TRANSFORMADA ZUnidad I

Dra. Adriana del Carmen Téllez Anguiano

RELACIÓN CON LA TRANSFORMADA DE

LAPLACE

d j T dT j Tz e e e

s d j

dTz e

2 2

s s

fz T

F

Dra. Adriana del Carmen Téllez Anguiano

MAPEO – PLANO S AL PLANO Z

Los polos y los ceros cuyas frecuencias difieren

2/T son mapeados en las mismas posiciones en z,

es decir, la correspondencia zS no es única.

Figura wikispaces

Dra. Adriana del Carmen Téllez Anguiano

RELACIÓN CON LA TRANSFORMADA DE

LAPLACE

0 05

4 24 2

32

27 3

3 3 4 24 2

22

s

s

s

s

s

s

s

s

Plano s Plano zPlano s Plano z

rad T radrads T rad

s

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MAPEO ENTRE PLANOS

ALGORITMOS DE INTEGRACIÓN NUMÉRICA

Regla Algoritmo numérico Proyección para s

Rectangular

Trapezoidal

[ ] [ 1] [ ]y n y n tsx n

2

[ ] [ 1] [ ] [ 1]s

y n y n x n x nt

1 1

s

zs

t z

2 1

1s

zs

t z

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TRANSFORMADA Z

Representa señales discretas en tiempo en su

equivalente en frecuencia compleja (Plano Z)

Unilateral

Sistemas causales

n

n

X z x n z

0

n

n

X z x n z

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REGIÓN DE CONVERGENCIA

Región donde la transformada z converge.

Ejemplo:

0 1 3 5 3 1 0x

-6 -5 -4 -3 -2 -1 00

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5 4 3 2

1 3 5 3X z z z z z z

1z X z

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REGIÓN DE CONVERGENCIA

Ejemplo:

0 1 3 5 3 1 0x

2 1 0 1 2

1 3 5 3X z z z z z z

1

0zX z

z

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

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REGIÓN DE CONVERGENCIA

Ejemplo:

0 1 3 5 3 1 0x

1 2 3 4 5

1 3 5 3X z z z z z z

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

10z X z

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REGIÓN DE CONVERGENCIA

Ejemplo:

1 0

0 0

nx n

n

1 2 3

1 1X z z z z

1z ROC-1 0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1 1

1

11

zX z

zz

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TRANSFORMADA Z

Secuencias finitas:

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TRANSFORMADA Z

Señales causales:

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TRANSFORMADA Z

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TRANSFORMADA Z

Señales anticausales:

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TRANSFORMADA Z INVERSA

1 2 30 1 2 3X z x x z x z x z

1x n Z X z

0

n

n

X z x n z

1 2

0 1 2

1 2

0 1 2

n

N

M

M

b b z b z b zX z

a a z a z a z

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PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z

Linealidad

Desplazamientos

1 2 1 2ax n bx n aX z bX z

m

x n X z

x n m z X z

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PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z

Convolución

Diferenciación

k

y n h k x n k

Y z H z X z

x n X z

dX znx n z

dz

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TRANSFORMADA Z INVERSA

Se obtiene mediante:

Método de expansión series de

potencias.

Método de expansión de fracciones parciales.

Método de residuo.

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EXPANSIÓN DE SERIES DE POTENCIAS

Ecuaciones

𝑥 0 = 𝑏𝑜𝑎0

𝑥 1 = 𝑏1 − 𝑥 0 𝑎1𝑎0

𝑥 2 = 𝑏2 − 𝑥 1 𝑎1 − 𝑥 0 𝑎2𝑎0

…

𝑥 𝑛 = 𝑏𝑛 − 𝑥 𝑛 − 𝑖 𝑎𝑖𝑎0

EXPANSIÓN POR FRACCIONES PARCIALES

𝑋[𝑧] =1

𝑧 − 0.25 𝑧 − 0. 5