Trabajode grado jorge

DEPARTAMENTO DE FISICA Y GEOLOGIA

FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS

UNIVERSIDAD DE PAMPLONA

“ RELACION DEL EFECTO CASIMIR Y EL EFECTO SCHARNHORST CONEL FENOMENO SUPERLUMINAL”

TRABAJO DE GRADO

Presentado por:JORGE ALEXANDER CONTRERAS ROA

Dirigida por:Ph.D. JAIRO ALONSO MENDOZA SUAREZ

Pamplona, Diciembre del 2011.

iii

Tıtulo

“ Relacion del Efecto Casimir y el Efecto Scharnhorst con el Fenomeno Superluminal”

Autor

Jorge Alexander Contreras Roa∗

Director

Dr: Jairo Alonso Mendoza Suarez

Universidad de Pamplona

Facultad de Ciencias BasicasDepartamento de Fısica y GeologıaColombia 2011

∗Electronic address: [email protected]

AGRADECIMIENTOS

Antes que cualquier cosa, primero quiero dar a conocer mis mas sinceros agradecimientos a todas laspersonas y entidades, sin las que nunca hubiese sido posible realizar y concluir mis estudios de primer ciclo,en breve, alcanzar el tıtulo de fısico. En especial deseo expresar mi gratitud al Dr: Jairo Alonso MendozaSuarez quien fue mi director de tesis, aceptando de una manera desinteresada guiarme y acompanarmedurante todo el proceso de mi investigacion, tambien fue quien me apoyo en la decision de tomar el presentereto como trabajo de grado. Profesor muchas gracias por sus sabios consejos, por dedicarme su valioso tiempoy colaboracion.

Agradezco a mi querida Universidad de Pamplona, no solo por brindarme la oportunidad de llevar acabo mis estudios de pregrado, sino tambien por apoyar y creer en programas tan fundamentales como loson las ciencias basicas. Expreso mi gratitud a todos los docentes que ademas de aportarme sus experienciasacademicas me aportaron su riqueza personal, la cual hoy en dıa no se toma en cuenta, pero sı que es muyimportante. En especial quiero agradecerle a todos los docentes del Departamento de Fısica y Geologıa, aquienes les debo mis conocimientos. Para iniciar en el mundo una aventura como esta, se debe traer consigoun proceso, una motivacion, por lo cual considero justo y necesario agradecer el legado que me dejo misegunda casa, el Colegio Universitario Jose Rafael Farıa Bermudez, el cual junto con su valiosa nomina deprofesores me inculco gran parte de mi formacion como persona.

Tambien quiero agradecer a mi familia que siempre se preocupo por mi bienestar, quienes me apoyaron yconfiaron ciegamente en mı, en especial a mi padre quien es y sera para mi un ejemplo de trabajo y sacrificio;a mi madre por su tan importante afecto y amor en cada momento. Agradezco a todos mis companeros conlos cuales vivı esta aventura, a mis amigos que inicialmente me apoyaron y estuvieron siempre animandome.Agradezco a todas las personas que de una u otra forma me ofrecieron su ayuda y colaboracion. Y porsupuesto, agradezco a Dios por siempre iluminarme ante las dificultades y por regalarme un nuevo y tanimportante exito. Por ultimo, quiero que sepan que este triunfo no es mıo, es de todos ustedes gracias a susbondadosos actos, esto jamas se olvida, en mi memoria prevaleceran, tal vez no sera suficiente pero es mideber decirles humildemente, mil y mil gracias.

Diciembre del 2011, J. Alexander Contreras R.

“Existen personas que con sus actos bondadosos,por mas que lleguen a faltar, causan

que jamas sean olvidadas”.

A la memoria de mi tıa:Alba Contreras

RESUMEN

La hipotesis de hallar velocidades superluminales (velocidades mayores que “c”), esun tema actual relacionado directamente con los fundamentos de la “Teorıa Especialde la Relatividad”, con inferencias en Astrofısica, Optica Cuantica y aplicaciones deNanotecnologıa. En consecuencia, tal hipotesis permite el planteamiento de una fısicafundamental mas alla de los lımites conocidos; lo cual implica caracterısticas de inesta-bilidad en los conceptos estandar Espacio-Tiempo de Einstein (aclarando que fue elquien incluso predijo la opcion de tal posibilidad).

El estudio de la propagacion taquionica (propagacion superluminal) en el vacıocuantico anisotropo, es de gran interes por varias razones; entre ellas esta que la veloci-dad de la luz “c” considerada como una velocidad maxima, pasa a ser un caso particular,eliminandose toda clase de absolutismo consecuente a la filosofıa de la Teorıa Especialde la Relatividad. Este hecho no significa de ninguna manera desprenderse de la teorıa,tan solo es una generalizacion o extension de la misma, puesto que el uso de la veloci-dad de la luz resulta ser una convencion. Otra razon de rotunda importancia, es quede acuerdo a la informacion concebida por este fenomeno, se puede facilitar sin dudaalguna el estudio del origen del universo, “The Big Bang”.

Aunque si bien parece ser una utopıa demostrar experimentalmente la existenciade una velocidad mayor a la luz, actualmente existen grupos interesados en desarrollartales experimentos[1][2][3][4][5][6][7]. En la presente memoria se estudia los fundamen-tos teoricos del Efecto Casimir y el Efecto Scharnhorst, los cuales estan directamenterelacionados con el fenomeno superluminal. Fue necesario considerar temas como: fluc-tuaciones de la energıa del punto cero (ZPE), polarizacion del vacıo de Minkowski,proteccion de la Causalidad, velocidad de fase superior a la velocidad de la luz, tam-bien se considera el uso de una Metrica Efectiva al interior del vacıo de Casimir y porultimo se propuso “ir mas alla de los lımites, puesto que solo aquellos que se arriesgana ir demasiado lejos, averiguan cuan lejos pueden ir”. Y de este modo a traves de unprocedimiento teorico se corroboro la hipotesis planteada anteriormente.

INDICE GENERAL

1 INTRODUCCION 2

2 EFECTO CASIMIR 8

2.1 Cuantizacion del Campo Electromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Estado Vacıo, Energıa del Punto Cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 Calculo de Casimir, Fuerza Entre Dos Placas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4 Evidencia Experimental del Efecto Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 TEORIA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD 40

3.1 Derivacion General de las Transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2 Transformaciones de Lorentz con Velocidad Invariante . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2.1 Analogıa con un Fluido Dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.2 Interpretacion de las Coordenadas Espacio y Tiempo . . . . . . . . . . . . 54

3.2.3 ¿Que es C? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3 Causalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3.1 Taquiones y Paradojas Causales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

INDICE GENERAL x

4 EFECTO SCHARNHORST 65

4.1 Preservando la Causalidad, Tensor Metrico Efectivo . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2 Metrica Efectiva de Scharnhorst, Velocidades Superiores a la Luz . . . . . . . . . . 66

5 CONCLUSIONES 76

APENDICES 78

A POZO DE POTENCIAL 79

B NORMALIZACION DE FUNCIONES 82

C FORMULA DE EULER-MACLAURIN 83

D TRANSFORMACION DE ROTACIONES 86

E INVARIANZA DE LORENTZ 90

F REGLA DE ADICION DE VELOCIDADES DE EINSTEIN 92

REFERENCIAS 96

1

INTRODUCCION

Del aforismo de Eddington: “la verdad del universo no estoy muy seguro, pero atraves de Einstein puedo escuchar pensar a Dios”; se insinua que la teorıa clasica aso-ciada a la fenomenologıa del universo no es del todo la correcta; en consecuencia debeexistir una teorıa mucho mas razonable y general de la misma, que reconsidere ademasque es ficticio y que no lo es. Para garantizar que la ficcion nunca va mas alla de lo realsurge la “Teorıa de la Relatividad”, la cual tiene como objetivo eliminar toda clase deabsolutismo proveniente de observadores inerciales y describir con excelente criterio elestudio del Espacio-Tiempo.

Clasicamente se ha considerado que la luz es la velocidad maxima que existe,tomandole incluso como infinita para asegurar que interacciones fundamentales comola electromagnetica, sean instantaneas. No obstante, en el transcurso de la historia sehan logrado valiosos descubrimientos como lo fue el hallazgo, “a traves de un promediode medidas”, del valor finito de la velocidad de la luz c ' 2,99792458 × 108m/s porparte de Fizeau en 1849[8]. Anos posteriores este valor serıa corroborado por Michelsonen sus experimentos opticos[8].

En particular, para el caso de la Teorıa Especial de la Relatividad, en 1905 Einsteinpostulo que la velocidad de la luz es una constante “c”(hecho que fue comprobadoexperimentalmente por Michelson y Morley en 1887)[9]; y a su vez, segun el, resultaser la velocidad maxima existente en el universo estable[8][10][11]. En efecto, se habıandisenado un grupo de ecuaciones conocidas como las Transformaciones de Lorentz, de-pendientes de la velocidad de la luz, que relacionan el espacio-tiempo entre observadoresinerciales (todo bajo el concepto de simultaneidad de Einstein)[12]. Debe aclararse quela asignacion de la velocidad de la luz en las transformaciones, en principio, se debea la Teorıa del Electron publicada por Lorentz en 1904[13]; de allı se evidencia ex-

INTRODUCCION 3

clusivamente un tratamiento de la Electrodinamica. Sin embargo, con una vision masprofunda de los acontecimientos y teniendo en cuenta la invariabilidad de la velocidad,se concluye que siempre puede escogerse el valor de c, puesto que tal seleccion en esenciaes equivalente. El ajuste de tal valor caracteriza una prescripcion a la sincronizacion derelojes (el uso de senales acusticas es un claro ejemplo de esta eleccion); lo que significaque el simple hecho de usar la velocidad de la luz, la cual limita a las transformacionesespacio-tiempo, es puramente una convencion[1].

El uso de la velocidad de la luz como soporte de la Teorıa Especial de la Rela-tividad, caracteriza un espacio de cuadri-vectores (xµ ∈ R4). Allı se evidencia que lapropagacion de senales luminosas se mantiene invariante en un vacıo de Minkowskihomogeneo e isotropico; donde ademas la estructura causal del espacio-tiempo es des-crita por una metrica general ηµν [14], con diagramas de Minkowski en los cuales lavelocidad de la luz actua como un lımite universal. Adicionalmente, la Invarianza deLorentz funciona perfectamente al comparar el intervalo espacio-tiempo entre obser-vadores inerciales[12][14][15][16].

Un descubrimiento inherente a la velocidad de la luz y de extremada importanciaen el universo cuantico acontecio en el ano 1948. Este fenomeno se conoce como elEfecto Casimir. El simple hecho de concederse inestabilizar el espacio-tiempo (generarfluctuaciones en la energıa del punto cero del vacıo de Minkowski, que esten habilitadaspor el principio de incertidumbre de Heissemberg), puede conducir a hallar una nuevaclase de fenomenos fısicos. El Efecto Casimir ha estado siempre rodeado de un halo demisterio porque designa una fuerza del vacıo, de la nada; y sin embargo, es medibleexperimentalmente[3][6][17][18].

La relacion directa entre la velocidad de la luz y el Efecto Casimir yace bajo unnuevo fenomeno, el cual se dio en el ano 1990 y es conocido como el Efecto Scharnhorst.Este ultimo define una polarizacion del vacıo de Minkowski, “vacıo de Casimir”, y sedemuestra por altos ordenes de correccion de la Electrodinamica Cuantica (QED). Encontraste, el Efecto Scharnhorst, el cual predice que al interior del vacıo de Casimir,“taquiones”(fotones livianos) pueden viajar a una velocidad superior a la de la luz,carece de argumento cuando es utopico demostrar experimentalmente tal posibilidad.Sin embargo, a traves de un procedimiento teorico puede corroborarse la anteriorhipotesis. Esto se debe a la fenomenologıa al interior de las placas de Casimir queobliga a utilizar una metrica diferente a la de Minkowski; es decir, para el vacıo deCasimir se permite ajustar una “Metrica Efectiva” definida de la forma:[1][2]

gµν := ηµν −ξ

1 + ξnµnν

INTRODUCCION 4

Por otra parte, el Efecto Scharnhorst y su version gravitacional, parecen ser incon-sistentes con la Teorıa de la Relatividad, porque para el campo electromagnetico en elvacıo traen consigo una violacion de la invarianza de Lorentz, la cual es tomada comoun ejemplo paradigmatico de un sistema invariante de Lorentz. Sin embargo, en cuantoa la relacion del Efecto Scharnhorst con el Efecto Casimir y la Teorıa Especial de laRelatividad (interior de las placas de Casimir), la cuestion resulta ser mas adsequible,puesto que la luz se comporta “unicamente” de una manera no invariante de Lorentz,de acuerdo a que la energıa del punto cero del campo electromagnetico no es invariantede Lorentz. Lo que significa que el rompimiento de la invarianza de Lorentz, en conse-cuencia, pasa a ser una violacion de una “Invarianza Local de Lorentz”, tal que de estaforma, globalmente, la Invarianza de Lorentz no sea afectada a un nivel fundamental [1].

No obstante, tambien se presentan otras caracterısticas del analisis de Scharnhorst.De la experiencia se conoce, que cualquier medio refractivo implica un rompimientode la invarianza de Lorentz, esto se debe simplemente a que en el interior de estosmedios la velocidad de la luz difiere de su valor c. Mas alla de esto, para todos los casoscomunes, el valor de la velocidad de la luz resulta ser menor a c; mientras que en elvacıo de Casimir, este valor puede llegar a ser mayor que c. “El objetivo principal delpresente trabajo es demostrar teoricamente, desde un punto de vista cinematico, quepropagaciones mas rapidas que c son posibles y que la existencia de estas no conllevana violaciones contundentes de los fundamentos de la Teorıa Especial de la Relatividad”.

“La verdad es algo que se puede intentar dudar, y entonces,quizas, despues de mucho esfuerzo, descubrir

que parte de la duda es injustificada”.Niel’s Bohr (Fısico)

2

EFECTO CASIMIR

El Efecto Casimir es la manifestacion mas palpable que se conoce de las fluctuacionesde energıa que se producen en el estado vacıo de un sistema cuantico por accion decondiciones externas[3]. A grandes rasgos este efecto describe una fuerza entre dosplacas conductoras paralelas separadas unos cuantos nanometros. Fısicamente segunFeynman el vacıo cuantico genera fluctuaciones de energıa (fluctuaciones que vienenhabilitadas por el principio de incertidumbre de Heissemberg y la pequena variacionde la energıa del punto cero predicha por Bohr, la cual es descrita por el diagramade Feynman γ −→ {e−, e+} −→ γ), que en determinadas circunstancias actuan sobreobjetos materiales ordinarios. Ası ocurre en la fenomenologıa del Efecto Casimir, dosplacas metalicas paralelas a las que las fluctuaciones del vacıo, por la diferencia depresion que ejerce sobre su adverso y reverso, tienden a acercar entre sı.

En este capıtulo se presenta en detalle en que consiste tal efecto, bajo un soporteteorico que define la version basica originalmente propuesta por Casimir, en la cual serequiere como anticipo, hallar la respectiva cuantizacion del campo electromagnetico yla energıa del punto cero, tal que el proposito sea obtener la “Variacion de la Energıadel Punto Cero” y la “Fuerza de Casimir”. Finalmente se cierra el capıtulo con unaseccion dedicada a la evidencia experimental del efecto, donde se cita en especıfico elexperimento de Lamoreaux y otros importantes experimentos que comprueban rotun-damente la existencia del fenomeno como tal. Vease a continuacion el Efecto Casimir:“La Fuerza de la Nada”...

EFECTO CASIMIR 9

2.1 Cuantizacion del Campo Electromagnetico

En la presente seccion se discutira la cuantizacion del campo electromagnetico, parael cual el foton es la partıcula fundamental de la propagacion de el[6]. En primer lugar,considerese las ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnetico:[15][19][20][21]

~∇ · ~E = 4πρ (2.1)

~∇× ~E = −1

c

∂ ~B

∂t(2.2)

~∇ · ~B = 0 (2.3)

~∇× ~B =4π

c~J +

1

c

∂ ~E

∂t(2.4)

Antes de iniciar con el tratamiento, a las ecuaciones de Maxwell (2.1) y (2.4) se leseliminara la dependencia explıcita de los campos electromagneticos, tal que las mismasresulten unicamente en terminos de potenciales electromagneticos. En otras palabras,considerese la ley de Gauss para el campo electrico (2.1), esta depende de un potencialelectrostatico φ el cual simplifica notablemente el calculo de campos electricos. Por otraparte, al considerar campos magneticos descritos por la ley de Ampere-Maxwell (2.4),se observa claramente que su rotacional no es nulo, pero, la divergencia del campomagnetico si lo es (vease la ley de Gauss para el campo magnetico (2.3)). Este hechosignifica que si la divergencia de cualquier rotacional es cero, entonces no habrıa ningunproblema (siendo razonable ademas) en escribir la induccion magnetica en terminos de

un potencial vectorial magnetico ~A, es decir:[19]

~B ≡ ~∇× ~A (2.5)

lo que quiere decir que ~∇·(~∇× ~A) = 0. Al igual que la definicion (2.5) puede obtenerse unajuste similar para el campo electrico. Tomando la ley de induccion de Faraday-Henry(2.2) y sustituirle la expresion (2.5), se obtiene:

EFECTO CASIMIR 10

~∇× ~E = −1c∂∂t

(~∇× ~A)

~∇× ~E = ~∇× (−1c∂∂t~A)

~∇× ( ~E + 1c∂∂t~A) = 0 (2.6)

Teorema 2.1:

dSea ~F una funcion vectorial tal que su rotacional sea cero ~∇× ~F = 0, entonces la

funcion ~F se puede escribir como el gradiente de una funcion escalar ψ(~r):[19][20][22]

~F = ~∇ψ(~r)

.c

Respectivamente observese el resultado (2.6), al tomar en cuenta el Teorema 2.1, la

funcion vectorial ~E + ∂ ~A/c∂t resulta ser equivalente a:

~E +1

c

∂ ~A

∂t= −~∇φ

~E = −~∇φ− 1

c

∂ ~A

∂t(2.7)

lo que significa que se ha conseguido una relacion para el campo electrico en terminosde potenciales electromagneticos.1

Recuerdese nuevamente la ley de Gauss (2.1), al sustituir el resultado (2.7) en ella,se logra resolver la primera parte del objetivo:

1De la expresion (2.7) observese que si el potencial vectorial magnetico ~A no es variable en el tiempo, el termino ∂ ~A/∂t esigual a cero, obteniendose de esta manera la clasica dependencia del campo electrico estacionario, donde el signo negativo (−)

indica que el campo ~E es atractivo.

