ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

CURSO : ESTÁTICA

DOCENTE : ING. LUIS ALBERTO BALLENA RENTERÍA

TEMA : TRANSFORMACIÓN DE ECUACIONES Y

MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA DE ÁREAS

ALUMNOS : DÍAZ DÍAZ, Osman Vladimir

FERNÁNDEZ IRIGOIN, Roberth IRIGOIN DELGADO, Joselito IRIGOIN EDQUEN, Dilmer Eli RAFAEL LIVAQUE, Néstor TINGAL CORONADO, Ángel Luis

CICLO : III

CHOTA – PERÚ

2014

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ÍNDICE

ÍNDICE Pág.

I. RESUMEN. 02 II. ABSTRACT 03 III. INTRODUCCIÓN 04 IV. MARCO TEÓRICO 05

A. ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN Y MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA DE ÁREAS.

05

1. ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN PARA MOMENTOS Y PRODUCTOS DE INERCIA

05

2. MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA 06 EJEMPLOS 09 V. CONCLUSIONES. 15 VI. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. 16 VII. ANEXOS 17 PROPIEDADES INERCIALES DE ÁREAS PLANAS 17

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I. RESUMEN.

Momento de inercia en áreas planas, es el tema que se trata a continuación, con ayuda

de textos de ciencias e ilustraciones nos concentraremos en detallar la idea de la

investigación. Las causas de investigación son la práctica y el dominio de dicho tema

para bien.

Nuestros objetivos son describir al lector en su mayoría universitarios los conceptos y

utilidades del momento de inercia, dando a conocer sus fórmulas principales y como

poder utilizarlas en algún ejercicio propuesto, describiremos por igual algunos otros

temas que ayudan a fortalecer el concepto general.

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II. ABSTRACT

Moment of inertia in plane areas, is the topic that is next, with the help of texts of

sciences and illustrations we will concentrate on detailing the idea of the investigation.

The investigation causes are the practice and the domain of this topic for well.

Our objectives are to describe to the reader in their majority university students the

concepts and utilities of the moment of inertia, giving to know their main formulas and

as being able to use them in some proposed exercise, we will describe some other topics

equally that they help to strengthen the general concept.

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III. INTRODUCCIÓN

El momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de

un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro.

El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje

de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

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IV. MARCO TEÓRICO

A. ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN Y MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA

DE ÁREAS.

En general, los valores de Ix, Iy e Ixy para un área plana dada dependen de la ubicación

de O (el origen del sistema coordenado) y de la orientación de los ejes xy. El efecto

de reubicar O, lo que es equivalente a trasladar los ejes coordenados, se ha estudiado

y ha resultado en el teorema de los ejes paralelos. Aquí se investigan los cambios en

los momentos y en el producto de inercia causados al variar la orientación de los

ejes coordenados. Esto a su vez permite determinar los momentos de inercia

máximo y mínimo asociados con el punto O y encontrar la orientación de los ejes

correspondientes.

1. ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN PARA MOMENTOS Y PRODUCTOS DE

INERCIA

Considere la región plana A con área A qué se muestra en la figura, donde los

ejes uv en el punto O se obtienen girando los ejes xy en sentido contrario a las

mane- cillas del reloj un ángulo θ. Ahora se deducen fórmulas para Iu, Iv e Iuv en

términos de Ix, Iy, Ixy y θ. Estas fórmulas se conocen como ecuaciones de

transformación para momentos y productos de inercia.

Se inicia con las ecuaciones de transformación de las coordenadas de posición,

que se pueden deducir de la siguiente forma.

............................................................ (01)

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Sustituyendo estas ecuaciones en la ecuación que define Iu, se obtiene

Identificando los momentos y productos de inercia, esta ecuación se convierte

en:

………………………………….. (02)

Las ecuaciones para Iv e Iuv se pueden deducir de una manera similar y los

resultados son:

.........………………….. (03)

……………………..…. (04)

La ecuación para Iv también se podría deducir remplazando θ por (θ + 90°) en la

ecuación (02).

