstante.CalcularlaconcentracindeNa+a3metrosdedistanciatranscurridos20aos,sabiendoque

elcoeficientededifusindelNa+esDm=1,33.109m2/s,yqueelcoeficientecorrectordeesemedioporosoes0,4.

Solucin:[frmulas(3)y(9)]20aos=20.31,5106seg=6,3.108segundosD*=Dmw=1,33.109m2/s0,4=5,321010m2/s

mg/L ,2500,000251000 erfc(2,59)1000103,6/1032,52

3erfc1000),(8210

segsegmtxCi

Ladifusinesunfenmenoextremadamentelento,comohemosvistoenesteejemplo.Estoindicaquesloserapreciableenmediosdondeladifusinsealanicacausademovimientodelsolutoyconsiderandoperiodosdetiempograndes.

DispersinmecnicaLadispersinmecnicaeslaprovocadaporelmovimientodelfluidoatravsdelmedio

poroso.Estadispersinseproduceenelsentidodelflujo(longitudinal)ylateralmente(transversal).

4LaexpresinC/tseleeas:derivadaparcialdeCrespectoat;expresalavariacindelaconcentracinC

respectoaltiempomanteniendoconstantesotrasvariablesdelasquetambindependelaconcentracin,enestecasox.Anlogamente,C/xexpresalavariacindelaconcentracinconladistanciasuponiendoconstanteeltiempo.Finalmente,2C/x2esladerivadaparcialsegundadeCrespectoax;expresalavariacinconladistanciadelavariacindelaconcentracinconladistancia(suponiendoconstantesotrasvariables,osea:eltiempo).Laletra,unadredondeada,fueideadaespecficamenteparalasderivadasparciales(sellamaddeJacobi).


Fig. 3a.- Dispersin longitudinal por la tortuosidad

Fig. 3b.- Dispersin longitudinal por amplitud de loscanales

Fig. 3c.- Dispersin transversal

Ladispersinlongitudinalesdebidaa:

Lasmolculasqueencuentrancaminosmstortuososseretrasan(fig.3a). Lasmolculasqueencuentrancaminosmsanchosavanzanmsrpido(fig.3b). Lasmolculasquecirculanporelcentrodeloscanalesintergranularesavanzan

msrpidoquelasquecirculancercadelosgranos.Todoestosuponiendounmediohomogneo.Lasheterogenidadesaumentarnla

dispersin,retrasandoalasmolculasqueencuentrenzonasmenospermeables.Ladispersintransversalesdebidaalaconstantebifurcacindeloscaminosque

encuentraelfluido(fig.3c).Ladispersinlongitudinalsiempreesmayorquelatransversal,porloquelamancha

contaminanteadquirirunaformaalargadaenelsentidodelflujo.Lacapacidaddelmedioporosoparadispersarmecnicamenteunfluidoquecirculapor

lsereflejaenuncoeficientedenominadodispersividaddinmica(unidades:L),enelqueinfluirlaporosidad,tortuosidad,formadelosgranos,etc.

SedistingueladispersividaddinmicalongitudinalL(enelsentidodelflujo)ytransversalT(ensentidotransversal).

SehanelaboradodiversasrelacionesentreladispersividaddinmicaLylalongitudrecorridaporelflujoquehaprovocadoladispersin,porejemplolasiguiente(XuyEkstein,1995enFetter,1999,p.99):

L=0,83(logL)2,414 Sehaobtenidomedianteunacorrelacindedatosempricos.Noconsideralascaractersticasdelmedio.

Ladispersinmecnicaesigualalproductodeestecoeficienteporlavelocidadlinealmedia(unidades:L2/T):

Dispersinmecnica=v(10)

=Dispersividaddinmica(L)v=velocidadlinealmedia(L/T)

Esdecir,queladispersividaddinmicaesuncoeficientequedependesolamentedelmedioporoso,mientrasqueladispersinmecnicaconsideraelmedioporosoylavelocidaddelfluido.

