Transferencia de calor por cambio de fase

Angélica C. Boucíguez

Transiciones de fase en una sustancia pura.

Las funciones termodinámicas importantes en las transiciones pde fase son:

vdpsdTdpg

dTg

dg +=⎞

⎜⎜⎛ ∂

+⎞

⎜⎛ ∂

=

dTddh +

vdpsdTdpp

dTT

dgTp

+−=⎠

⎜⎜⎝ ∂

+⎠

⎜⎝ ∂

=

vdpTdsdh +=

En toda transición de fase permanecen constantes TEn toda transición de fase permanecen constantes g, T y p.

E t i ió d f d i d l d i d iEn una transición de fase de primer orden las derivadas primerasde g son discontinuas.

Esto significa que s y v tienen valores distintos en cada faseEsto significa que s y v tienen valores distintos en cada fase.

Función de Gibbs y sus derivadasFunción de Gibbs y sus derivadas

Una transición de fase tiene asociado un calor denominadoUna transición de fase tiene asociado un calor, denominadocalor latente, denominado l o entalpía h de la transformación.

Entre las fases sólida, líquida y gaseosa existe la siguiente, q y g grelación entre los calores latentes.

vllsvs lll −−− +=

lsvlvs lll −−− >>

Por ejemplo para el agua, estos valores son:

ls-l=334 kJ/kg transición sólido - líquido

ll = 2253 kJ/kg transición líquido - vaporll-v 2253 kJ/kg transición líquido vapor

ls-v= 2587 kJ/kg transición sólido - vapor

Mientras que los calores específicos son:

cp= 4,217 kJ/kg K agua a 1 atm y 273 K

cp= 4,218 kJ/kg K agua a 1 atm y 373 Kp

cp= 2,11 kJ/kg K hielo a 1 atm y 273 K

c = 1,9006 kJ/kg K vapor de agua a 1 atm y 373 Kcp 1,9006 kJ/kg K vapor de agua a 1 atm y 373 K

Los gases ocupan mucho más volumen que el líquido y lasg p q q ydiferencias entre los volúmenes ocupados por una masa delíquido cuando ésta se transforma en vapor son considerables.Pueden ocasionarse roturas deterioros y accidentes por escapesPueden ocasionarse roturas, deterioros y accidentes por escapesno regulados de vapor.

En cambio la diferencia de volúmenes cuando ocurre unatransición líquido - sólido no es significativa y a los efectos

á i d id l d id d iprácticos puede considerarse que la densidad no variaapreciablemente entre un líquido y su sólido. Esto facilita loscálculos sin ocasionar errores de importancia.p

Las problemas de transiciones de fase se denominan de Stefan.Son problemas de frontera libre.

Problemas de frontera fijaProblemas de frontera móvilProblemas de frontera libre

“El problema de Stefan”una fasedos fases

fvarias fases

P bl d St f d á f

Problema a una fase

Problema de Stefan a una, dos y más fases

T>Tf T=Tf

Problema a una fase

T<TfT>Tf

Problema a dos fasesT TfT Tf

Problema con multifasesProblema con multifasesT>Tf T=TfT>TfT<TfT<TfT>Tf

Algunas sustancias de cambio de faseAlgunas sustancias de cambio de fase

Sustancia Temperatura fusión (ºC) Calor latente (kJ/kg)

Acido cáprico 32 152

A id á i 55 70 160Acido esteárico 55 – 70 160

Agua 0 334

Ceras 52 54 251Ceras 52 – 54 251

Estearato de butilo 16 150

Estearato de metilo 32 180

Parafina 42 – 51 175

Formulación Matemática del Problema de StefanEl Problema de Stefan a Una Fase

²TT ∂=

∂ α

τ<< t0

atsx ≤<< )(0

(11)²xt ∂=

∂α τ<< t0 atsx ≤<< )(0 (1.1)

fTttsT =)),(( 0>∀t (1.2)