EFECTO CASIMIR 11

~∇ · (−~∇φ− 1c∂∂t~A) = 4πρ

−∇2φ− 1c∂∂t~∇ · ~A = 4πρ (2.8)

Despues de haber obtenido la ley de Gauss en terminos de potenciales electro-magneticos considerese la ley de Ampere-Maxwell (2.4), al sustituir las definiciones(2.5) y (2.7) se obtiene:

~∇× (~∇× ~A) =4π

c~J +

1

c

∂

∂t(−~∇φ− 1

c

∂ ~A

∂t)

en ultima instancia, aplicando la identidad:[22]

~∇× ~∇× ~A = ~∇(~∇ · ~A)−∇2 ~A (2.9)

se logra la segunda parte del objetivo, obtener la ley de Ampere-Maxwell en terminosde potenciales electromagneticos:

~∇(~∇ · ~A)−∇2 ~A =4π

c~J +

1

c

∂

∂t(−~∇φ− 1

c

∂ ~A

∂t) (2.10)

No esta de mas coleccionar los resultados (2.8) y (2.10):

−∇2φ− 1

c∂∂t~∇ · ~A = 4πρ

~∇(~∇ · ~A)−∇2 ~A = 4πc~J + 1

c∂∂t

(−~∇φ− 1c∂ ~A∂t

)

(2.11)

del anterior par de ecuaciones dependientes de potenciales electromagneticos, se puedecomentar que cuando no existen cargas ni corrientes presentes, los terminos ρ y ~Json cero[22]. En cuanto al campo electromagnetico estacionario, considerese la ley deAmpere (esta ecuacion puede obtenerse facilmente haciendo cero el termino que re-

presenta la corriente inducida ∂ ~E/c∂t en la expresion (2.4)), en ella se introducira ladefinicion (2.5) junto con la identidad (2.9), por lo tanto:

EFECTO CASIMIR 12

~∇× ~B = ~∇× ~∇× ~A = ~∇(~∇ · ~A)−∇2 ~A =4π

c~J (2.12)

Ahora, analıcese lo siguiente: el concepto de potencial electrico esta construıdo enambiguedad; en otras palabras, se puede agregar a φ cualquier funcion cuyo gradientesea cero (es decir, cualquier constante) sin alterar de alguna manera la cantidad fısica~E.[21] Igualmente se puede agregar al potencial vectorial magnetico cualquier funcioncuya circulacion o rotacional desaparezca (por ejemplo, el gradiente de un escalar) sin

ningun efecto sobre el campo magnetico ~B, tal como lo afirma el Teorema 2.1. Enconsecuencia, se justifica el hecho de que tambien se puede explorar esta libertad paraeliminar la divergencia de ~A:[19][21][22]

~∇ · ~A ≡ 0 (2.13)

expresion conocida como el Gauge de Coulomb. El sentido fısico de la ultima expresionpodrıa argumentarse al observar la ley de Ampere (2.12), donde el vector densidad de

corriente ~J define circulacion, lo que significa que en constraste al termino que define ladivergencia ~∇ · ~A para un valor diferente de cero es incompatible, luego este ultimo noexiste o es nulo para este caso. Bajo esto, la primera ecuacion del par (2.11) se reducea:

∇2φ = −4πρ (2.14)

expresion que resulta con estructura identica a la ecuacion Poisson. Una posible solucionpara ella puede ser expresada de la forma:[23]

φ(~r, t) ≡∫V ′

ρ(~r′, t)

|~r − ~r′|d3r′ (2.15)

definicion que refiere al clasico potencial escalar proveniente de una distribucion decarga ρ en electrostatica.

Al respecto, se requiere examinar el Hamiltoniano para el campo electromagneticoen el vacıo clasico, es decir, el campo de energıa en ausencia de cargas ρ y corrientes ~J .Para lograr esto, considerese el producto punto entre el campo electrico ~E y la ley deAmpere-Maxwell (2.4):

~E · (~∇× ~B) = ~E · (4π

c~J) + ~E · (1

c

∂ ~E

∂t) (2.16)

EFECTO CASIMIR 13

al utilizar la identidad:[22]

~∇ · ( ~E × ~B) = ~B · (~∇× ~E)− ~E · (~∇× ~B) (2.17)

en la ecuacion (2.16), se obtiene

~B · (~∇× ~E)− ~∇ · ( ~E × ~B) =4π

c~J · ~E +

1

c

∂E2

∂t(2.18)

Sustituyendo la ley de Faraday-Henry (2.2) en el resultado (2.18) y resolviendo, seadquiere:

~B · (−1

c

∂ ~B

∂t)− ~∇ · ( ~E × ~B) =

4π

c~J · ~E +

1

c

∂E2

∂t

−1

c

∂B2

∂t− ~∇ · ( ~E × ~B) =

4π

c~J · ~E +

1

c

∂E2

∂t1

4π

∂

∂t(E2 +B2) +

c

4π~∇ · ( ~E × ~B) = − ~J · ~E

2∂u

∂t+ ~∇ · ~Sp = − ~J · ~E (2.19)

donde:[15][19][21][23]

u ≡ 1

8π(E2 +B2) (2.20)

y

~Sp ≡c

4π( ~E × ~B) (2.21)

la definicion (2.20) refiere a la densidad de energıa electromagnetica (energıa por unidadde volumen) dada en el sistema de unidades c.g.s.; y la definicion (2.21) refiere al vec-tor de Poynting, cuyo modulo representa la intensidad instantanea de energıa electro-magnetica. Por el momento unicamente interesa la definicion (2.20), ası que al integrarla densidad de energıa u en todo el volumen del universo, se obtiene el Hamiltonianopara el campo electromagnetico:

HEM =1

8π

∫V

(E2 +B2)d3r (2.22)

EFECTO CASIMIR 14

Sustituyendo las expresiones (2.5) y (2.7) en (2.22) se obtiene:

HEM =1

8π

∫V

((−~∇φ− 1

c

∂ ~A

∂t)2 + (~∇× ~A)2

)d3r

de aquı estimando la ecuacion (2.15), el hecho de no contar con cargas libres (ρ = 0)implica evidentemente que el potencial φ es nulo, luego el Hamiltoniano para el campoelectromagnetico en el vacıo es:[6]

HEM =1

8π

∫V

((−1

c

∂ ~A

∂t)2 + (~∇× ~A)2

)d3r (2.23)

Resulta interesante que el Hamiltoniano electromagnetico dependa unicamente delpotencial vectorial magnetico. Es de notar que hasta la presente se ha realizado untratamiento desde el punto de vista clasico. La meta a continuacion es realizar la tran-sicion del campo electromagnetico clasico a una teorıa completamente cuantica.

Sin cargas ρ ni corrientes ~J , la segunda ecuacion del par (2.11), para el Gauge deCoulomb (2.13), se reduce a:

1

c2∂2 ~A

∂t2−∇2 ~A = 0 (2.24)

resultado que define a la ecuacion de onda aplicada a campos electromagneticos, talcomo lo evidencia la velocidad de propagacion c. De la experiencia se conoce que unasolucion especıfica para la ecuacion de onda (2.24), esta dada por la onda plana:[23]

~A ≡ ~A0ei(~k·~r−ωt) (2.25)

donde ω = kc.[15] En agregado, la condicion de Coulomb (2.13) impone el constraste:

~∇ · ~A = ~∇ · ( ~A0ei(~k·~r−ωt)) = i~k · ~A0e

i(~k·~r−ωt) = 0 (2.26)

lo que significa que ~k · ~A0 = 0, indicando que el frente de onda es transversal a ladireccion de propagacion ~k. Por esta razon el Gauge de Coulomb es tambien conocidocomo el ajuste transversal[23].

La solucion mas general para la ecuacion de onda (2.24) puede ser obtenida por lasuperposicion de todas las diferentes soluciones en ondas planas. Luego, para garantizartal generalidad, la superposicion toma la forma de una integral sobre todos los posiblesvalores de ~k. Sin embargo, las propiedades cuanticas del campo electromagnetico hacen

EFECTO CASIMIR 15

conceptualmente que la situacion sea aun mas manejable; es decir, el vector numerode onda ~k toma valores discretos en vez de continuos, tal que la superposicion tome laforma de una sumatoria en vez de una integral. Una manera conveniente para cumplirlo prometido es trabajar en una caja cubica de arista L con un lado sujeto a unacondicion de periodicidad (de frontera). Es claro que aleatoriamente sobre el eje x estaperiodicidad puede escribirse de la forma:[23]

eikxx = eikx(x+L) (2.27)

Al extender la condicion (2.27) sobre los ejes y y z, se satisface para el caso esta-cionario que:2

kxL = 2πnxkyL = 2πnykzL = 2πnz

(2.28)

donde los numeros cuanticos

nx, ny, nz ≡ 0,±1,±2,±3, ... (2.29)

luego la separacion de los modos adyacentes con respecto a x se da por ∆kx = 2π/L.

Con el vector de onda ~k tomando valores discretos, implica un ajuste de solucionesdiscretas; en efecto, de acuerdo a todo lo precedente, la solucion (2.25) se generalizacomo una doble sumatoria aplicada sobre dos terminos, es decir:[23]

~A(~r, t) =∑λ

∑k

( ~A0ei(~k·~r−ωt) + ~A0

∗e−i(

~k·~r−ωt))

~A ≡∑λ

∑k

(Cλ,k~ε(λ, k)

ei(~k·~r−ωt)√V

+ C∗λ,k~ε(λ, k)e−i(

~k·~r−ωt)√V

)(2.30)

aquı, k es el numero de onda en la direccion de propagacion, cuya magnitud determinala frecuencia de la onda; el ındice λ refiere a la polarizacion de ella, polarizacion quevarıa desde uno a dos en la sumatoria, puesto que unicamente existen dos clases depolarizacion, la longitudinal y la transversal; los terminos ~ε(λ, k) son vectores unitarios

2Si desea observar en mas detalle el respectivo proceso que deduzca las siguientes definiciones (ecuaciones (2.28)), dirıjase alApendice A el cual demuestra la cuantizacion energetica de una partıcula dentro del pozo de potencial.

EFECTO CASIMIR 16

los cuales indican la direccion o polarizacion para cada valor de ~k del vector potencialmagnetico; las cantidades Cλ,k y C∗λ,k refieren a coeficientes que definen la amplitud dela onda y a su vez dependen de los ındices λ y k; finalmente, V refiere al volumen dela caja, donde se puede dar el caso que L → ∞ sin alterar fısicamente los resultados,dado que el volumen del universo como tal pueda ser limitado, la idea de introducirun todo en una caja no puede parecer extrano en absoluto, tal que en consecuencia elfactor 1/

√V se convierta en un termino de normalizacion. Observese que el arreglo de

~A en la expresion (2.30) satisface el Gauge de Coulomb (2.13) (o lo que es lo mismo, alverificar en la expresion (2.26)), es decir:

~k · ~ε(λ, k) = 0 (2.31)

Por consiguiente, el vector polarizacion ~ε(λ, k) es perpendicular a la direccion de ~k.

Recuerdese el Hamiltoniano del campo electromagnetico (2.23), de allı puede hacersepasar la onda electromagnetica a traves de un polarizador, tal que como consecuencia sefiltre unicamente la onda electrica. De esta forma el termino que representa la energıadel campo electrico evidentemente sea:

HE =1

8π

∫V

1

c

∂ ~A

∂t· 1

c

∂ ~A

∂td3r

=1

8π

∫V

∑λ,k

(−iωcCλ,k~ε(λ, k)


+iω

cC∗λ,k~ε(λ, k)

e−i(~k·~r−ωt)√V

)·

∑λ′,k′

(−iωcCλ′,k′~ε(λ

′, k′)ei(

~k′·~r−ωt)√V

+iω

cC∗λ′,k′~ε(λ

′, k′)e−i(


)d3r

(2.32)

Antes de continuar con el respectivo procedimiento, se observa que se tiene unasumatoria que cubre todos los posibles valores de k y otra sumatoria que cubre dosunicos valores de λ, una independiente de la otra (vease la expresion (2.30)), siempreque el vector potencial magnetico tenga dos terminos. En consecuencia, para evaluar(2.32) es conveniente primero llevar a cabo una integral sobre todo el universo, dondedebe recordarse que esto significa que L→∞. Para realizarlo debe usarse la siguientecondicion de normalizacion: (Teorema 2.2)

Teorema 2.2:

dConsiderese un conjunto de bases discretas, completas y ortonormales en el espaciode Hilbert, el cual esta conformado por un ajuste infinito de kets |φ1〉, |φ2〉, |φ3〉, ...,

EFECTO CASIMIR 17

todos ellos abreviados por |φn〉[24]. La condicion de ortonormalidad en base bra-ket seexpresa por:

〈φn|φm〉 =

∫φ∗n(x)φm(x) dx = δn,m

donde δn,m define a delta de Kronecker:

δn,m :=

{1, si n = m0, si n 6= m

.c

En efecto, al aplicar el Teorema 2.2 se adquiere la normalizacion de interes:3∫V

(ei~k·~r√V

)(e−i

~k′·~r√V

) d3r ≡ δk,k′ (2.33)

Regresando a la expresion (2.32) y aplicando la definicion (2.33), resolviendo seobtiene:

HE =1

8π

∫V

∑λ′,k′

(iω


′, k′)e−i(


)·∑λ,k

(−iωcCλ,k~ε(λ, k)


)d3r

=1

8π

∑λ,k

∑λ′,k′

(iω


′, k′)

)·(−iωcCλ,k~ε(λ, k)

)e−i(ωt−ωt) δk,k′

=1

8π

∑λ,k

∑λ′

ω2

c2C∗λ′,kCλ,k ~ε(λ

′, k) · ~ε(λ, k)

=1

8π

∑λ,k

∑λ′

ω2

c2C∗λ′,kCλ,k δλ,λ′

=1

8π

∑λ,k

ω2

c2C∗λ,kCλ,k

donde se han evaluado todas las posibles condiciones de ortonormalidad previstas porlos delta de Kronecker. Como se observo del tratamiento anterior se han omitido tres

3Si desea sersiorarse de la veracidad de la definicion (2.33), por favor vease su respectiva demostracion en el Apendice B.

EFECTO CASIMIR 18

terminos, puesto que segun la expresion (2.32) son cuatro en total, en los cuales dosde ellos son dependientes del tiempo. Sin embargo, cuando se agregan los terminos queconforman la energıa del campo magnetico a los que conforman la energıa del campoelectrico, se halla que los terminos dependientes del tiempo para la energıa de los campos~E y ~B (cuales serıan cuatro en total) se cancelen entre sı4. En inferencia, la energıaelectromagnetica total es:[23]

HEM = 4(1

8π

∑λ,k

ω2

c2C∗λ,kCλ,k)

=1

2π

∑λ,k

ω2

c2C∗λ,kCλ,k (2.34)

justo como era de esperarse, puesto que el Hamiltoniano para un sistema cerrado puedeser independiente del tiempo. De la Mecanica Cuantica formulada por Dirac, puedeadoptarse una fısica fundamental en terminos de las siguientes definiciones:[23]

qλ,k ≡1

c√

4π(Cλ,k + C∗λ,k) ; pλ,k ≡

−iωc√

4π(Cλ,k − C∗λ,k) (2.35)

De las expresiones (2.35) considerese lo siguiente, al multiplicar la primera por ω yla segunda por i se obtiene el par:{

ωqλ,k = ωc√4π

(Cλ,k + C∗λ,k)

ipλ,k = ωc√4π

(Cλ,k − C∗λ,k)(2.36)

obteniendose finalmente que

C∗λ,k =c√

4π

2ω(ωqλ,k − ipλ,k) ; Cλ,k =

c√

4π

2ω(ωqλ,k + ipλ,k) (2.37)

En efecto, al sustituir los resultados (2.37) en el Hamiltoniano electromagnetico(2.34) se obtiene:

4Aunque el procedimiento es tedioso, no es dıficil observar tal consecuencia, simplemente debe trabajarse desde la expresion(2.23) en su totalidad, para conseguirlo debe tenerse en cuenta el hecho que k ≡ ω/c,[15] de tal forma que algebraicamente selogre cancelar los terminos dependientes del tiempo correspondientes a HE y HB .

EFECTO CASIMIR 19

Figura 2.1: Concepto de vacıo desde la perspectiva de la Mecanica Cuantica. Representacion de los modosde vibracion para cada frecuencia. En efecto, todos los osciladores cuanticos estan acoplados y generanisotropıa, homogeneidad y estabilidad en la distribucion del campo electromagnetico en el universo[6].

HEM =1

2π

∑λ,k

ω2

c2

(c√

4π

2ω(ωqλ,k − ipλ,k)

)(c√

4π

2ω(ωqλ,k + ipλ,k)

)

=∑λ,k

1

2(p2λ,k + ω2q2λ,k) (2.38)

En conclusion, del resultado (2.38) se observa que formalmente el campo electro-magnetico puede ser considerado como una coleccion de osciladores armonicos indepen-dientes5. Vease la Figura 2.1. En ese enfoque, la densidad de energıa electromagneticaes determinada como un numero de modos (osciladores) en un rango de frecuenciaparticular multiplicado por un promedio de energıa correspondiente a cada oscilador.

5Recuerdese el Hamiltoniano de una “unica” partıcula de masa m, la cual oscila con una frecuencia ω bajo la influencia deun potencial armonico unidimensional. Este explıcitamente se define comoH = p2

2m + 12mω

2q2,[24] donde p y q refieren a co-ordenadas generalizadas las cuales representan al momentum y a la posicion, respectivamente. En comparacion al HamiltonianoElectromagnetico (2.38), no existe dependencia de la masa m, esto se debe a que la masa en reposo del foton es nula.

EFECTO CASIMIR 20

Teorema 2.3:

dUn operador A es una regla matematica que al ser aplicada a un ket |ψ〉 transformaen otro ket |ψ′〉 del mismo espacio, y respectivamente si actua sobre un bra 〈ψ| letransforma en otro bra 〈ψ′|:[24]

A|ψ〉 = |ψ′〉 ; 〈φ|A = 〈φ′|

El conmutador de dos operadores A y B, denotado por [A, B], se define como:

[A, B] = AB − BA

Como ejemplo del anterior considerese lo siguiente, si el operador posicion q ≡ x yel operador momentum p ≡ −i}~∇,[24] la respectiva conmutacion entre ellos sera:

[qλ,k , pλ,k] = qλ,kpλ,k − pλ,kqλ,k

= xλ,ki}∂

∂xλ,k+ i}

∂xλ,k∂xλ,k

= i}I

donde I es el operador unitario.c

Cuanticamente, la expresion (2.38) puede ajustarse a una relacion aun mas conocida.Para lograr esto, inicialmente debe reescribirse en terminos de operadores:[24]

HEM =∑λ,k

1

2(p2λ,k + ω2q2λ,k) (2.39)

Ahora, considerese las tıpicas definiciones de los operadores de creacion y eliminacionde la Mecanica Cuantica:[23][24]

aλ,k ≡√

ω

2}(qλ,k +

i

ωpλ,k) ; a†λ,k ≡

√ω

2}(qλ,k −

i

ωpλ,k) (2.40)

De ellas notese que:

EFECTO CASIMIR 21

a†λ,kaλ,k =

(√ω

2}(qλ,k −

i

ωpλ,k)

)(√ω

2}(qλ,k +

i

ωpλ,k)

)=

ω

2}(q2λ,k +

1

ω2p2λ,k +

i

ωqλ,kpλ,k −

i

ωpλ,kqλ,k)

=ω

2}(q2λ,k +

1

ω2p2λ,k) +

i

2}[qλ,k , pλ,k]

=ω

2}(q2λ,k +

1

ω2p2λ,k) +

i

2}(i})

=ω

2}(q2λ,k +

1

ω2p2λ,k)−

1

2

donde se ha utilizado el Teorema 2.3. En terminos mas practicos:

p2λ,k + ω2q2λ,k = 2}ω(a†λ,kaλ,k +1

2) (2.41)

Finalmente al sustituir el resultado precedente en el Hamiltoniano (2.39), se adquiereel “Hamiltoniano del campo electromagnetico en terminos de operadores”:[6]

HEM =∑λ,k

}ω(a†λ,kaλ,k +1

2) (2.42)

donde el termino a†λ,kaλ,k es conocido como el operador de ocupacion:

a†λ,kaλ,k ≡ N (2.43)

A traves del uso del operador (2.42) aplicado sobre una funcion de estado |ψ〉, puedehallarse el valor esperado de la energıa correspondiente. La filosofıa del resultado siguesiendo la misma a la de la expresion (2.38), el Hamiltoniano del campo electromagneticodepende de multiples osciladores armonicos independientes. Lo que significa que elcampo electromagnetico ha sido cuantizado.

