Transmisión Digital Paso BandaTransmisión Digital Paso Banda

PRÁCTICA 9PRÁCTICA 9 (2 sesiones)

Laboratorio de Señales y Comunicaciones 3er curso, Ingeniería de Telecomunicación

Javier Ramos, Fernando Díaz de María y David Luengo García

1. Objetivos

Simular un sistema de comunicaciones sencillo en el que únicamente se consideren las diferentes técnicas de modulación paso banda. En concreto, se pretenden revisar los siguientes aspectos:

1. Los diversos esquemas de modulación paso banda binarios (BASK, BPSK y BFSK) y sus mecanismos de generación.

2. La estructura de los receptores óptimos (coherentes) y la importancia de una correcta recuperación de la fase (sincronismo).

3. Las diferentes estructuras de los receptores subóptimos.

2. Contenido teórico

2.1. Sistema de comunicaciones digitales paso banda

El esquema de un sistema de comunicaciones paso banda es el mismo que el de un sistema en banda base: los bits que se desean transmitir se usan para modificar algún parámetro de una forma de onda adecuada con las características del canal (una sinu-soide habitualmente), esta señal modulada se transmite a través del canal, que puede introducir distorsión (dando lugar a ISI) y ruido (modelado normalmente como blanco, aditivo y Gaussiano), y por último el receptor óptimo estima los bits transmitidos mediante un filtro adaptado, un muestreador, y un detector de umbral.

El modulador es el elemento central del sistema, y el que se va a estudiar en esta práctica. En general las señales transmitidas van a ser de la forma

))(cos()()( tttAtxcc

!" += ,

de modo que existen tres parámetros que se pueden modificar para transmitir la infor-mación deseada: amplitud, fase y frecuencia. En función de cuál de estos parámetros de la señal portadora, xc(t), contenga la información transmitida, se tienen las distintas técnicas de modulación. Si la información se envía en la amplitud se tiene un modulador del tipo ASK (Amplitude Shift Keying), si se transmite en la fase se habla de PSK (Phase Shift Keying), si se codifica en la frecuencia el esquema se denomina FSK (Frequency Shift Keying), y por último cuando se combina una modulación de amplitud y fase se conoce como APK (Amplitude Phase Keying).

La manera más habitual de expresar una señal de comunicaciones digitales paso banda es mediante la combinación de una serie de funciones base ortonormales:

[ ]!!= =

"=N

n

L

i

iinTtnatx

0 1

)( )( # ,

donde T es el periodo de símbolo, φi(t) representa a cada una de las L funciones base, y ai[n] es la amplitud que toma la función base i-ésima durante el intervalo n-ésimo en función del símbolo que se desee transmitir. Nótese que esta expresión es simplemente una generalización de la mostrada en la práctica anterior para las señales PAM en banda base, para las cuales L = 1 (es decir, sólo existía una función base, el pulso base). Las dos funciones base más habituales son el coseno y el seno,

)cos(2

)(1 tT

tc

!" = ,

)sin(2

)(2 tT

tc

!" = .

De hecho, como se muestra a continuación, todos los sistemas propuestos anteriormente, con excepción del FSK, se pueden expresar usando estas dos únicas funciones base:

[ ] [ ]( )!=

"+"=N

n

nTtnanTtnatx

0

2211 )()()( ## .

2.1.1. M-ASK

La técnica de modulación digital paso banda más sencilla es la M-ASK. En este esquema la información se envía seleccionando una amplitud diferente para cada uno de los M posibles símbolos, de modo que las posibles formas de onda son

( )tT

Ets

c

i

i!cos

2)( = ,

con Tt !!0 , y Mi !!1 . Está claro que en esta ocasión sólo se emplea una función base, φ1(t), y su amplitud, [ ] { }

MEEna ,,

11K! , depende directamente del símbolo a

transmitir. Para el caso binario por ejemplo, se toman habitualmente E1=0 y E2= sE ,

de modo que

[ ]( )!=

""=N

n

snTtnsEtx

0

1 )(1)( # .