)(

)(

tsxxTk

dttdsL

=∂∂

−=ρ

0>∀t

(1.3)

fTxT =)0,( ax ≤<0 (1.4)

0)0( =s (15)0)0( =s (1.5)

fTtTtT >= )(),0( 0>∀t (1.6)

)(),0( tqx

tTk &=∂

∂−

0>∀t

(1.6’)

Formulación Matemática del Problema de StefanEl Problema de Stefan a Dos FasesEl Problema de Stefan a Dos Fases

²²xT

tT l

l

l

∂∂

=∂∂ α

,0 τ<< t

)(0 tsx << (1.15)

²²xT

tT s

s

s

∂∂

=∂∂ α

,0 τ<< t

axts <<)(

(1.16)

fsl TttsTttsT == )),(()),(( 0>∀t (1.17)

tsxTktsxTktdsL

s

s

l

l=∂

+=∂

−=+− ))(())(()(ρ

0>∀t (118)

xk

xk

dtL sl ∂

+∂

ρ (1.18)

fTxTxT <= )()0,( 0 ax ≤<0 (1.19)

0)0( =s (1.20)

fTtTtT >= )(),0( 0>∀t (1.21)

)(),0( tqx

tTkl

l &=∂

∂−

0>∀t

(1.21’)

Solución analítica

El problema de Stefan presenta solución analítica si

• El problema es unidimensional.• El dominio es semi - infinito.• Los parámetros térmicos se mantienen constantes durantetodo el proceso.• La excitación en el borde fijo es una de las siguientesLa excitación en el borde fijo es una de las siguientesalternativas:

* temperatura constante* flujo de calor inversamente proporcional a la raíz

cuadrada del tiempo.

Posición de la frontera libre en función del tiempo paraPosición de la frontera libre en función del tiempo para un proceso de cambio de fase de sólido a líquido

0,060,08

m)

00,020,040,06

ront

era

(m

i i i l ió-0,02

0

20 40 60 80 100 120 140 160 180

fr experiencia simulación

tiempo (min)

Temperatura en función del tiempo para unproceso de cambio de fase de sólido a líquido yproceso de cambio de fase de sólido a líquido yposterior enfriamiento

50

60

(ºC)

30

40

mpe

ratu

ra

10

20Tem

0 5 10 15 20 25tiempo (horas)

i i i l ióexperiencia simulación

Acondicionamiento con sustancias de cambio de faseAcondicionamiento con sustancias de cambio de fase• El cambio de fase se produzca a presión atmosférica• La temperatura de cambio de fase se encuentre en el rangoLa temperatura de cambio de fase se encuentre en el rangode temperatura que se desea mantener.• Las fases involucradas deben ser la sólida y la líquida• La diferencia de densidades en ambas fases no debe serapreciable.• Tener un razonable ciclo de vida útil de acuerdo a su costoTener un razonable ciclo de vida útil de acuerdo a su costo.• Tener un alto calor latente por unidad de masa.• Tener un alto calor específico.• Ser químicamente estables.• No ser corrosivas, ni tóxicas, ni inflamables.• Estar disponibles en plaza en cantidades suficientesEstar disponibles en plaza en cantidades suficientes.

Sustancias orgánicas de cambio de faseParámetros térmicosParámetros térmicos

Densidad ρ=820 kg/m3

Conductividad térmica k=0.22W/kg gradog g

Calor específico c=1600 J/kg grado

Calor latente de fusión L=120kJ/kg

Problema a una fase, dominio finito

ólid Tsólido a Tf

x=0      s1(0)=0 

x=a   s2(0)=a 

  sólido a Tf líquido a T>Tf líquido a T>Tf

x=a x=0  x=s1(t) x=s2(t)

Posición de la interfase en función del tiempoT t 25ºC T 25ºC +0 4ºC/h t(h)Tcte=25ºC, Tcrec=25ºC +0,4ºC/h t(h),

qcte=30W/m2 , qcrec =80 W/m2+(10W/m2/24h)t(h)