EFECTO CASIMIR 22

2.2 Estado Vacıo, Energıa del Punto Cero

El estado de mas baja energıa para el Hamiltoniano (2.42) es llamado “estado vacıo”y se denota por el ket |0〉. El operador de eliminacion a (el cual contiene todos los valoresde λ y k) aplicado sobre el estado vacıo evidentemente es:[6][23][24]

aλ,k|0〉 ≡ 0 (2.44)

lo precedente significa que para este estado no es posible eliminar fotones o cuantos deenergıa.

De acuerdo al hecho de que los operadores de creacion y eliminacion conmutansolo cuando k o λ son diferentes, se permite descomponer el estado vacıo |0〉 como elproducto de cada oscilador independiente para un dado λ y k:[6]

|0〉 ≡ |0λ1,k1〉 ⊗ |0λ2,k2〉 ⊗ |0λ3,k3〉 ⊗ ... (2.45)

donde se han agregado todos los osciladores armonicos independientes. La fısica im-plıcita tras la expresion (2.45) argumenta la existencia de infinidad de frecuencias olongitudes de onda que interfieren destructivamente, otorgando cierta estabilidad entodo el espacio y llevando de esta manera al concepto cuantico de estado vacıo; concep-to cual resulta ser muy distante a la definicion de vacıo clasico, puesto que para estaultima, carece de sentido hablar de frecuencias ıntegras al vacıo como tal.

Clasicamente se espera que el campo electromagnetico en el vacıo posea una energıacero (sin fotones). Sin embargo, en la version cuantica cuando se toma el valor esperadodel Hamiltoniano (2.42) aplicado sobre el estado vacıo |0〉, se halla que:

〈0|H|0〉 = 〈0|∑λ,k

}ω(a†λ,kaλ,k +1

2)|0〉

=∑λ,k

}ω〈0|a†λ,kaλ,k|0〉+1

2

∑λ,k

}ω〈0|0〉

= 0 +1

2

∑λ,k

}ω δ0,0

donde se ha aplicado la definicion (2.44) y el Teorema 2.2. Luego la expresion que defineal universo a contener un numero infinito de modos de radiacion (cada uno con una

EFECTO CASIMIR 23

energıa finita de }ω/2) es la “Energıa del Punto Cero”(ZPE)6:[24]

〈E〉ZPE =1

2

∑λ

∑k

}ω (2.46)

Lo mas sorprendente de la deduccion (2.46), es que la energıa del punto cero es deantemano infinita, puesto que adiciona sobre todas las posibles frecuencias ω.7

Si la energıa del punto cero EZPE representa el valor esperado del Hamiltoniano Haplicado sobre el estado vacıo |0〉, y a la vez este estado define el estado de mınimaenergıa posible, entonces, ¿Como es posible hallar fluctuaciones de energıa en dichoestado?. Las fluctuaciones del estado vacıo vienen habilitadas por el Principio de Incer-tidumbre de Heissemberg (∆q∆p ≥ }/2),[24] el cual es uno de los pilares del universocuantico, que establece la imposibilidad intrınseca de determinar simultaneamente dosmagnitudes fısicas complementarias del sistema, tal como lo son las parejas posicion-momentum y energıa-tiempo. La compatibilidad del principio de incertidumbre de Hei-ssemberg con la energıa EZPE, se observa cuando esta energıa mınima es proporcionala la mitad de la frecuencia (para N |0〉 = 0) y no nula como se supone en la filosofıa delvacıo clasico, estableciendo de esta manera el lımite universal de la indeterminacion. Enla siguiente seccion se justificara teoricamente la posibilidad de la existencia de fluctua-ciones energeticas del vacıo presentadas bajo ciertas condiciones fısicas en especıfico,repercusion que ha sido ademas medible experimentalmente.

6ZPE: sigla en ingles que simplifica la frase “zero-point energy”.7Como curiosidad cabe decir que un procedimiento mas sencillo y ortodoxo que reduce a la presente seccion (el cual es muy

utilizado en la Mecanica Cuantica), consiste en tomar directamente la accion del operador de ocupacion sobre el estado vacıocomo cero (N |0〉 ≡ 0), tal que se llegue instantaneamente de la ecuacion (2.42) al resultado (2.46).

EFECTO CASIMIR 24

2.3 Calculo de Casimir, Fuerza Entre Dos Placas

El 29 de mayo de 1948 Hendrick Casimir presento un manuscrito “Sobre la atraccionde dos placas perfectamente conductoras”a la sesion de la Real Academia Holandesa deArtes y Ciencias[3]. Al respecto, se presentara a continuacion un analisis teorico basicoque defina la version original del Efecto Casimir, donde se derive la energıa y fuerza deinteraccion desde una perspectiva de la Mecanica Cuantica.

Tomando como referencia la energıa del punto cero (2.46), Casimir propuso comparardos situaciones: la energıa del vacıo con la correspondiente a la del vacıo en presenciade unas “condiciones de contorno”, es decir, cuando el vacıo esta sometido a ciertoslımites, donde las magnitudes fısicas han de tomar valores determinados. La diferenciaentre ambas energıas tiene un valor intrınseco, independiente de donde se halla colocadoel origen de energıas.

Para comprender y justificar lo precedente, considerese dos placas metalicas per-fectamente conductoras paralelas entre sı; en inferencia, individualmente el area de lasellas es L × L. Las placas estan separadas una distancia “a” proyectada sobre el ejex, tal como puede observarse en la Figura 2.2. Las paredes de la cavidad (placas para-lelas) son conductoras e imponen las condiciones de frontera de Dirichlet sobre todoslos posibles modos electromagneticos al interior de ella8. Resolviendo la ecuacion deSchrodinger con ayuda de las respectivas condiciones de contorno, se logra cuantizarlas componentes del vector de onda de la forma: (vease el Apendice A)

kx =π

anx; ky =

π

Lny; kz =

π

Lnz (2.47)

donde nx, ny, nz ≡ 1, 2, 3, ... . Fısicamente, lo anterior traduce que las placas metali-cas, ademas de ser frontera de la caja rectangular, se han convertido en nodos de losarmonicos, definiendo de esta manera frecuencias de ondas estacionarias al interiorde la cavidad, conocidas como oscilaciones electromagneticas. En otras palabras, parael ejemplo de la cuerda vibrante, cada punto de la misma describe en el tiempo un

8En matematicas, la condicion de frontera de Dirichlet (o de primer tipo) es una clase de condicion de contorno y se aplicaen una ecuacion diferencial ordinaria o parcial, donde se le especifican los valores de la solucion que necesita la frontera deldominio. En cuanto al presente problema se ajustarıan las condiciones{

ψ(0) = 0ψ(a) = 0

el objetivo es hallar la solucion de las respectivas ecuaciones con el uso de estas condiciones de frontera.[22]

EFECTO CASIMIR 25

Figura 2.2: Ilustracion del sistema basico del Efecto Casimir. Dos placas descargadas identicas ubicadasparalelamente una con respecto a la otra y separadas una distancia a. De aquı evidentemente el sistema seconsidera como una caja rectangular, tambien se conoce como cavidad resonante.

movimiento constituido por la superposicion de una infinidad de movimientos, cadauno equivalente a un oscilador armonico de distinta frecuencia y amplitud. A su vez,en cada punto de la cuerda sera diferente la amplitud de las componentes armonicasde igual frecuencia; en los puntos donde la cuerda se ata a las clavijas del instrumentola amplitud sera nula, convirtiendose de esta manera en los principales nodos de os-cilacion. De forma similar, en cada punto del espacio vacıo el campo electromagneticoes una superposicion de oscilaciones armonicas (ahora espaciales en vez de unidimen-sionales), de frecuencia distinta y poseedoras de todas las posibles energıas para cadafrecuencia[3].

De las expresiones (2.47), se tiene:

k =√k2x + k2y + k2z (2.48)

En el vacıo, la velocidad de la luz c relaciona a la frecuencia angular ω con el numerode onda k, es decir:

EFECTO CASIMIR 26

ω = ck

= c(k2x + k2y + k2z)1/2

= c

(π2n2

x

a2+π2n2

y

L2+π2n2

z

L2

)1/2

(2.49)

lo que significa que el valor esperado de la energıa del punto cero (2.46), adquiere laforma:

〈E〉ZPE =1

2

2∑λ

∞∑k

}ck

=1

2

2∑λ

∞∑n

}c(π2n2

x

a2+π2(n2

y + n2z)

L2

)1/2

(2.50)

Como se habıa comentado en la seccion anterior, del resultado (2.50) se observa quela frecuencia ω (o el numero de onda k), ahora representada por el numero cuanticon := n(nx, ny, nz), varıa desde cierta base hasta infinito, luego en principio la frecuenciaes infinita. Ademas, para cada frecuencia presente existe en general dos direcciones depolarizacion λ (la polarizacion transversal y la longitudinal). Una excepcion al respectose da cuando un numero de onda desaparece, para este caso allı solo existira una unicadireccion de polarizacion. Esta situacion es muy importante para la evaluacion delEfecto Casimir[17].

Casimir considero el caso de dos placas livianas, ideales, perfectamente conductorasy de extension infinita (todo en aras de simplificar los calculos), colocadas en el vacıodel campo electromagnetico. En consecuencia, se supondra que el area de las placas esinfinita en comparacion con la separacion “a” de ellas, lo que significa que a << L y enefecto los numeros cuanticos ny y nz que representan a sus respectivos modos, se saturany aproximan a ser continuos. En otras palabras, esto refiere a que en las direccionesortogonales a la direccion de a (al eje x), los modos son infinitos, cubriendo de estamanera la estabilidad y continuidad del campo electromagnetico en las direcciones y yz dentro de la cavidad. En inferencia, las sumatorias que definen a ny y nz se conviertenen integrales, luego la energıa del punto cero al interior de la caja resonante se da por:

〈E〉boxZPE =}c2

2∑λ=1

∞∑nx=0

∫ ∞0

∫ ∞0

(n2xπ

2

a2+

(n2y + n2

z)π2

L2

)1/2

dnydnz

EFECTO CASIMIR 27

Figura 2.3: Variacion de la densidad de modos al interior de la cavidad resonante. Fuera de la cavidad,todas las frecuencias del vacıo son emitidas y estables. Dentro de la cavidad, sin embargo, los modos acep-tados por el vacıo son discretos. Al variar la distancia “a”(que separa las placas), cambia respectivamentela densidad de los modos en relacion al espacio libre, los cuales generan una diferencia de energıa[6].

〈E〉boxZPE =}cπ2a

2∑λ=1

∞∑nx=0

∫ ∞0

∫ ∞0

(n2x + (

a

Lny)

2 + (a

Lnz)

2)1/2

dnydnz (2.51)

Luego, los modos de oscilacion sobresalen, en constraste, unicamente en la direccionx. Detras de todos los ajustes precedentes se halla el significado fısico propuesto porCasimir, el cual se ilustra en la Figura 2.3. Las frecuencias que “caben” perfectamentedentro de la cavidad son aquellas en que la distancia entre las placas es un multiploentero de media longitud de onda (las placas han de ser nodos de oscilacion), allı am-plificadas, constituyen las frecuencias propias o los “modos resonantes de vibracion”.Para las demas longitudes de onda el campo correspondiente queda atenuado, luego,modos de las mas altas frecuencias se convierten en corrientes efımeras que se propagansobre la superficie de las placas conductoras. En inferencia, las fluctuaciones del vacıoresultan ser forzadas y contribuyen de manera diversa a la “presion de radiacion” delcampo electromagnetico[3].

Realizando el siguiente cambio de notacion:[17]

y =a

Lny ; z =

a

Lnz =⇒ dy =

a

Ldny ; dz =

a

Ldnz (2.52)

e introduciendole en la ecuacion (2.51), se obtiene:

EFECTO CASIMIR 28

Figura 2.4: Transformacion a coordenadas polares.

〈E〉boxZPE =}cπL2

2a3

2∑λ=1

∞∑nx=0

∫ ∞0

∫ ∞0

(n2x + y2 + z2)1/2dydz (2.53)

Para garantizar la convergencia de por lo menos un grado de libertad de la ecuacion(2.53) es necesario transformar el sistema de coordenadas. Para este caso basta conutilizar las coordenadas polares sobre las variables y y z. Por lo tanto, un convenienteajuste apunta cuando el radio ρ ≡

√u (vease la Figura 2.4)[17], y ası hallar una comoda

transformacion dada por:[17][22]{z ≡ ρ cosφ =

√u cosφ,

y ≡ ρ sinφ =√u sinφ

De la Figura 2.4, el area infinitesimal satisface que sus respectivas componentesdiferenciales en coordenadas polares para la expresion (2.53) se definan como:[22]

dydz ≡ ρdρdφ =√ud(√u)dφ =

√u

1

2√ududφ (2.54)

en efecto, las integrales de (2.53) se convierten en:∫ ∞0

∫ ∞0

dydz =1

2

∫ ∞0

∫ π/2

0

dudφ (2.55)

donde

EFECTO CASIMIR 29

y2 + z2 = ρ2 = (√u)2 = u ; 0 ≤ φ ≤ π/2

tal que los modos sean positivos. Lo que quiere decir que la expresion (2.53) adquierela forma:

〈E〉boxZPE =}cπ2L2

8a3

2∑λ=1

∞∑nx=0

∫ ∞0

(n2x + u)1/2 du (2.56)

Al separar el termino nx = 0 de la sumatoria de (2.56) se halla que:


8a3

2∑λ=1

(∫ ∞0

√u du+

∞∑nx=1

∫ ∞0

√n2x + u du

)(2.57)

Del resultado (2.57), se observa que el termino∫∞0

√u du depende unicamente de

dos coordenadas u = u(y, z), lo que significa que el termino posee solamente una com-ponente de polarizacion, en este caso es la componente transversal, puesto que la po-larizacion longitudinal es nula. Por consiguiente, al evaluar la sumatoria sobre λ (abar-cando dos polaridades) en la expresion (2.57), se obtiene en definitiva una relacion delvalor esperado de la energıa del punto cero dentro de la “cavidad resonante”:[6]


8a3

(∫ ∞0

√u du+ 2

∞∑nx=1

∫ ∞0

√n2x + u du

)(2.58)

donde el primer termino depende de la geometrıa que genera el uso de las coordenadaspolares y el segundo termino es divergente (a causa de la sumatoria que evalua larespectiva integral infinidad de veces), ambos terminos con polaridades ya evaluadas.La deduccion (2.58) es conocida como la energıa del punto cero del “vacıo de Casimir”,refiriendose al concepto de vacıo cuantico al interior de las placas paralelas[6].

En segunda instancia, considerese el valor esperado de la energıa ZPE en el vacıocuantico (sin placas metalicas). Para obtener explıcitamente esta energıa debe recor-darse la expresion (2.50), de ella resolviendo se deduce que:

〈E〉vacuumZPE =1

2

2∑λ

∞∑nx,ny ,nz

}c(

(π

anx)

2 + (π

Lny)

2 + (π

Lnz)

2)1/2

=1

2}c

2∑λ=1

∫ ∞0

∫ ∞0

∫ ∞0

((π

anx)

2 + (π

Lny)

2 + (π

Lnz)

2)1/2

dnxdnydnz

EFECTO CASIMIR 30

puesto que para la presente situacion no existen ejes de preferencia, manteniendose deesta forma la estabilidad del campo electromagnetico en aquella region del universo.Al tener en cuenta nuevamente el cambio de notacion (2.52), la expresion precedenteadquiere la forma:

〈E〉vacuumZPE =}cπL2

2a3

2∑λ=1

∫ ∞0

∫ ∞0

∫ ∞0

(n2x + y2 + z2)1/2dnxdydz

=}cπ2L2

8a3

(2

∫ ∞0

∫ ∞0

√n2x + u dudnx

)(2.59)

donde se realizo un proceso identico al usado en el analisis de la energıa del puntocero en la caja rectangular, adoptando una vez mas que u ≡ y2 + z2. La expresion(2.59), evidentemente, define a la energıa del punto cero en el vacıo de Minkowski “sincondiciones de contorno” (sin cavidad resonante), donde el factor 2 indica que se haevaluado la sumatoria referente a la polarizacion.

Al comparar las deducciones (2.58) y (2.59), se observa que la integral sobre lavariable u correspondiente a los modos en las direcciones y y z, aparece en ambasexpresiones. Individualmente, la energıa del punto cero en la cavidad (2.58) y la energıadel punto cero en el vacıo (2.59), son infinitas; sin embargo, la diferencia entre estasenergıas no lo es[17], luego:

δEZPE = 〈E〉boxZPE − 〈E〉vacuumZPE

=}cπ2L2

8a3

(∫ ∞0

√udu+ 2

∞∑nx=1

∫ ∞0

√n2x + udu− 2

∫ ∞0

∫ ∞0

√n2x + ududnx

)

= 2}cπ2L2

8a3

(1

2

∫ ∞0

√udu+

∞∑nx=1

∫ ∞0

√n2x + udu−

∫ ∞0

∫ ∞0

√n2x + ududnx

)

=}cπ2L2

4a3I (2.60)

donde

I =1

2

∫ ∞0

√u du+

∞∑nx=1

∫ ∞0

√n2x + u du−

∫ ∞0

∫ ∞0

√n2x + u dudnx

=1

2I(0) +

∞∑nx=1

I(nx)−∫ ∞0

I(nx)dnx (2.61)

EFECTO CASIMIR 31

evidentemente I(0) ≡

∫∞0

√u du

I(nx) ≡∫∞0

√n2x + u du

(2.62)

integrales que aun siguen siendo divergentes.

Como se habra observado hasta el momento, fısicamente el problema de Casimircomo tal ya ha sido solucionado, sin embargo, la finalizacion del mismo depende deun procedimiento matematico (la convergencia de las integrales (2.61)). Afortunada-mente para esta situacion existe un artificio matematico demasiado util, la formula deintegracion de Euler-Maclaurin: (vease el Apendice C)[22]∫ m

0

f(x)dx =1

2f(0) + f(1) + f(2) + · · ·+ 1

2f(m)

−B2

2![f ′(m)− f ′(0)]− B4

4![f ′′′(m)− f ′′′(0)]− · · · (2.63)

donde los coeficientes Bn definen los numeros de Bernoulli9. De la definicion (2.63), alcambiar f(x) por I(nx) se obtiene:∫ m

0

I(nx)dnx =1

2I(0) + I(1) + I(2) + · · ·+ 1

2I(m)

−B2

2![dI(m)

dnx− dI(0)

dnx]− B4

4![d3I(m)

dn3x

− d3I(0)

dn3x

]− · · ·

Si m → ∞ el termino 12I(m) ' I(m), puesto que de igual forma es divergente. En

efecto, puede reducirse los primeros terminos a una simple sumatoria:∫ ∞0

I(nx)dnx =1

2I(0) +

∞∑nx=1

I(nx)−B2

2![dI(∞)

dnx− dI(0)

dnx]

−B4

4![d3I(∞)

dn3x

− d3I(0)

dn3x

]− · · · (2.64)

Ahora, para obtener de la integral (2.61) un resultado finito, se necesita de algu-

9Si desea ver la demostracion de la expresion (2.63) y todo lo referente a los numeros de Bernoulli vease el Apendice C.

