TRANSFORMADAS DE LAPLACE

DEFINICION:

Sea F: [ 0, ∞ > R, una función definida para t≥0, entonces a la función f

definida por:

f(s) = = F(t)dt

Se llama transformada de Laplace de F, siempre que el límite exista

Simbólicamente se le denota como:

L{F(T)} = F(t)dt = f(s)

CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA EXISTENCIA DE

L{F(T)}

La Integral impropia que defina la transformada de laplace no necesariamente

converge, por ejemplo L{ } no existe

Las condiciones suficientes para garantizar la existencia de L{F(T)} son que F{t}

sea continua por tramos o seccionalmente continua para t≥0, y además que

sea de orden exponencial para t>T.

FUNCIONES CONTINUAS POR TRAMOS O SECCIONALMENTE

CONTINUAS.

Definición: La función F: [a, b > R, es continua por tramos o

seccionalmente continua en a y b si:

I. Existe puntos en a, b tal que: a=t0 ≤ t1 ≤…. ≤ tn =b, donde F es

continua en cada subintervalo ti ≤ t ≤ ti+1 para i = 0, 1, 2, 3…., n. salvo

en dichos puntos.

II. En cada punto ti ∈ (a, b) existe los limites F(ti+) = ,

F(ti+) =

Ejemplo: La función F(t) = [|t|] es continua por tramos en [0, 4]

Si t ∈ [0, 1] => F(t) = 0

t ∈ [1, 2]=> F(t) = 1

t ∈ [2, 3]=> F(t) = 2

t ∈ [3, 4]=> F(t) = 3

Para t = 4 => F(t)=4

FUNCIONES DE ORDEN EXPONECIAL

Definición: La función F: [0, ∞ > R, es de orden exponencial si existen

constantes c > o y α tal que |F(t)| ≤ c , para todo t≥0.

Ejm: Toda función constante es de orden exponencial. En efecto sea F una

función constante ∃ c>0 tal que F(t)| ≤ c, para todo t≥0., entonces |F(t)| ≤ c

Es decir que F es de orden exponencial haciendo α= 0

TEOREMA

Si la función F: [0, ∞ > R, es seccionalmente continua y de orden

exponencial α entonces ∃ f(s) = L {f (t)}, para todo s > a

Observación:

1. Si F: [0, ∞ > R es una función continua por tramos y de orden

exponencial, se llaman función de clase A

2. Si F: [0, ∞ > R es una función de clase A entonces ∃ L {F (t)}

3. Si ∃ L {F (t)} => que F es una función de clase A

TEOREMA

Sea F (t) una función continua por partes para T ≥ 0 y de orden

exponencial para t>T; entonces:

=0

TRANSFORMADAS DE LAPLACE DE ALGUNAS FUNCIONES

ELEMENTALES

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

a) PROPIEDAD DE LINEALIDAD.

Sean F, G: [0, ∞ > R, funciones continuas por tramos y de orden

exponencial Entonces

L {αF(t) + βG(t)}= αL{F(t)} + βL{G(t)}

b) PRIMERA PROPIEDAD DE TRASLACION

Si F: [0, ∞ > R, es una función continua por tramos y de orden

exponencial y si L {F(t) = f(s) entonces para a = 0 se tiene:

L { F (t)} = f(s – a), s> a

c) SEGUNDA PROPIEDAD DE TRASLACION

Si F: [0, ∞ > R, es una función continua por tramos y de orden

exponencial y, si:

L {F (t)} =f(s) y G (t) = 0, t<a y F (t-a); t > a, => L {g (t)} = L {

F(s)}

d) PROPIEDAD DEL CAMBIO DE ESCALA

Sea F: [0, ∞ > R, una función continua por tramos y de orden

exponencial

Si L {F (t)} =f(s) => L {F (at)} =

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA MULTIPLICACION POR

POTENCIA DE “t n”

Teorema.- Consideremos la función f: [0, ∞ > R, continua por tramos y

de orden exponencial, si L {F (t)} =f(s), entonces:

L { t n F (t)} = (-1)n , para s>0, Para todo n ∈ Z+

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA DIVISION POR “ t”

Teorema.- Consideremos una función F: [0, ∞ > R continua por tramos

y de orden exponencial si L {F (t)} =f(s), entonces:

L { =

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA DERIVADA

Los siguiente s teoremas que se van ha estudiar, referentes a la transformada

de laplace de la derivada se utilizan bastante en la resolución de las

ecuaciones diferenciales.

a) Teorema:Consideremos una función continua F: [0, ∞ > R y que

F’(t) sea continua por tramos y de orden exponencial en [0, ∞ > entonces:

L {F’ (t)} =s L {F (t)} – F {0}, donde F{0} =

b) Teorema: Consideremos una función continua F’: [0, ∞ > R y que F’’(t)

sea una función continua por tramos y de orden exponencial. Entonces:

L {F’’ (t)} =s2 L {F (t)} – sF {0}-F {0}

GENERALIZANDO:

Si F(n-1): [0, ∞ > R, es una función continua y que F (n)(t) es una función

continua por tramos y de orden exponencial. Entonces:

L {f(n) (t)} = snL{F(t)} - sn-1F(t) - sn-2F’(t)-… sF(n-2)(0)- sF(n-1)(0)

L {f(n) (t)}= snL{F(t)} –

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE INTEGRALES .

Teorema.- Consideremos una función F: [0, ∞ > R, continua por tramos

y de orden exponencial, entonces:

Si: L {F’ (t)} = f (s) => L{ L{F(t)} -

GENERAALIZANDO:

L{

Cuando a=0 se tiene: L{ =

APLICACION DE LA TRASNFORMADA DE LAPLACE EN LA

EVALUACION DE INTEGRALES

Sea F: [0, ∞ > R; una función continua por tramos y de orden exponencial,

Entonces:

Si L{F(t)} = f(s) entonces tomando limite cuando s 0, se

tiene:

= f(s) de donde

Siempre que la integral sea convergente

(*) Es útil en la evaluación de integrales