0,16

0,2

m)

0 08

0,12

0,16

onte

ra (m

0,04

0,08Fro

00 4 8 12 16 20 24

tiempo (horas)p ( )

Tcte Tcrec qcte qcrec

Distribución de temperaturas en el interior del materialpde cambio de fase al cabo de 24 horas

253035

(ºC

)

152025

pera

tura

(

05

10

Tem

p

00 0,04 0,08 0,12 0,16 0,2

posición (m)

Tcte Tcrec qcte qcrec

Posiciones de las distintas interfasesit ió id l d í d 8h

0,05

excitación senoidal de período τ=8hs

0 03

0,04

(m)

0,02

0,03

Fron

tera

0

0,01

F

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20tiempo (horas)

L-S S-L L-S(f)

Distribución de temperaturas en el interior it ió id l d í d 8h

30

excitación senoidal de período τ=8hs

20

30

(ºC)

0

10

erat

uras

(

-20

-10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Tem

pe

-30tiempo (horas)tiempo (horas)

borde 5mm 15mm 25mm 35mm

Los materiales de cambio de fase resultan ventajososrespecto a otros tradicionales que pudieran ser utilizados; yaque en comparación con estos últimos presentan lasque en comparación con estos últimos presentan lassiguientes ventajas:

• Tienen menor peso, en el mismo volumen.• Absorben más calor por unidad de volumen.• Puede adosarse a recintos ya construidos.y• Contribuyen al ahorro de energía convencional.

Utilización de distintos materiales:Resulta útil la comparación del peso de los distintos materialesResulta útil la comparación del peso de los distintos materiales(1m alto * 0.30cm ancho * 1m largo = 0,3m3). En la últimacolumna se muestra la relación respecto del ladrillo, la que se had i d

Material Peso material P l

denominado como Pml.

Material (kg) Pml

Ladrillo 480 1

Adobe 600 1.25

H i ó 360 0 75Hormigón 360 0.75

Estearato de butilo 240 0.50butilo

Mezcla 400 0.83

Se realizó un modelo numérico para obtener el perfil de temperatura. A losefectos de llevar a cabo el cálculo se consideraron las siguientes condicionesde borde:

hyttyu +⋅+= 25.025),,0( hy ≤≤0 0>t hy ),,( y

)1(25),0,( e

xtxu −+= ex <<0 0>t

)1(26)( xh 0 0)1(26),,( e

xthxu −+= ex <<0 0>t

0),,( =tyeu x hy ≤≤0 0>t

Todos las temperaturas se expresan en grados centígrados y el tiempo t debeexpresarse en horas En todos los casos se consideró que la temperaturaexpresarse en horas. En todos los casos se consideró que la temperaturainicial era de 15 CCon estas condiciones de borde, la pared actúa como acumulador moderadorde temperatura y corresponde a una pared que no está expuesta directamentede temperatura y corresponde a una pared que no está expuesta directamentea la radiación solar, tal podría ser el caso de una pared sur en nuestrohemisferio.

0,93125

1

27-29

0,68125

0,80625

,

)

27 29

25-27

0,43125

0,55625

o (m

etro

s) 23-25

21-23

0,18125

0,30625 alto

19-21

17-19

0

0,05625

0,000,030,110,180,260,30

15-17

0,000,030,110,180,260,30

ancho (metros)

Ladrillok = 0.5 W/mC; ρ = 1600 kg/m3; c = 1000 J/kg C

0,93125

127-29

0,68125

0,80625

,

s)

25-27

23-25

0,43125

0,55625

to (m

etro

s 23-25

21-23

0,18125

0,30625 alt

19-21

17-19

0

0,05625

0 000 030 110 180 260 30

15-17

0,000,030,110,180,260,30

ancho (metros)

Adobek = 0.5 W/mC; ρ = 2000 kg/m3; c = 1000 J/kg C

0,93125

1

27-29

0,68125

0,80625

os)

