Transformacion Lineal-nucleo e Imagen (1)
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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
“El bienestar del hombre proviene de la Ciencia”
Algebra Lineal
Grupo Nº 01
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TRANSFORMACIONES LINEALES( aplicaciones lineales)
V W
u f(u)= w
f
Sean V y W dos espacios vectoriales definidos sobre el mismo campo. Una función (aplicación) f de V en W ( f : V W ) que se asigna a cada vector v ∈ V, un vector f(u)= w W es una transformación lineal, si y solo si, ∈ ∀∝∈K, ∀u, v V∈ , satisface lo siguiente:
f : V W u f(u)= w
Estas dos son condiciones semejantes
Nota: se escribe f : V W para indicar que f transforma el espacio vectorial V en el espacio vectorial W.
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Propiedades
Sea f : V W una transformación lineal, entonces se cumple que:1. f(0v)= 0w2. f(u-v)= f(u) - f(v)3. Si S es un subespacio vectorial de V, entonces f (S) es
subespacio vectorial de W.4. Si T es subespacio vectorial de W, entonces f -1(T) es
subespacio vectorial de V.
Ejemplo:V W
(x,y) f((x,y))= (a,b,c)
f
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Núcleo
Sea una transformación lineal, entonces el núcleo de f , notado por N(f) , es el subconjunto de V, que contiene todos los elementos de v ∈ V, tales que sus imágenes son igual al vector nulo de W. Así:N(f)={ v V / ∈ f(v)= 0w}
f : V W
V W
0wu
f
N(f)
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Imagen
Sea una transformación lineal, entonces la imagen de f , notado por Im(f) , es el subconjunto de W, que contiene todos los elementos de w ∈ W, que son imágenes de vectores v ∈ V debidas a la transformación f. Así:Img(f)={ w W / ∈ ∃ v V∈ v f(u)= w }
A la imagen de f también se la conoce como rango o recorrido de f.
f : V W
V W
u
f
Img(f)w
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Img(f)={ w W / ∈ ∃ v V∈ v f(u)= w }
N(f)={ v V / ∈ f(v)= 0w}
VW
(x,y) f((x,y))= (a,b,c)
f
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