DispersinhidrodinmicaLadispersinhidrodinmica(hydrodynamicdispersion)eslaaccinconjuntadela

difusinyladispersinmecnica;ambosfenmenosnopuedenconsiderarseaisladamente.Paratomarlosenconsideracindeunmodoconjunto,seestableceelcoeficientededispersinhidrodinmicaD:


D=dispersinmecnica+coeficientededifusinefectivaDesglosandoesteconceptoenladireccindelflujo(longitudinal)yperpendicularal

flujo(transversal),quedaexpresadoas:DL=L.v+D* (11)DT=T.v+D* (12)

donde:DL,DT=coeficientededispersinhidrodinmica(longitudinal,transversal)

(unidades:L2/T)LT=coeficientededispersividaddinmica(longitudinal,transversal)v=velocidadlinealmedia(=velocidadDarcy/porosidadeficaz)D*=coeficientededifusinefectivaPortanto,eltransportedelcontaminantenoseproducecomoseindicabaenlafigura1,

sinoquenecesariamenteseproducenladispersiny,enmenormedida,ladifusin.Poresoseobservaqueunacontaminacinproducidaporunvertidobrevesetransformaenunamanchaalargadaquesevaampliandoydifuminandoamedidaquecirculaconelflujosubterrneo(figura4a).

Silaentradadeunasustanciaenelflujosubterrneoseproducedemodocontinuo(porejemplo,rezumesdeundepsitoovertedero),elresultadoesunamanchaalargadaenelsentidodelflujoregional(figura4b),queeninglssedenominaplume,sintraduccinuniversalmenteaceptadaalespaol(pluma,penacho,lengua).

Enlafrmula(9)veamosuna

aproximacinalclculodelefectodeladifusin.Lasolucinanalticaconsiderandoconjuntamentelosefectosdeladispersinyladifusineneltransportedeuncontaminanteesmuycomplejo.Unaprimeraaproximacinconsisteensimplificarelproblemaaunadimensin:Consideramosuntuborellenodearenayconflujoconstante;sbitamente,elfluidoentrantepresentaunaconcentracinC0continuayanalizamoslasconcentracionesdeesasustanciaenlasalidadeltubo(figura5).

Sinoexistierandifusinnidispersin,eltiempodellegadapodracalcularseconociendolavelocidadlinealmedia(=velocidadDarcy/porosidadeficaz)ylalongituddelrecorrido(L);estetiemposeapreciacomparandolosdosprimerosgrficosdelafigura5.Enlarealidad,debidoalefectodeladispersinhidrodinmica,lallegadaesgradualcomosemuestraeneltercergrfico.

Figura 4a.- Inyeccin momentnea

Figura 4b.- Inyeccin continua


Enestascondiciones,laconcentracinaunadistanciaxtranscurridountiempotpuedecalcularsemediantelaecuacindeOgataBanks(1961;enFetter,1999,p.61;Hiscock,2005,p.207)):

tDtvxerfc

Dxv

tDtvxerfcCtxC

LLL 2exp

22),( 0 (13)

C(x,t)=ConcentracinaunadistanciaxtranscurridountiempotC0=ConcentracininicialdelvertidocontaminanteDL=Dispersinhidrodinmicalongitudinal

v=velocidadlinealmediadelflujosubterrneoerfc()=funcindeerrorcomplementaria,vertablaalfinal.Cuandolavelocidad,eltiempoo

ladistanciasongrandes5(eltercerparntesisdelafrmula(13)esmayorde34),elsegundosumandodelafrmula(13)puededespreciarse,resultandolasimplificacinsiguiente:

tDtvxerfcCtxC

L22),( 0 (14)

Alfinal,seadjuntaunatablaconvaloresdelafuncinerfcyunafrmulaparasuclculoaproximado.

Domenico(1998,p.373)anproponeotrasimplificacin,asumiendoquedentrodeladispersinhidrodinmicaladifusinpuededespreciarsefrentealadispersinmecnica:

tvtvxerfc

CtxC

L 22),( 0 (15)

EstaltimasimplificacinseraplicablesidisponemosdedatosdeladispersividaddinmicalongitudinalLynodelcoeficientededifusinefectivaD*(recordemosqueDL=L.v+D*).

