8/18/2019 trabajo para la enseñanza de Cálculo

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Trabajo para ALAMI.

Título: Un enfoque sistémico del Calculo Integral para la enseñanza en la carrera deIngeniería Informática.

Autor: MSc Reinaldo Sampedro Ruiz

E-mail: reinaldo.sampedro@reduc.edu.cu reinaldosampe@yahoo.es 

Institución Universidad de Camaguey

País: Cuba

Resumen:

En el presente trabajo se aplica la concepción sistémico dialéctica a la teoría de integración

con el tratamiento del concepto de integral, una de las componentes del sistema propuesto

para el desarrollo de toda la teoría del Cálculo Integral. Se busca la contradicción dialéctica

de dicha teoría (fuente motriz del desarrollo de la misma) que es la que se establece entre

los conceptos de derivación y de integración indefinida, aplicándola a la estructuración del

contenido y a la formalización de éste y del enfoque estructural y funcional anteriormente

referido; y por último se aplica dicha contradicción para desentrañar la esencia del objeto

de estudio (Teoría de Integración), o lo que es lo mismo, la célula de éste, que no es más que

la integral definida. Se muestra también como la aplicación simultánea y dialéctica de los

tres enfoques referidos (estructural ý funcional, contradicción dialéctica y genético), logra

un efecto superior a la aplicación aislada de cada uno de ellos.

Un enfoque sistémico del cálculo integral para la enseñanza en la carrera de ingeniería

informática.

La Educación Superior enfrenta en este nuevo siglo el reto de preparar profesionales cada

vez más competentes, capaces de dar solución, de forma creativa, a los nuevos problemas

que se presenten en su esfera de actuación.El sistema educativo cubano esta actualmente

inmerso en profundas transformaciones, desde la Enseñanza Primaria hasta la Universidad.

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Por esta razón el trabajo esta encaminado a perfeccionar cada día la enseñanza de la

matemá tica desde la enseñanza primaria hasta la universitaria. .

El enfoque estructural - funcional introducido por Z. A. Reshetova, describe al

obje to de es tudi o en su to ta li dad y de forma pa rci al men te acabada como un

sistema , des ta cá n do s e su com po sició n y es tr uc tu r a (sus com po ne n te s y la

in te rre lación tan to est át ica como dinámica que en tre ellas se es tablece). Las

caracte rí s ti cas est ruc tural es funciona les en cada nivel de si st emat ic idad se

denom in an INVARIANTES DEL SISTEMA. En este enfoque el profeso r presen ta a

los estudiantes el invariante del si stema en conferencias , y el resto del tiempo   ,

me dia nt e no solo el des ar rollo de la necesa ria siste ma ti za ció n de los

conocimientos y habil idades t ra tados, s ino también mediante la aplicación de

dicha invariante por parte de los estudiantes con la mínima ayuda del profesor.

Los enfoques sis témi cos const it uyen una neces idad en la pedagogía   actual,

permiten in tegrar, diferentes teor ías, bajo un mismo núcleo teór ico. Por o tra

pa rt e, el presen t ar el conocimiento   con una est ruc tura concre ta cont ribuye al

logro de una mayor solidez de los conocimientos a asimi lar , además, como se

localiza y rest r inge la esencial información   que el docente debe t ransmi t ir al

estudiantado, se abren espacios al desarrollo de la creatividad y el pensamiento

de éste , fundamentalmente cuando tienen que realizar la derivación de la teoría

y sus aplicaciones y se les pone ante la tarea de resolver problemas product ivos

y creativos.

La Dra. H. Hernández desarrolló el enfoque est ructural - funcional del concepto

de integral para el t ra tamiento de la integral definida, múl tiple , de línea y de

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sup er ficie, en el que este conce pt o se pres en ta como un siste ma cuyas

componentes son:

1.- Partición del dominio  de integración;

2 . - Selección  de un punto arbit rario en cada elemento de la part ic ión;

3.- Formación de las sumas integrales ;

4.- Paso al límite cuando la norma de la part ición tiende a cero.

En los t rabajos refer idos por esta autora se revela como apl icar dicho invariante

a las distintas variantes (integral definida, doble, triple, de línea y de superficie).