EFECTO CASIMIR 32

na manera desechar (al menos temporalmente) los modos de energıa mas alta parapoder realizar la resta de energıas δEZPE, esta idea tambien favorece la eliminacionde problemas de saturacion y resonancia generados por altas frecuencias10. Lo anteriorfue adoptado por Casimir como corte de frecuencias. Para llevar a cabo esto basta con

hacer dI(∞)dnx

= d3I(∞)dn3

x= · · · → 0 sobre la expresion (2.64), luego ella se reduce a:

∫ ∞0

I(nx)dnx '1

2I(0) +

∞∑nx=1

I(nx) +1

2!B2dI(0)

dnx+

1

4!B4d3I(0)

dn3x

+ · · ·

=⇒

I =1

2I(0) +

∞∑nx=1

I(nx)−∫ ∞0

I(nx)dnx = −B2

2!

dI(0)

dnx− B4

4!

d3I(0)

dn3x

− · · ·

(2.65)

Como se ha observado, se logro expresar la integral (2.61) en terminos de una serieinfinita que depende de los numeros de Bernoulli; no obstante, tal sumatoria no es deltodo divergente. Para resolver la cuestion, estımese la segunda ecuacion del par (2.62),expresion que resulta ser la mas general de este par. De la misma al realizar el simplecambio de variable v ≡ n2

x + u y resolverle se obtiene:[6][17]

I(nx) =

∫ ∞n2x

v1/2dv =∞− 2

3n3x (2.66)

por lo tanto

dI(nx)

dnx= −2n2

x ⇒ dI(nx)

dnx]nx=0 =

dI(0)

dnx= 0

Sucesivamente se encuentra que:

10Todo campo, incluso en su estado vacıo, ejerce una presion de radiacion que es proporcional a la energıa o frecuencia de losdistintos modos de vibracion. En una cavidad resonante, la presion de radiacion es mayor en el interior que en el exterior, porcuya razon las placas tenderıan a separarse. Para los modos fuera de resonancia, en cambio, la presion de radiacion en el interiores mas baja que en el exterior y las placas expondran una fuerza de atraccion[3]. De acuerdo a lo evidenciado en sus experimentoscomo trabajador para la companıa Philips, Casimir tomo la segunda opcion como explicacion al fenomeno; puesto que resulto, enel caso de las placas, que los modos que contribuyen a la fuerza atractiva dominan ligeramente sobre los modos resonantes quetienden a separar las placas. En otras palabras, las altas frecuencias, por decirlo ası, se atenuaban; en inferencia, se eliminaranlos modos de las mas altas frecuencias que generan efectos de resonancia.

EFECTO CASIMIR 33

Figura 2.5: El vacıo interacciona con la materia. Acercara dos placas metalicas paralelas que esten muyproximas entre sı. Ası se resume el Efecto Casimir[3].

d3I(nx)

dn3x

]nx=0 = −4

y

djI(nx)

dnjx]nx=0 = 0 ⇔ j ≥ 4

Al sustituir todos estos ultimos resultados dentro de la integral (2.65) y tomando elhecho que B4 = −1/30,[22] se deduce que

I = −0− 1

4!(− 1

30)(−4)− 0 = − 1

180(2.67)

tal que al tratar cantidades divergentes emerjan resultados finitos.11 Para concluir estecapıtulo, el resultado (2.67) debe ser sustituido en la expresion (2.60), hallandose de

11Del anterior procedimiento puede comentarse que existe un calculo alterno que otorga la misma conclusion al dado porel resultado (2.67). Esta derivacion es conocida como la Funcion Zeta de Riemann ζ(s), la cual esta definida por la serie1 + 1/2s + 1/3s + 1/4s + ... donde s refiere al plano complejo. Este calculo se presenta en las citas [3] y [6].

EFECTO CASIMIR 34

Figura 2.6: Comportamiento de la fuerza de Casimir, FC ∝ 1/a4.

esta manera el valor de “La Variacion de la Energıa del Punto Cero predicho por NielsBohr”:[6]

δEZPE ' − }π2c

720a3L2 (2.68)

donde “a” define la separacion entre placas y L2 refiere al area de ellas. Es interesanteobservar que la variacion de energıa dependa de las constantes fundamentales } y c. Delresultado (2.68), al aplicar la muy conocida definicion de fuerza F ≡ −dV/da (dondeV refiere a un potencial), se obtiene la “Fuerza de Casimir”:

FC = − }π2c

240a4L2 (2.69)

fuerza que es atractiva, luego en efecto, si las placas metalicas se encuentran lo suficien-temente cerca, se uniran. Es decir, el vacıo cuantico posee fluctuaciones de energıa, queen determinadas circustancias actuan sobre objetos materiales ordinarios. Ası ocurreen el Efecto Casimir: dos placas metalicas paralelas, a las que las fluctuaciones delvacıo, por la diferencia de presion que ejercen sobre su adverso y su reverso, tiendena acercarse entre sı. Vease la Figura 2.5. Para hacerse una idea de las magnitudes delefecto como tal, teoricamente al situar dos placas de superficie de 1cm2 cada una, a unadistancia de 1µm, las mismas se atraen con una FC ' 0,013dinas ' 10−7N .[3] Veasela Figura 2.6.

EFECTO CASIMIR 35

Figura 2.7: Imagenes de la evidencia experimental del Efecto Casimir. Sobre la izquierda se muestra eldispositivo empleado por Lamoreaux en su experimento, el cual dio inicio a verdaderas evidencias del efectocomo tal. Sobre la derecha se muestra el dispositivo utilizado por Umar Mohideen y colaboradores. Ambosexperimentos comprobaron concluyentemente la existencia de la fuerza predicha por Casimir[3].

2.4 Evidencia Experimental del Efecto Casimir

Casimir en sus primeras hipotesis acerca del fenomeno, le relaciono a una simpleinteraccion entre moleculas dielectricas de Van der Waals. Sin embargo, Casimir conun estudio mas profundo del fenomeno, evidencio que la interaccion entre las partıcu-las intermoleculares (para la estabilidad de las suspensiones de polvo de cuarzo) debıadecaer mas rapidamente, con una potencia de r−7 en lugar de r−6 (la fuerza de Vander Waals FV ≡ −6A/r7, donde A refiere a una constante)[25]. Intrigado por el resul-tado, Casimir logro conversar al respecto con Niel’s Bohr en otono de 1947, de allı eldanes se percato de la novedad del fenomeno y le relaciono con la energıa del puntocero[3]. En consecuencia, gracias a la valiosa pista, Casimir logro deducir todo lo que seargumento en el presente capıtulo, concluyendo ademas que la fuerza de Casimir era laultima tras una serie de interacciones, siendo la mas elegante de todas, donde inclusologro demostrar teoricamente que el radio de accion de la misma era aun mayor que elcitado anteriormente (proporcional a r−4 en vez de r−6).

En la decada de los 40, al interior de los laboratorios Philips se comprobo la inter-pretacion presentada por Casimir[3]. Anos despues, a manos de Marcus Sparnaay seejecuto nuevamente la prueba experimental del efecto[26]. Su resultado hallo un velode duda del 100 %, sin embargo, Sparnaay reconocio que su experimento alcanzo aobtener un corto rango de atraccion entre los objetos. Posteriormente en los siguientesanos se llevaron a cabo nuevas pruebas dirigidas por Derjaguin et al, Sabisky y CharlesAnderson[26], entre otros; experimentos que favorecıan cada vez mas la existencia delfenomeno[26]. En los anos 1994 - 1997 a manos de Lamoreaux y su grupo de trabajo,se hallo una solucion definitiva al asunto[18].

EFECTO CASIMIR 36

No es facil llevar a cabo en el laboratorio un experimento de tal magnitud, ya que lasplacas nunca tendran extension infinita ni tampoco seran perfectamente conductoras.Tambien es claro que intervienen efectos de temperatura, asperosidad de las superficies,polvo y otros. Un obstaculo que se presenta de entrada es la extremada dificultad paraposicionar las placas perfectamente paralelas; por tal razon Lamoreaux, a diferencia deSparnaay, prefirio usar una lente esferica de cuatro centımetros de diametro y una placade cuarzo optico de dos centımetros y medio de diagonal, ambas con un recubrimiento deoro y cobre, conectadas a un pendulo de torsion en el vacıo. Vease la Figura 2.7 (imagenizquierda). En aquel entonces, la esperanza de Lamoreaux le conllevo a implementarprecision experimental, extender las mediciones a longitudes mas distantes y medir losefectos de temperatura no nula. La sensibilidad de su experimento logro obtener unrango de accion entre 0,6µm y 6µm de separacion entre ambos objetos. Al acercarlos objetos a unas cuantas micras de distancia, Lamoreaux observo que las mismasse atraıan con la fuerza predicha. La medicion efectuada con el pendulo de torsionreprodujo el resultado de Casimir para esta configuracion, estimandose el error en un5 %[18].

El experimento de Lamoreaux se convirtio en el punto de partida de experimentosposteriores que lograron disminuir el error a un 1 %. Uno de ellos fue el experimentode Umar Mohideen y sus companeros de la Universidad de California en Riverside,EE.UU.[26]; ellos sujetaron una esfera de poliestireno de 200µm de diametro a la puntade medicion de un microscopio de fuerza atomica, vease la Figura 2.7 (imagen derecha).En una serie de experimentos acercaron la esfera, cubierta algunas veces de aluminio yotras de oro, a alrededor de 0,1µm de un disco plano, tambien cubierto de esos metales.La atraccion entre la esfera y el disco fue monitorizada por la desviacion de un laser.El resultado del mismo concordaba completamente con la teorıa. Cabe resaltar que enotros experimentos muy recientes se ha logrado obtener distancias nanometricas entrelos objetos, tal como sucedio en el experimento realizado por Thomas Ederth, alcan-zando lımites cerca de los 20 nanometros de separacion e igualmente, en consecuencia,adquiriendo resultados demasiado compatibles con la teorıa. La situacion actual de lateorıa y el experimento han sido revisados en editoriales especiales de la New Journalof Physics. Hoy en dıa no cabe la menor duda que los calculos de Casimir son correctos,y como se ha estado comentando durante todo el capıtulo:

“El merito de Casimir estriba en haber descubierto que la energıa del vacıo,en determinadas circunstancias, sı tiene, pese a todo, consecuencias fısicasdiscernibles”[3][18][26].

Es un milagro que a pesar de la sorprendente complejidad deluniverso, se pueda descubrir en sus fenomenos

determinada irregularidad.Edwin Schrodinger (Fısico)

3

TEORIA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD

Existe una distincion logica entre el concepto de una velocidad invariante y el de unavelocidad maxima. Contrario a la creencia difundida, la Teorıa Especial de la Relativi-dad solo requiere, para su consistencia cinematica, que exista una velocidad invariante.Esto resulta a partir de la derivacion original por Einstein de las transformaciones deLorentz. Sin embargo, el desarrollo de Einstein, bajo el concepto de simultaneidad, de-pende de un procedimiento de sincronizacion de relojes, en el cual las senales luminosasson usadas. Podrıa pensarse que si es posible una propagacion mas rapida que la luz,esta servirıa para sincronizar relojes de una manera alternativa y de esta forma alte-rar la cinematica relativista en sus mismos fundamentos. “En el presente capıtulo semostrara que este no es el caso”[1].

En primer lugar, se presentara un breve repaso de la Teorıa Especial de la Relativi-dad, donde se obtendran las Transformaciones de Lorentz y se definira el Espacio deMinkowski[8][10][11][12][13][14][16][20][27][34]. Progresivamente, la teorıa aplicara a uncaso particular, discutiendose un ajuste de las transformaciones de Lorentz sin el usode la velocidad de la luz, todo bajo el criterio de tres hipotesis referentes a la filosofıade la relatividad especial; donde ademas se verifica que podrıa pasar si se permitiese elingreso de “taquiones” dentro de la misma y todas las posibles implicaciones que ellogenerarıa.

TEORIA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD 41

3.1 Derivacion General de las Transformaciones de Lorentz

La derivacion de las Transformaciones de Lorentz depende exclusivamente de lavelocidad de la luz. La constante c se caracteriza por ser una velocidad invariantee independiente de observadores inerciales, tal como lo demuestra el experimento deMichelson y Morley realizado en 1887, la Teorıa del Electron propuesta por Lorentz en1904 y los postulados de la Teorıa Especial de la Relatividad propuestos por Einsteinen 1905[8][9][13]. Por consiguiente, en primera instancia, se asignara que:[14][15]

x0 ≡ ctx1 ≡ xx2 ≡ yx3 ≡ z

(3.1)

donde se observa una relacion muy interesante; el grupo de ecuaciones (3.1) vinculaal tiempo dentro del sistema coordenado, otorgandole unidades espaciales, hecho quese debe al relacionarle con la velocidad lımite c. Segun Albert Einstein (1879-1955), lavelocidad de la luz es la velocidad maxima en el universo estable y en consecuencia,esta satisface la relacion directa que existe entre el espacio y tiempo[10][14].

Utilizando el convenio de suma de Einstein puede definirse las Transformaciones deLorentz generales en forma tensorial:1[15][20]

x′µ ≡3∑

ν=0

Λµνx

ν + aµ (3.2)

donde las variables mudas µ, ν ≡ 0, 1, 2, 3 (representan un eje especıfico) y el termino Λµν

refiere a los elementos de la matriz de transformacion de Lorentz. Si el termino aµ = 0,de las Transformaciones de Lorentz Heterogeneas (3.2) se obtiene la componente deLorentz homogenea:

x′µ =3∑

ν=0

Λµνx

ν (3.3)

El objetivo ahora es hallar individualmente los respectivos valores de los elementosde la matriz de transformacion Λµ

ν . El sımbolo µ representa el numero de dimensionesa utilizar, para este caso son cuatro; y el sımbolo ν representa la variacion de cierta di-

1Normalmente en los libros de calculo tensorial y relatividad se suele omitir la sumatoria∑

.


Figura 3.1: Sistemas de referencia en movimiento relativo. De aquı se observa claramente que el sistema∑′ se desplaza a velocidad v en la direccion xx′ con respecto al sistema∑

, dejando de esta manera fijase identicas las coordenadas y y z de ambos sistemas.

mension con respecto a las cuatro, donde evidentemente se incluye tambien la variacioncon respecto a ella misma. Lo que significa que para cada dimension se obtendrancuatro elementos de la matriz de transformacion de Lorentz. Para que el proceso setorne mas academico se iniciara con las componentes x′3 ≡ z′ y x′2 ≡ y′, puesto queno son, en particular, coordenadas relativistas, y progresivamente se concluira con lascomponentes x′1 ≡ x′ y x′0 ≡ ct′.

Para la dimension z ⇔ µ = 3, la transformacion (3.3) se convierte en:

x′3 =3∑

ν=0

Λ3νx

ν

expandiendo la sumatoria se obtiene

x′3 = Λ30x

0 + Λ31x

1 + Λ32x

2 + Λ33x

3 (3.4)

De la Figura 3.1, al describir los sistemas de referencia∑

y∑′, particularmente

no existe movimiento relativo entre las componentes z y z′. Lo que quiere decir que sinproblema alguno puede ajustarse:

(z′ = z) =⇒ (x′3 = x3) (3.5)


En consecuencia, para que (3.5) satisfaga (3.4) se debe cumplir que los terminosΛ3

0x0 +Λ3

1x1 +Λ3

2x2 = 0 y Λ3

3x3 = x3. En terminos mas practicos estos ultimos deben

ser de la forma:

Λ30 = Λ3

1 = Λ32 = 0 y Λ3

3 = 1 (3.6)

Igualmente, para y ⇔ µ = 2 de (3.3) se obtiene los elementos:

Λ20 = Λ2

1 = Λ23 = 0 y Λ2

2 = 1 (3.7)

En segunda instancia, la literatura de la Teorıa Especial de la Relatividad inducelas usuales transformaciones de Lorentz:[8][11][12][14][34]

t′ =t− xv/c2√1− v2/c2

(3.8)

x′ =x− vt√1− v2/c2

(3.9)

y′ = y (3.10)

z′ = z (3.11)

estas resultan de un conjunto de efectos cinematicos (dilatacion del tiempo, contrac-cion de Lorentz y sincronizacion de relojes), todo bajo el concepto de simultaneidadde Einstein[8][14]. Ajustando γ = γ(|~v|) ≡ 1/

√1− β2 donde β = v/c y recordando

las definiciones (3.1), puede reescribirse las transformaciones de Lorentz en notacioncontravariante, es decir: (vease el Apendice D)

x′0 = γ(x0 − βx1)x′1 = γ(x1 − βx0)

x′2 = x2

x′3 = x3

(3.12)


Continuando con el procedimiento, para x⇔ µ = 1, de (3.3) se obtiene

x′1 =3∑

ν=0

Λ1νx

ν

= Λ10x

0 + Λ11x

1 + Λ12x

2 + Λ13x

3 (3.13)

Al comparar la segunda ecuacion del grupo (3.12) con la expresion (3.13) se hallafacilmente los valores de los correspondientes elementos:

Λ10 = −γβ, Λ1

1 = γ y Λ12 = Λ1

3 = 0 (3.14)

Finalmente cuando µ = 0, de (3.3) se obtiene

x′0 =3∑

ν=0

Λ0νx

ν

= Λ00x

0 + Λ01x

1 + Λ02x

2 + Λ03x

3

lo que significa que al comparar este resultado con la primera transformacion de Lorentzde (3.12), se obtiene el valor de los elementos restantes:

Λ00 = γ, Λ0

1 = −γβ y Λ02 = Λ0

3 = 0 (3.15)

En ultima instancia, reuniendo los 16 elementos agrupados en los resultados (3.6),(3.7), (3.14) y (3.15), se obtiene en definitiva la matriz de transformacion de Lorentz:[15]

Λµν =

Λ0

0 Λ01 Λ0

2 Λ03

Λ10 Λ1

1 Λ12 Λ1

3

Λ20 Λ2

1 Λ22 Λ2

3

Λ30 Λ3

1 Λ32 Λ3

3

=

γ −γβ 0 0−γβ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

(3.16)

Se observa claramente que la matriz de transformacion Lorentz (3.16) es simetrica.Esta matriz se expresa generalmente por x′ = Λx, donde Λ representa la matriz detransformacion, x′ y x representan coordenadas generalizadas espacio-temporales (R4)de los sistemas de referencia

∑′ y∑

, respectivamente. No esta de mas, escribir lastransformaciones de Lorentz homogeneas matricialmente:

x′µ = Λµνx

ν

TEORIA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD 45x′0

x′1

x′2

x′3

=

γ −γβ 0 0−γβ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

x0

x1

x2

x3

donde γ = γ(|~v|) ≡ 1/

√1− β2 y β ≡ v/c. Para concluir este breve repaso de la Teorıa

Especial de la Relatividad es necesario definir el espacio que se esta manejando, al cualpertenecen las transformaciones de Lorentz: (vease el Teorema 3.1)

Teorema 3.1:

dHermann Minkowski (1864-1909), inspirado por la brillantez de la Teorıa Especialde la Relatividad de su estudiante Einstein, definio un espacio cuadridimensional decuadri-vectores, en coordenadas generalizadas, de la forma:[16][20][35][36][37]

M := {[xµ ≡ (x0, x1, x2, x3); yν ≡ (y0, y1, y2, y3)] ∈ R4 | x · y ≡ ηµνxµyν} (3.17)

En (3.17) se ha introducido la convencion de suma de Einstein, donde µ, ν ≡ 0, 1, 2, 3.El producto interno Minkowskiano en terminos mas practicos es de la forma:

x · y = ηµνxµyν = −x0y0 + x1y1 + x2y2 + x3y3 (3.18)

donde los elementos de la matriz del Tensor Metrico de Minkowski se definen:[15]

ηµν ≡

0 si µ 6= ν;−1 si µ = ν = 0;

1 si µ = ν = 1, 2, 3.(3.19)

Por consiguiente, el producto interno Minkowskiano (3.18) induce la norma del in-tervalo espacio-tiempo:

ηµνxµxν = x · x = −(x0)2 + (x1)2 + (x2)2 + (x3)2 ≡ (S)2 (3.20)

.c

El uso de la invarianza de Lorentz (vease el Apendice E) y la linealidad de la trans-formacion de Lorentz, implica una invarianza en el producto interno Minkowskiano. Esdecir, usando la transformacion de Lorentz (3.3) para ambos casos (cuadri-vectores xy y), y la ecuacion (3.18), se obtiene la condicion que deben cumplir los elementos de


la matriz de Lorentz:

(S ′xy)2 = (Sxy)

2

x′ · y′ = x · yηαβx

′αy′β = ηµνxµyν

ηαβΛαδΛ

βγx

δyγ = ηµνxµyν

lo que significa que

ηδγ = ηαβΛαδΛ

βγ (3.21)

De acuerdo a la matriz de transformacion (3.16), la ecuacion (3.21) puede escribirsecomo:[20]

ηδγ :=

−(Λ0

0)2 +

∑3i=1(Λ

i0)

2 = −1;

−(Λ0k)

2 +∑3

i=1(Λik)

2 = 1, k = 1, 2, 3;

ηρσΛρµΛσ

ν = 0, µ 6= ν.

