OBJETIVO 41. Diseñe una actividad para que los estudiantes determinen o establezcan el patrón de regularidad que establece el teorema de Pick. [No es el diseño de una clase para que ellos se aprendan dicha fórmula, es el diseño de un conjunto de actividades para que ellos infieran y/o deduzcan dicha fórmula]

Para realizar la actividad se forman con anterioridad grupos de cuatro estudiantes y se les indica que deben construir un geoplano de 10x10 por cada grupo. Para ello se entrega un instructivo (ver anexo 1) que contenga que es un geoplano y como se construye, también lo que son Puntos Enteros, Redes de Puntos y Red Poligonal.

Se solicita para el día de la actividad que traigan ligas variadas además del geoplano construido por cada grupo que debe tener la siguiente forma:

La actividad se inicia con un breve repaso del cálculo de áreas de rectángulos y triángulos, con el fin de utilizar las formulas: A = L . W donde L es el largo y W es el ancho, en el caso del rectángulo; A = (B.h)/2 donde B es la base y h es la altura en el caso del triángulo.

Seguidamente se indica a los estudiantes que construyan en el geoplano, con una liga, un cuadrado de lado igual a cinco (5) unidades (una unidad es la distancia horizontal o vertical entre dos clavos consecutivos), luego se pide que cuenten la cantidad de puntos enteros (clavos) que hay en el borde del cuadrado y la cantidad de puntos que hay dentro del cuadrado. Se sugiere que a los primeros (puntos en el borde) se les llame “B” y a los segundos (puntos interiores) se les llame “I”.

Ahora se pregunta a los estudiantes cuánto mide el área del cuadrado construido por ellos, a lo que todos deberían responder veinticinco (25) unidades, que es el resultado de 5x5.

Para registrar los datos obtenidos se pide la elaboración de una tabla como la siguiente:

Polígono simple Área B ICuadrado 5x5 25 20 16

A continuación se pide la construcción de por lo menos seis (6) polígonos simples de los cuales se deben obtener los mismos datos (A,B,I) para registrarlos en la tabla. Se sugieren algunos polígonos pero se deja que los estudiantes decidan sus propias construcciones, verificando el profesor que sean polígonos simples y orientando sobre como calcular el área de cada polígono, generando ideas sobre la partición del polígono construido en polígonos regulares conocidos con el uso de las ligas. Los polígonos sugeridos son los siguientes:

Después de realizada la recogida de datos, se procede al análisis de los mismos,

buscando una posible relación entre el área y los puntos enteros en el borde y dentro del polígono (B, I). Para determinar esta posible relación se orienta a los estudiantes sobre el uso de las operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre B e I para hallar el área A. En el caso de hallar una relación en uno de los polígonos, se debe verificar para todos los demás, si no se cumple, se debe continuar buscando hasta hallar un patrón que se aplique a todos los polígonos.

En el caso que algún grupo encuentre la relación siguiente:A = I + B/2 – 1

Se les aclara a todos los estudiantes que esta expresión es la que representa el teorema de Pick

En caso contrario (no esperado) se procede a mostrar a los estudiantes la relación buscada A = I + B/2 – 1 que no es otra que el teorema de Pick.

A manera de ejercicios se aplica el teorema de Pick a los siguientes polígonos para determinar el área de cada uno:

Para finalizar se hacen algunas reflexiones sobre su aplicación en la geometría y la relación entre el algebra y las otras disciplinas de las matemáticas.

A1= X2 A2=2.X

2. Con base en las Piezas de Álgebra (Pág. 68 de la Guía Instruccional) diseñe una lección para enseñar Ecuaciones de Segundo Grado en Tercer Año de Bachillerato (9° grado de educación Básica). Haga énfasis en las ecuaciones factorizables.