En este t rabajo al igual que R. García Blanco y otros extenderemos el enfoque

est ructural funcional , no sólo al concepto de integral, sino a toda la teoría del

Cálculo Int egra l (en una y var ias variables ), siendo el re fe rido concepto de

integral, una componente del s is tema por nosot ros propuesto.

Emplearemos la concepc ión sis témi ca dialéctica de la es truc tu raci ón del

contenido, lo cual nos conduce no sólo a la aplicación del enfoque est ructural

funciona l, sino también a la determinación de la célula y de la contrad icción

dialéctica del objeto de estudio.

En nuest r a p ropues ta de en foque es truc t ura l func iona l del tra tami en t o del

Cálculo Int egral , és te se rá t ra tado en primera inst anc ia en el desarro llo de lateoría de la Integral Definida, y con posterior idad se irá generalizando dicho

enfoque de invariante por el propio estudiantado y se apl icará al desarrollo de

las res tan tes var ian tes (in tegral doble . tr ip le, de línea, y de superf ic ie ). A

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continuación describiremos nuest ro invariante y la lógica  de su apl icación a las

dist intas variantes descri tas.

Com po ne n te s rela tiva s al enfo qu e estr uc tu r al - fun cio na l de la teo ría de

integración:

1.- Definición de integral.

2.- Teorema de Newton - Leibnitz.

3. - Teorema sobre el cambio  de variable en la integral.

Este proces o no lo mos tr ar em os en la prim er a com po ne nt e del siste ma

(definició n de integ ra l), pue s las ideas que pe rm it en dich o proc es o de

general ización descansan en el enfoque est ruc tural - funciona l del concepto

general de in tegra l desarro ll ado por la Dra. H. Hernández , al que ya hicimos

referencia en la introducción , presentando sus respect ivas componentes .

Aplicación del invariante a la variante de las Integrales  Múltiples.

Se debe llevar a los estudiantes a generalizar el Teorema de Newton- Leibni tz

que en esencia refiere que:

 Siendo F(x) una primitiva de f(x) (la derivada de F(x) es

f(x)).

Para ello se referi rá que al pasar a la teoría bidimensional se produce un cambio

cuan ti ta ti vo que origi na un cambio cualit at ivo, se p roduce una negaci ón

dialéctica, se vuelve sobre el mismo punto, pero sobre un nivel cuali tativamente

superior.

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Se ap rovecha la anal ogí a con la de rivaci ón , en la cual la exp re si ón se

det er mi na calcula nd o la deriva da pa rcial res pe ct o a y, y deriva nd o con

pos ter ior idad respec to a x l a expres ión as í ob ten ida . Esto conduce de forma

natura l al concepto de in tegral ite rada de segundo orden (se in tegra primero

re spec to a una variabl e y después re spec to a l a r es tan te ), quedando sólo

precisar los límites  de integración en que se debe evaluar dicha integral iterada.

Tomando una región de integración regular respecto a y:

Y t en iendo en cuenta que los puntos a y b en que se evalúa la pr imit iva en e l

Teorema de Newton - Leibnitz, son los extremos de la región de integración o lo

que es lo mis mo, esto s pu nt os con stit uy en la fro nt er a de dich a regió n,

re su lt ar ía nat ural evaluar la in tegral iter ada en la front era de la región de

integración. Basado en la heurís tica anter ior , que debe ser desarrol lada a t ravés

del t rabajo grupal estudiant i l, en la que el docente jugaría el rol de facili tador ,

se obti ene el Método de calculo de la in tegral doble para regiones regulares

respecto a la variable y:

De for ma an álog a se obtie ne la

expresión equivalente para

regiones regulares con respecto a x .

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 Los métodos de cálculo de la integral t riple son análogos a los descri tos para la

integral doble.

