Universidad de La Laguna Facultad de Física Relatividad General

Jordi Cepa Departamento de Astrofísica 1 de 6

TEMA 1: TEORIA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD

Transformación de Lorentz

Ecuaciones de transformación

Deducción

Consideremos dos sistemas inerciales S y S’, de coordenadas respectivas (x, y, z, t) y (x’, y’, z’, t’) en movimiento relativo. Las ecuaciones de transformación buscadas relacionarán las coordenadas espacio-temporales de un mismo suceso en ambos sistemas de referencia. Para la deducción aplicaremos los postulados fundamentales de la teoría de la relatividad especial1: 1. Las leyes de la Física se verifican en cualquier sistema inercial 2. La velocidad de la luz en el vacío es constante Sin embargo esos postulados no son suficientes. Es preciso realizar suposiciones adicionales, lógicas pero independientes, acerca del espacio-tiempo. Para ello se supondrá que es espacio-tiempo es:

• Homogéneo. Es decir, que todos los puntos del espacio y del tiempo son equivalentes. Dicho de otro modo: una longitud o un intervalo de tiempo no dependen ni de la posición ni del instante del tiempo en que se miden. Esta suposición es mucho más restrictiva de lo que parece, pues implica que las ecuaciones de transformación deben ser lineales, y que por tanto sus coeficientes solamente pueden depender de la velocidad relativa entre ambos sistemas. Si no fuera así, las longitudes y los intervalos temporales dependerían de la posición o del tiempo. Como todo sistema de ecuaciones lineales con coeficientes reales puede escribirse en forma matricial, adoptaremos dicha representación para la transformación buscada (1).

• Isótropo: Es decir, que sus propiedades no dependen de la dirección. Eso implica que la transformación debe permanecer invariante bajo una rotación. Dicho de otro modo, que la matriz de transformación debe ser simétrica2. Por tanto, la transformación no dependerá de la dirección relativa de movimiento entre ambos sistemas coordenados.

Haciendo uso de esta última hipótesis se impondrá, para simplificar, pero sin menoscabo de la generalidad, que el movimiento relativo entre ambos sistemas inerciales tiene lugar solamente a lo largo del eje x, desplazándose S’ en sentido positivo, a una velocidad v, y

que ambos ejes x coinciden siempre (x ≡ x’) mientras que los y, z, son paralelos entre sí.

1 De hecho puede considerarse que ambos postulados se reducen al primero puesto que la constancia de la

velocidad de la luz en el vacío puede considerarse una ley de la física, pero se considera aparte por motivos históricos. 2 Podría pensarse que la contracción de las longitudes en el sentido del movimiento establece una anisotropía

espacial, pero la isotropía espacial se manifiesta en que esta contracción no depende de la dirección del movimiento.

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Nótese que estas son hipótesis que conducen a condiciones bastante restrictivas, en las que reside el carácter clásico (no cuántico) de la Relatividad. Finalmente se considerará t = 0 y t’ = 0 el instante en que los orígenes O y O’ de ambos sistemas coincidan. Esta suposición tampoco resta generalidad a la deducción puesto que se trata solamente de elegir un origen de tiempos común. En consecuencia, como ya se ha mencionado, la transformación lineal más general buscada adoptará la siguiente forma, en notación matricial:

=

t

z

y

x

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

t

z

y

x

44342414

34332313

24232212

14131211

'

'

'

'

, (1)

donde los aij pueden depender solamente de v, y de tal manera que cuando v << c las ecuaciones de transformación deben reducirse al teorema de suma de velocidades de Galileo. Por cuestiones dimensionales, la conversión de unidades puede considerarse incluida en los coeficientes de la transformación, o bien considerarse que los coeficientes son adimensionales y las unidades de tiempo están expresadas en unidades de longitud. Se ha adoptado este último convenio a fin de manifestar en forma explícita la simetría de la transformación. Entonces, definimos los tiempos t y t’ medidos en unidades de longitud, en función del tiempo t’’ medido en unidades de tiempo a través de c:

t ≡ ct’’ (2) Es preciso tener en cuenta que en este sistema las velocidades son adimensionales y escaladas con respecto la velocidad de la luz c. Dicho de otro modo: las unidades habituales de tiempos y velocidades, que denominaremos “unidades físicas” se recuperan multiplicando (dividiendo) los tiempos (velocidades) por c. Asimismo, la velocidad de la luz es la unidad. Como por hipótesis el movimiento es a lo largo del eje x y ambos ejes coinciden, a los puntos del eje x, que se caracterizan por tener coordenadas y = 0, z = 0, les corresponderán siempre puntos del eje x’, que tienen y’ = 0, z’ = 0. Por consiguiente:

a12 = a13 = 0 (3) Además las coordenadas y’ y z’ no dependerán del tiempo. Por tanto,

a24 = a34 = 0 (4) Lo cual es consistente con que t’ no puede depender de y ni z, puesto que en caso contrario dos relojes de S colocados en posiciones simétricas en el plano yz marcarían distinto con respecto S’, lo cual implicaría que el espacio-tiempo no es isótropo. Finalmente, para las fórmulas de transformación de z e y, y aplicando (3) y (4), tenemos,