La primera asignación que se hace a los estudiantes es traer ya hechas con foamy las siguientes figuras:

A B C

La figura A se hace con dimensiones de 2cm x 8cmLa figura B se hace con dimensiones de 8cm x 8cmLa figura C se hace con dimensiones de 2cm x 2cm

La cantidad de cada pieza es:A: 6 B: 2 C: 6

Se inicia la actividad explicando la relación entre las formas geométricas y las expresiones algebraicas y como representar dichas expresiones geométricamente. Por ejemplo la expresión X2 + 2X + 1 se puede representar con un cuadro de lados X más un rectángulo de lados 2 y X más un cuadrado de lados 1 y resulta la figura:

X 2

X X

1

Si se suman las áreas de cada figura se tiene X2 + 2X + 1 = A que es el área total de la figura. De esta manera se puede representar una expresión algebraica con formas geométricas.

Para que los estudiantes se familiaricen con las piezas se realizan algunas prácticas de representación de expresiones tales como:

X2 + 4X + 5 2X2 + X + 3 2X2 + 6X + 6

A3=1

X

Ahora se enseña a los estudiantes como aplicar la geometría para resolver una ecuación de segundo grado. Se les explica que una ecuación de segundo grado de la forma Ax2 + Bx – C = 0 con raíces reales positivas, también se puede escribir como Ax2 + Bx = C con A, B y C números enteros positivos (se utilizan números enteros positivos para la explicación inicial por comodidad y mayor facilidad).

A la figura B se le asigna una longitud X a sus lados, entonces su área será X.X = X2.

A la figura A se le asigna la longitud X al largo y el ancho se deja variable para darle el valor específico a cada ecuación.

A la figura C se le asignara, a cada uno de sus lados, el valor que tome el ancho de la figura A

Sea la ecuación X2 + 10X = 39Se procede de acuerdo con el siguiente plan:

1. Se coloca una figura B para representar el área X2 2. Se colocan ahora cuatro (4) figuras A para representar el área 10 X

10

A = X2 A = 10.X

En consecuencia, cada figura A tendrá un área igual “10.X dividido entre 4” lo que resulta 5/2 X. Como el largo es igual a X entonces el ancho toma la longitud de 5/2.

3. Ahora se toma cada figura A y se coloca cada lado de la figura B y se tiene la figura siguiente:

A = 39

X

X52

4. Como X2 + 10X = 39 entonces el área de la figura obtenida es igual a 39.5. Acto seguido, añadiendo cuatro figuras C, es decir un cuadrado de lado 5/2 a

cada una de las esquinas de la cruz, se construye un cuadrado cuya área es igual a 39 + 4(5/ 2)2 = 64 (el área de la cruz mas el área de los cuatro cuadrados).

A partir de la última construcción, resulta claro que el lado del cuadrado es igual a 8 porque 8.8 = 64. Entonces cada lado de este nuevo cuadrado es igual a:

5/2 + X + 5/2 = X + 2(5/2) = X + 5 = 8, de donde resulta que: X = 3Para finalizar la clase se señala que existen otras formas geométricas para hallar

la solución de ecuaciones de segundo grado y que matemáticos como Euclides, Pitágoras, Al-Khowarizmi, Omar Khayyam, entre otros trabajaron incansablemente para hallar soluciones a muchos problemas que hoy, gracias a ellos, se resuelven con facilidad, mediante formulas o algoritmos ya establecidos.

OBJETIVO 6

Actividad 14.1

Como señalamos anteriormente usted debe realizar esta actividad si usted actualmente labora como docente de Matemáticas en alguna Unidad Educativa. En este caso le invitamos a que describa y reflexione sobre sus propias prácticas pedagógicas. Usted debe escoger si hace el trabajo para la enseñanza de temas de álgebra o de trigonometría. Todas las instrucciones que siguen están dadas en términos de la trigonometría, si usted decide hacer su informa con álgebra cambie los términos correspondientes.

Elabore un informe donde incluya la información siguiente:

1. Indique qué libro o libros de texto usa para preparar sus clases de trigonometría.

2. Indique de cuál libro o libros de texto escoge los problemas o ejercicios de trigonometría que le asigna a sus estudiantes.

