EIHU – IAHU Matemática – 1° año

Prof. Andrea Rajchman Trabajo Práctico Nº 2

Trabajo Práctico N° 2: Divisibilidad

Problema 1: Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas.

a. Todos los números que terminan en 3 son múltiplos de 3.

b. Todos los números pares son divisibles por 2.

c. Todos los números pares son divisibles por 4.

d. Los múltiplos de 5 terminan en 0 o en 5.

e. Los números que son divisibles por 5 también son divisibles por 10.

Problema 2: Elena compró la Enciclopedia del Mundo, que consta de 13 tomos, y quiere acomodarlos en estantes,

de manera que en cada uno haya la misma cantidad de libros, pero su hermano Juan dice que no se puede.

a. ¿Tiene razón Juan? ¿Por qué?

b. Cada año, la editorial que comercializa esa enciclopedia lanza al mercado un nuevo tomo para actualizar

los datos de los anteriores. Si Elena comprara el tomo del año que viene, ¿podría acomodar todos los tomos

en estantes con la misma cantidad de libros cada uno? Si fuera posible, ¿de cuántas maneras distintas

podría hacerlo?

c. Si Elena siguiera comprando anualmente el tomo de actualización durante 10 años, ¿cuántas veces le será

imposible acomodar los libros de manera uniforme?

d. Si en una librería venden la Enciclopedia Americana de 9 tomos, y la Enciclopedia Universal de 12 tomos,

¿pueden acomodar las dos en estantes con igual cantidad de libros cada uno? ¿Y si la Universal tuviera 14

tomos? ¿Por qué?

Problema 3: Eratóstenes, matemático que vivió en Alejandría (hoy en día Egipto) en el siglo III antes de la era

común, creó un método para encontrar números primos que llamamos Criba de Eratóstenes. Para seguir este

procedimiento, hay que hacer una lista de los cien

primeros números naturales. Como queremos hallar los

números de esta lista que sean primos, no consideramos

al 1, porque no es primo.

Tachamos todos los múltiplos de 2, excepto el 2, que

es primo.

Tachamos todos los múltiplos de 3, excepto el 3, que

es primo.

¿Por qué los múltiplos de 4 y de 6 ya están tachados?

………………………………………………………..

¿Es cierto que no habrá números primos que terminen

en 0? ¿Por qué?

………………………………………………………..

Continúa el procedimiento anterior y luego haz una

lista con todos los números primos entre 1 y 100.

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

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Problema 4: Florencia tiene 24 naranjas y quiere exprimirlas para hacer jugo. No sabe quién más de su familia

querrá, pero todos los jugos deberían tener la misma cantidad de naranjas, así que decide acomodar las naranjas

para ver qué distintas posibilidades tendría. Observa cómo acomodó las naranjas en distintas ocasiones:

Primero, dejó todas juntas e hizo una jarra grande de jugo:

Luego, pensó hacer dos grandes jarras:

Después le pareció que también podría acomodarlas así:

Y finalmente pensó en la siguiente organización:

a. ¿Existen otras maneras de agrupar las 24 naranjas? ¿Cuáles?

b. Escribe el número 24 como producto de dos números compuestos. ¿Hay una sola forma de hacerlo?

c. Escribe el número 24 como producto de un número primo y otro compuesto. ¿De cuántas maneras distintas

puedes hacerlo?

d. ¿Cuántas maneras posibles hay de escribir el número 24 como producto, en el que todos los factores sean

primos?

Problema 5: Natalia y Luciano están preparando la fiesta de cumpleaños de su hermanito. Compraron algunas

golosinas para colocarlas en bolsitas y repartirlas entre los invitados. Natalia compró 72 caramelos de leche, y

Luciano 60 caramelos de menta. Natalia dice que no hay que mezclar los sabores porque a algunos chicos no les

gustan los caramelos de menta y que las bolsitas deben tener la misma cantidad de caramelos, todos del mismo

sabor.

a. ¿De cuántas maneras distintas pueden armar las bolsitas sin que sobren caramelos? Indica la cantidad de

bolsitas y el contenido en cada caso.

b. Luciano dice que, como tienen muchos caramelos, pueden colocar más caramelos en cada bolsita. ¿Cuál es

la mayor cantidad de caramelos que pueden colocar?

c. ¿Cuántas bolsitas pueden armar?

d. Cuando terminaron de llenar las bolsitas, llegó el abuelo y trajo 54 caramelos de fruta. ¿Pueden colocarlos

en bolsitas que contengan cada una la misma cantidad de caramelos que las que ya armaron, sin que sobre

ninguno? Si crees que sí, explica por qué. Si crees que no, indica cómo debería hacerse la nueva

distribución de caramelos en las bolsitas.