Este esquema, que transmite un fragmento de señal cuando se desea enviar un uno, y nada cuando se desea enviar un cero, también se conoce como OOK (On-Off Keying).

(1)

2.1.2. M-PSK

Para el esquema de modulación M-PSK se envía una de las M formas de onda siguientes:

!"

#$%

&+=M

it

T

Ets

c

s

i

'(

2cos

2)( ,

con Tt !!0 , y Mi !!1 . Utilizando las relaciones trigonométricas estas formas de onda se pueden reescribir como

)(2

sin)(2

cos)( 21 tM

iEt

M

iEts

ssi!

"!

"#$

%&'

()#

$

%&'

(= ,

de modo que resulta evidente que las señales M-PSK se pueden expresar mediante la ecuación (1), con unos coeficientes

[ ] [ ]!"

#$%

&=

M

2cos

1

nsEnas

' ,

[ ] [ ]!"

#$%

&'=

M

2sin

2

nsEnas

( ,

donde s[n] indica el símbolo que se desea transmitir de entre los M posibles ( [ ] Mns !!1 ). El caso binario (2-PSK o BPSK) presenta la particularidad de que a1[n]=±1 y a2[n]=0, y en consecuencia la señal transmitida se puede expresar como:

( ) [ ]!=

""=N

n

ns

snTtEtx

0

1 )(1)( # .

2.1.3. M-FSK

El último esquema de modulación paso banda que se va a considerar es M-FSK. En esta técnica de modulación cada símbolo se transmite usando una portadora con una frecuencia distinta. En consecuencia, existen M funciones base diferentes (una para cada símbolo a transmitir) y la señal transmitida es:

[ ]!=

"=N

n

nssnTtEtx

0

)()( # ,

donde s[n] indica el símbolo a transmitir, [ ] Mns !!1 , y las funciones base son:

( )tT

tii

!" cos2

)( = .

2.3. Transmisión por el canal y recepción de las señales

La señal generada por el modulador se va a transmitir a través de un canal compuesto por dos elementos: un sistema lineal y ruido aditivo blanco Gaussiano (AWGN). El esquema del sistema de comunicaciones digitales paso banda es idéntico al de banda base (véase la Figura 1). El sistema lineal en esta práctica va a ser simplemente un filtro paso banda, que va a simular la limitación en ancho de banda de cualquier canal real. El ruido se suele caracterizar mediante su densidad espectral de potencia (DEP) que, al ser blanco, es constante e igual a No/2 para cualquier frecuencia. Nuevamente la potencia de ruido en el receptor dependerá de su ancho de banda (¡¡no del ancho de banda del canal!!), que en un receptor implementado de manera discreta en Matlab es la mitad de la frecuencia de muestreo, igual que en la práctica 8.

Figura 1: Esquema simple de un sistema de comunicaciones digitales.

El receptor óptimo para cualquier esquema de modulación está formado por los

mismos tres elementos que para la transmisión en banda base: un filtro adaptado, un muestreador y un detector de umbral. El filtro adaptado es el primer bloque del receptor, y su objetivo es maximizar la relación señal a ruido a su salida cada T segundos. En este caso, puesto que se transmite usando L funciones base ortonormales, va a ser necesario disponer de L filtros adaptados: uno asociado a la forma de onda de cada una de ellas, )()( tTth

ii!=" . A continuación el muestreador se limita simple-

mente a quedarse con una muestra por símbolo a la salida del filtro adaptado (igual que en banda base), ya que no son necesarias más muestras para el proceso de detección. El esquema del filtro adaptado más el muestreador se representa en la Figura 2. Por último, el detector decide si el bit enviado ha sido un 0 o un 1 en función de un umbral.

Figura 2: Filtro adaptado a φ(t) y muestreador.