Ejemplo:Enunaformacinconlascaractersticasqueseindicanseproduceunvertidocontinuodeun

contaminanteconunaconcentracinde2500mg/L:Conductividadhidrulica=6,2m/da

5SegnSauty(1980,enFetter,1999,p.63)elsegundosumandoprobablementeesdespreciableparavx/DL

>10ysiempreloesparadichafraccin>100

Figura 5.- Transporte de un contaminante considerado en una dimensin


Porosidadeficaz=0,15Gradientehidrulico=0,004ElcoeficienteDLsehaestimadoen108m2/s.

Calcularlaconcentracindeesecontaminantea100metrosdedistanciaenladireccindelflujodespusde600das.

Solucin:VelocidadDarcy=6,20,004=0,0248m/diaVelocidadlinealmedia=VDarcy/poros.eficaz=0,0248/0,15=0,165m/da=1,914106m/segTiempo=600das86400seg/dia=5,184107segundosEltercerparntesisdelafrmula(13)vale138,portantoerfc(138)=0,porloqueelltimo

sumandode(13)resultadespreciable.Utilizaremoslaexpresin(14):

LmgerfcerfcerfctxC

/ 540432,01250556,02

2500

440,1799,0

22500

1018,51021018,51091,1100

22500),(

78

76

Sirepetimoselclculoentre

580y630das,larepresentacingrficadelosresultadosmuestraclaramentelallegadagradualdelacontaminacin:

0

500

1000

1500

2000

2500

580 590 600 610 620 630

tiempo (das)

Con

cnet

raci

n (m

g/L)


ContaminantesreactivosEsmuydifcilqueuncontaminantesemuevaatravsdelosporosofisurasdeuna

formacingeolgicasinsufriralgntipodeinteraccinconelmediogeolgico.Puedenproducirsemuydiversosprocesos:adsorcin,absorcin,intercambioinico,precipitacinqumica,biodegradacin,reaccionesdeoxidacinreduccin,etc.Estosprocesospuedenprovocarlossiguientesefectos: Retardo(lassustanciassemueven

mslentamente). Transformacinenotrassustancias. Atenuacinenloscasosenqueparte

delasustanciaesretenidaporelterreno.Enlafigura76sepresenta

esquemticamenteelefectoproducidoporlosdiversosfactores.Enelmismotubodearenadelafigura5,porelquecirculaunflujoconstante,enestecasosehaefectuadounainyeccinpuntualdeunasustanciaconunaconcentracinC0.Enlosgrficossemuestralaevolucindelaconcentracin(C)enlasalidaB,considerandodiversassituaciones.

RetardoElprocesoderetardoeneltransportedelcontaminanteestprovocadoprincipalmente

porlosprocesosdeadsorcinqueestudiaremosbrevementeenelapartadosiguiente:lasmolculasdelcontaminantearrastradoporelaguaquedanprovisionalmenteadheridasalosmineralesdeterreno,incorporndoseposteriormentealflujo.Elprocesoescomplejo,peroparaincluirloenelclculoquehemosexpuesto,sedefineunfactorderetardoqueralentizalavelocidaddetransportedelcontaminantedeacuerdoconlasiguienteexpresin:

f

ac R

VV (16) Vc=VelocidaddelcontaminanteVa=VelocidaddelaguaRf=Factorderetardo(adimensional)

Sipodemossuponerunvalorplausibleparaelfactorderetardo,alaplicarlafrmuladeOgataBanks,lavelocidad,v,debemodificarsedeacuerdoconlafrmula(16).Porejemplolaexpresin(15)resultaraas:

6ModificadadeMerckel(2008)

Figura 7.- Transporte de un contaminante reactivo en una dimensin


tRvtxR

erfcC

tRv

tRvx

erfcC

txCLf

f

fL

f

v22 22

),( 00 (17)

Siqueremosaplicarlasfrmulas(13)(14)incluyendoelfactorderetardoRf,deberdividirsev/RfyDL/Rf(yaquedentrodelcoeficienteDLseincluyetambinlavelocidad).