3. Presente tres ejemplos de problemas o ejercicios que resuelve en clase.

4. Indique de cuál libro o libros de texto escoge los problemas o ejercicios de trigonometría que incluye en sus exámenes.

5. Cuál libro le recomienda a sus estudiantes para estudiar.

6. Describa el tipo de tareas que asigna para la casa.

7. Describa con detalles cómo se desarrolla una clase suya de trigonometría.

8. Describa como sería para usted una clase ideal, la mejor clase de trigonometría.

9. ¿Hace uso usted de recursos manipulables en el aula cuando enseña trigonometría?

10. Presente cuatro ejemplos del tipo de problemas que usted le propone a sus estudiantes en los exámenes.Incluya en su informe algún otro asunto de importancia que ayude a la

descripción y comprensión de sus prácticas de enseñanza de la trigonometría en el aula. Cierre su informe con unas conclusiones donde indique que aprendió al realizar esta actividad.

INFORME

Trabajo como docente desde enero del año 2010, con estudiantes de 1ro a 5to año en la Unidad Educativa “Gral. Rafael Urdaneta” ubicada en la carretera nacional, sector Cumbre de San Juan de los Morros, Edo. Guárico. Esta es una institución rural con una matrícula de 186 estudiantes los cuales reciben en su totalidad las clases de matemáticas que imparto. Los estudiantes de esta institución, por motivos diversos, no disponían de material de consulta de ninguna índole, hasta este año que le fueron entregados los libros de la colección Bicentenario, con los que creo pertinente trabajar de ahora en adelante.

1. Indique qué libro o libros de texto usa para preparar sus clases de trigonometría.La mayoría de las clases impartidas son preparadas por el docente consultando

algunas páginas web y también los siguientes textos:

Matemática 1ro, 2do, 3ro, 4to, 5to Año. Editorial Santillana. Esteban Mendiola, Matemática 4to Año. Editorial Biosfera. E. Navarro, Matemática 4to, 5to Año.

Cuando es posible, con recursos del docente, se elaboran guías de estudio para algún tema, que contienen teoria, ejemplos de aplicación, resolución de problemas y ejercicios propuestos que deben ser resueltos por los estudiantes a manera de fortalecer lo hecho en clase.

2. Indique de cuál libro o libros de texto escoge los problemas o ejercicios de trigonometría que le asigna a sus estudiantes.Los problemas que se asignan a los estudiantes generalmente son elaborados

directamente por el docente, con base en la experiencia y dependiendo del objetivo que se quiere alcanzar. Por ejemplo para aplicar el teorema de Pitágoras se coloca un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 y se pide hallar la hipotenusa. Otro ejemplo es

determinar las razones trigonométricas seno, coseno y tangente en un triángulo cuyos lados miden 6, 8 y 10 o 9, 12 y 15 que son triángulos semejantes al triángulo de lados 3,4 y 5. Es decir se colocan los problemas o ejercicios que los estudiantes pueden resolver en base a las clases recibidas. En ocasiones, sobre todo cuando se elaboran guías de estudios, se toman los problemas o ejercicios de los libros antes señalados.

3. Presente tres ejemplos de problemas o ejercicios que resuelve en clase.Los problemas o ejercicios que se resuelven en clase generalmente son fáciles

los primeros, luego se incrementa el nivel dependiendo del dominio que demuestren los estudiantes con los primeros ejercicios o problemas. A continuación se presentan un ejercicio para determinar las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo y luego dos problemas de aplicación:

1. Halla el seno, coseno y tangente de los ángulos agudos en el siguiente triángulo y determina su valor (el valor de cada ángulo).