El teorema del cambio de variable (tercera componente del enfoque est ructural

funcional de la teoría de integración) debe ser general izado aquí también, de la

integral definida a la integración múlt iple. El señalado teorema en el caso de la

integral

definida en esencia refiere que:

Si pretende mos en la integral doble introducir el cambio de variable

e induci r en este caso su expresión, debemos hal lar

la forma del elemento matemát ico que general ice a , s iendo natural en este

caso considerar como tal al módulo del siguiente jacobiano (determinante de la

matriz   jacobiana):

En consecuenc ia , el teorem a sobre la tr ansfo rm aci ón de coo rdenadas en la

integral doble, en esencia nos aportaría la siguiente expresión:

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Con la cual, con poster ior idad el estudiantado podrá deducir la expresión de la

integ ra l al realiz ar ca mbi o de coor de na d as a pola re s, las que de be n ser

introducidas apoyados en preceptos geométr icos. El t ra tamiento del cambio de

variables en la integral t riple es análogo al de la integral doble .Igualmente se

aplica el invariante a las integrales de línea y de superficie.

Consi de rac iones dialécticas sobre la aplicación de l en foque es truct u ra l -

funcional de la Teoría de integración.

Nuest ra invariante presenta un enlace est ructural - funcional, una vez obtenido

el mismo y most rado en la integral definida, el proceso t ranscurre a t ravés de la

aplicación de este t ipo de enlace a las restantes variantes del sistema (integrales

múl tiples e integrales de línea y de superf ic ie). Pero es necesario formalizar

dicha inva riant e, al aplicar el últi mo enfoque, se debe revela r cual es la

contradicción dialéctica del objeto del Cálculo Integral, que será precisamente la

que se es tabl ece en tr e la integrac ión (integral inde fi ni da ) y la de rivaci ón

(derivada ordinaria), la lógica entre estos procesos  matemát icos contrar ios es la

que desencadena el desar ro llo de toda la señalada teor ía , ya que en todos los

teorem as de la teor ía de int eg raci ón es tá p re sen te la in te racci ón de ambos

conceptos , ellos son la fuente mot ri z del desarro llo de dicha teor ía , y puede

demost rarse también en que sent ido ellos se excluyen y se presuponen, todo lo

cual son las condiciones que debe cumplir la contradicción dialéctica.La célula

de la Teoría de Integración lo const i tuye   la integral definida , ella da la esencia

de toda la t eor ía de in tegración pues el cálculo de cualquier ti po de in tegral

(doble, tr ip le , de línea y de superf ic ie ) se reduce al cálculo de una o vari as

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int eg ra le s de fin idas. Por ot ra pa rt e, la int eg ra l def in ida posee todas las

componentes del s is tema discut idas más arr iba (definición, Teorema de Newton

Leibnitz, Cambio de variable), condición la cual debe cumplir la célula.

Este enfoque genético es de gran importancia pues revela la esencia de la teoría

de integración.

Conclusiones

1. - El enfoque es truc tura l - funciona l p ropues to para el desar rol lo de la teor íade in tegración, permi te una mayor si st emat ic idad del p roceso, cont ribuyendocon ello a una mayor formación de las habi lidades declaradas en los programas ;

por otra parte, al local izar los aspectos esenciales que el docente debe darle a les tud ian tado, conjugado con el hecho de que és tos apliquen los mismos en e lproceso de derivación de la teoría y la conformación de las apl icaciones, abreespacios a la formación de la creatividad  en los mismos.

2.- El enfoque propuesto cont ribuye a la formación de una mayor sol idez de losconocimientos y habil idades a formar.

3. - El enfoque sis témi co dial éc tico propues t o es tabl ece una in te rr el ac iónadecuada entre los procesos   induct ivos y deduct ivos , p re sen tándose elinvaria nt e en el cas o uni di me ns io na l, exte nd ié nd o se dich o modelo   a lasrest an tes vari an tes , por vía inductiva en una primera inst anc ia en cuanto a su

generalización, y con posterior idad por vía deduct iva en cuanto a su apl icacióna las variantes concretas.

Bibliografía

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(Tesis  de doc torado en Ciencias  Pedagógicas), Santiago de Cuba , 1998.(Inédita).

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8. Salmina, N. G. La actividad cognoscit iva de los alumnos y el modo deestructur ar la asignatura. Ciudad de La Habana, CEPES, 1989.