Estefactorderetardodependedeuncoeficientededistribucin(odeparticin)(Domenico,1998,p.299y377):

daf KnR1 (18)

Rf=Factorderetardo(adimensional)a=Densidadaparente(bulkdensity,densidaddeuna

unidaddevolumen,comprendiendomineralesyporos)n=porosidadtotal7Kd=coeficientededistribucin(unidades:L3/M)

LadificultadenlaevaluacindelretardoresideprincipalmenteenelvalordeKd.cuyoconceptoyfundamentoveremosenelapartadosiguiente.Semideenlaboratorioyenelcampo,perocuandonosenfrentamosaunproblemaconcreto,generalmentenosedisponedevaloresfiablesparaintroducirlosenunmodelooaplicarlosaunclculo.EPA(1999)adviertedelaamplituddelerroralutilizarvaloresgenricosencontradosenlabibliografa8,yaquelosvaloresdelcoeficientededistribucinKdsonespecficosdecadacaso(variandoconelabsorbenteyconlasustanciaabsorbida).

Sorcin,adsorcinLaadsorcineslaadherenciadeunasustanciaalasuperficiedeunslido,mientrasque

laabsorcinimplicalapenetracindelasustanciaenelinteriordelslido.Eltrminosorcinenglobaalosdosanteriores.

Laadsorcinpuedeser: Muydbil(fuerzasdeVanderWaals) Dbil(cargaselctricas).Losmineralesarcillosospresentancargasnegativaslibresensuperficie,y

losionespositivosendisolucinqudanatraidosporellas.Siuninqueestabaasadheridoesdesplazadoporotrosehabladeintercambioinico.

Fuerte(enlacesqumicos),queslosonimportantesatemperaturaelevada

Laadsorcin(lasorcin,engeneral)inicialmentepuedeprovocarunaatenuacinenlasconcentraciones(sielcontaminantequedapermanentementeadsorbido,desaparecedelflujo),unatransformacin(siexisteintercambioinico),perosuprincipalefectoeselretardo:lasmolculasdelcontaminantearrastradoporelaguaseretiranprovisionalmentedelflujo,incorporndoseposteriormentealmismo.

Enelprocesoinfluyen(PiwoniyKeely,1990):7Tambinaparece(Fetter,2001)comocoeficientevolumtricodehumedad(adimensional),esdecir:

humedadporunidaddevolumendeterreno,loqueenunmediosaturadoequivalealaporosidadeficaz8Enestawebencontramosunabasededatos:http://earthref.org/KDD/#top


Lascaractersticasdelcontaminante:puedenseriones(concargaelctrica)osermolculasnocargadas,polaresonopolares.Molculasnopolares(muchasmolculasorgnicas:tolueno,benceno,...)tienenbajasolubilidadyresultanadsorbidasporsuincompatibilidadconlamolculapolardeH2O(sorcinhidrofbica).

Lascaractersticasdelsuelooacufero:mineraloga,textura,permeabilidad,porosidad,materiaorgnica,etc.

IsotermasdelprocesodesorcinSiestamosutilizandoVisualModflowyqueremosconsiderarelretardoeneltransporte

producidoporlosprocesosdesorcin,elprogramanosofrecelaeleccinquesemuestraenlafigura,ysegnlaopcinelegidadeberemosintroducirciertasconstantesquevamosaverenesteapartado.Isotermadesorcinlineal.Enelcasomssimple,podramossuponerquela

concentracindesolutoadsorbidosobreelslidoesunafuncinlinealdelaconcentracindelmismosolutolibreenelagua:

C*=KdC (19)donde:C*=masadesolutosorbidoporunidaddemasadelslido(mg/kg)

C=concentracindesolutoendisolucin(mg/L)Kd=coeficientedeproporcionalidad(L/kg)

Estaconstantedeproporcionalidadlinealeselcoeficientededistribucinqueveamosenlaecuacin(18).