A

12 24

B 12√3

Respuesta:

Cos A = CAh

= 1224

= 0,5 Sen A = COh

= 12√3

24 = 0,5√3 = 0,8660

Tg A = COCA

= 12√3

12 = √3 = 1,7320 A = 60º

Sen B = COh

= 1224

= 0,5 Cos B = CAh

= 12√3

24 = 0,5√3 = 0,8660

Tg B = COCA

= 12

12√3 =

1

√3 = √3

3 = 0,5773 B = 30º

2. Una persona de 1,50 metros de estatura, está ubicada en el suelo a una distancia de 100 metros de un edificio, al mirar la parte más alta del edificio, su ángulo de visión respecto al suelo es de 30º. realiza la grafica ¿Cuál será la altura del edificio?Respuesta:

h Altura del Edificio

30º 100 m

D

x

1,5mSe tiene que la tangente de 30º es igual a cateto opuesto entre cateto

adyacente de donde se deduce que h = 100m tg30º = 100m 0,5773 = 57,73 m. entonces la altura del edificio es igual a 57,73m + 1.5 m lo que resulta 59,23m

3. Se observa el punto más alto de una torre bajo un ángulo de 72º sobre la horizontal. Si nos alejamos 350 metros, lo vemos con un ángulo de 31º. ¿A qué altura se encuentra la torre? Realiza la grafica.

Altura de la torre

31º 350 72º A B C

Se halla la tangente de 31º y 72º en función de la altura de la torre (h)

Para 31º resulta Tg 31º = COCA

= h

350+x Para 72º resulta Tg 72º =

COCA

= hx

Entonces se tiene un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.

h = Tg 31º . (350 + x)

h = Tg 72º. x

Igualando estas ecuaciones se tiene: Tg 31º . (350 + x) = Tg 72º. x

Tg 31º . 350 + Tg 31º . x = Tg 72º. x Tg 31º . 350 = Tg 72º. x – Tg 31º. x

Tg 31º . 350 = x (Tg 72º – Tg 31º)

Y se obtiene la ecuación x = Tg 31º .350

Tg72 º−Tg 31 º ≈ 0,6 . 350

3,07−0,6 ≈ 85

Luego se sustituye el valor de x en la ecuación h = Tg 72º . x ≈ 3,07 . 85 = 260,95

La altura de la torre es de 260,95 metros.

4. Indique de cuál libro o libros de texto escoge los problemas o ejercicios de trigonometría que incluye en sus exámenes.

Cuando se elabora un examen, los ejercicios y problemas son del mismo tipo que los resueltos en clase con algunos cambios en sus valores o enfoque, pero siempre cuidando que los estudiantes tengan la capacidad de resolver el examen en gran medida.

El libro que mas utilizo es el de Navarro, donde hay gran variedad de ejercicios prácticos.

5. Cuál libro le recomienda a sus estudiantes para estudiar.

Debido a la realidad de nuestra institución, escasa disponibilidad para los estudiantes de recursos de consulta (no hay biblioteca ni en la institución ni en la comunidad, no hay acceso a internet), se sugiere a los estudiantes que estudien con el libro que logren conseguir y ante cualquier duda consultar a su profesor. Naturalmente que siempre se hace referencia al texto que se utiliza para preparar la clase, con la intención de que, en la medida posible, los estudiantes consigan el texto y realicen los ejercicios y visualicen los ejemplos contenidos en el.

6. Describa el tipo de tareas que asigna para la casa.

En cada clase se asignan tareas para realizar en casa, la mayoría son ejercicios y problemas que deben resolver utilizando lo aprendido en clase, luego son corregidos para aclarar las dudas que puedan surgir. Ocasionalmente, dependiendo del tema, se asignan trabajos de investigación para ampliar el contenido y familiarizar al estudiante con la investigación en matemática; Por ejemplo en primer año, siempre en el primer lapso, se asigna un trabajo sobre la historia de las matemáticas, destacando los más importantes personajes en esta ciencia y sus trabajos, este trabajo debe ser defendido para ser evaluado por el docente. Esto con la intención de fomentar en el estudiante una actitud positiva hacia las matemáticas en su inicio en este nivel de educación y dejar claro que la matemática existe como parte de nuestra vida diaria.