25-27

0,43125

0,55625

lto (m

etro 23-25

21-23

0 05625

0,18125

0,30625 al

19-21

17-19

0

0,05625

0,000,030,110,180,260,3015-17

ancho (metros)

Hormigónk = 0.7 W/mC; ρ = 1200 kg/m3; c = 1330 J/kg C

0,93125

1

27-29

0,68125

0,80625

s)

25-27

23 25

0,43125

0,55625

o (m

etro

s 23-25

21-23

0,18125

0,30625 alto

19-21

17-19

0

0,05625

0 000 030 110 180 260 30

15-17

0,000,030,110,180,260,30

ancho (metros)

Mezcla de ladrillo (80%) y estearato de butilo (20%)k = 0.45 W/mC; ρ = 1333 kg/m3; c = 1120 J/kg C

0,93125

1

27-29

0,68125

0,80625

)

25-27

23-25

0,43125

0,55625

to (m

etro

s) 23-25

21-23

0,18125

0,30625

alt

19-21

17-19

0

0,05625

0 000 030 110 180 260 30

15-17

0,000,030,110,180,260,30ancho (metros)

Estearato de butilok = 0.24 W/mC; ρ = 800 kg/m3; c = 1600 J/kg C

19

18

C)

16

17

pera

tura

(C

15Tem

p

140 1 2 3 4 5 6

tiempo (horas)

ladrillo adobe hormigón butilo mezcla

Evolución temporal de las temperaturas en el interior del muro

En los gráficos de los distintos materiales se observa queel avance de la onda térmica en orden decreciente es:el avance de la onda térmica, en orden decreciente, es:hormigón, ladrillo, adobe, mezcla, butilo; mientras que alos efectos de actuar como aislante la secuencia se da enorden inverso. Evidentemente la elección de uno u otromaterial dependerá de las condiciones de temperaturarequeridas en el ambiente y del tiempo en que éstasdeban mantenerse.

La diferencia de peso entre los elementos constructivosdeberá analizarse en razón de las necesidades propiasde cada situación particular, es útil señalar sin embargo,que el comportamiento del adobe es similar al de lame cla es el q e más se apro ima al comportamientomezcla y es el que más se aproxima al comportamientodel butilo puro, esto se logra con un peso de estearatode 240 kg, para las dimensiones consideradas, frente ade 240 kg, para las dimensiones consideradas, frente a400 kg para la mezcla y 600 kg de adobe, lo que debeconsiderarse a la hora de realizar el proyectoconstructivo.

La utilización de materiales de cambio de fase, no sólopermite obtener las similares temperaturas, como en elcaso señalado anteriormente, sino también la posibilidadde mantener dichas temperaturas por un tiempo mayorde mantener dichas temperaturas por un tiempo mayor,precisamente el tiempo en que la sustancia emplee encambiar de fase.

Muro vertical de 12 cm de ancho y 1,2 m de alto

0,9961,0681,141,2

0,9961,0681,141,2

0,7080,780,8520,924

,

m)

0 6360,7080,780,8520,924

,

m)

0 3480,420,4920,5640,636

alto

(m0 3480,420,4920,5640,636

alto

(m

0 060,1320,2040,2760,348

0 060,1320,2040,2760,348

00,06

0,00

0,03

0,06

0,09

0,12

espesor (m)

00,06

0,00

0,03

0,06

0,09

0,12

espesor (m)espesor (m) espesor (m)

6 hs 12 hs

1,141,2

1,141,2

0 8520,9240,9961,0681,14

0 8520,9240,9961,0681,14

0 5640,6360,7080,780,852

to (m

)

0 5640,6360,7080,780,852

o (m

)

0 2760,3480,420,4920,564

al

0 2760,3480,420,4920,564

alto

00,060,1320,2040,276

00,060,1320,2040,276

0

0,00

0,03

0,06

0,09

0,12

espesor (m)

00,

00

0,03

0,06

0,09

0,12

espesor (m)18 hs 24 hs

Vi li ió d l i t fVisualización de las interfases

Comportamiento de grasa orgánica al ser calentada p g gdesde la superficie inferior

 

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Sustancia líquida que comienza a solidificarse por contacto con el ambientepor contacto con el ambiente

 

(a) (b)

(c) (d)

Solidificación y fusión del material de cambio de faseyEn (a) y (b) enfriamiento desde su base.En(c) y (d) calentamiento desde su base.