Los receptores óptimos que siguen la estructura descrita anteriormente se suelen denominar coherentes, ya que requieren la estima de la fase de la señal recibida. Para casi todos los esquemas de comunicaciones paso banda también se pueden desarrollar receptores no coherentes, que no requieren estimar la fase de la señal recibida. Aunque estos receptores presentan un peor rendimiento (típicamente son necesarios 3 dB adicionales de Eb/No para obtener la misma probabilidad de error) su implementación suele ser mucho más sencilla que la de los coherentes. La estructura de estos receptores depende en gran medida de la técnica de modulación empleada, de modo que su esquema se discutirá a lo largo de la práctica cuando sea necesario.

3. Cuestionario previo

3.1. Dada la secuencia binaria b = {1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1}, dibuje la forma de onda generada por cada una de las siguientes técnicas de modulación paso banda:

a) BASK.

b) BPSK.

c) BFSK.

d) QPSK.

3.2. Obtenga la expresión de la densidad espectral de potencia (DEP) de una señal BASK, BPSK y BFSK utilizando como base la DEP de una señal PAM en banda base obtenida en la práctica anterior, y el diagrama de bloques de los distintos moduladores mostrado en las Figuras 3, 4 y 5.

3.3. Deduzca las fórmulas para la probabilidad de error de cada uno de los esquemas de modulacion de la cuestión 3.1 (puede hacerlo a partir de sus constelaciones viendo la distancia entre símbolos para cada uno de ellos), y rellene la Tabla 1.

Eb/No BASK BPSK QPSK BFSK

0

2

4

6

8

10

Tabla 1: Probabilidad de error (teórica) para diferentes técnicas de modulación.

Codificador

NRZ unipolar

)2( tfsin c!

1 0 1 0 0 1

tt

4. Transmisión y recepción paso banda

Al igual que en la práctica 8, en esta práctica es necesario inicializar una serie de variables globales mediante la ejecución del programa start antes de la evaluación del resto de los programas. El programa start solamente necesita ejecutarse una vez al comienzo de la sesión (asegúrese de que dispone de la versión adecuada). Las principales variables inicializadas por esta función son:

1. La tasa binaria, BINARY_DATA_RATE = 1000.

2. El factor de muestreo, SAMPLING_CONSTANT = 100. 3. La frecuencia de muestreo:

SAMPLING_FREQ = BINARY_DATA_RATE · SAMPLING_CONSTANT.

Características de las diferentes técnicas de transmisión paso banda

Ejercicio 4.1. La técnica de modulación paso banda más sencilla posiblemente sea la BASK, en la que para los unos se envía un fragmento de una sinusoide con una amplitud A=1, y para los ceros no se envía señal (este esquema también se conoce como On-Off Keying, OOK). El esquema básico de un modulador BASK es el siguiente:

Figura 3: Diagrama de bloques de un modulador BASK “unipolar”.

Nótese que primero se codifica la secuencia de bits con un codificador NRZ unipolar, y a continuación se multiplica por la portadora (en este caso un seno). En este ejercicio se le pide que implemente un modulador BASK mediante el uso de las funciones wave_gen, ya vista en prácticas anteriores, mixer(x,y), que simula el

Codificador

NRZ polar

)2( tfsin c!

1 0 1 0 0 1

t t

comportamiento de un mezclador perfecto, proporcionando a su salida el producto muestra a muestra de los vectores x e y, y osc(fc,N), que genera N muestras de una sinu-soide de la frecuencia deseada, fc. Compruebe el correcto funcionamiento del modulador generando un vector con 10 bits aleatorios, modulándolos (con fc=8 KHz) y visuali-zando la salida del codificador NRZ y de la señal modulada paso banda. ¿Cuáles son la energía y la potencia media por bit de las señales transmitidas?