7. Describa con detalles cómo se desarrolla una clase suya de trigonometría.

Las clases tiene una duración de 100 minutos y el horario es siempre vespertino. Como norma se forman los estudiantes fuera del aula de clases para supervisar el uso del uniforme y la presentación personal, luego entran al aula en orden y cada estudiante ocupa su lugar correspondiente, seguidamente el docente saluda a los estudiantes y les da una breve charla sobre valores, disciplina y ciudadanía para fortalecer la conducta ciudadana. El desarrollo de la clase depende de si es el inicio de un tema nuevo o si es la continuación de la clase anterior, a continuación se presenta la explicación detallada en cada caso.

Inicio de un nuevo tema. Primero se realiza una breve introducción del tema explicando su origen y evolución en la historia de la matemática. Luego se presenta la teoria que deben copiar en su libreta, haciendo el profesor las demostraciones pertinentes para su comprensión y los ejemplos de aplicación. Todo esto con los únicos recursos disponibles, marcador y pizarrón. En este momento se hace una pausa corta, sin participarlo a los estudiantes, a manera de descanso y se hace algún comentario jocoso para romper el hielo. Ahora se colocan ejercicios para resolver aplicando la teoria vista y se indica a los estudiantes que los resuelvan en grupos no mayor de

tres (3) estudiantes, el docente pasa por cada grupo para supervisar y aclarar dudas.En el caso de que una duda sea general, se hace una pausa para explicar nuevamente y con enfoques distintos la duda presente. Después de superar los ejercicios, se colocan tres (3) o cuatro (4) problemas prácticos, relacionados con la realidad, que requieren de comprensión y análisis para aplicar lo aprendido. Para finalizar se hace un resumen de la clase a manera de cierre y se concluye con reflexiones de estudiantes y profesor. Antes de retirarse los estudiantes, se asigna una tarea para ser hecha en casa, con el objeto de reforzar la actividad hecha en clase, dicha tarea será revisada en la próxima clase.

Continuación de la clase anterior.Se inicia con un repaso de lo visto anteriormente para refrescar los conocimientos adquiridos por los estudiantes. Después se solicita la tarea hecha en casa para su revisión y discusión. Todos los ejercicios y problemas de la tarea ya hecha, lo resuelven los estudiantes en el pizarrón para cotejar los resultados de todos y poner en evidencia los errores que puedan haber cometido para corregirlos. Ahora se aplica una prueba modelo (igual en estructura y contenido a la prueba que deben hacer para ser evaluados individualmente), durante un taller práctico de 40 minutos, para que la hagan en grupos no mayor de tres estudiantes. Esta prueba es formativa y tiene la intención de reforzar la habilidad de los estudiantes para resolver problemas. Si el tiempo lo permite, al concluir la prueba o taller práctico se resuelve la prueba en el pizarrón por parte de los estudiantes, si no, se corrige en la próxima clase antes de la evaluación.

Por supuesto que las explicaciones del profesor no culminan hasta que la gran mayoría de los estudiantes demuestren un dominio aceptable del tema abordado, momento adecuado para realizar la evaluación sumativa.

8. Describa como sería para usted una clase ideal, la mejor clase de trigonometría.

La mejor clase de trigonometría seria aquella que se realice en un entorno de aprendizaje adecuado, donde se disponga de material de apoyo como dispositivos de video y de audio, herramientas que permitan al estudiante observar de manera directa y real lo que se explica en teoria. “Un ambiente de aprendizaje es un lugar donde las personas pueden hacer uso de recursos para darle sentido a las cosas y resolver problemas” (Wilson, 1995, p. 26). En una clase de trigonometría el estudiante debe construir su aprendizaje fundamentado en las orientaciones y sugerencias del docente como en el uso de los kits de construcción y fenomenarios que deben estar disponibles para poder hablar de un ambiente de aprendizaje enriquecido, En estos ambientes de aprendizaje enriquecidos los estudiantes se involucran en múltiples objetivos de aprendizaje y el profesor sirve más bien de “coach” y facilitador (Wilson, 1995). “Un ambiente de aprendizaje es un lugar en el cual el aprendizaje es promovido y apoyado. Un lugar donde los estudiantes podrían trabajar juntos y apoyar unos a otros en la medida que usan herramientas y fuentes de información en su búsqueda de objetivos de aprendizaje y actividades de resolución de problemas” (Wilson, 1995, p. 27).

