Transformada de Fourier 2013
12
Tema 4. La Transformada de Fourier. Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 1 1 La transformada de Fourier permite hallar la representación en el dominio de la frecuencia de una función no periódica para poder conocer su composición armónica. Sea f(t) una función localmente integrable cuya integral valor absoluto esta acotada en R. Se define su transformada de Fourier como: La Transformada Inversa de Fourier Es el proceso a través del cual, dada F(w) es posible hallar f(t) a partir de ella como sigue: Transformada de Fourier Transformada Inversa de Fourier Condiciones suficientes y necesarias para que la transformada de Fourier de f(t) exista. Suficiente Necesaria En general funciones que no vayan asintóticamente a cero cuando t tiende a +∞ y–∞ no tienen transformadas de Fourier. 1. Desarrollo de la Transformada de Fourier en Tiempo Continuo
-
Upload
gerardo-antonio-trejo -
Category
Documents
-
view
8 -
download
1
description
Analisis de SEnales
Transcript of Transformada de Fourier 2013
-
Tema 4.LaTransformada deFourier.
Prof.RaquelFras Anlisis deSeales 11
LatransformadadeFourierpermitehallarlarepresentacineneldominiodelafrecuenciadeuna
funcinnoperidicaparapoderconocersucomposicinarmnica.
Seaf(t)unafuncinlocalmenteintegrablecuyaintegralvalorabsolutoestaacotadaenR.
SedefinesutransformadadeFouriercomo:
LaTransformadaInversadeFourier
Eselprocesoatravsdelcual,dadaF(w)esposiblehallarf(t)apartirdeellacomosigue:
TransformadadeFourier
TransformadaInversadeFourier
Condicionessuficientesynecesariasparaquelatransformadade Fourierdef(t)exista.
Suficiente Necesaria
Engeneralfuncionesquenovayanasintticamente acerocuandottiendea+ y notienentransformadasdeFourier.
1. Desarrollo delaTransformada deFourierenTiempo Continuo
-
Tema 4.LaTransformada deFourier.
Prof.RaquelFras Anlisis deSeales 22
LatransformadadeFourierF(w)engeneralescomplejaporlotanto:
Paralarepresentacinfasorial tenemos:
F(w) = Re(w) +j Im (w) Re(w) : Partereal
Im (w) : Parteimaginaria
(w) : EspectrodeFaseLatransformadadeFouriercuandof(t)esrealqueda:
LafuncinRe(w) esunafuncinpardew,mientrasqueIm(w) esunafuncinimpardew,estoes:
Re(w) = Re(-w) Im(w) = - Im(-w) F(-w) = F*(w)
F*(w) denotaelconjugadocomplejodeF(w)
1. Desarrollo delaTransformada deFourierenTiempo Continuo
-
Tema 4.LaTransformada deFourier.
Prof.RaquelFras Anlisis deSeales 33
Si f(t)es real,suespectrodemagnitud |F(w)| esuna funcinpardewysuespectrode fase(w), esunafuncinimpardew.
SilatransformadadeFourierdeunafuncinrealf(t)esreal,entoncesf(t)esunafuncinpar de
tysilatransformadadeFourierdeunafuncinrealf(t)esimaginariapura,entoncesf(t)esuna
funcinimpar det
2. TransformadascosenoysenodeFourier
Sif(t)est definidasolopara0
-
Tema 4.LaTransformada deFourier.
Prof.RaquelFras Anlisis deSeales 44
Linealidad
2. PropiedadesdelaTransformadadeFourier.
Sea y cona1 ya2 constantestenemos:
Escalamiento
Seaa unaconstanterealy entonces:
Siaespositivaymayorqueuno,f(at)secomprimeysudensidadespectralseexpande.
Siaespositivaymenorqueuno,f(at)seexpandeysudensidadespectralsecomprime.
DesplazamientoenelTiempo
Si entonces:
-
Tema 4.LaTransformada deFourier.