SupongamosquesehantomadovariosdatosexperimentalmenteylosrepresentamosenungrficoC*enfuncindeC.Enunaprimeraaproximacin,trazamoslarectaquemejorseajustaalospuntosylaecuacindeesarectaseralaexpresin(19).LaobtencindeKdesinmediata:eslapendientedelarecta.IsotermadeFreundlich.Losdatosexperimentalesenun

grficodeC*enfuncindeCnormalmentedescribenunacurva.Laecuacindeesacurvasepuedeconsiderarlasiguiente:

C*=KCN(20)donde:K,N=constantes(L/kg)Sitomamoslogaritmosen

(20)obtenemos:logC*=logK+NlogC


Portanto,sirepresentamoselgrficoenescalaslogartmicas(esdecir:logC*enfuncindelogC)obtendramoslarectacuyapendienteesNylaordenadaenelorigeneslogK.IsotermadeLangmuir.Lasdosrelacionesanteriorespresentanelinconvenienteterico

dequelacantidadadsorbidanopresentalmite:elvalordeC*subeindefinidamentealaumentarC,loquenoesplausible.LarelacindeLangmuirsoslayaeseproblema,yaqueenestecasolacurvatieneunaasntotasuperior(seestabilizaenunvalormximodeC*):

C*=C/(1/+C/) (21)donde:=constantedeadsorcin(L/mg)=mximacantidadde

solutoadsorbidoporunidaddemasadelslido(mg/kg)

SirepresentamosC/C*enfuncindeCobtendremoslarecta:C*/C=1/+C/(21b)enlacuallapendientees

1/ylaordenadaenelorigenes1/

BibliografaCoutelieris,F.A.yJ.M.Delgado(2012).TransportProcessesinPorousMedia.,236pp.Delleur,J.W.(1999).ElementaryGroundwaterFlowandTransportProcesses.In:J.W.

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Schwartz,F.W.yH.Zhang(2003).FundamentalsofGroundwater.Wiley,592pp.


Valores de la Funcin de Error (erf) y la Funcin de Error Complementaria (erfc)

x erf(x) erfc(x) x erf(x) erfc(x) 0 0 1 1,3 0,9340079 0,0659921

0,05 0,0563720 0,9436280 1,4 0,9522851 0,0477149 0,1 0,1124629 0,8875371 1,5 0,9661051 0,0338949 0,15 0,1679960 0,8320040 1,6 0,9763484 0,0236516 0,2 0,2227026 0,7772974 1,7 0,9837905 0,0162095 0,25 0,2763264 0,7236736 1,8 0,9890905 0,0109095 0,3 0,3286268 0,6713732 1,9 0,9927904 0,0072096 0,35 0,3793821 0,6206179 2 0,9953223 0,0046777 0,4 0,4283924 0,5716076 2,1 0,9970205 0,0029795 0,45 0,4754817 0,5245183 2,2 0,9981372 0,0018628 0,5 0,5204999 0,4795001 2,3 0,9988568 0,0011432 0,55 0,5633234 0,4366766 2,4 0,9993115 0,0006885 0,6 0,6038561 0,3961439 2,5 0,9995930 0,0004070 0,65 0,6420293 0,3579707 2,6 0,9997640 0,0002360 0,7 0,6778012 0,3221988 2,7 0,9998657 0,0001343 0,75 0,7111556 0,2888444 2,8 0,9999250 0,0000750 0,8 0,7421010 0,2578990 2,9 0,9999589 0,0000411 0,85 0,7706681 0,2293319 3 0,9999779 0,0000221 0,9 0,7969082 0,2030918 3,1 0,9999884 0,0000116 0,95 0,8208908 0,1791092 3,2 0,9999940 0,0000060

1 0,8427008 0,1572992 3,3 0,9999969 0,0000031 1,1 0,8802051 0,1197949 3,4 0,9999985 0,0000015 1,2 0,9103140 0,0896860 3,5 0,9999993 0,0000007

ercf(x)=1erf(x);erf(x)=erf(x);erfc(x)=1+erf(x)

Frmuladeclculoaproximada:

2

22

147,01147,0/4exp1)()(

xxxxsignoxerf

Lafuncinsigno(x)vale+1sixespositivoyvale1sixesnegativo

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