HERRAMIENTAS INFORMTICAS PARA MATEMTICAS (Trabajos propuestos por el equipo docente para el curso 2013-14)

Trabajos prcticos PRESENTACIN A continuacin se enuncian los dos trabajos prcticos de la asignatura. Le recordamos que los dos trabajos son obligatorios y con ellos podr conseguir hasta el 50% de la calificacin final. Tambin le recordamos que los trabajos no finalizan con el planteamiento y la resolucin del problema en el correspondiente entorno Scilab y/o Maxima sino que necesita documentarlos para que el equipo docente y los tutores los puedan evaluar. Aspectos a tener en cuenta: 1) Los trabajos constituyen una actividad individual dentro de la asignatura, no se

admitirn trabajos en grupo y por tanto se penalizar cualquier uso compartido de las resoluciones propuestas y de los cdigos programados.

2) Los trabajos se entregarn a travs del curso virtual en los siguientes plazos improrrogables: primer trabajo antes del 15 de diciembre de 2013, segundo trabajo antes del 25 de enero de 2014.

3) La entrega se har en un acto nico para cada trabajo, con independencia del orden, pero no se admitirn cambios sobre la entrega original. Cada entrega incluir un documento en formato pdf y los correspondientes cdigos ejecutables, en Scilab y Maxima, comprimidos en formato zip o rar. Se recomienda emplear el nombre Tx_Apellidosynombredelestudiante, donde x representa el nmero (1 2) del trabajo, y donde los apellidos y nombre del estudiante deben aparecer en ese orden sin acentos y sin caracteres especiales. Por ejemplo, el estudiante ngel Muoz Gmez debera entregar el archivo T1_munozgomezangel.zip o T1_munozgomezangel.rar para el primer trabajo.

4) El documento pdf de cada trabajo debe tener informacin suficiente para que el tutor y el equipo docente puedan evaluar todos y cada unos de los apartados del trabajo.

5) Todos los archivos de Scilab y de Maxima que se entreguen deben estar debidamente identificados en el documento pdf y tienen que poder ser ejecutados por el tutor o el equipo docente en el correspondiente entorno. Para facilitar esta tarea se recomienda utilizar nombres cortos en los archivos y representativos del apartado concreto del trabajo que resuelven.

6) El estudiante aportar soluciones a los trabajos en el entorno, Scilab o Maxima, que se le solicite, y cuando no lo haga justificar el por qu no ha sido posible. Se valorar positivamente, cuando sea posible, la entrega de soluciones en ambos entornos.

Trabajos propuestos por el equipo docente de Herramientas Informticas para Matemticas, curso 2013-14

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Trabajo 1 El demgrafo Thomas Malthus realiz estudios sobre la evolucin de las poblacin humana. En su modelo sobre la evolucin de la poblacin se produca un fenmeno, conocido como la catstrofe malthusiana (CM). El modelo que propone Malthus es el siguiente:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )o

dP t dA t A trP t kA a tdt dt P t

Donde P(t) es la poblacin humana en el ao t, r es la tasa de crecimiento de la poblacin, A(t) es la cantidad de alimentos disponibles para la poblacin, k es la tasa de crecimiento de los alimentos, A0 es la cantidad de alimentos disponibles para la poblacin inicial P0 (poblacin en t=0), y a(t) es la cantidad de alimentos disponibles por persona. De forma que cuando el valor de a(t) es inferior a un cierto valor (amin), el alimento mnimo que necesita una persona para sobrevivir, se producir la CM. 1.1) Determinar, mediante integracin directa en Maxima de las ecuaciones diferenciales del modelo, las expresiones para P(t) y A(t) en funcin de las condiciones iniciales y de las tasas de crecimiento. Observacin: Si lo desean pueden contrastar sus resultados empleando las funciones especficas de resolucin de ecuaciones diferenciales. 1.2) Calcular con Maxima el instante de tiempo de mayor bonanza (tmb), que corresponde al valor mximo de a(t). 1.3) Representar grficamente en Maxima P(t), A(t) y a(t) para los siguientes parmetros y condiciones iniciales:

