Transmisin y reflexin de partculas I Si hemos de considerar a las partculas atmicas y subatmicas no como partculas slidas cuya posicin y momentum son conocidos con exactitud sino como ondas de materia, entonces podemos anticipar que habr algunos cambios substanciales en el comportamiento de estas ondas de materia al pasar por alguna regin en la cual haya un cambio de energa potencial con respecto a la energa potencial de la regin en la que se estaban moviendo anteriormente (por ejemplo, en el caso de una partcula libre al pasar por la cercana de un tomo). Y es en estas situaciones en donde debemos echar mano de la ecuacin de onda de Schrdinger.

Existen casos en los cuales esperamos que el comportamiento de las partculas como ondas de materia sea exactamente el mismo sin importar la naturaleza ondulatoria de las partculas. Un caso tal lo sera el de una partcula libre que choca elsticamente (sin transferencia de energa) en forma directa con una barrera de potencial infinitamente grande (o, ms realsticamente, con una barrera de potencial cuya altura V0 es substancialmente mayor que la energa E de la partcula). En este caso, la onda de materia ser reflejada en direccin opuesta al igual que como ocurrira con una partcula slida que choca elsticamente con una pared. Sin embargo, si la barrera de potencial no es mucho muy grande en comparacin con la energa de la partcula, y si adems se trata de una barrera de potencial de anchura finita, debemos considerar la posibilidad de que por tratarse de una onda parte de la onda ser reflejada y parte de la onda podr atravesar la barrera de potencial. Estas dos situaciones se ilustran en las siguientes figuras:

Otro caso anlogo es aqul conocido como el potencial escaln en el cual la barrera de potencial aunque no es infinitamente grande (en su altura vertical) posee una anchura (horizontal) que puede tomarse como infinita, en cuyo caso todo depender del hecho de que la energa de la onda de materia incidente sea menor que la altura de la barrera de potencial:

o mayor que la altura de la barrera de potencial:

En estas ltimas dos situaciones, si se tratase de partculas slidas entonces clsicamente la partcula con una energa E siempre ser rebotada en direccin contraria cuando la barrera de potencial V0 sea mayor que la energa de la partcula, y siempre pasar ntegra por la barrera de potencial cuando la barrera de potencial sea menor que la energa de la partcula. Pero tratndose de ondas de materia, esto deja de ser cierto, sobre todo cuando recordamos que cuando un rayo de luz al pasar cerca de esquinas agudas manifiesta el fenmeno conocido como la difraccin de la luz.

Antes de entrar a fondo en la resolucin de problemas de transmisin y reflexin de partculas, consideraremos primero el siguiente caso sencillo de una partcula que pasa de una regin de mayor potencial a una regin de menor potencial:

Al hablar de una partcula, en realidad estamos hablando de una partcula tpica que forma parte de un nmero sumamente grande de partculas que viajan junto a ella, de forma tal que los resultados obtenidos a continuacin sern vlidos no para una sola partcula aislada en lo particular sino para una cantidad enorme de partculas cuyo comportamiento promediado estadsticamente se acerca a lo que predice la Mecnica Cuntica.

Para guiarnos en lo que podemos esperar cuando una partcula pasa de una regin de mayor potencial a una regin de menor potencial podemos repasar lo que sucede cuando la luz, que viaja como una onda electromagntica, pasa de un medio de menor densidad a un medio de mayor densidad. La luz no slo pierde velocidad, sino que su longitud de onda cambia. Esto es precisamente lo que d lugar al fenmeno que conocemos como refraccin cuando un rayo de luz pasa del aire al agua a cierto ngulo de la normal N:

El cambio en la longitud de onda as como el fenmeno de la refraccin de la luz desde el aspecto ondulatorio se vuelven ms claros cuando echando recurso del principio de construccin de Huygens-Fresnel dibujamos el frente de onda que pasa de un medio a otro:

Es importante notar que aunque el frente de onda pase perpendicularmente de un medio a otro (o de una regin a otra con distintos potenciales) sin formar un ngulo con la vertical, el cambio en longitud de onda se dar de cualquier forma. Al viajar el frente de onda formando cierto ngulo con respecto a la vertical el efecto refractario manifiestar la naturaleza ondulatoria del frente de onda a travs de los ngulos distintos formados por el rayo de luz en cada medio. Del mismo modo, podemos anticipar que la longitud de onda de una onda de materia cambiar al atravesar la partcula la interfaz que divide dos regiones distintas.