(3.22)

Este sistema de ecuaciones es general y contiene todas las posibles transformacionesentre sistemas de coordenadas que dejan invariante el producto interno Minkowskiano.Observese que el grupo de expresiones (3.22), coincide con la metrica (3.19), luego “lametrica de Minkowski resulta ser invariante bajo transformaciones de Lorentz”2.

2Puede verificarse cada una de las ecuaciones del sistema (3.22), es claro que para lograr esto, debe utilizarse los elementosde incumbencia de la matriz de Lorentz (3.16). Por ejemplo, permitase demostrar la primera ecuacion de este sistema:

−(Λ00)2 +

3∑i=1

(Λi0)2 = −γ2 + β2γ2 = − 1

1− v2/c2+

v2

c2 − v2= −c

2 − v2

c2 − v2= −1

cumpliendose de esta manera una de las condiciones de la matriz de Lorentz sobre el tensor metrico de Minkowski.


Figura 3.2: Nueva perspectiva de dos sistemas de referencia en movimiento relativo.

3.2 Transformaciones de Lorentz con Velocidad Invariante

En la presente seccion se discutira la derivacion de las transformaciones de Lorentzde una forma menos convencional, procedimiento que fue propuesto por Von Ignatowskyen 1910[27]. En primer lugar, recuerdese el sistema de ecuaciones (3.22), el conjunto detransformaciones se conoce como el grupo de Lorentz y es descrito por las siguientescategorıas:[1]

i) En “un sistema inercial arbitrario” el espacio es homogeneo, isotropicoy Euclideano. Ademas para el mismo el tiempo es homogeneo.

ii) El principio de la relatividad.

iii) Una condicion de pre-causalidad.

La primera categorıa corresponde a las rotaciones de los ejes espaciales, dejandola coordenada temporal inmodificada y forman el llamado grupo de rotaciones. Esterepresenta un espacio fısico isotropico, luego claramente una rotacion espacial quedadeterminada por tres parametros (por ejemplo los tres angulos de Euler). La segunda


categorıa constituye que todas las leyes de la naturaleza deben ser las mismas para todoslos observadores que se mueven los unos con respecto a los otros a velocidad constante.Tambien incluye la operacion de inversion de los ejes espaciales (paridad de la natu-raleza) y el temporal. La tercera y ultima categorıa la conforman las transformacionespuras de Lorentz, que representan el cambio entre sistemas de referencia inerciales,manteniendo tanto los ejes espaciales paralelos (no hay rotaciones), ası como el sentidode los ejes espaciales y el temporal (sin inversion de ejes)[12][20]. “Todo esto bajo ladependencia de algun parametro C > 0 que representa una velocidad invariante”.

Considerese un sistema de referencia∑

(t, x, y, z) que se encuentra relativamente enreposo. Sucesivamente supongase un nuevo sistema de referencia

∑′(t′, x′, y′, z′) que sehalla en movimiento relativo con respecto al primer sistema de referencia. De acuerdoa la isotropıa del espacio, no hay problema alguno al ajustar paralelamente los ejescoordenados de los sistemas de referencia entre sı, de tal forma que el sistema

∑′ sedesplaze a velocidad constante v con respecto al sistema

∑en la direccion x = x′.

Vease la figura 3.2. En consecuencia, se tendra que y = y′ = z = z′ = 0, reduciendosede esta manera los sistemas de referencia de cuatro variables a unicamente dos: (t, x) y(t′, x′), respectivamente.

Desde el punto de vista del sistema de referencia∑

, la distancia parcial entre elevento E y el origen de coordenadas O evidentemente se da por:

x = ξ + vt (3.23)

Similarmente, si x′, ξ′ y v′ son cantidades referenciadas desde el punto de vista de∑′, se tiene que:

x′ = ξ′ + v′t′ (3.24)

donde x′ es la distancia entre el evento E y el origen de coordenadasO. La homogeneidaddel espacio requiere que la relacion de la distancia, medida por ambos sistemas, entre elevento E y el origen de coordenadas O′ sea lineal. Luego, existen los coeficientes γ y γ′

(posiblemente dependientes de v y v′), los cuales estan relacionados de la forma:[14][27]

ξ ≡ x′/γ ; ξ′ ≡ x/γ′ (3.25)


Es claro que los coeficientes γ y γ′ han de ser positivos, puesto que ellos relacionanmedidas de distancias3. Al sustituir las definiciones (3.25) en la expresion (3.23) yresolviendo con respecto a t′ se obtiene:

t′ =x′ − ξ′

v′

=γξ − ξ′

v′

=γ(x− vt)− x/γ′

v′

=γx− γvt− x/γ′

v′

=(γ − 1/γ′)x− γvt

v′

=(γγ′ − 1)x/γ′ − γvt

v′

t′ = −γvv′

(t− (

γγ′ − 1

γγ′v)x

)(3.26)

sucesivamente de (3.24), resolviendo con respecto a x′ se adquiere

x′ =x

γ′+ v′t′

=x

γ′+ v′

(γ(x− vt)− x/γ′

v′

)

x′ = γ(x− vt) (3.27)

Al reunir los resultados y simplicaciones precedentes, se obtiene en definitiva unconjunto de transformaciones que relacionan a los sistemas de referencia

∑y∑′ de la

forma:

3No deberıan parecer extranas las definiciones (3.25), puesto que refieren al efecto cinematico “Contraccion de Lorentz”.


t′ = −γ v

v′[t− (γγ

′−1γγ′v

)x]

x′ = γ(x− vt)y′ = yz = z′

(3.28)

Hasta el momento, unicamente se ha utilizado la categorıa de la homogeneidad eisotropıa del espacio. En inferencia, un segundo ingrediente en la derivacion del signifi-cado fısico de las transformaciones es el principio de reciprocidad v′ = −v. Ademas,el principio de la relatividad impone que γ = γ′ (sin ejes de preferencia), requirien-do que las transformaciones formen un grupo (por ejemplo el grupo de Lorentz). Acontinuacion se permite definir:[1][27]

γ−2 ≡ 1− kv2 (3.29)

donde k es una constante independiente de v. Si k < 0 en la expresion (3.29), lasrelaciones χ0 ≡ t/

√−k y tan2(θ) ≡ −kv2 definen una rotacion ordinaria en el “plano

real” (x0, x1). Sin embargo, k no debe ser menor a cero, puesto que posee un numero deconsecuencias que carecen de significado fısico4. (Vease el Apendice D). En el presentetrabajo se planea usar la siguiente condicion de “pre-causalidad”:[1]

Si en un sistema de referencia dos eventos suceden en un mismo lugar,entonces la evolucion de sus tiempos ha de ser la misma para los demassistemas de referencia.

eliminandose paradojas causales. El enunciado anterior elimina inmediatamente la re-gresion en el tiempo, evitandose de esta forma el problema efecto-causa5. De acuerdo alas justificaciones precedentes, implica que k ≥ 0, luego puede definirse una constantepositiva C tal que:[1]

k ≡ 1/C2 (3.30)

donde se evidencia nuevamente el por que k no debe ser menor que cero, puesto que estoimplicarıa que 1/C2 < 0, una velocidad imaginaria. Finalmente el grupo de expresiones

4Puesto que el verdadero significado fısico yace cuando se realizan rotaciones con angulo θ en el “plano complejo” (χ0, x1),donde al tiempo se le ha asignado como un eje imaginario poseedor de unidades espaciales. Si desea ver en toda su rigurosidad elprecedente argumento, vease nuevamente el respectivo tratamiento en el Apendice D.

5Progresivamente se clarificaran detalles en la subseccion “Taquiones y Paradojas Causales”.


(3.28) adquiere la familiaridad de las transformaciones de Lorentz, con la diferencia deque la velocidad de la luz c ha sido sustituida por una velocidad arbitraria C.

t′ = γ(t− vxC2 )

x′ = γ(x− vt)y′ = yz = z′

(3.31)

Para la situacion γ ≡ 1/√

1− v2/C2. Es claro que, al considerar la ley de composicionde velocidades, si una senal viaja a una velocidad C en un sistema de referencia, lo esası en todos los sistemas de referencia. Es decir, C es una “velocidad invariante”.

Observese que en el argumento previo no se ha definido de ninguna manera laexistencia de una velocidad maxima. El principio de la relatividad, junto con los re-querimientos de la homogeneidad e isotropıa del espacio, es suficiente para prevalecerunas transformaciones de Lorentz6. Es necesario aclarar que tampoco se ha limitadola propagacion de cierta senal a no viajar a una velocidad mas alta que C. Tan solose ha encontrado que no se pueden considerar sistemas de referencia moviendose a unavelocidad relativa v > C (de lo contrario el factor γ serıa imaginario).

3.2.1. Analogıa con un Fluido Dinamico

Dentro del contexto de la fısica de Newton, considerese un fluido (por ejemplo elAire) en reposo con respecto a un sistema de referencia inercial y dos sistemas dereferencia aleatorios; uno de ellos coincide con el sistema del fluido y el otro se muevecon respecto a este a una velocidad constante v. Los ejes de los mismos son paralelos yla direccion de la velocidad del segundo sistema tambien es paralela a uno de ellos (ejex), de tal manera que los demas ejes coordenados no son relevantes en el analisis. Losobservadores inerciales acuerdan el uso de senales ultra-rapidas para poder sincronizarsus relojes, satisfaciendose de esta manera la fısica Newtoniana. En efecto, la relacionentre las coordenadas (T,X) del sistema en reposo

∑con respecto al fluido y las

coordenadas (tG, xG) del sistema de referencia en movimiento∑′, esta definida por las

6Recuerdese el orden cronologico de los acontecimientos que derivan la Teorıa Especial de la Relatividad. La Teorıa delElectron presentada por Lorentz se publico en 1904, dentro de la misma no se adopto a la velocidad de la luz como un lımiteuniversal (este hecho se dio en 1905 como un postulado de Einstein, siendo consecuente ademas del resultado del experimentode Michelson y Morley de 1887). Lo que significa que el ajuste tomado por Lorentz en sus transformaciones no es mas que una“arbitraria seleccion” aplicada a la electrodinamica.


usuales Transformaciones Galileanas :[8][12][14]tG = T

xG = X − vTyG = YzG = Z

(3.32)

Por otra parte, supongase dos eventos, ambos acuerdan utilizar una velocidad dis-tinta a la de la luz para sincronizar sus relojes, en consecuencia, desde el punto de vistadel sistema de referencia

∑ellos estaran separados lapsos de ∆X y ∆T , luego en ese

caso el cono de velocidad satisface:

−c2s(∆T )2 + (∆X)2 = 0 (3.33)

donde cs refiere a la velocidad del sonido. Evidentemente la expresion (3.33) define quela maxima distancia que puede recorrer la velocidad del sonido en cierto intervalo detiempo es ∆X. Sucesivamente al utilizar las transformaciones (3.32), desde el punto devista del observador

∑′, se halla que:

− c2s(∆tG)2 + (∆xG + v∆tG)2 = 0 (3.34)

Rapidamente se permite mostrar otro procedimiento mas riguroso que conduce al re-sultado (3.34). Es decir, la analogıa anterior induce la siguiente matriz de coeficientes:[1]

Gµν ≡[−(c2s − v2) v

v 1

]la precedente es conocida como la metrica acustica y describe la propagacion de pertur-baciones en un fluido que se mueve con velocidad −v. Por el momento se permite ajustarx0 ≡ ∆tG y xi ≡ ∆xG (notacion clasica), luego para cualquier sistema coordenado elintervalo espacio-tiempo (aplicado al cono de velocidad) se da por:

Gµν∆xµ∆xν =

[−(c2s − v2) v

v 1

] [x0

xi

] [x0

xi

]= 0

= −(c2s − v2)(x0)2 + 2vx0xi + (xi)2 = 0

= −c2s(∆tG)2 + (∆xG + v∆tG)2 = 0

tal como era de esperarse, existe una violacion en la invarianza galileana. El resultado(3.34) no posee una estructura identica a la presentada por la expresion (3.33); a pesarque las transformaciones de Galileo satisfacen el principio de la relatividad, la descrip-cion de la propagacion del sonido no es simetrica. No hay razon del por que esto podrıaser, puesto que la presencia del fluido causa un rompimiento en la invarianza de Galileo,


siempre que se defina un sistema de referencia en reposo “absoluto”7.

No obstante, en consecuencia, el movimiento del observador puede llegar a definirsus coordenadas de tal forma que el principio de la relatividad se satisfaga, y que lainvarianza de la velocidad de sincronizacion C no tienda a ser infinita (+∞) comosucede en las transformaciones galileanas, es decir, cuando C ≡ cS. Ahora, desde unpunto de vista moderno, si v < cs las Transformaciones de Lorentz pueden hacersedepender de senales acusticas:[1]

tL = γs(T − vX/c2s)(3.35)

xL = γs(X − vT )

donde γs = (1 − v2/c2s)−1/2. Lo anterior evidencia que las coordenadas (tL, xL) estan

relacionadas a las coordenadas (T,X) por una transformacion de Lorentz dependientede una velocidad invariante cs. Analogamente, la relacion entre los lapsos ∆tL y ∆xLque corresponden a dos eventos, se da por:

−c2s(∆tL)2 + (∆xL)2 = 0 (3.36)

Observese que la expresion (3.36) es identica a la definicion (3.33). A continuacion,se verificara si se cumple o no la invarianza de (3.36) en cualquier sistema de referencia.Al sustituir las transformaciones (3.35) se obtiene:

−c2s(T−vX/c2s)2(1−v2/c2s)

+ (X−vT )2(1−v2/c2s)

= 0

−c2s(T 2 − 2vXT/c2s + v2X2/c4s) + (X2 − 2vXT + v2T 2) = 0

−T 2(c2s − v2) +X2(1− v2/c2s) = 0

−c2sT 2(1− v2/c2s) +X2(1− v2/c2s) = 0

−c2s(∆T )2 + (∆X)2 = 0

este ultimo satisface la Invarianza de Lorentz 8. Luego la propagacion de un fenomenoque esta asociado a la ecuacion (3.33) en un sistema de referencia, permite que siempre

7Observese que la analogıa del fluido dinamico utilizada en la presente seccion, es demasiado compatible por no decir iguala la utilizada en el modelo Eter, el cual describıa clasicamente el movimiento de la luz. Hoy en dıa el modelo Eter no es mas queuna teorıa obsoleta; sin embargo, algunos conceptos que le caracterizan han sido actualmente utilizados (Energıa Oscura).

8Para lograr hallar rigurosamente este resultado debe utilizarse la metrica de Minkowski acustica, donde x0 ≡ cs∆T yx ≡ ∆X , puesto que todo lo anterior es aplicado a la velocidad del sonido cs.


se pueda encontrar coordenadas espacio-tiempo en otro sistema de referencia, tal queel principio de la relatividad se satisfaga y analogamente la invarianza se mantenga enel nuevo sistema de referencia. Entonces, las transformaciones de Lorentz correspondena una velocidad invariante C. En otras palabras, siempre se puede escoger el valor deC, porque tal selecion es equivalente para la sincronizacion de relojes, sin importar laclase de senal que se use. En inferencia, de acuerdo a todas las justificaciones llevadasa cabo en el presente capıtulo, surge el interrogante: ¿el uso de la velocidad de la luz esjustamente una convencion?.

3.2.2. Interpretacion de las Coordenadas Espacio y Tiempo

Cuando se establece un sistema de referencia, el traduce una seleccion de unidadesfısicas de tiempo y espacio, las cuales definen algun fenomeno fısico en especial. Lo quesignifica que una red cartesiana es construida usando longitudes y relojes estandar, queson idealmente ubicados en todos los puntos del espacio. Todos esos relojes marcan untiempo igual, pero ellos no estan mutuamente sincronizados. Sin embargo, empırica-mente esta sincronizacion es posible siempre y cuando exista una senal que posea unavelocidad invariante. Para lograrlo solo basta con ubicar a un observador en un puntoP que envıe la senal a otro observador que se encuentre ubicado en un punto P ′ delmismo sistema de referencia, y que este a su vez devuelva inmediatamente la senal a P .Conociendo el tiempo de viaje de ida y regreso en su reloj, el observador en el punto Ppuede hallar “a traves de un promedio de medidas”el valor de la velocidad de la senal.En otras palabras, si repitiendo el procedimiento de medicion a lo largo de diferentesdirecciones y en diferentes sistemas equipados con identicos relojes y reglas, se obtieneen conclusion un valor igual, implicarıa que la senal viaja a una velocidad invariante[9].

A continuacion se discutira la prescripcion para la sincronizacion de relojes en dife-rentes lugares, aplicada a la definicion de eventos simultaneos en un sistema de referenciadado. Esto corresponde a un elemento convencional en la teorıa que este claramenteexpresado por las categorıas i) y ii), cuales implican una relacion bien definida entre lascoordenadas de dos sistemas inerciales diferentes, donde tambien existe una nocion queclarifica cuando dos eventos son simultaneos en un sistema arbitrario (vease por ejem-plo [8]). Esto, en cambio, es equivalente a postular que la velocidad C sea invariante nosolo sobre el promedio de un viaje de ida y vuelta, sino tambien unıvocamente.

Se puede usar senales viajando a velocidad invariante para lograr la sincronizacionde relojes, pero en las presentes secciones se desea comprender que podrıa suceder sise usa otro tipo de senales. Es facil ver, sin embargo, que si las coordenadas de dossistemas de referencia son relacionadas por las transformaciones de Lorentz con una


velocidad invariante C, la sincronizacion ha de ser ejecutada usando senales que viajana la velocidad C. Para proveer esto, se permite considerar de nuevo los fundamentosdescritos en la seccion 3.2 (vease la figura 3.2). Supongase que ambos sistemas dereferencia acuerdan usar senales que viajan a cierta velocidad V en el sistema

∑.