90

120

7 10 [personas]0.04 [1/ao]1 10 [Kg de alimentos]

0.2 [1/ao]

PrAk

Y utilice la grfica de a(t) para justificar si, suponiendo que cada persona necesita un mnimo de 100 Kg de alimentos, se producira CM y cundo. 1.4) Recrear grficamente otras situaciones, en primer lugar con distintos valores de k (0, 0.2, 0.4, 0.6), incluyendo el valor del apartado anterior. Y en segundo lugar con distintos valores de r (0.03, 0.04, 0.05, 0.06). Se producen CM y cundo? Hacer un programa en Scilab que permita realizar dichos clculos de manera numrica. Cmo afectan los parmetros en el tiempo (tcm) en el que se produce la CM? 1.5) Manteniendo las condiciones del apartado 1.3, qu valor debera tener la tasa r para que la CM se produjera dentro de 100 aos? Emplear Scilab para calcularlo.

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Trabajo 2 Un taller de cerrajera tiene el encargo de montar una estructura metlica para un invernadero. En el montaje est obligado a emplear tubos de cuatro longitudes (t1, t2, t3 y t4 en metros), no necesariamente diferentes, con tal de conseguir la forma que muestra la figura. Observe que el techo de la estructura debe formar un ngulo en grados con la horizontal. Pero adems, para ajustar bien su presupuesto, debera emplear una longitud total de tubos igual a L metros.

2.1) Documentar y programar una funcin tanto en Maxima como en Scilab que ayude al taller a decidir el tamao de los cuatro tubos. En definitiva, se trata de determinar cuaternas (t1, t2, t3, t4) de longitudes de tubos compatibles con las especificaciones de diseo (estructural y longitud total de tubos). Para ello se propone que la funcin tenga por nombre estructura_tubular, que reciba como argumentos de entrada: t1, t2, L y . Que genere a su salida las otras dos longitudes de tubo (t3 y t4) y el volumen (V) de aire que cabra en el invernadero. Y que, cuando la solucin no sea posible devuelva un valor nulo para t3 y para el volumen. A continuacin se muestra una tabla compuesta con seis escenarios recreados con esta funcin que les vendrn bien para depurarla. Los dos primeros escenarios muestran dos posibles soluciones para unas mismas especificaciones de diseo. El primer escenario sera el ms favorable de los dos si se desea un invernadero con mayor volumen. Los tres siguientes escenarios son posibles soluciones con otras especificaciones de diseo. Y el sexto escenario recrea una situacin imposible.

t1 t2 L t3 t4 V 5 20 180 15 7.72 10.35 978.58 5 5 180 15 25.93 2.59 691.66

10 10 150 15 9.86 5.18 1051.93 10 10 150 20 9.74 5.32 1062.99 10 10 180 20 15.74 5.32 1717.58 10 25 180 20 0.00 13.30 0.00

2.2) Definitivamente se ha decidido emplear 200 m de tubo y que el techo del invernadero forme un ngulo de 15 con la horizontal, qu cuaterna (t1, t2, t3, t4) de longitudes de tubos debera utilizar el taller para que el volumen del invernadero sea mximo? Se pide resolver este problema mediante optimizacin en Scilab. En su planteamiento se le sugiere reutilizar parte de la funcin programada en el apartado anterior y hacerlo lo suficientemente general como para que el cdigo presentado se pueda probar en otras condiciones (L y ) de diseo. Por ejemplo se sabe que la cuaterna ptima con 150 m de tubo y techo a 20 es (11.71, 8.67, 10.00, 4.62). 2.3) Comprobar de forma grfica en Maxima que la solucin encontrada en el apartado 2.2 corresponde a un mximo absoluto y no a un mximo local. Se le sugiere utilizar una representacin tridimensional del volumen (V) frente a las longitudes (t1 y t2) en el rango de 1 a 30 m.

t1

t3

t2

t4