En el ejemplo en el que estamos trabajando, puesto que en la regin # 1 la energa E de la partcula ser igual a la suma de su energa cintica y de la energa potencial:

la velocidad de la partcula en la regin # 1 estar dada entonces por:

Para esta velocidad, el momentum de la partcula viene siendo:

Por otro lado, para la onda de materia, tenemos la relacin de De Broglie p.=.h/. Entonces la longitud de onda de la partcula en la regin # 1 ser:

Asimismo, la longitud de onda de la partcula en la regin # 2 ser:

Puesto que V1>V2, la longitud de onda 2 en la regin # 2 ser menor que la longitud de onda 1 en la regin # 1, lo cual significa que tratndose de un fotn su energa aumentar al pasar de la regin # 1 a la regin # 2.

Podemos definir de la manera usual un ndice de refraccin de un medio relativo al otro mediante el cociente entre las dos longitudes de onda:

Una vez que hemos definido un ndice de refraccin, podemos echar mano de la conocida ley de Snell, que est basada en ptica ondulatoria clsica, para calcular la relacin entre los ngulos de incidencia 1 y refraccin 2:

Puesto que estamos considerando en todo esto un sistema compuesto no por una sola partcula sub-microscpica sino por muchas partculas, podemos considerarlo como un sistema a gran escala para el cual las leyes Newtonianas clsicas siguen siendo vlidas. Cotejaremos ahora esta relacin con la que se obtiene en base a la mecnica Newtoniana clsica, partiendo del supuesto de que la interfaz entre las regiones # 1 y # 2 es tal que sta aplica una fuerza a las partculas conforme pasan de una regin a otra, la cual acta en una direccin perpendicular (normal) a la interfaz. Esto implica que conforme una partcula pasa de una regin a otra, el componente del momentum lineal de la partcula que es paralelo a la superficie de la interfaz permanecer invariable. Esta consistencia de la componente tangencial del momentum lineal de la partcula es lo que utilizamos para calcular la relacin que hay entre 1 y 2 de acuerdo a la mecnica clsica. Expresamos el hecho de que las componentes tangenciales del momentum en ambas regiones se mantienen constantes con la siguiente relacin:p1 sen(1) = p2 sen(2)

A partir de esto, obtenemos nuevamente los resultados que ya obtuvimos arriba aplicando no la mecnica clsica sino los mtodos de la ptica ondulatoria. Esto establece, para este problema en particular, la equivalencia que hay entre la ptica ondulatoria clsica y la mecnica clsica Newtoniana, con la novedad de que estamos extendiendo el resultado a ondas de materia.

La solucin de problemas de transmisin y reflexin de partculas consiste esencialmente en la bsqueda de una funcin de onda (x) tal que la funcin de onda sea una funcin continua al pasar de una regin a otra, esto es que en la interfaz entre dos regiones distintas:

o sea:1(x) = 2(x)

Obviamente, no basta con que la funcin de onda sea una funcin continua al pasar de una regin a otra. Tambin es necesario que en el punto de encuentro, la funcin de onda de una regin tenga la misma pendiente que la funcin de onda de la otra regin, o sea:

Puesto en terminologa un poco ms formal, las soluciones a la ecuacin de Schrdinger deben ser continuas y continuamente diferenciables.