Entonces, si un observador ubicado en O′ envıa dos senales en direcciones opuestassobre el eje x′; los observadores asumiran que en el sistema

∑′ con la coordenada x′

igual a +l y −l aplicada respectivamente a cada senal enviada por O′, tardaran untiempo:

t′+ =x′+u+

= (+l)

(1 + (+V )(−v)/C2

+V − v

)= l

1− V v/C2

V − v(3.37)

y

t′− =x′−u−

= (−l)(

1 + (−V )(−v)/C2

−V − v

)= l

1 + V v/C2

V + v(3.38)

respectivamente, donde se ha utilizado la ley de composicion de velocidades de Einstein:(vease el Apendice F)[12]

u ≡ w + v

1 + wv/C2(3.39)

la cual asume que las coordenadas de∑

y∑′ estan relacionadas por unas transforma-

ciones de Lorentz con una velocidad invariante C. Si las senales viajan a una velocidadV y han de ser usadas para sincronizar relojes, entonces se tendra (por isotropıa yhomogeneidad) que t′+ = t′−, lo cual solo es posible si V = C. 9

Al respecto se presenta la posibilidad, si el valor de la velocidad invariante ya hasido establecido experimentalmente, este resultado obliga a usar precisamente senalesinvariantes, y no otras, para llevar a cabo la sincronizacion de relojes. Alternativamente,se puede fijar a V como una velocidad invariante, como sucedio en el ejemplo del fluidodinamico, donde se habıa definido (tL, xL) de tal forma que cs fuese una velocidadinvariante. Por supuesto que lo anterior es una posibilidad, pero se requiere que el usode las coordenadas espacio y tiempo funcionen de una manera diferente, que las mismasse relacionen como una combinacion fısica de relojes y reglas. En este caso se puededecir que los dispositivos de medida (reglas y relojes) estan dinamicamente afectadospor el movimiento con respecto al fluido, de tal manera que cada movimiento no sehaga detectable. Luego se descubrirıa una invarianza de Lorentz acustica con sus reglas

9Esta ultima consecuencia fue comprobada en 1887 por Michelson y Morley en su experimento[9].


y relojes transformando de acuerdo a las leyes de una aproximada relatividad acustica(grupo de Lorentz con C = cs). En este sentido, se aclara que el fluido juega el papel deun Eter, cuya presencia se desvanece a causa de los efectos cinematicos: contraccion deLorentz y dilatacion del tiempo. Lo que significa que se tendrıa una analogıa del fluidodinamico de la Teorıa Especial de la Relatividad al estilo Lorentz.

3.2.3. ¿Que es C?

La homogeneidad e isotropıa del espacio de un sistema inercial, junto con los princi-pios de la relatividad y causalidad, implican, “cinematicamente”, el grupo de Lorentz,que justifica la existencia de alguna velocidad invariante C. Por lo tanto, relojes a cier-ta distancia deberan ser sincronizados usando senales propagandose a la velocidad C.Pero, tal valor se ajusta solo cuando la prescripcion para la construccion de relojes yreglas este dada, y se adopte uniformemente en todos los sistemas de referencia.

El argumento que establece la existencia de una velocidad invariante C, el cual espuramente de caracter cinematico, no conduce a conocer un valor de ella. Puesto quecuando una eleccion de relojes y reglas se ha tomado, un valor real para C, dependeexclusivamente de un proceso experimental. En principio, no se puede hallar ni siquierael caso degenerado C = +∞, cual corresponde a las transformaciones galileanas. Noobstante, se conoce que C coincide, a una muy buena precision, con el valor c dela velocidad de la luz en un vacıo sin condiciones de contorno, de esta forma podrıaajustarse inicialmente que C ≡ c (vacıo de Minkowski)10. Sin embargo, siempre sepodrıa tener en mente que pequenas desviaciones de esta empırica igualdad establecida,sean logicamente posibles.

Una vez se halle experimentalmente cierto valor finito para C, el formalismo de larelatividad especial sera expresado por las categorıas base i), ii) y iii). Visto que laexistencia de senales mas rapidas que C no contradice cualquiera de estos postulados,estas resultan ser (“cinematicamente”) aceptables dentro de la ordinaria teorıa especialde la relatividad. En particular, no se puede hacer uso de estas senales para realizar una

10No parecerıa extrano tomar como punto de partida este ajuste, despues de todo la invarianza de “c” ya ha sido demostradaexperimentalmente y es ademas la base de la relatividad especial conocida. En cuanto al termino vacıo de Minkowski, este refiereal concepto de vacıo moderno desde la perspectiva de la Relatividad Especial y la Mecanica Cuantica (por ejemplo, el exterioro el interior en las direcciones y y z de las placas de Casimir), en el cual se sigue satisfaciendo la homogeneidad, isotropıa yestabilidad del estado vacıo. A medida que se avance en el estudio de la presente memoria se hallaran razones del porque se haceeste ajuste inicial y las repercusiones que genere como tal, por ahora unicamente considere la validez del ajuste C ≡ c.[1]


sincronizacion de relojes sin violar las categorıas i) y ii)11. De hecho, aunque diferen-tes sistemas de referencia puedan usar senales hipoteticamente ultra-rapidas (C), paradefinir las coordenadas t y t′ de tal manera que el intervalo ∆t = 0 siempre que ∆t′ = 0,el uso de tales coordenadas serıan incompatibles con el principio de la relatividad. Esdecir, si ∆t = ∆t′ = 0, de la ecuacion (3.26) se obtiene que:

0 = −γvv′

(0− γγ′ − 1

γγ′vx

)⇒ γγ′ = 1 (3.40)

luego en efecto, al asumir la isotropıa del espacio dada por la relacion de reciprocidad,(3.26) se reduce a:

t′ = γt (3.41)

Si γ 6= 1 -un experimento insinua que puede ser decisivo comparar relojes en ambossistemas de referencia- requiriendo que γ 6= γ′ (vease la expresion (3.40)), lo que sig-nifica una violacion del principio de la relatividad. El resultado de la transformacionse permite para una nocion absoluta de simultaneidad, la cual esencialmente se debea la introduccion de un sistema de preferencia en el formalismo (Eter). En conclusion,notese que si γ 6= 1 es imposible ajustar relojes tal que t′ = t, a menos que se acepteque la reciprocidad, de la isotropıa del espacio, sea tambien violada.

Incluso si se permitiese el ingreso de “taquiones”(partıculas o senales mas rapidasque C), los mismos no podrıan ser usados para sincronizar relojes en un sistema in-dependiente sin contradecir el principio de la relatividad. Por supuesto, los taquionespueden ser usados para definir algunas coordenadas x y t justo como cualquier otrasenal. Pero debe recordarse nuevamente que para realizar la sincronizacion debe usarsesenales que viajen a una velocidad invariante C, tal que se satisfaga el principio de larelatividad.

3.3 Causalidad

Como se ha ido comentando a lo largo del presente capıtulo, una vez las unidadesde longitud y tiempo sean definidas, unicamente argumentos cinematicos basados en

11Por ejemplo, el interior de las placas de Casimir; allı el espacio es anisotropico e inhomogeneo y en inferenciaC no se propagaa una velocidad identica en cualquier direccion. A pesar de esto, particularmente, el fenomeno conlleva a una “invarianza localde Lorentz”.


las categorıas i)-iii) permitiran la existencia de una velocidad invariante. Experimen-talmente, el ultimo paso para coincidir con la velocidad de la luz es cuando se usa reglasy relojes “ordinarios”. Esto, sin embargo, no necesariamente significa que nada puedapropagarse mas rapido que c. Como ya se ha discutido, la existencia de senales masrapidas que c no amenazarıan rasgos cinematicos de la relatividad especial, porque ellasno pueden ser usadas para sincronizar relojes de una manera fısicamente aceptable12.

Recuerdese el Teorema 3.1, aquel define un modelo del universo en R4 donde elintervalo espacio-tiempo, como ya es conocido, se dado por:

(δS)2 = ηµνδxµδxν

cuya Metrica de Minkowski matricialmente resulta de la forma:[14][15][16][34]

ηµν =

η00 η01 η02 η03η10 η11 η12 η13η20 η21 η22 η23η30 η31 η32 η33

=

−1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

(3.42)

En adicion, tensorialmente, el intervalo espacio-tiempo satisface la invarianza deLorentz: (en equivalencia al Apendice E)[20]

(δS ′)2 = η′µνδx′µδx′ν

= Λ αµ Λ β

ν ΛµγΛ

νϑηαβδx

γδxϑ

= δαγ δβϑηαβδx

γδxϑ

= ηαβδxαδxβ (3.43)

donde se ha utilizado la ecuacion (3.21) aplicada al sistema∑′, es decir

η′µν = Λ αµ Λ β

ν ηαβ (3.44)

junto con las propiedades:[15][20]{Λ µν = (Λµ

ν)−1 ⇔ Λ ε

ν Λνµ = δεµ ;

Λ µν = ηνγη

µ%Λγ%

(3.45)

12Como justificacion de lo precedente, basta con recordar el Efecto Casimir, el cual induce una pequena inestabilidad en ciertoespacio del universo (dentro de las placas), siendo de esta manera un caso “muy particular” y del mismo no pueden considerarsevelocidades para sincronizar relojes. No obstante, visto que la maxima velocidad es usada para definir la estructura causal delespacio-tiempo, la existencia del Efecto Scharnhorst podrıa dirigir a adoptar, dentro de las placas de Casimir, un Tensor Metricoespacio-tiempo diferente al del exterior (es decir, diferente a la Metrica de Minkowski).


Por ultimo, cabe aclarar que el tensor δασ ≡ ηαβηβσ representa los elementos de la matriz

identidad y el tensor Λ µν representa la correspondiente transformacion del sistema de

referencia∑′ al

∑, que es equivalente al cambiar la velocidad v por −v.[20]

Finalmente, la causalidad del Espacio de Minkowski sostiene que las partıculaspueden viajar a lo largo de las lıneas de cono tiempo, cono luz y cono espacio; y quetodo esto es perfectamente consistente desde un punto de vista cinematico. En otraspalabras, lo anterior conlleva a una relatividad especial que puede “cinematicamente”ajustarse a una propagacion mas rapida que c. Es, sin embargo, valido que, aunque sibien senales mas rapida que c no son incompatibles con la relatividad especial, existeaparentemente una obstruccion estructural al establecer “taquiones” en la misma.

3.3.1. Taquiones y Paradojas Causales

Un taquion (o foton de Scharnhorst) se define como una partıcula que se caracterizapor viajar mas rapido que la velocidad de la luz c. Los taquiones son usualmente aso-ciados con indeseables paradojas causales. La razon basica para esta creencia es que sidos eventos, por decir E1 y E2, estan relacionados cono espacio, la evolucion del tiempoentre ellos no es absoluta. Entonces, si una senal superluminal (que esta compuestapor taquiones y en consecuencia es mas rapida que c) viaja desde E1 hasta E2 en unsistema de referencia, siempre es posible hallar algun sistema en el cual E1 y E2 seansimultaneos, ası la senal podrıa simular que viaja a una velocidad infinita, y otros sis-temas en los cuales E2 sucede antes que E1, lo que significa que la senal “viajarıa alpasado”.

La conexion causal entre dos eventos puede ser establecida solo por el transcurso desus tiempos. Considerese dos eventos “cono espacio” E0(t0, x0) y E1(t

′1, x′1) conectados

causalmente por taquiones. El evento E0 (cual pertenece al sistema de referencia∑

)envıa un taquion (dirigido a futuro) desde la posicion x0 = 0 en el tiempo t0 = 0 haciael evento E1 (en el sistema

∑′), cual le recibe en el tiempo t′1 > 0. Vease la figura 3.3.No obstante, siempre es posible encontrar otro observador

∑′ tal que t′0 = 0, x′0 = 0 yt′1 < 0. Una vez recibido el taquion por E1, este le regresa inmediatamente (dirigido afuturo con respecto a

∑′) al sistema∑

con posicion x2 = 0 y tiempo t2. Por simplelogica se esperarıa que E0 fuese causa de E1 y sucesivamente E1 fuese causa de E2,lo que significa que E0 serıa causa de E2. Sin embargo, esto no resulta de esta forma,puesto que de acuerdo a la dilatacion del tiempo ∆t = ∆t′/

√1− v2/c2,[14] se halla que

el tiempo t2 < t0, lo que significa que la senal, con respecto a E0, ha viajado al pasado,situandose de esta manera en el evento E2.


Figura 3.3: Diagrama de Minkowski. Una paradoja al usar taquiones. E0, E1 y E2 corresponden aeventos que estan causalmente conectados y dependen del envıo de taquiones. Debe aclararse que las lıneasrojas, que simbolizan a un sistema

∑′ que se desplaza a cierta velocidad v con respecto al sistema∑

, nointervienen en el proceso, puesto que el uso de taquiones no lo permite.

Figura 3.4: Propagacion del taquion sin paradojas causales. Ambas senales viajan a futuro en un sistemade referencia en reposo

∑al interior de las placas de Casimir. Debe aclararse que el anterior arreglo es valido

exclusivamente sobre la direccion del vector normal a las placas metalicas.


El resultado es paradojico, porque si E0 y E2 estan relacionados cono tiempo conrespecto al sistema de referencia

∑, implica que sobre la lınea del universo t0 > t2

indicando que el evento E0 es efecto del evento E2. Despues de todo, el uso de losfotones de Scharnhorst genera una inversion en el eje temporal. Es obvio desde ladescripcion para paradojas de este tipo, que se requiere no solo que taquiones existan,sino que tambien, dado un sistema de referencia arbitrario, sea posible enviar un taquionhacia atras en el tiempo. En inferencia, se concluye que sı es posible la propagacionsuperluminal siempre y cuando esta no transmita informacion. Lo que definitivamentedebe estar prohibido es transmitir informacion con velocidades superiores a c, pues ellopermitirıa una completa comunicacion entre cierta partıcula con su propio pasado[7].

Sin duda alguna, no serıa paradoja si, en un sistema de referencia particular, lostaquiones pudieran solo propagarse hacia futuro. Por supuesto, esta restriccion con-tradice la aproximacion estandar de la relatividad especial al escoger un sistema depreferencia. Sin embargo, sı se tienen unas buenas razones como para escoger tal sis-tema de preferencia (sistema de referencia

∑al interior de las placas de Casimir), en-

tonces esta clase de restriccion puede tener un sentido fısico razonable. Esta situacionesta ejemplificada en la figura 3.4, cual muestra una cadena de eventos similares a losde la figura 3.3, con la unica diferencia que ahora el taquion posee una velocidad fijacon respecto al sistema de referencia

∑. Entonces, el tiempo del evento E2 toma lugar

despues del evento E0 en∑

. Ademas, desde que ambos eventos esten relacionados conotiempo, el evento E2 es efecto de E0 en todos los sistemas de referencia. Por lo tanto noexistirıa paradoja aun si los taquiones son utilizados para enviar senales. En conclusion,al cono tiempo se le permite ampliarse solo y exclusivamente al interior de las placasde Casimir, conllevando de esta manera a un caso muy particular de la relatividad es-pecial. En el siguiente capıtulo se discutira el Efecto Scharnhorst, en el cual se tratarantaquiones que resultan favorables para preservar la causalidad del espacio-tiempo.

¿Por que las cosas son como son y no de otra manera?.Johannes Kepler (Fısico)

4

EFECTO SCHARNHORST

En 1990 Scharnhorst demostro que la propagacion de la luz en el vacıo de Casimir secaracteriza por una velocidad anomala. La fenomenologıa al interior del vacıo anisotropi-co define taquiones propagandose en la direccion perpendicular a las placas metalicascon una velocidad c⊥, la cual excede ligeramente a la usual velocidad c de un fotonordinario propagandose en el vacıo de Minkowski. Por otra parte, en las direcciones pa-ralelas a las placas metalicas los fotones se propagan sin alteracion alguna a la velocidadde la luz c‖ = c.[1][2][4][5][32][33]

El Efecto Scharnhorst define una polarizacion del vacıo de Minkowski, vacıo deCasimir, y se demuestra por correccion en la Electrodinamica Cuantica (QED). Unpunto importante es que el vacıo cuantico, siendo polarizado por una restriccion externa,puede comportarse como un medio dispersivo con ındice de refraccion n(ω), el cualresulta ser menor a la unidad. En consecuencia, de acuerdo al trabajo realizado porScharnhorst, la descripcion de una “Metrica Efectiva” gµν (concebida por “suma depolarizaciones”) es suficiente para especificar completamente la propagacion del taquional interior del vacıo de Casimir.

El presente capıtulo planea definir inicialmente una serie de fundamentos que garan-ticen preservar la causalidad. Progresivamente, en total importancia, se adoptara comodefinicion la Metrica Efectiva de Scharnhorst, la cual tiene ıntima dependencia con rela-ciones de dispersion. Finalmente con ayuda del tensor metrico efectivo se concedera elproposito de este capıtulo: hallar teoricamente velocidades superiores a la luz; entreellas se destaca la velocidad de fase vphase(φ) y la velocidad instantanea c

(u)taquion(φ).

EFECTO SCHARNHORST 66

4.1 Preservando la Causalidad, Tensor Metrico Efectivo

Adoptando el formalismo de una metrica efectiva gµν se solicitara muchas de lasnociones de la Teorıa General de la Relatividad, para ası concluir de una manera massencilla que los taquiones no pueden violar la causalidad. En particular, desde que la es-tructura causal de la relatividad general no sea especificada por las ecuaciones de campo(tengase en cuenta el hecho que la interaccion gravitacional entre las placas de Casimires demasiado debil y es la ultima interaccion detras de una serie de interacciones; lo quesignifica que para la situacion, en el tratamiento de fenomenos superluminales llevadoa cabo por el presente trabajo, esta interaccion puede y sera despreciada), una ideaconsiderable yace de como caracterizar la causalidad. Para lograrlo solo se requiere unadefinicion clave y un resultado fundamental.

Causalidad Estable : Un espacio-tiempo es causalmente estable, sı y solosı, posee una metrica Lorenziana gµν y una funcion escalar globalmentedefinida como t, tal que∇µt no sea nula en cualquier circunstancia y siempresea “cono tiempo” con respecto a gµν .[28]

Teorema 4.1:

dUn espacio-tiempo causalmente estable no posee curvas cono tiempo cerradas (esdecir, la lınea del universo no tiene inclinaciones superiores a π/4 con respecto al ejetemporal), ni tampoco tiene curvas nulas (esto elimina la existencia de un sistema dereferencia en reposo absoluto)[28].c

Los anteriores fundamentos son claves para el procedimiento que se presentara acontinuacion, y durante el desarrollo del mismo siempre deben tenerse presentes.

4.2 Metrica Efectiva de Scharnhorst, Velocidades Superiores a la Luz

Recuerdese la ecuacion (3.34), ella resulta del cono de velocidad acustico Gµνxµxν =

0; de la misma se concluyo que no es invariante de Galileo. Sucesivamente, mas alla deluso de las transformaciones de Lorentz, se observo que a partir de la expresion (3.36)(o (3.43) para el caso de c) junto con la metrica de Minkowski (3.42) se demostro lainvarianza de Lorentz. Lo que indica que para este ultimo, al introducir las cuatrodimensiones que conforman el universo, se evidencia que el intervalo espacio-tiempocono de luz se satisface de la forma:


Figura 4.1: Prisma de Newton. El angulo con el que se desvıan los rayos monocromaticos depende de lafrecuencia ω a traves del ındice de refraccion n(ω). En la dispersion “usual”, el extremo rojo del espectrose dispersa menos que el extremo azul[7].