Ejercicio 4.2. Utilizando la función psd(x,frec_range) visualice la densidad espectral de potencia (DEP) de la señal modulada (genere 1000 bits en esta ocasión). El parámetro frec_range es un vector de dimensión 1 × 2 cuyos elementos definen la frecuencia inicial y final de presentación de la DEP respectivamente. En caso de no pasarle el parámetro frec_range, la función psd(x) presenta la PSD entre 0 y la mitad de la frecuencia de muestreo. Visualice la densidad espectral de potencia entre 0 y 50KHz primero, amplíe la zona entre 0 y 20KHz, y luego vea el detalle entre 5 y 11KHz. Compare este espectro con el de la señal unipolar NRZ, y anote las características más significativas de la DEP de la señal modulada: ancho de banda (entre los dos primeros ceros), nivel del lóbulo principal y del primer lóbulo secundario, y posición de los ceros.

Ejercicio 4.3. Se puede generar una señal BPSK de manera similar a la señal BASK, cambiando simplemente el codificador NRZ unipolar por otro polar. La estructura del modulador y las señales generadas se muestran en la Figura 4.

Figura 4: Diagrama de bloques de un modulador BPSK.

Repita los ejercicios 4.1 y 4.2 para un modulador BPSK: genere 10 bits aleatorios y compare las formas de onda de señal NRZ polar codificada y la señal BPSK, a continuación, calcule la DEP de la señal BPSK (usando 1000 bits), compárela con la de la señal NRZ, y anote sus principales características (de la señal BPSK). Calcule de nuevo la potencia y la energía media por bit de la señal transmitida.

Codificador

NRZ polar

1 0 1 0 0 1

t t

VCO

k Hz/V

Filtro Adap.

r(t)

)2( tfsin !

Ejercicio 4.4. Por último, una señal BFSK se puede generar también con la ayuda de un codificador NRZ polar más un oscilador controlado por tensión (VCO). El esquema de un modulador BFSK y las señales generadas se muestra en la Figura 5.

Figura 5: Diagrama de bloques de un modulador BFSK.

Para implementar el VCO en Matlab, se ha desarrollado la función vco(xbb), donde xbb es la señal en banda base proporcionada por el codificador NRZ. Repita el ejercicio 4.3 para el modulador FSK. Es decir, programe el modulador FSK y estudie la señal generada tanto en el dominio como en el de la frecuencia (DEP), anotando sus principales características y comparándolas con las de la codificación NRZ polar. A la vista de los resultados, ¿cuál debe ser la separación mínima entre la frecuencia correspondiente al cero y al uno? ¿cuáles son la energía y la potencia media por bit de la señal FSK transmitida?

Recepción coherente (óptima)

Ejercicio 4.5. En la Figura 6 se muestra el diagrama de bloques de un demodulador coherente para BASK y BPSK (es decir, esquemas de transmisión que utilizan una única función base).

Figura 6: Diagrama de bloques de un receptor coherente de BASK o BPSK.

En este ejercicio se le pide que implemente este receptor. Para ello, primero codifique las funciones matched2(‘tipo_de_codigo’) y muestras2(ym,instant_muest), que son una generalización de las de la práctica anterior en las que se lee la variable global SAMPLING_CONSTANT para averiguar el factor de sobremuestreo en lugar de asumir que este es 10 (para poder usar una variable global dentro de una función primero es necesario declararla con global variable). El resto de funciones necesarias (osc, mixer y detect) ya se encuentran disponibles de esta práctica o la anterior. Los dos únicos parámetros que faltan por estimar son instant_muest para la función muest2 y umbral para la función detect. Ambos se pueden estimar mediante el diagrama de ojo a la salida del filtro adaptado. Para comprobar el correcto funcionamiento del receptor, use 1000 bits aleatorios y compruebe que la probabilidad de error de recepción es cero.

Nota: Es recomendable desarrollar los receptores de BASK y BPSK en dos funciones (por ejemplo rx_bask y rx_bpsk) para poder usarlos en los ejercicios 4.7.