Al empezar en el estudio de la ecuacin de Schrdinger, habamos visto que si consideramos una partcula libre viajera de modo tal que de antemano, a costa de dar por incierta la posicin de la partcula demos por conocido con gran precisin el momentum de la partcula (principio de incertidumbre de Heisenberg), lo cual nos permite utilizar la relacin de De Broglie para fijarle a la partcula una longitud de onda , entonces la funcin de onda que nos permite describir el movimiento unidimensional de tal partcula viajera cuando se desplaza a la derecha ser la siguiente;

Habamos visto tambin que una funcin de onda que describe a una partcula viajera cuando se desplaza hacia la izquierda est dada por la siguiente relacin:

Sin prdida alguna de generalidad, podemos tomar la ecuacin de onda de Schrdinger independiente del tiempo y tomar lo siguiente como la funcin de onda de una partcula que se dirige hacia la derecha:

del mismo modo que podemos tomar lo siguiente como la funcin de onda de una partcula que se dirige hacia la izquierda:

Podemos, si as lo deseamos, calcular la constante de normalizacin para una partcula libre viajera. Sin embargo, en la resolucin de problemas de transmisin y reflexin de partculas, esto rara vez es necesario en virtud de que las relaciones que estaremos buscando involucrarn fracciones matemticas de estas constantes de normalizacin que a su vez nos darn la probabilidad de transmisin y reflexin de una partcula.

PROBLEMA: Encuntrense los coeficientes de transmisin y reflexin de partculas para un potencial escaln especificado de la siguiente manera:

en una situacin en la que la energa de las partculas que estn incidiendo desde la izquierda sobre el potencial escaln es mayor que la energa del potencial escaln, o sea E>V0.

En este caso, tambin tenemos dos regiones que deben ser tomadas en consideracin:

La colocacin ms apropiada de las coordenadas de la energa potencial V(x) en funcin de la coordenada horizontal de acuerdo al planteamiento del problema es la siguiente:

En este problema, el resultado clsico es sencillo. Para x0. La partcula nunca es regresada hacia atrs por esta fuerza impulsiva siempre y cuando V0 sea menor que la energa de la E partcula. La situacin cambia dramticamente si en vez de una partcula slida consideramos una onda de materia que incide sobre el potencial escaln desde la izquierda. En tal caso, de acuerdo con la relacin de De Broglie, el momentum de la onda de materia en cada regin en funcin de su longitud de onda tendr un valor diferente dado por:

Esto significa que la longitud de onda de la onda de materia cambiar abruptamente de 1 a 2 de acuerdo con:

En este caso, si consideramos tanto a E como a V0 ambos positivos, la longitud de onda de la onda de materia aumentar al pasar la partcula de la regin # 1 a la regin # 2.

Sabemos de la mecnica ondulatoria clsica que cuando la longitud de onda cambia bruscamente en un tramo pequeo de longitud (comparado en distancia con la longitud de onda ) parte de la onda es transmitida y parte de la onda es reflejada. Entonces, por sus propiedades ondulatorias, parte de la onda ser transmitida y parte de la onda ser reflejada, aunque en la interpretacin estadstica moderna dada a la funcin de onda esto significa que de una cantidad grande de partculas que inciden sobre el potencial escaln una parte de dichas partculas ser transmitida y la otra parte ser reflejada; y de acuerdo con el principio de conservacin de partculas el total de partculas reflejadas sumado al total de partculas transmitidas ser igual al total de partculas que inciden sobre el potencial escaln.

En la regin # 1 en donde el potencial V(x) es igual a cero, la ecuacin de Schrdinger estar dada por:

o bien:

La solucin matemtica general para este tipo de ecuacin diferencial tiene la forma:

El primer trmino corresponde a una partcula movindose hacia la derecha que posee un valor preciso de momentum igual a p1.=.k1. Para poder describir una onda de materia a la cual se le pueda asignar alguna localizacin espacial, as sea con algo de incertidumbre x = x, normalmente construiramos un paquete de onda conteniendo cierto rango de valores del nmero de onda k. Sin embargo, en la regin # 1 slo nos es necesario localizar a la partcula en el rango -