ηµνxµxν = 0

ηµ0xµx0 + ηµ1x

µx1 + ηµ2xµx2 + ηµ3x

µx3 =

η00x0x0 + η10x

1x0 + η20x2x0 + η30x

3x0 =

+η01x0x1 + η11x

1x1 + η21x2x1 + η31x

3x1

+η02x0x2 + η12x

1x2 + η22x2x2 + η32x

3x2

+η03x0x3 + η13x

1x3 + η23x2x3 + η33x

3x3

− (x0)2 + (xj)2 = 0 (4.1)

donde µ, ν ≡ 0, 1, 2, 3., j ≡ 1, 2, 3. El procedimiento precedente define la propagaciondel foton en el vacıo de Minkowski.

Cuando una onda se refracta en un medio dispersivo cuyo ındice de refraccion de-pende de la frecuencia ω (o del numero de onda k), el angulo de refraccion tambiendependera de la frecuencia o longitud de onda. Si la onda incidente, en vez de serarmonica (o monocromatica) se compone de varias frecuencias o longitudes de onda su-perpuestas, cada longitud de onda componente se refractara segun un angulo diferente;este fenomeno se denomina dispersion[30]. Vease la figura 4.1.


Las ondas luminosas mas simples estan descritas por un campo electromagneticomonocromatico del tipo:[7][15][19][21][30]

~E(t, ~r), ~B(t, ~r) ∝ cos[2π(x/λ− t/T )]

Las ecuaciones de Maxwell indican que el ciclo de retroalimentacion electromagnetica,responsable de la propagacion de ondas luminosas, solo es posible cuando la longitud deonda y el perıodo cumplen la condicion c′2T 2 = λ2ε (cono de velocidad)[7]. Esta expre-sion difiere de la ecuacion (4.1) a causa del termino ε que define la respuesta dielectricadel material. La introduccion del mismo se debe a la efımera variacion de la velocidadde la luz (para el caso de una frecuencia monocromatica) al interior del material dis-persivo, ocasionando de esta manera un rompimiento en la invarianza de Lorentz. Esimportante aclarar que de la experiencia se conoce que todos esos cambios de velocidadpara cualquier componente armonica de la luz en el material dispersivo satisfacen quec′ < c.

Por otra parte, en aplicacion a lo que le compete al presente capıtulo, a diferenciade la expresion (4.1), Scharnhorst propone que la propagacion de senales dentro del“vacıo de Casimir” se describe por la relacion de dispersion:

γµνkµkν = 0 (4.2)

donde kµ ≡ (k0, k1, k2, k3) refiere al cuadri-vector de onda correspondiente a senalespropagandose al interior de las placas de Casimir1. De la expresion (4.2) puede agregarseque si φ = π/2 (direcciones perpendiculares a la direccion x) como caso especial setendrıa que ηµνkµkν = 0, satisfaciendo fotones propagandose paralelamente a las placasmetalicas a la velocidad estandar de la luz c. Continuando con el analisis, los coeficientesγµν (cuales representan un tensor metrico efectivo inverso) poseen la forma:[2]

γµν ≡ ηµν + ξnµnν (4.3)

De la definicion (4.3) se observa que existe dependencia de la metrica inversa deMinkowski ηµν , de cuadri-vectores unitarios nµ ≡ (n0, n1, n2, n3) = (0, 1, 0, 0) ortogo-nales a las placas de Casimir y una funcion de acoplamiento ξ = ξ(x1). La expresioncontravariante (4.3) corresponde a una metrica efectiva inversa, por lo tanto debe existirla metrica efectiva en notacion covariante, esta es conocida como el Tensor Metrico de

1Observese que la diferencia entre las relaciones (4.1) y (4.2) es un cambio de notacion (covariante a cotravariante y con-travariante a covariante), la cual refiere a una notacion inversa. Para que la relacion (4.2) se sostenga debe existir ausencia debirefringencia.


Scharnhorst y se define de la forma:[2]

gµν ≡ ηµν −ξ(a)

1 + ξ(a)nµnν (4.4)

Debe aclararse que la definicion (4.4) no se obtiene de la forma usual que se em-plea para convertir ındices covariantes a contravariantes y viceversa, es decir, gµν 6=ηµρηνσγ

ρσ. Tambien debe mencionarse que la expresion (4.4) es “unicamente valida”para componentes sobre la direccion x (en el interior, eje perpendicular a las placas deCasimir).

De (4.4) se observa claramente que si ξ = 0, la misma se reduce a la ordinaria metricade Minkowski que define un estado vacıo estable (sin condiciones de contorno), lo quesignifica que el termino [ξ/(1 + ξ)]nµnν representa un termino de correccion (transiciondel vacıo de Minkowski al vacıo de Casimir), siendo a la vez una consecuencia de lasfluctuaciones del vacıo cuantico; luego, el termino ξ es una funcion dependiente de “a”,resultado de las correcciones de la QED y se define como:[1]

ξ(a) ≡ 11π2α2

4050a4m4e

' 4,36× 10−32(10−6m

a)4 (4.5)

donde a es la distancia entre las placas conductoras, me refiere a la masa del electrony α define la constante de estructura fina. El valor que define la expresion (4.5) esdemasiado pequeno, pero es positivo y en comparacion a la metrica de Minkowski ηµν ,las lıneas del cono de velocidad sobre la metrica gµν “son ligeramente mas ampliasen la direccion ortogonal a las placas”(vease nuevamente la figura 3.4), otorgando laposibilidad de hallar propagaciones superluminales sin paradojas causales. Esto implicaque la velocidad de las senales de propagacion taquionica es levemente mas alta que lavelocidad de la luz c, la cual se mantiene intacta en las direcciones y y z al interior dela cavidad resonante, es decir, C‖ = c.

El valor exacto de la velocidad C‖ en el sistema en reposo∑

de las placas, puedeser obtenido a traves de un procedimiento estandar, tan solo debe enviarse una senaldesde un punto P1 a otro punto P2 en el espacio. Un pulso en P1 origina un frente deonda que se propaga eventualmente hacia P2. Por consiguiente, la velocidad de la luz

dentro de un aparente vacıo de Minkowski en la direccion−−→P1P2 se da por:

Distancia entre P y Q

Tiempo tomado por el frente de onda para llegar a Q≡ c

puesto que la velocidad de la luz es constante e independiente de la posicion y en


consecuencia el tensor gµν no actua sobre ella, luego en el vacıo de Casimir la metricaefectiva gira a tener coeficientes constantes. En efecto, asumiendo que el pulso parteen t = 0 desde el punto P1 con coordenadas espaciales (0, 0, 0) y llega en el tiempo tal punto P2 de coordenadas (x1, x2, x3), el frente de onda electromagnetico en el vacıocuantico sera descrito por la expresion (4.1), la cual en terminos mas practicos resultade la forma:

ct = (gijxixj)1/2 (4.6)

donde los ındices latinos i, j ≡ 1, 2, 3 y gij = diag(1, 1, 1). Entonces, de acuerdo a laexpresion (4.4), aplicada tridimensionalmente dentro del vacıo de Casimir a la expresion(4.6), se obtiene que el tiempo requerido para la propagacion desde el punto P1 hastael punto P2 es:

ct = (gijxixj)1/2

=

((ηij −

ξ(a)

1 + ξ(a)ninj)x

ixj)1/2

=

(ηijx

ixj − ξ(a)

1 + ξ(a)(nix

i)(njxj)

)1/2

=

(|~x|2 − ξ(a)

1 + ξ(a)(n · ~x)2

)1/2

= |~x|(

1− ξ(a)

1 + ξ(a)cos2 φ

)1/2

= |~x|(

1 + ξ(a) sin2 φ

1 + ξ(a)

)1/2

(4.7)

donde φ es el angulo formado por−−→P1P2 (direccion de propagacion del vector de onda

~k) y el vector normal a las placas n. Del procedimiento anterior, se observa claramenteque se garantizo la homogeneidad del tiempo y en inferencia tambien se conservo la

estabilidad causal. Luego la velocidad de senales luminosas en la direccion−−→P1P2 se da

por:

clight(φ) =|~x|t

= c

(1 + ξ(a)

1 + ξ(a) sin2 φ

)1/2

(4.8)

Ahora, si φ es el angulo entre ~k y n implica que tal espacio esta definido por tresdimensiones espaciales, a cuales una de ellas puede ajustarse a ser cero, luego el vector


de onda puede escribirse como:

~k = (|~k| cosφ, |~k| sinφ, 0) (4.9)

Por consiguiente, en base a la definicion (4.2) aplicada a la metrica Euclideanainducida por ηµν y la relacion ω = ck, se obtiene:

γijkikj = ω2/c2 = 0

(ηij + ξninj)kikj = ω2/c2 = 0

|~k|2 + |~k|2ξ cos2 φ = ω2/c2 = 0

ω2 = c2(|~k|2 + |~k|2ξ cos2 φ) (4.10)

El resultado previo describe una relacion para la velocidad de fase de la forma:[2]

vphase(φ) =ω

|~k|= c(1 + ξ(a) cos2 φ)1/2 (4.11)

Los fotones de Scharnhorst viajan a una velocidad definida en cualquier sistema dereferencia dado. Esto es una consecuencia trivial de los resultados previos, ellos poseenuna velocidad definida clight(φ) en el sistema de referencia en reposo con respecto a lasplacas (

∑) y la ley relativista para composicion de velocidades. Sin embargo, esto puede

verificarse explıcitamente usando la descripcion dada por la metrica efectiva (4.4). Enotras palabras, del argumento previo, al aplicar la metrica efectiva observese que seobtiene:

gµνδxµδxν = 0

(ηµν − ξ(a)1+ξ(a)

nµnν)δxµδxν = 0

nµνδxµδxν = ξ(a)

1+ξ(a)(nµδx

µ)2 (4.12)

Ahora, considerese dos eventos con coordenadas E1 := xµ y E2 := xµ + δxµ, ambosacontecen sobre la lınea del universo de un foton, de allı se tiene que gµνδx

µδxν = 0(cono luz ). Un observador con cuadri-velocidad uµ descompondrıa el espacio-tiempo δxµ

dentro del lapso de tiempo (para hacer esto debe recordarse la definicion del cuadri-vector velocidad):[12]

uµ ≡ δxµ

δx0=⇒ δτ =

1

cuµδx

µ =1

cηµνu

µδxν (4.13)


donde se realizo la transformacion de componentes covariantes a contravariantes Vα :=ηαβV

β.[16] Debe aclararse que δτ refiere al tiempo propio. Sucesivamente el respectivodesplazamiento se da por:

(δS)2 = −c2(δτ)2 + (δ|~x|)2

δ|~x| = (ηµνδxµδxν + c2(δτ)2)1/2 (4.14)

Finalmente al utilizar las expresiones (4.12), (4.13) y (4.14), se obtiene la velocidaddel foton con respecto al observador uµ, la cual esta descrita por el concepto de velocidadinstantanea de la forma:

c(u)taquion(φ) = Lımδτ→0

δ|~x|δτ

= Lımδτ→0(ηµνδx

µδxν + c2(δτ)2)1/2

δτ

= Lımδτ→0

(c2 +

ηµνδxµδxν

(δτ)2

)1/2

= Lımδτ→0

(c2 +

ξ(a)

1 + ξ(a)

c2(nµδxµ)2

(ηµνuµ)2(δxν)2

)1/2

c(u)taquion(φ) = Lımδτ→0 c

(1 +

ξ(a)

1 + ξ(a)(nµδx

µ

uνδxν)2)1/2

(4.15)

donde se ha utilizado la definicion (4.4). Lo interesante del resultado (4.15) es que

siempre c(u)taquion(φ) ≥ c y que posee un “unico valor” para cada observador de cuadri-

velocidad uµ. Esta ultima caracterıstica previene la posibilidad de paradojas causales.

La relevancia de la definicion Causalidad Estable y el Teorema 4.1, dotado con lametrica de Minkowski ηµν al exterior y la metrica efectiva (4.4) al interior de las placas,es causalmente estable. Ciertamente, usando la coordenada temporal en el sistema dereferencia en reposo al interior de las placas, definida globalmente como t, entonces ∇µtno es nula en cualquier circunstancia y es cono de tiempo. Por lo tanto, el procedimientoesta causalmente a salvo. Esto es suficiente para garantizar que nunca se encontrara unaviolacion a la causalidad[1].

El cientıfico encuentra su recompensa en lo que Henri Poincarellama: “el placer de la compresion”, y no en las posibilidadesde aplicacion que cualquier descubrimiento puede conllevar.

Albert Einstein (Fısico)

5

CONCLUSIONES

X A partir de las ecuaciones de Maxwell se logro cuantizar el campo electromagneticodel universo y en consecuencia, se obtuvo la energıa del punto cero (ZPE), la cual repre-senta el valor esperado del estado de mas baja energıa, estado vacıo. Progresivamentese aplico el analisis de Casimir, donde se realizo una clara distincion de energıas paraun vacıo cuantico limitado por ciertas condiciones de contorno y uno de condicionesde contorno nulas, corroborandose la existencia de fluctuaciones en la energıa ZPE yque en efecto, tales variaciones energeticas pueden en ciertas circunstancias actuar so-bre objetos materiales ordinarios. La Fuerza de Casimir es un claro ejemplo de estasconsecuencias. Ademas el Vacıo de Casimir puede conducir a encontrar nueva clase defenomenos fısicos.

X En este trabajo se presento una valoracion crıtica de la posibilidad, desde un puntode vista de los fundamentos fısicos de la relatividad y causalidad, de senales mas rapidasque la velocidad de la luz. Analisis motivado por algunas recientes predicciones teoricasde fotones propagandose “superluminalmente”[1][2][4][5][32][33]. Se ha demostrado quetales situaciones, de caracter muy particular, son cinematicamente compatibles con laTeorıa Especial de la Relatividad, puesto que ella requiere para su eficaz funcionamientola existencia de una velocidad invariante y no necesariamente una velocidad maxima.Tambien, el uso de la velocidad c

(u)taquion(φ) no condujo a paradojas causales, las cuales

solo pueden surgir desde taquiones cuyo valor de la velocidad no sea fijado en un sistemade referencia. El rompimiento de la invarianza de Lorentz podrıa ajustar el valor de lavelocidad de los taquiones en un sistema de referencia especıfico y preservar causalidad.Es cierto que la luz se comporta “unicamente” de una manera no invariante de Lorentz,pero esto se debe a que la energıa del punto cero del campo electromagnetico no esinvariante de Lorentz. En inferencia, el rompimiento local de la invarianza de Lorentzes, sin embargo, consecuencia de la seleccion del estado vacıo y no se extiende al grupo

CONCLUSIONES 77

invariante de los fundamentos de la leyes fısicas, cuales todavıa permanecen en su usualgrupo de Lorentz C = c.

X Como continuidad de la presente memoria, las aplicaciones del Efecto Casimir soninimaginables, la mas atractiva conlleva a resolver el problema de la aceleracion deluniverso, en el cual las fluctuaciones del vacıo cuantico para un universo en resonanciapodrıan tal vez obtenerse de un “Efecto Casimir a Nivel Cosmologico”, donde las placasmetalicas serıan ahora la curvatura o topologıa espacio-tiempo con diferencia de energıapara los casos de curvatura nula y curvatura no nula. Actualmente existen grupostrabajando en ello[3].

A

POZO DE POTENCIAL

Considerese una partıcula de masa m confinada a moverse dentro de un pozo depotencial definido de la forma: (vease la figura A.1)

V =

∞, x < 00, 0 ≤ x ≤ L∞, x > L

(A.1)

Clasicamente la partıcula permanece confinada dentro del pozo, moviendose a mo-mentum constante p = ±

√2mE hacia atras y hacia adelante como resultado de repeti-

das reflexiones contra las paredes del pozo. Como se observa en la figura A.1, se definentres regiones, cuanticamente se espera que la partıcula tenga solo saltos de solucionesde estado y un espectro de energıa discreto no degenerado.

Al tomar la ecuacion de Schrodinger independiente del tiempo, se tiene:

− }22m

∂2ψ∂x2

+ V ψ = Eψ

− }22m

∂2ψ∂x2

= (E − V )ψ (A.2)

Considerando la region II, V = 0, luego la ecuacion (A.2) se reduce a:

− }22m

∂2ψ∂x2

= Eψ∂2ψ∂x2

+ k2ψ = 0 (A.3)

donde k2 ≡ 2mE/}2, siendo k el numero de onda. Una posible solucion a la ecuacion

POZO DE POTENCIAL 80

Figura A.1: Una partıcula dentro del pozo de potencial.

(A.3) puede ser de la forma:[24]

ψ ≡ esx (A.4)

donde s refiere a un escalar complejo. En cuanto a la definicion (A.4) el respectivo valorde su segunda derivada es:

d2ψ

dx2=

d

dx(d

dxesx) =

d

dx(sesx) = s2esx

Al sustituir este ultimo resultado junto con la definicion (A.4) en la ecuacion (A.3)se obtiene:

s2esx + 2mE}2 esx = 0

s2 = −2mE}2

s = ±i√

2mE/}2 = ±ik (A.5)

en consecuencia, de la solucion (A.4) se desprenden dos soluciones:

ψ1 = eikx ; ψ2 = e−ikx (A.6)

Ahora, considerese la identidad:[22]

eiθ = cos θ + i sin θ (A.7)

para este caso θ ≡ kx. En general, la solucion que define a la region II y satisface la

POZO DE POTENCIAL 81

expresion (A.3) sera:

ψII = Bψ1 +Dψ2

= Beiθ +De−iθ

= B(cos θ + i sin θ) +D(cos θ − i sin θ)

= C1 cos(kx) + C2 sin(kx) (A.8)

Observese nuevamente la figura A.1, aplicando las condiciones de frontera, se des-prende que si en las regiones I y III V →∞, implica que ψI y ψIII → 0. En efecto, lafuncion ψ(x) debe ser continua, por lo tanto: (A continuacion se dara paso al uso delas condiciones de frontera de Dirichlet)

ψI(x = 0) = ψII(x = 0)

0 = C1 cos(0) + C2 sin(0)

C1 = 0

Al tener en cuenta este ultimo resultado, la solucion (A.8) aminora a:

ψII = C sin kx (A.9)

Sucesivamente

ψII(x = a) = ψIII(x = L)

C sin(kL) = 0 (A.10)

de aquı para evitar soluciones triviales C2 no debe ser cero, de lo contrario no existeonda de Broglie. Luego para que se satisfaga la ecuacion (A.10) debe cumplirse que:

kL = nπ; (n ≡ 1, 2, 3, ...) (A.11)

En agregado, del anterior resultado puede obtenerse facilmente el espectro de energıapara una partıcula en una caja de dimension L:[24]√

2mE

}2L = nπ =⇒ En =

}2π2

2ma2n2; (n ≡ 1, 2, 3, ...) (A.12)

La energıa ha sido cuantizada y solo ciertos valores son permitidos.

