Movimiento OndulatorioProceso por el que se propagaenergade un lugar a otro sin transferencia de materia, mediante ondas mecnicas o electromagnticas. En cualquier punto de la trayectoria de propagacin se produce un desplazamiento peridico, u oscilacin, alrededor de una posicin de equilibrio. Puede ser unaoscilacinde molculas de aire, como en el caso delsonidoque viaja por la atmsfera, de molculas de agua (como en las olas que se forman en la superficie del mar) o de porciones de una cuerda o un resorte.En todos estos casos, las partculas oscilan en torno a su posicin deequilibrioy slo la energa avanza de forma continua.Estasondas se denominan mecnicasporque la energa se transmite a travs de un medio material, sin ningn movimiento global del propio medio.

Las nicas ondas que no requieren un medio material para su propagacin son las ondaselectromagnticas; en ese caso las oscilaciones corresponden a variaciones en la intensidad decamposmagnticos yelctricos. Teora ondulatoria: Propugnada por Christian Huygens en el ao 1678, describe y explica lo que hoy se considera como leyes de reflexin y refraccin. Define a la luz como un movimiento ondulatorio semejante al que se produce con el sonido. Los fsicos de la poca consideraban que todas las ondas requeran de algn medio que las transportara en el vaco, as que para las ondas lumnicas se postula como medio a una materia insustancial e invisible a la cual se le llam ter. La presencia del ter fue muy cuestionado, ya que existe una contradiccin en cuanto a la presencia del ter como medio de transporte de ondas, ya que se requerira que ste reuniera alguna caracterstica slida pero que a su vez no opusiera resistencia al libre trnsito de los cuerpos slidos.

En aquella poca, la teora de Huygens no fue muy considerada, y tuvo que pasar ms de un siglo para que fuera tomada en cuenta la esta teora. Los experimentos del mdico ingls Thomas Young sobre los fenmenos de interferencias luminosas, y los del fsico francs Auguste Jean Fresnel sobre la difraccin fueron decisivos para que ello ocurriera y se colocara en la tabla de estudios de los fsicos sobre la luz, la propuesta realizada por Huygens. Young demostr experimentalmente el hecho paradjico que se daba en la teora corpuscular de que la suma de dos fuentes luminosas puede producir menos luminosidad que por separado. En una pantalla negra practica dos minsculos agujeros muy prximos entre s: al acercar la pantalla al ojo, la luz de un pequeo y distante foco aparece en forma de anillos alternativamente brillantes y oscuros. Cmo explicar el efecto de ambos agujeros que por separado daran un campo iluminado, y combinados producen sombra en ciertas zonas? Young logra explicar que la alternancia de las franjas por la imagen de las ondas acuticas. Si las ondas suman sus crestas hallndose en concordancia de fase, la vibracin resultante ser intensa. Por el contrario, si la cresta de una onda coincide con el valle de la otra, la vibracin resultante ser nula.A pesar de ciertas contradicciones en los trabajos de Fresnel y Young, una nueva conclusin se impone: las vibraciones en la luz no pueden ser longitudinales, como Young lo propusiera, sino perpendiculares a ladireccin de propagacin, transversales.Estas investigaciones abren la puerta a nuevos conceptos y tambin aspiraciones cientficas en las que se encuentra medirla velocidad de la luzcon mayor exactitud que la permitida hasta el momento por las observaciones astronmicas. SerJames Maxwellquien se apoye en estos trabajos para crear suteora electromagntica, que ser la base de gran parte de los avances cientficos del siglo XIX y XX.

Debate entre Huygens y NewtonDEBATE HISTORICO, Newton: "La luz puede viajar en partculas separadas", Huygens: "La luz puede viajar en partculas continuas.