Ejercicio 4.6. Utilizando las mismas funciones que en el apartado anterior construya un receptor de BFSK (usando la función rx_bfsk por ejemplo). Note que en este caso son necesarios dos filtros adaptados, uno por cada una de las dos frecuencias transmitidas, y dos muestreadores. ¿Cómo construiría el detector utilizando la función detect de la que dispone y cuál sería el umbral de detección? Para comprobar el correcto funcionamiento del receptor, use 1000 bits aleatorios y compruebe que la probabilidad de error de recepción es cero.

Ejercicio 4.7. La mayor dificultad en la realización de receptores coherentes es la sincronización de la portadora. Para que la demodulación sea óptima, la fase y frecuencia de la sinusoide generada en el receptor tienen que ser idénticas a la fase y frecuencia de la señal recibida. Pequeños errores en la estimación de la fase y/o la frecuencia conllevan grandes degradaciones de las prestaciones del sistema de comuni-caciones. En este ejercicio se va a simular un error de sincronismo en un receptor coherente y se van a estudiar sus efectos.

Para ello genere 10000 bits aleatorios, codifíquelos usando el modulador BASK, y pase la señal resultante por un canal de comunicaciones de amplitud unidad, ancho de banda 20 KHz, y potencia de ruido 5 W. Modifique el programa del receptor para incluir un error de sincronización fijo (la fase del oscilador del receptor se puede modificar mediante el tercer parámetro de la función osc), y compruebe como aumenta la probabilidad de error de bit en el sistema completo conforme se incrementa el desfase entre la portadora y el oscilador local del receptor. Repita el cálculo para los sistemas BPSK y BFSK y rellene la Tabla 3 (página siguiente). ¿Qué probabilidad de error se obtiene cuando el error de fase es de 90 º? ¿Es lo que esperaba obtener? Razone su respuesta.

Nota: Nuevamente tiene que tener en cuenta el retardo introducido por el canal y compensarlo del modo descrito en el ejercicio 4.8 para obtener los resultados esperados (es decir, que la menor probabilidad de error se de cuando el error de fase sea nulo).

y(t) z(t)Detector

de

Envolvente

Error de fase

(grados)

Pe (BASK) Pe (BPSK) Pe (BFSK)

0

5

10

20

30

50

70

90

Tabla 3: Probabilidad de error en función del error de fase.

Recepción no coherente (subóptima)

Ejercicio 4.8. Un posible receptor no coherente para un sistema de modulación BASK consiste en un simple detector de envolvente (es decir, un detector de la presencia o no de señal) seguido de un muestreador y un detector de umbral, como se muestra en la Figura 7.

Figura 7: Diagrama de bloques de un receptor no coherente de BASK.

La única función nueva que resulta necesaria para construir este receptor es envelope(entrada, frec_corte), que simula el detector de envolvente con una frecuencia de corte frec_corte. En esta ocasión, como el primer nulo del espectro de la señal demodulada esta en 1 KHz (Rb), utilice una frecuencia de corte de 1 KHz. Además, se deben calcular de nuevo el instante de muestreo óptimo y el valor del umbral a partir del diagrama de ojo a la salida del detector de envolvente (utilice el segundo ojo), de manera similar a como se hizo en el ejercicio 4.5. En este ejercicio se le pide que

desarrolle una función que implemente dicho receptor no coherente (por ejemplo b_est=rx_bask_envolv(x)), que calcule su probabilidad de error para valores de Eb/No entre 10 y 24 dB (con paso de 2 dB), y que lo compare con los resultados de la primera columna de la Tabla 2. Intente evaluar el incremento en Eb/No necesario para obtener la misma probabilidad de error que el receptor coherente.

Nota: A la hora de calcular la probabilidad de error debe tener en cuenta que algunos de los últimos bits de información pueden no haberse llegado a simular por el truncamiento que efectúa la función envelope, de modo que hay que descartarlos para evitar errores.