Utilizando las identidades trigonométricas

Las ecuaciones (02) a (04) también se pueden escribir en la forma

…………………. (05)

…………………. (06)

…………………. (07)

De las ecuaciones (05) y (06) se observa que Iu + Iv = Ix + Iy, un resultado que se

esperaba, ya que los dos lados de la ecuación son iguales a JO, el momento polar

del área respecto a O.

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2. MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA

Los momentos de inercia máximo y mínimo en un punto se denominan

momentos principales de inercia en ese punto. Los ejes respecto a los cuales

los momentos de inercia son máximo o mínimo se denominan ejes principales

y a las direcciones correspondientes se les refiere como direcciones

principales. Para encontrar los momentos de inercia máximo y mínimo, se

iguala a cero la derivada de Iu en la ecuación (05):

Despejando 2θ, se obtiene

………………………………. (08)

Observe que hay dos soluciones para el ángulo 2θ que difieren en 180° o,

equivalentemente, dos soluciones para θ que difieren en 90°. Estas soluciones

las denotamos por θ1 y θ2.

…………………………………… (09)

Donde

…………………………………… (10)

Los ángulos θ1 y θ2 medidos en sentido contrario a las manecillas del reloj desde

el eje x, definen las direcciones principales. Sustituyendo la ecuación (09) en la

ecuación (05) y simplificando, se obtienen los momentos principales de inercia.

…………………………….. (11)

Donde I1 e I2 corresponden a los ejes definidos por θ1 y θ2, respectivamente.

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En las ecuaciones (09) y (11), el signo superior de ± o ∓ se debe utilizar con θ1 y

el signo inferior con θ2 (consulte la figura que se muestra a continuación).

Para determinar el producto de inercia respecto a los ejes principales, se

sustituyen las ecuaciones (09) en la ecuación (07), lo que da:

Por tanto, el producto de inercia respecto a los ejes principales es cero.

Las propiedades de un área, en general, dependen de la ubicación del origen O

del sistema coordenado xy. Por tanto, los momentos principales de inercia y las

direcciones principales varían con la ubicación del punto O. Sin embargo, en la

mayoría de las aplicaciones prácticas, como en la ingeniería estructural, se tiene

interés en los momentos de inercia respecto a los ejes centroidales.

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EJEMPLOS

1. Para la región que se muestra en la figura, calcule:

a) Los momentos principales centroidales de inercia

y las direcciones principales.

b) Los momentos y el producto de inercia respecto a

los ejes uv que pasan por el centroide C.

Solución

Las coordenadas centroidales

Luego se aplica el teorema de los ejes paralelos para calcular las propiedades inerciales

respecto a los ejes centroidales.

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Parte 01

Se obtiene

Por tanto la ecuación

Se convierte

De donde se obtiene los momentos principales de inercia

Para las direcciones principales, la ecuación

Los ejes principales, identificados 1 y 2 en la figura,

corresponden a los ejes I1 e I2, respectivamente.

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Parte 02

De la ecuación

Se obtiene

La ecuación da

De la ecuación da

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EJEMPLO 02

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EJEMPLO 03

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EJEMPLO 04

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V. CONCLUSIONES.

Se logró conocer la teoría de la transformación de ecuaciones y

momentos principales de inercia de áreas.

Se concluyó que Los momentos de inercia máximo y mínimo en un punto

se denominan momentos principales de inercia en ese punto.

Se logró determinar el momento de inercia delas áreas y pudimos ver

como variaba el momento de inercia entre ellos gracias a la distribución

de su masa.

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VI. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.

Bedford, Anthony; Fowler, Wallace T. Mecánica para ingeniería. Estática Quinta edición.

PEARSON EDUCACIÓN, México, 2008

Beer, Ferdinand; Johnston, Russell. “Mecánica vectorial para ingenieros: Estática”, 9na

ed. Mc – Graw Hill, México. 2007.

Hibbbeler, Russel. 2004. Mecanica vectorial para ingenieros: Estática. 12va Ed. Prentice

– Hall. México 2010.

Andrew Pytel y Jaan Kiusalaas. “Ingeniería Mecánica” – Estática. 3ra Ed. Cengage

Learning. Santa Fe 2012.

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VII. ANEXOS

PROPIEDADES INERCIALES DE ÁREAS PLANAS

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