Prof.RaquelFras Anlisis deSeales 55
Desplazamiento enlafrecuencia
2. PropiedadesdelaTransformadadeFourier.
Siw0 esunaconstanterealy entonces:
Simetra(Dualidad)
Si entonces:
Derivacineneltiempo
Si yf(t) 0cuandot entonces:
Engeneral n=1,2,3.
Integracineneltiempo
Si conw 0 entonces:
-
Tema 4.LaTransformada deFourier.
Prof.RaquelFras Anlisis deSeales 66
ConvolucinenelTiempo
2. PropiedadesdelaTransformadadeFourier.
Si y entonces:
Laconvolucineneltiempoequivalealproductoenlafrecuencia.
ConvolucinenlaFrecuencia
Si y entonces:
Elproductoeneltiempoequivalealaconvolucinenlafrecuencia.
-
Tema 4.LaTransformada deFourier.
Prof.RaquelFras Anlisis deSeales 77
Resumendelaspropiedades
2. PropiedadesdelaTransformadadeFourier.
Operacin f(t) F(w)
Escalar f(at) 1| |a
F wa
Desplazamientoeneltiempo f(t-to) F w ejwto( )
Desplazamientoenlafrecuencia f t ejw to( ) F(w-wo)
Diferenciacineneltiempo d fdt
n
n ( ) ( )jw F wn
Diferenciacinenlafrecuencia ( ) ( ) jw f tn d F
dw
n
n
Integracineneltiempo f dt
( )
1jw
F w( )
Convolucineneltiempof t f t1 2( ) * ( ) F w F w1 2( ) ( )
Convolucinenlafrecuenciaf t f t1 2( ) ( ) [ ]1
2 1 2F w F w( ) * ( )
-
Tema 4.LaTransformada deFourier.
Prof.RaquelFras Anlisis deSeales 88
FuncinImpulso.
3. TransformadadeFourierdeFuncionesEspeciales
FuncinConstante .
LafuncinImpulsopuedeescribirsecomolasiguienteidentidad:
Seaf(t)=A,entonces:
(t)
t
F (w)
wFuncinImpulsoUnitario
TransformadadeFourierFuncinImpulsoUnitario
f (t)
t
FuncinConstante
TransformadadeFourierFuncinConstante
F (W)
w
2A(w)
1
A
-
Tema 4.LaTransformada deFourier.
Prof.RaquelFras Anlisis deSeales 99
FuncinEscalnUnitario
3. TransformadadeFourierdeFuncionesEspeciales
FuncinEscalnUnitario
TransformadadeFourierFuncinEscalnUnitario
u (t)
t
w
F (w)
1w
(w)EspectrodelaFuncinEscalnUnitario
F (w)
w
(w)
1w
-
-
Tema 4.LaTransformada deFourier.
Prof.RaquelFras Anlisis deSeales 1010
4. TabladeTransformadadeAlgunasFunciones
-
Tema 4.LaTransformada deFourier.
Prof.RaquelFras Anlisis deSeales 1111
5. Ejemplo
CalcularlaTransformadadeFourierdef(t)(pulsorectangular):
F (w)
w
1
2
SabiendoquesegnlaecuacindeEuler podemosexpresarel resultado
anteriorenbasealafuncinsinc (senocardinal)obtenindose:
P2
-P2
t
f (t)
1
SenoCardinal
-
Tema 4.LaTransformada deFourier.
Prof.RaquelFras Anlisis deSeales 1212
Seaf(t)unafuncinperidicadeperiodoT,entonces
6. TransformadadeFourierdeunaFuncinPeridica
La Transformada de Fourier de una funcin peridica, consta de una sucesin de impulsos
equidistanteslocalizadosenlasfrecuenciasarmnicasdelafuncin.
Se establece que la transformada de Fourier de un tren de impulsos es tambin un tren de
impulsosequidistantesen w0.
f (t)
tT
f (w)
ww0