Clasificacin de las ondas:Pueden ser clasificadas de distintas formas, dependiendo de los factores que se tengan en cuenta para hacerlo o dependiendo de su materia la cual vara dependiendo de la onda o su modo de propagacin:En funcin del medio de propagacin Mecnicas(medio material): las ondas mecnicas necesitan un medio elstico (slido, lquido o gaseoso) para propagarse. Las partculas del medio oscilan alrededor de un punto fijo, por lo que no existe transporte neto de materia a travs del medio. Como en el caso de una alfombra o un ltigo cuyo extremo se sacude, la alfombra no se desplaza, sin embargo una onda se propaga a travs de ella. Dentro de las ondas mecnicas tenemos las ondas elsticas, las ondas sonoras y las ondas de gravedad.

No mecnicas(medio no material): son aquellas que no necesitan de un medio elstico, se propagan por el vaco. Dentro de estas ondas se encuentran las electromagnticas.

En funcin a la direccin de la propagacin y de la perturbacin: Escalares: es una magnitud, sin direccin ni sentido. Por ejemplo, la presin en un gas, o la onda emitida por las partculas elementales del tomo.

Vectoriales: la magnitud tiene una direccin y un sentido. Ondas longitudinales: el movimiento de las partculas que transporta la onda es paralelo a la direccin de propagacin de la misma. Por ejemplo, el sonido.

Ondas transversales: las partculas se mueven perpendicularmente a la direccin de propagacin de la onda. Por ejemplo, las ondas electromagnticas (son ondas transversales perpendiculares entre s).

Ondas torsionales: Producidas por un par o momento de torsin. No son paralelos o perpendiculares al eje de la barra, sino a rotaciones alrededor del eje de la barra.

Ondas circulares: Cuando la perturbacin se produce en un punto de la superficie y esta se propaga en todas las direcciones con la misma velocidad

En funcin de su periodicidad Ondas peridicas: la perturbacin local que las origina se produce en ciclos repetitivos por ejemplo una onda conoidal.

Ondas no peridicas: la perturbacin que las origina se da aisladamente o, en el caso de que se repita, las perturbaciones sucesivas tienen caractersticas diferentes. Las ondas aisladas se denominan tambin pulsos.

En funcin de su frente de onda Ondas unidimensionales: las ondas unidimensionales son aquellas que se propagan a lo largo de una sola direccin del espacio, como las ondas en los muelles o en las cuerdas. Si la onda se propaga en una direccin nica, sus frentes de onda son planos y paralelos.

Ondas bidimensionales o superficiales: son ondas que se propagan en dos direcciones. Pueden propagarse, en cualquiera de las direcciones de una superficie, por ello, se denominan tambin ondas superficiales. Un ejemplo son las ondas que se producen en la superficie de un lago cuando se deja caer una piedra sobre l.

Ondas tridimensionales o esfricas: son ondas que se propagan en tres direcciones. Las ondas tridimensionales se conocen tambin como ondas esfricas, porque sus frentes de ondas son esferas con cntricas que salen de la fuente de perturbacin expandindose en todas direcciones. El sonido es una onda tridimensional. Son ondas tridimensionales las ondas sonoras (mecnicas) y las ondas electromagnticas.

De acuerdo con el comportamiento de una partcula de la materia Impulso o una sola onda: Cuando se aplica un solo movimiento lateral en su extremo de la cuerda y esta onda se propaga y despus la cuerda permanece en reposo.

Tren de ondas: En este caso se produce cuando se aplica varios movimientos continuos en el extremo de la cuerda, en un sentido y en el opuesto.

Elementos de una onda senoidal:

