Trabajo práctico sobre aritmética modular.

1. Agrupen los números 0, 3, -1, -4, 2, 27, 28, 18, -9, -75, 90, -45, 30, 1001, 490 y 6000 según sus clases de congruencia módulo 4, 7, 15 y 28, respectivamente

2. Encontrar el menor residuo no negativo mód7 de los números: 23, 35, -48, -64. 

3. Sabiendo que 12345677(mód10), 901233(mód10), 246818(mód25) y que 135794(mód25) calcular

el valor del menor residuo no negativo a tal que: 

i) 123456790123a(mód10).             ii)246813579a(mód25). 

4. Comprobar mediante un ejemplo que en Z6, Z8 y Z15 existen x,y tales que xy=0 siendo x0y. ¿Existe

algún ejemplo en Z7? 

5. Hallar los elementos inversibles de Z6, Z7 y Z8. 

6. Hallar los inversos de:  6 en Z11. ; 6 en Z17.; 3 en Z10.; 5 en Z12.; 2 en Z11.; 7 en Z15; 7 en Z16; 5 en Z3.

7. Comprueben al hallar los inversos de la actividad anterior, que se cumple que ap=1 ( mod m). Es decir,

hallen el orden

8. Resuelvan:

x +7=3 (mod 23)

7x + 9= 8 (mod 27)

3x – 7 = 3 (mod 10)

x+3  0 mod 7

3x   1 mod 8

7x   10 mod 12

9. Resolver la ecuación 66x = 42 en Z168

10. Resolver la ecuación 21x = 18 en Z30  

11. Usar el teorema de Fermat para calcular los restos de dividir 347 entre 23 y 6592 entre 11. 315 entre 17,

1590 entre 13 y 1254577 entre 13

12. Utilizando Teorema de Euler: Resolver las siguientes ecuaciones 5x1(mód11), 4x(mód7),

3x(mód15), 2x(mód7) y 5x(mód15).

13. Utilizando Teorema de Euler calcular 5 100 (mod8), 17960 (mod 42)

14. ¿Cuáles de las siguientes congruencias tiene solución?

x2≡7 (mod 53) ; x2≡14 (mod 31); x2≡53 (mod 7); x2≡25 (mod 997)

15. Hallen: 3500 mod 13; 516 mod 17; 5500 mod 17; 340 mod 11; 4337 mod 11; 248 mod 7; 523mod13

16. Muestre con un ejemplo de que as   bs mod n y sin embargo a   b mod n.

17. Determinar cuáles de los siguientes conjuntos son sistemas completos de residuos módulo:{0,1,2,3}; {-

2,-1,0,1}; {0,4,8,12}; {-13,4,17,18}; {-5,0,6,22} 

18. Calcular por Euclides (314,159) y (4144, 7696)y por restas sucesivas (3141,1592) y (10001, 1000083).

19. Encontrar x e y tales que 314x+ 159y= 1. Ídem para 4144x+ 7696y= 1.

20. Encontrar todos los m tales que 10661 1776(mod m) y tales que 1848 1914

21. Calcular de 42, de 540, 10115 y de 5800