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zayaz

zayay

3323

2322

+=′

+=′ (5)

si consideramos los puntos z = 0, es decir: los del plano xy, o bien los y = 0 (plano xz), obtenemos relaciones de proporcionalidad entre z’ e y’ que indicarían no solo que (x’, y’, z’) no es un sistema de referencia ortogonal, sino que ambos ejes coinciden, lo cual no es posible. La única alternativa es que

a23 = 0 (6) Con lo que (5) se reduce a,

zaz

yay

33

22

=′

=′ (7)

Hasta este momento, las consideraciones utilizadas se han limitado esencialmente a la homogeneidad e isotropía del espacio-tiempo. Sin embargo, para determinar los coeficientes de (7) utilizaremos el primer postulado de la relatividad (1). Si consideramos una varilla de longitud unidad situada sobre el eje y, dicha varilla tendrá una longitud y = 1 para el observador situado en S pero según (7) una longitud y’ = a22 para el observador situado en S’. Si en cambio se sitúa la varilla en y’, deberá tener una longitud y’ = 1 para S’, en caso contrario ambos sistemas no serían equivalentes. Pero según (7) para el observador S ahora la varilla mide y = 1/a22. Es decir: dependiendo de si a22 es mayor o menor que la unidad, S’ mide una longitud mayor (menor) para la varilla cuando está en S, mientras que S mide una longitud menor (mayor) para la varilla cuando está en S’. Sin embargo el primer postulado de la relatividad (1) exige que ambas medidas sean recíprocas (las dos mayores o las dos menores), en caso contrario ambos sistemas de referencia no serían físicamente equivalentes. Análogamente se puede razonar con respecto z y z’. Por tanto la única solución es:

a22 = a33 = 1 (8)

Las operaciones hasta ahora efectuadas reducen (1) a,

=

t

z

y

x

aa

aa

t

z

y

x

4414

1411

00

0100

0010

00

'

'

'

'

(9)

Todavía queda una condición ab initio que imponer: la velocidad relativa v entre S y S’. Según la primera ecuación de (9) tenemos:

taxax 1411 +=′ (10)

Si fijamos el punto x’ = 0, y teniendo en cuenta el origen de tiempos establecido, dicho punto recorre, según S, una distancia x en un tiempo t. Es decir, utilizando (10):

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11

14

a

a

t

xv −=≡ (11)

Si aplicamos ahora el postulado (2) de constancia de la velocidad de la luz en el vacío, una onda que parte del origen de S cuando t = 0, se propagará a una velocidad c en todas direcciones. Como para ese tiempo, y por construcción, ambos orígenes coinciden, y según el segundo postulado, la onda se propagará a partir del origen de S’, también a la misma velocidad en todas direcciones con respecto S’. Por tanto:

2222

2222

tzyx

tzyx

′=′+′+′

=++ (12)

Sustituyendo las dos ecuaciones de (9) en la segunda ecuación de (12) y resolviendo el sistema resultan tres ecuaciones de las que solamente dos son independientes:

4411

2

14

2

11 1

aa

aa

=

=− (13)

Que podemos resolver junto con (11) obteniendo:

4411

214

211

1

1

1

aav

va

va

=−

±=

−

±=

(14)

Proporcionando finalmente las ecuaciones de transformación de Lorentz3:

2

2

1

1

v

vxtt

zz

yyv

vtxx

−

−=′

=′

=′−

−=′

(15)

Teniendo en cuenta que la ambigüedad en el signo que introducen las ecuaciones cuadráticas, se resuelve teniendo en cuenta que al moverse S’ en el sentido positivo del eje x, un suceso de coordenada x fija se observa a coordenadas x’ decrecientes a medida que transcurre el tiempo. Obsérvese que en unidades físicas (15) adopta la forma habitual:

3 En una denominación en mi opinión desafortunada, porque aunque adoptan la misma forma funcional, el significado es

completamente distinto e induce a confusión. La nomenclatura es debida a Poincaré.

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( )22

2

22

1

1

cv

xcvtt

zz

yy

cv

vtxx

−

−=′

=′

=′−

−=′

(16)

Y que en un movimiento en una dirección cualquiera de componentes (vx, vy, vz), las ecuaciones anteriores pueden generalizarse fácilmente:

( )2

2

2

2

1

1

1

1

v

zvyvxvtt

v

tvzz

v

tvyy

v

tvxx

zyx

z

y

x

−

++−=′

−

−=′

−

−=′

−

−=′

(17)

O, en notación vectorial:

2

2

1

1

v

vrtt

v

tvrr

−

⋅−=′

−

−=′

, (18)

donde v es el módulo de la velocidad, y se acostumbra a denotar cv≡β (en unidades

físicas, porque en nuestras unidades es v≡β ) y 2211 cv−≡γ es el denominado factor

de Lorentz o factor de contracción. Consistencia de la transformación Si efectuamos la deducción de la transformación inversa se obtiene, con suma facilidad,

2

2

1

1

v

xvtt

zz

yyv

tvxx

−

′+′=

′=

′=−

′+′=

(19)

Mismo resultado que se obtendría invirtiendo (15), y que indica que al intercambiar sistemas de referencia el único cambio reside en el signo de la velocidad, lo que es muy satisfactorio puesto que cumple el primer postulado de la relatividad y ambos sistemas son equivalentes.

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Asimismo, considerando v/c <<1 y (11), las ecuaciones de transformación se reducen a las de Galileo:

tt

zz

yy

vtxx

=′

=′

=′

−=′

(20)