Problema 6: Desde la terminal de Atlántida salen ómnibus hacia Piriápolis y hacia Montevideo. El nuevo dueño de

la cafetería necesita saber en qué horarios coincidirán las partidas de los ómnibus para organizar a su personal. Los

ómnibus hacia Piriápolis salen cada veinte minutos, y los que van hacia Montevideo, cada treinta minutos.

a. ¿Cuántas veces en el día coinciden las partidas?

b. Si a las 7 de la mañana salen ómnibus hacia las dos localidades, ¿cuál es el siguiente horario en que

vuelven a coincidir?

c. En temporada de verano, agregan un ómnibus hacia Punta del Este cada cuarenta y cinco minutos, y el

primero sale a las 7. ¿Cuál es el siguiente horario en el que coinciden los tres ómnibus?

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Ejercicios

1. Encuentra todos los divisores de los siguientes números:

a. 12

b. 81

c. 60

2. ¿Hay números que tengan una cantidad impar de divisores? ¿Cuáles?

3. Sabiendo que 24 . 45 = 1080, encuentra mentalmente:

a. Diez divisores de 540.

b. 8 . 45

c. 27 . 5

d. 1080 : 3

e. 540 : 5

f. 48 . 90

4. ¿Cuál será el criterio de divisibilidad por 100? ¿Y por 1000?

5. ¿Es válido el siguiente criterio? Justifica tu respuesta: Para saber si un número es divisible por 9, primero

dividimos por 3, y si el cociente es divisible por 3, entonces el número original es divisible por 9.

6. Sin realizar las divisiones, decide si:

a. 1350 es múltiplo de 3

b. 1350 es múltiplo de 5

c. 3224 es divisible por 6

d. 8998 es múltiplo de 9

e. 66678 es divisible por 8

f. 3234 es divisible por 2

7.

a. El número 1350 es divisible por 3 y por 5. ¿Es cierto que eso significa que también es divisible por 15?

b. Piensa criterios de divisibilidad por 21, por 25 y por 20.

8. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando tu respuesta:

a. Todos los números terminados en 3 son primos.

b. El 2 es el único número par que es primo.

c. Dos números compuestos pueden ser coprimos.

d. Dos números primos siempre son coprimos.

9. Analiza si los siguientes pares de números son coprimos:

a. 455 y 393

b. 565 y 470

c. 565 y 339

10. Si p es un número par, ¿es par el triple de p? ¿Por qué?

11. Si q es un número impar, ¿el doble de q es par o impar? ¿Por qué?

12. Si a es un número par y b es un número par menor que a, ¿a – b es par o impar?

13. Expresa los siguientes números como producto de factores primos:

a. 140

b. 225

c. 330

d. 280

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14.

a. Expresa el número 50 como producto de factores primos.

b. Utiliza esta descomposición para factorear los números 150, 1500 y 600.

15. Beatriz quiere ordenar sus libros en pilas. Si los agrupa en pilas de cuatro, le queda uno suelto; si los

agrupa de a tres, también le queda uno suelto, y lo mismo le ocurre si los coloca de a dos. Cuando los pone

en grupos de a cinco, no le sobra ninguno.

a. Si tiene menos de 30 libros, ¿cuántos son?

b. Si tiene más de 50 libros y menos de 100, ¿cuántos tiene?

16. Halla el MCD de los siguientes grupos de números:

a. (45, 102)

b. (120, 180)

c. (42, 56, 98)

17. Escribe tres pares de números cuyo máximo común divisor sea 9. ¿Son los únicos pares de números que

cumplen esto?

18. Dos números a y b son coprimos. ¿Cuál es el MCD (a, b)? ¿Por qué?

19. Halla el mcm de los siguientes grupos de números:

a. (15, 20)

b. (45, 150)

c. (18, 36, 24)

d. (8, 14, 18)

20. Escribe dos pares de números cuyo mcm sea 10.

21. Si dos números a y b son coprimos, ¿cuál es el mcm (a, b)? ¿Por qué?

22. Pablo, Inés y Martina trabajan en una empresa de venta telefónica y les toca hacer guardias nocturnas con

distintas frecuencias. Pablo trabaja una noche cada 15 días, Inés cada 10 días y Martina cada 8. Si

coincidieron en la guardia el 1º de setiembre, ¿volverán a coincidir en el mismo año?

23. En un negocio de productos dietéticos compran salvado de avena en bolsas de 8 kg, salvado de trigo fino

en bolsas de 6 kg y germen de trigo en bolsas de 4 kg. Venden los tres tipos de cereales sin mezclarlos;

para ello, los fraccionan en frascos de vidrio que contienen el mismo peso.

a. ¿Cuál es el mayor peso que puede contener cada frasco para que todos pesen lo mismo?

b. ¿Cuántos frascos de cada cereal se obtienen?

24. Joaquín coloca sus fotos en un álbum. Si pone 4 en cada página, en la última queda sólo una foto. Si pone 5

en cada página, también le queda una sola en la última, y lo mismo le ocurre si pone 6. ¿Cuál es el menor

número de fotos que puede tener Joaquín?

Ejercicios sugeridos del libro Botadá 1º: págs. 57 – 60:

9, 14, 17, 18, 23, 25, 26, 27.