9. ¿Hace uso usted de recursos manipulables en el aula cuando enseña trigonometría?

Los únicos recursos disponibles que utilizo son una regla de 1m, una escuadra grande y una cuerda (para trazar circunferencias), con los que construyo las figuras geométricas en el pizarrón, para mostrar a los estudiantes las técnicas utilizadas y el

producto final, también para explicar el origen de las razones trigonométricas y su utilidad.

10. Presente cuatro ejemplos del tipo de problemas que usted le propone a sus estudiantes en los exámenes.

Cuatro de los problemas propuestos en los exámenes son los siguientes:

Juan se dirige a casa de su amigo, para ello parte de su casa y camina 100m hacia el norte, luego 80m hacia el este y finalmente 40m hacia el sur. ¿Qué distancia hay de la casa de Juan hasta la casa del su amigo? Haz el dibujo correspondiente.

Dada la siguiente figura: C

30º 40ºA 100m D B

Calcula las distancias: AC , CD , DB y CB

Determine el signo del seno y el coseno para cada uno de los siguientes ángulos:a) 25º b) 120º c) 260º d) 300º e) 165º

Al recorrer 3 km. por una carretera, cuyo ángulo de inclinación es constante, hemos ascendido 280 m. ¿Qué ángulo forma la carretera con la horizontal?

ANEXOS

1. INSTRUCTIVO PARA CONSTRUIR UN GEOPLANO

El geoplano es un elemento didáctico que ayuda a introducir y afianzar gran parte de los conceptos de la geometría plana, al ser una herramienta concreta permite a los estudiantes obtener una mayor comprensión de diversos términos de esta materia. Entre estos se pueden citar:

Se pueden formar figuras geométricas. Los estudiantes puedan establecer semejanzas y diferencias entre paralelismo y

perpendicularidad.

El geoplano puede ser de tipo diferente: Geoplano Cuadrado: Es el ideal para describir conceptos

tales como segmentos, líneas poligonales abiertas, líneas poligonales cerradas, cálculo de áreas y perímetros, entre otros.

Geoplano Isométrico: Es también conocido como Geoplano triangular, se construye a través de triángulos equiláteros. Se usa frecuentemente en la construcción de figuras tridimensionales.

Geoplano Circular: Es útil para construir figuras inscritas, circunscritas, polígonos regulares, entre otros. Ayuda a clarificar los conceptos de radio, diámetro y cuerda.

Otra forma de usar el Geoplano es trabajarlo como un plano cartesiano, en donde cada clavo denota un punto en el plano, como se muestra en la figura siguiente.

Al geoplano se aplican algunas definiciones que son de gran interés para el caso de estudio en particular, se citan a continuación:

Definición 1. Un punto P de coordenadas (x , y) se llama entero o reticular si la coordenada “x” y la coordenada “y” son números enteros.

Definición 2. Una red de puntos M (red reticular M), es aquella que está formada por puntos enteros (reticulares) en el plano cartesiano.

Definición 3. Una red poligonal P (retículo poligonal P), es un polígono simple, cuyos vértices son enteros (reticulares).Un polígono es simple si los vértices no coinciden unos con otros, ninguno de los vértices cae en uno de los lados del polígono y dos lados cualesquiera no se cortan.

CONSTRUCCION DE UN GEOPLANOPara construir un geoplano, se toma una tabla de madera de 1cm de espesor

aproximadamente y de 25x25 cm de área. A esta se le deja un borde, en una de sus caras, de 2,5 cm por cada lado y se trazan con una regla líneas paralelas separadas a 2 cm cada una, luego se trazan líneas perpendiculares a las ya trazadas con igual separación. Seguidamente se introducen los clavos en cada punto de intersección de las líneas trazadas, de manera que la cabeza del clavo quede 1cm fuera de la madera. Para ello se utilizan clavos de ½ pulgada.