 

(a) (b) (c) (d) (a) (b) (c) (d)

Calentamiento eléctrico desde un lateralLa secuencia va desde la (a) a la (d) las fotografías tomadas desdeLa secuencia va desde la (a) a la (d), las fotografías tomadas desdedistintos ángulos para mostrar las posiciones relativas del líquido ydel sólido.

 

(a) (b) (c) (d)

Varias Interfases Sólido - Líquido

Las sustancias orgánicas son más adecuadas que lasinorgánicas en razón de sus propiedades físicas y térmicasinorgánicas en razón de sus propiedades físicas y térmicas.

Entre ellas resultan más adecuados los ésteres que losácidos de los que se obtienen por ser más establesácidos de los que se obtienen por ser más estables.

En general tienen una alta viscosidad lo que dificulta elmovimiento del fluido esto hace que las interfases esténmovimiento del fluido, esto hace que las interfases esténbien delimitadas.

Es aconsejable que presenten fusión a presión atmosféricaEs aconsejable que presenten fusión a presión atmosféricay temperatura próxima a la que se desea mantener el recintoa acondicionar.

Debe cuidarse que el llenado de los recipientes que lasenvasan se realice con sustancia líquida, pues esta fase ocupaq p pun volumen mayor que su sólido.

Una vez solidificada no debe completarse el volumen delprecipiente para evitar pérdidas de la sustancia al licuarse.

Los recipientes que las contienen deben estarp qconvenientemente sellados para evitar la contaminación de lamisma con el ambiente y la emanación de olores propios dellella.

Pueden mezclarse para obtener otras con distintosá t té i t d f ióparámetros térmicos y puntos de fusión.

Si la condición de borde es una función monótona delS co d c ó de bo de es u u c ó o ó o detiempo aparecerá una sola interfase en cada lateral.

Si se trata de un problema a una fase, el interior del materialSi se trata de un problema a una fase, el interior del materialpermanecerá a la temperatura de fusión.

Si se trata de un problema finito a una fase, es válido elSi se trata de un problema finito a una fase, es válido elprincipio de superposición, que equivale a trabajar como dosproblemas semi − infinitos independientes, uno desde cadal l llateral, que luego se suman.

Si es un problema a dos fases, este principio no resultaválido, debiendo el problema analizarse en el dominio finitosujeto a ambas condiciones de contorno simultáneamente.

Si una o ambas condiciones de borde varían de modo que enSi una o ambas condiciones de borde varían de modo que en algunos intervalos de tiempo la temperatura resulta mayor y en otros menor a la de fusión, aparecerán varias interfases sólido − líquido, que se sucederán unas a otras.

Si la excitación externa es una función periódica quep qproduce temperaturas mayores y menores a la de fusión, laaparición de tales interfases será alternada manteniendo lamisma periodicidad de la función desfasada en medio períodomisma periodicidad de la función desfasada en medio período.

Si las sustancias se encuentran en recipientes ubicados eni ió ti l d l i i t d lposición vertical, puede aparecer un leve movimiento del

fluido haciendo que la interfase se desplace ligeramenterespecto de la vertical.p

Si la sustancia se encuentra inicialmente sólida y recibecalor desde la parte inferior el líquido permanece por debajod l óliddel sólido.

Si por el contrario la sustancia se encuentra líquidacomenzará a solidificarse desde el lateral en contacto con lafuente fría.

Permiten el ahorro de energía convencional al aportar en sut t lid d did l di i i ltotalidad o en gran medida las condiciones necesarias para elmantenimiento de la temperatura deseada.