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La evaluacin de Transformadas de Fourier con

MATLAB

En la clase estudiamos el enfoque analtico para la determinacin de la

transformada de Fourier de una seal de tiempo continuo. En este tutorialse utilizan mtodos numricos para encontrar la transformada de Fourier

de seales en tiempo continuo con MATLAB .

Usando MATLAB para trazar la Transformada de

Fourier de una funcin de tiempo.

El pulso aperidico se muestra a continuacin

x(t)

1

t-2 2

tiene una transformada de Fourier

X (jf )=4 sinc(4f )

Esto se puede encontrar utilizando la ta!la de transformadas de Fourier.

"odemos utilizar MATLAB para trazar esta transformacin. MATLAB tiene unafuncin sinc incorporado. #in em!ar$o% la de&nicin de la funcin sinc

MATLAB es li$eramente diferente a la utilizada en la clase ' en la

transformada de Fourier ta!la. En MATLAB

sinc(x) =sin (x)

x

As% en MATLAB escri!imos la transformacin% (% usando sinc )*f+% 'a que elfactor , est- inte$rado en la funcin. Los si$uientes comandos de MATLAB

trazar-n esta transformada de Fourier> f=-5:.01:5;

> X=4*sinc(4*f);

> plot(f,X)

En este caso, la transformada de Fourier es una funcin puramente real. Por lo tanto,

podemos trazar como se muestra arriba. En general, las transformadas de Fourier son

funciones complejas y tenemos que trazar el espectro de amplitud y fase por separado.

Esto se puede hacer mediante los siguientes comandos:

>> plot(f,abs(X))

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>> plot(f,angle(X))

Ten$a en cuenta que el -n$ulo es cero o ,. Esto ree/a los valores positivos

' ne$ativos de la

funcin de transformacin.

Realizacin de la Integral Numricamente Fourier

"ara el pulso presentado anteriormente% la transformada de Fourier se

puede encontrar f-cilmente utilizando la ta!la. #in em!ar$o% para al$unas

funciones% tendr- que realizarse una inte$racin para encontrar la

transformada usando

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( ) /f +=

+

x( t)ej2ftdt

o% para este e/emplo

( ) /f += 2

+2

1ej2ft

dt

Esta inte$racin se puede realizar utilizando el comando trapz en MATLAB.

Este comando tiene

la forma trapz )0% '+ donde la inte$ral de la funcin ' se encuentra con

respecto a la varia!le dela inte$racin 0. 1% utilizando MATLAB

> clear

> f=0;

> t=-2:.01:2;

> trap(t,e!p(-

"*2*pi*f*t)) ans

=

4.0000

Esto es consistente con nuestros resultados anteriores. El valor de la

transformada en f 2 3 se encontr que era * utilizando la transformacin de

la ta!la. 4on el &n de encontrar la completa transformacin en un ran$o de

frecuencias podemos utilizar un !ucle como se muestra a continuacin

>> clear

>> t=-2:.01:2;

>> k=0;

>> for f=-5:.01:5

k=k+1;

X(k)=trapz(t,exp(-j*2*pi*f*t));

end

>> f=-5:.01:5;

>> plot(f,X)

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Esto de!e coincidir con la transformada trazada anteriormente. Esta tcnica

tam!in se puede utilizar para apro0imar la transformada de Fourier de una

seal de duracin in&nita. #upon$amos que queremos encontrar el espectro

de amplitud de la seal de dos frecuencias

x)t + = cos)5,633t + + cos)5,733t +

4omenzamos mediante la creacin de un vector% 0% con valores

muestreados de la funcin de tiempo continuo. #i queremos muestrear la

seal de cada 3%3335 se$undos ' crear una secuencia de lon$itud 573% esto

cu!rir- un intervalo de tiempo de lon$itud 573 8 3%3335 2 3%37 se$undos.

#e $enera una trama de esta seal usando el si$uiente cdi$o de MATLAB

>> clear

>> N=250;

>> ts=.0002;

>> t=[0:N-1]*ts;

>> x=cos(2*pi*100*t)+cos(2*pi*500*t);

>> plot(t,x)

"odemos encontrar la transformada de inte$ral de Fourier apro0imada para

3 9 f 9 :33 ;z usando

>> k=0;

>> for f=0:1:800

k=k+1;

X(k)=trapz(t,x.*exp(-j*2*pi*f*t));

end

>> f=0:800;

>> plot(f, abs(X))

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4omo era de esperar los picos en el espectro se encuentran entre 633 ' 733

;z. Tericamente% esperamos ver las funciones de impulso a estas dos

frecuencias en cero ' en otras frecuencias. Esto no es lo que o!servamos.Esto es porque el cdi$o de MATLAB slo apro0ima la transformada. ;a'

tres elementos que

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Ten$a en cuenta que la transformacin es m-s precisa que la ori$inal. #e

espera esto porque estamos inclu'endo m-s ciclos de la forma de onda en

la apro0imacin )aumentando los lmites de inte$racin+.

La Transformada !iscreta de Fourier " !FT#

?na alternativa al uso de la apro0imacin a la transformada de Fourier es

utilizar la Transformada @iscreta de Fourier )@FT+. La @FT toma una seal

discreta en el dominio del tiempo ' que transforma la seal en su discreta

representacin en el dominio de frecuencia. Esta transformada es

$eneralmente la utilizada en sistemas @#". La teora detr-s de la @FT se

cu!re en E4E 76. En ese supuesto% usted encontrar- que la @FT de una

seal puede ser utilizada para apro0imar el tiempo continuo de unatransformada de Fourier.