B

NORMALIZACION DE FUNCIONES

Considerese la funcion de onda:

φ ≡ 1√Vei~k·~r (B.1)

donde k = 2πn/L con n ≡ ±1,±2,±3, .... Al aplicar el Teorema 2.2, la respectivanormalizacion para la funcion (B.1) se da por:

〈φk|φk′〉 =

∫ L

0 (V )

(ei~k·~r√V

)∗(ei~k·~r√V

) d3r

=

∫ L

0 (V )

(e−i

~k′·~r√V

)(ei~k·~r√V

) d3r

=1

V

∫ L

0 (V )

(cos(k′r)− i sin(k′r))(cos(kr) + i sin(kr)) d3r

=1

V

(∫ L

0 (V )

cos(2πn

Lr) cos(

2πn′

Lr) d3r +

∫ L

0 (V )

sin(2πn

Lr) sin(

2πn′

Lr) d3r

)=

1

V

(0 +

∫ L

0 (V )

sin(2πn

Lr) sin(

2πn′

Lr)

)d3r

=1

V

∫ L

0 (V )

sin(kr) sin(k′r) d3r = δk,k′

del procedimiento anterior notese que el valor arbitario que adquiera L no influye deninguna manera en el analisis del mismo, siempre se podra limitar su valor.

C

FORMULA DE EULER-MACLAURIN

Teorema C.1:

dConsiderese las relaciones de Bernoulli:[22]

d

dsBm(s) = mBm−1(s)

Bm(1) = (−1)mBm(0) (C.1)

x

ex − 1=∞∑n=0

Bmxm

m!⇒ Bm = [

dm

dxm(

x

ex − 1)]x=0

con m ≡ 1, 2, 3, ... . De la ultima expresion del trio de ecuaciones (C.1) se obtienen losnumeros de Bernoulli definidos como:

B0(0) = 1B1(0) = −1/2B2(0) = 1/6B3(0) = 0B4(0) = −1/30

···

(C.2)

estos ultimos provienen de las funciones de Bernoulli evaluadas en x = 0.[22]c

FORMULA DE EULER-MACLAURIN 84

Considerese la equivalencia:∫ 1

0

f(x)dx =

∫ 1

0

f(x)B0(x)dx (C.3)

donde se permitira que B′1(x) ≡ B0(x) = 1. Al sustituir B′1(x) dentro de la expresion(C.3) e integrando por partes1, se obtiene:∫ 1

0

f(x)dx = f(1)B1(1)− f(0)B1(0)−∫ 1

0

f ′(x)B1(x)dx

= −f(1)B1(0)− f(0)B1(0)−∫ 1

0

f ′(x)B1(x)dx

= −(−1

2)f(1)− (−1

2)f(0)−

∫ 1

0

f ′(x)B1(x)dx

=1

2[f(1) + f(0)]−

∫ 1

0

f ′(x)B1(x)dx (C.4)

donde se ha utilizado el Teorema C.1. De nuevo al utilizar la primera ecuacion del triode ecuaciones (C.1) y tomando a x en vez de s se halla la siguiente relacion:

B1(x) =1

2B′2(x)

luego del resultado (C.4) integrando por partes se encuentra que∫ 1

0

f(x)dx =1

2[f(1) + f(0)]− 1

2![f ′(1)B2(1)− f ′(0)B2(0)]

+1

2!

∫ 1

0

f (2)(x)B2(x)dx (C.5)

Ahora, al usar las relaciones:[22]

B2m(1) = B2m(0) = B2m, m = 0, 1, 2, ...

(C.6)

B2m+1(1) = B2m+1(0) = 0, m = 1, 2, 3, ...

Estas definen que a excepcion de B1, los numeros de Bernoulli de subındice impar son

1No es difıcil demostrar la siguiente expresion, para conseguirlo se debe tomar a u = B1(x) y dv = f ′(x)dx, tal quedespues se pueda aplicar la integracion por partes

∫udv = uv −

∫vdu.

FORMULA DE EULER-MACLAURIN 85

nulos2. En consecuencia, continuando con el proceso se obtiene:∫ 1

0

f(x)dx =1

2[f(0) + f(1)]−

q∑p=1

1

(2p)!B2p[f

(2p−1)(1)− f (2p−1)(0)]

+1

(2q)!

∫ 1

0

f (2q)(x)B2q(x)dx (C.7)

La precedente es la formula de Euler-Maclaurin, sin embargo, se asume que la funcionf(x) debe requerir las suficientes derivadas. El rango de integracion en (C.7) puede servariable de [0, 1] a [1, 2] solo al reemplazar f(x) por f(x+1). Agregando cada resultadohasta [m− 1,m], por induccion se obtiene:∫ m

0

f(x)dx =1

2f(0) + f(1) + f(2) + · · ·+ f(m− 1) +

1

2f(m)

−q∑p=1

1

(2p)!B2q[f

(2p−1)(m)− f (2p−1)(0)]

+1

(2q)!

∫ 1

0

B2q(x)m−1∑ν=0

f (2q)(x+ ν)dx (C.8)

de aquı, los terminos 12f(0) + f(1) + f(2) + · · · + 1

2f(m) aparecen exactamente como

la integracion trapezoidal sobre una cuadratura3. La sumatoria sobre p puede ser in-terpretada como una correccion de la aproximacion trapezoidal. En general, la formulade Euler-Maclaurin para una integral definida, es obtenida por repetidas integracionespor partes:[22]∫ m

0

f(x)dx =1

2f(0) + f(1) + f(2) + · · ·+ 1

2f(m)

(C.9)

−B2

2![f ′(m)− f ′(0)]− B4

4![f ′′′(m)− f ′′′(0)]− · · ·

donde los Bn representan los numeros de Bernoulli (vease el Teorema C.1).

2Recuerdese que los numeros de Bernoulli B0 ≡ B0(x) y B1 ya han sido utilizado en las expresiones (C.3) y (C.4),respectivamente.

3Recuerdese que la regla del trapecio esta dada por∫ b

af(x)dx ' (b− a) f(a)+f(b)

2 .

D

TRANSFORMACION DE ROTACIONES

Teorema D.1:

dConsiderese el plano euclideano que se muestra en la figura D.1, con espacio:[22]

R2 := {x ≡ (x1, x2), | xi ∈ R, i = 1, 2} (D.1)

El conjunto de transformaciones lineales del plano euclideano sobre si mismo de unsistema de referencia a otro se dan por:

T ∈ R2 −→ R2 ∀ x −→ x′ ≡ Tx (D.2)

donde la matriz de transformacion para la rotacion esta definida:[22]

T ≡(

cos(θ) − sin(θ)sin(θ) cos(θ)

)= T(θ)

tal que al transformar sistemas de referencia se conserve el mismo espacio y en efecto,la norma euclideana permanezca invariante.c

Hasta el momento en la presente memoria, unicamente se ha trabajado con espaciostridimensionales ordinarios y al tiempo como una dimension en relacion a los mismos(reloj), pero no como un eje coordenado como tal, puesto que dibujar, en medio dela complejidad, un espacio tetradimensional va mas alla de la imaginacion. Por talmotivo, es necesario intentar imaginar un eje coordenado temporal, que rote por lomenos con respecto a un eje coordenado espacial, pero para hacer esto posible se debeegresar del tan familiar espacio real e ingresar a uno complejo, luego se permite redefinirmomentaneamente el eje temporal de la forma:[12]

TRANSFORMACION DE ROTACIONES 87

Figura D.1: Distancia entre dos puntos, donde (x, y) ≡ (x1, x2).

χ0 ≡ ix0 = ict (D.3)

donde el numero complejo i traduce, como se ha ido insinuando, que la coordenadatemporal es un eje dimensional imaginario1. En efecto, se puede decir que las trans-formaciones de rotacion deben conservar todas las distancias medidas en un espaciode cuatro dimensiones, lo que significa que se obtendran seis opciones de rotacion enel plano euclideano, x1x2, x2x3, x3χ0, χ0x1, χ0x2, x1x3; para este caso se tomara sola-mente el plano χ0x1, descripcion que puede apreciarse en la figura D.2. Del triangulosombreado se obtiene geometricamente las relaciones:

−x1 = χ′0 sin(θ) (D.4)

χ0 = χ′0 cos(θ) (D.5)

Al dividir (D.4) por (D.5) se obtiene:[12]

tan(θ) = −x1

χ0= −i

i

x

ict= i

v

c= iβ (D.6)

1La asignacion del sımbolo χ0 en la definicion (D.3), en otros libros de relatividad se hace con el sımbolo τ , pero en estamemoria para evitar confusiones no debe asemejarse esta notacion, puesto que tal sımbolo representa el tiempo propio.


Figura D.2: Rotacion del eje temporal (“imaginario”) con respecto a un eje espacial, sistemas cuales sonequivalentes a la traslacion uniforme relativa entre los mismos.

donde evidentemente β ≡ v/c. Considerese la identidad trigonometrica 1 + tan2(θ) =sec2(θ), al despejarle y sustituirle el resultado (D.6) se obtiene que:

cos(θ) =1√

1 + tan2(θ)=

1√1− β2

(D.7)

Igualmente se conoce que sin(θ)/ cos(θ) = tan(θ), luego

sin(θ) = cos(θ) tan(θ) =iβ√

1− β2(D.8)

Considerese el Teorema D.1, al utilizar la matrız traspuesta de la tıpica transforma-cion de rotaciones, dando prioridad al sistema

∑en terminos del sistema

∑′, matri-cialmente se obtiene

x ≡ TTx′[x0

x1

]=

[cos(θ) sin(θ)− sin(θ) cos(θ)

] [x′0

x′1

](D.9)

donde al introducir la nueva notacion de la dimension temporal (D.3) se obtiene, mas


comodamente, que: {χ0 = χ′0 cos(θ) + x′1 sin(θ)x1 = x′1 cos(θ)− χ′0 sin(θ)

(D.10)

Finalmente al sustituir los resultados (D.8) y (D.7) en el sistema de ecuaciones(D.10), tomando en cuenta nuevamente la definicion (D.3) se obtiene:

χ0 = χ′0 1√1−β2

+ x′1 iβ√1−β2

ix0 = ix′0+iβx′1√1−β2

x0 =x′0 + βx′1√

1− β2(D.11)

sucesivamente

x1 = x′1 1√1−β2

− χ′0 1√1−β2

x1 = x′1−i2βx′0√1−β2

x1 =x′1 + βx′0√

1− β2(D.12)

junto con

x2 = x′2

x3 = x′3

demuestran las conocidas Transformaciones de Lorentz (3.12), con la unica diferencia deque se hace con respecto al sistema

∑en funcion de las dimensiones espacio-temporales

del sistema∑′.

E

INVARIANZA DE LORENTZ

En la presente seccion se llevara a cabo la correccion de la invarianza de Galileo(3.34). Para hacer esto posible se debe en primer lugar agregar al analisis, como yase ha de saber, la dimension temporal, tal que se analicen en total, como se ha venidorealizando en la presente memoria, cuatro dimensiones. Se observara a continuacion queuna de las propiedades de las transformaciones de Lorentz es permitir, al igual que en lateorıa galileana (cuando solo se toman las tres dimensiones espaciales), pero con mayorrigor y generalidad, la invarianza de una cantidad fısica entre sistemas de referencia.

Sean E1 y E2 dos eventos fısicos arbitrarios, cuyas coordenadas espacio-temporalesse definen como:

E1(x01, x

11, x

21, x

31)

E2(x02, x

12, x

22, x

32)

El intervalo espacio-tiempo entre los dos eventos medido por un observador inercial∑se da por:[16]

(δS12)2 ≡ ηµνx

µxν

= −[δct]2 + [δ|~x|]2

= −[x02 − x01]2 + [x12 − x11]2 + [x22 − x21]2 + [x32 − x31]2 (E.1)

Por otra parte, utilizando las transformaciones de Lorentz (3.12), se puede demostrarque el intervalo espacio-tiempo del sistema de referencia

∑′ es igual al expresado en elresultado (E.1), es decir:

INVARIANZA DE LORENTZ 91

(δS ′12)2 ≡ ηµνx

′µx′ν

= −[δct′]2 + [δ|~x′|]2

= −[x′02 − x′01 ]2 + [x′12 − x′11 ]2 + [x′22 − x′21 ]2 + [x′32 − x′31 ]2

= −[γ(x02 − βx12)− γ(x01 − βx11)]2 + [γ(x12 − βx02)− γ(x11 − βx01)]2

+[x22 − x21]2 + [x32 − x31]2

= −γ2(x02 − βx12)2 + 2γ2(x02 − βx12)(x01 − βx11)− γ2(x01 − βx11)2

+[γ2(x12 − βx02)2 − 2γ2(x12 − βx02)(x11 − βx01) + γ2(x11 − βx01)2]+(x22 − x21)2 + (x32 − x31)2

= −γ2{(x02)2 − 2βx02x12 + β2(x12)

2 − 2x01x02 + 2βx11x

02 + 2βx01x

12 − 2β2x11x

12

+(x01)2 − 2βx01x

11 + β2(x11)

2 − [(x12)2 − 2βx02x

12 + β2(x02)

2 − 2x11x12

+2βx01x12 + 2βx11x

02 − 2β2x01x

02 + (x11)

2 − 2βx01x11 + β2(x01)

2]}+[x22 − x21]2 + [x32 − x31]2

= −γ2{(x02)2 − 2βx02x12 + β2(x12)

2 − 2x01x02 + 2βx11x

02 + 2βx01x

12 − 2β2x11x

12

+(x01)2 − 2βx01x

11 + β2(x11)

2 − (x12)2 + 2βx02x

12 − β2(x02)

2 + 2x11x12

−2βx01x12 − 2βx11x

02 + 2β2x01x

02 − (x11)

2 + 2βx01x11 − β2(x01)

2}+[x22 − x21]2 + [x32 − x31]2

= − 1

1− β2{(x02)2(1− β2)− (x12)

2(1− β2)− 2x01x02(1− β2) + 2x11x

12(1− β2)

+(x01)2(1− β2)− (x11)

2(1− β2)}+ [x22 − x21]2 + [x32 − x31]2

= −[(x02)2 − 2x01x

02 + (x01)

2] + [(x12)2 − 2x11x

12 + (x11)

2] + [x22 − x21]2

+[x32 − x31]2

= −[x02 − x01]2 + [x12 − x11]2 + [x22 − x21]2 + [x32 − x31]2

(δS ′12)2 = (δS12)

2 (E.2)

Como se menciono anteriormente, este ultimo resultado confirma la invarianza decantidades fısicas entre sistemas de referencia. La independencia del observador carac-teriza propiedades intrınsecas del sistema o de los fenomenos fısicos. A las variablesfısicas que son indiferentes bajo transformaciones de Lorentz se les llama invariantesrelativistas o escalares de Lorentz.

F

REGLA DE ADICION DE VELOCIDADES DEEINSTEIN

Considerese nuevamente el caso del movimiento relativo entre dos sistemas de refe-rencia; pero con la unica diferencia de que dentro del sistema de referencia

∑′ se localizauna partıcula, de sistema de referencia propio

∑′′, moviendose hacia la derecha. En efec-to, el sistema

∑′ se desplaza con velocidad ~v con respecto al sistema∑

, y el sistema∑′′ (partıcula) se desplaza con velocidad ~w con respecto al sistema∑′. Ademas los

sistemas coordenados∑

(x0, x1, x2, x3),∑′(x′0, x′1, x′2, x′3) y

∑′′(x′′0, x′′1, x′′2, x′′3) sonparalelos entre sı, con movimiento solamente en la direccion de los ejes x, x′, x′′ y co-inciden en sus orıgenes en el instante t = t′ = t′′ = 0. Situacion que puede apreciarseesquematicamente en la figura F.1.

De la presente memoria se conocen las transformaciones de Lorentz (3.12), estasrelacionan las coordenadas de un evento arbitrario medidas por los sistemas de referen-cia∑

y∑′. Similarmente las transformaciones que relacionan las coordenadas de un

evento arbitrario medidas por los sistemas de referencia∑′ y

∑′′ claramente equivalena:

x′′0 = γ(|~w|)(x′0 − β′x′1)x′′1 = γ(|~w|)(x′1 − β′x′0)

x′′2 = x′2

x′′3 = x′3

(F.1)

donde γ(|~w|) ≡ 1/√

1− β′2 y β′ ≡ w/c. De acuerdo a lo anterior surge el interrogante,

REGLA DE ADICION DE VELOCIDADES DE EINSTEIN 93

Figura F.1: Propiedades de las Transformaciones de Lorentz, adicion de velocidades.

entonces ¿cuales son las transformaciones que relacionan a los sistemas de referencia∑

y∑′′?. Por simple logica, estas transformaciones deben tener la misma estructura que

las transformaciones (3.12) y (F.1), luego por definicion estas relaciones se dan por:x′′0 = γ(|~u|)(x0 − β′′x1)x′′1 = γ(|~u|)(x1 − β′′x0)

x′′2 = x2

x′′3 = x3

(F.2)

Sin embargo, no todo es tan simple puesto que como se observa, el resultado dependede una velocidad ~u que obviamente depende a la vez de las velocidades ~v y ~w, pero sies ası entonces ¿cual es la configuracion de esta dependencia?.

No es necesario demostrar cada una de las transformaciones (F.2) para hallar larelacion de ~u con ~v y ~w; con tan solo sustituir las dos primeras expresiones de lastransformaciones (3.12) en una unica expresion de las ecuaciones (F.1), por ejemplo laprimera transformacion, se podra obtener la dependencia de estas velocidades:

REGLA DE ADICION DE VELOCIDADES DE EINSTEIN 94

x′′0 = γ(|~w|)(x′0 − β′x′1)= γ(|~w|)[γ(|~v|)(x0 − βx1)− β′γ(|~v|)(x1 − βx0)]= γ(|~v|)γ(|~w|)[x0 − βx1 − β′x1 + ββ′x0]

=1√

(1− v2/c2)(1− w2/c2)[x0(1 +

vw

c2)− x1(v

c+w

c)]

=1 + vw/c2√

1− v2/c2 − w2/c2 + v2w2/c4[x0 − x1 (v + w)/c

(1 + vw/c2)]

=

√(1 + vw/c2)2

(1 + 2vw/c2 + v2w2/c4)− (v2/c2 + 2vw/c2 + w2/c2)[x0 − x1

c{ v + w

1 + vw/c2}]

=

√(1 + vw/c2)2

(1 + vw/c2)2 − (v/c+ w/c)2[x0 − 1

c{ v + w

1 + vw/c2}x1]

=

√(1 + vw/c2)2

(1 + vw/c2)2[1− (v + w)2/c2(1 + vw/c2)2][x0 − 1

c{ v + w

1 + vw/c2}x1]

=1√

1− (1/c2){(v + w)/(1 + vw/c2)}2[x0 − 1

c{ v + w

1 + vw/c2}x1]

=1√

1− u2/c2[x0 − u

cx1]

x′′0 = γ(|~u|)(x0 − β′′x1) (F.3)

Como se ve claramente en (F.3) se ha demostrado explıcitamente la primera trans-formacion de las ecuaciones (F.2), ademas se logro el objetivo principal, adquirir laexpresion de la velocidad ~u (observese el cociente que encierra las llaves), es decir, lavelocidad relativa del sistema

∑′′ con respecto al sistema∑

se da por:[20]

u =v + w

1 + vw/c2(F.4)

Del resultado (F.4) se observa sorpresivamente que las dimensiones espaciales no sonlas unicas que se contraen, sino que tambien lo hacen las velocidades. Tambien es muyinteresante observar que en esta nueva estructura matematica se supera el problema dela electrodinamica clasica con la velocidad maxima de la naturaleza; puesto que si endado caso la velocidad v = w = c, implica que la velocidad u registrada por un sistemaen reposo relativo sera nada mas que c, de modo que se eliminan las inconsistenciaspresentadas en las teorıas clasicas al adicionar velocidades.

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