Cresta: La cresta es el punto de mxima elongacin o mxima amplitud de onda; es decir, el punto de la onda ms separado de su posicin de reposo. Perodo(): El periodo es el tiempo que tarda la onda en ir de un punto de mxima amplitud al siguiente. Amplitud(): La amplitud es la distancia vertical entre una cresta y el punto medio de la onda. Ntese que pueden existir ondas cuya amplitud sea variable, es decir, crezca o decrezca con el paso del tiempo. Frecuencia(): Nmero de veces que es repetida dicha vibracin por unidad de tiempo. En otras palabras, es una simple repeticin de valores por un perodo determinado. Valle: Es el punto ms bajo de una onda. Longitud de onda(): Es la distancia que hay entre el mismo punto de dos ondulaciones consecutivas, o la distancia entre dos crestas consecutivas. Nodo: es el punto donde la onda cruza la lnea de equilibrio. Elongacin (): es la distancia que hay, en forma perpendicular, entre un punto de la onda y la lnea de equilibrio. Ciclo: es una oscilacin, o viaje completo de ida y vuelta. Velocidad de propagacin (): es la velocidad a la que se propaga el movimiento ondulatorio. Su valor es el cociente de la longitud de onda y su perodo. Rapidez de propagacin de una perturbacin

La velocidad de propagacin depende del medio. Para determinar la velocidad de propagacin, bastara con medir el tiempo que tarda el pulso en recorrer la longitud de la cuerda. La velocidad ser mayor cuanto ms tensa est la cuerda. Si la cuerda es ms pesada, la velocidad de propagacin es menor.

Donde es la tensin de la cuerda (propiedad elstica) y , la densidad lineal, es decir, la masa por unidad de longitud de la cuerda (propiedad inercial). Ecuacin general de una onda viajeraLa funcin de onda es la expresin matemtica que representa la propagacin de una onda, es una funcin de la coordenada de la direccin de avance y del tiempo.

Para determinar la forma en que aparecen relacionadas las variables x y t en la funcin de onda, analizaremos el movimiento de una onda unidimensional que se mueve hacia la derecha, visto desde dos sistemas de referencia distintos: uno en reposo relativo, O, y otro en movimiento relativo O.En ambos casos se est describiendo la misma onda, por lo que: f (x, t) = f (x). Las coordenadas en ambos sistemas de referencias se relacionan del siguiente modo: y = y; x = x - vt. Por lo tanto, la funcin que representa una onda cualquiera que se desplaza en la direccin del eje X tiene la forma general:

El signo es negativo cuando la onda se desplaza hacia la derecha (+OX). El signo es positivo cuando la onda se desplaza hacia la izquierda (-OX).

Ondas sinusoidales viajeras: Las ondas sinusoidales se producencuando un cuerpo vibra con M.A.S.y este no se distorsiona al propagarse. En general, toda onda se puede considerar como superposicin de ondas sinusoidales. Un movimiento vibratorio sinusoidal esdoblemente peridico porquees funcin deldesplazamiento dela onda y deltiempo.Por ello se expresa la elongacin en funcin del desplazamiento y el tiempo: y(x,t).

En el origen, la ecuacin del m.a.s. que origina la onda es:y(0,t)= A sen (wt)en la cualw=2p/T =2pfes la pulsacin o frecuencia angular de la onda. La elongacinyde un punto cualquiera x de la onda (x>0) vara tambin con el tiempo, pero presenta un desfase respecto del origen. Por eso se escribe la ecuacin de cualquier punto de la onda: y (x, t) = A sen (wt-j). Como la velocidadvde la onda que se propaga por un medio homogneo e istropo es constante,el desfasedependede la distanciaxdel punto al origen; luegoj= kx.

Y as tenemos una ecuacin de las ondas unidimensionales sinusoidales que se desplazan hacia la derecha (sentido positivo):y (x, t) = Asen (wt- kx)kse llama nmero de ondas. Si la onda se propaga hacia la izquierda (sentido negativo) la velocidadvy los desplazamientosxrespecto del origen son negativos y entonces la ecuacin se escribira:y (x, t) = Asen (wt + kx)

Ondas viajeras en una cuerda tensa: Al principio de este tema se estudia laecuacin de ondaen su forma matemtica, pero para que esa ecuacin sea til, hay que demostrar que aparece realmente en situaciones fsicas. En esta seccin vamos a probar que las ondas que se transmiten por una cuerda tensa verifican, en condiciones adecuadas, la ecuacin de onda unidimensional.Suponemos que tenemos una cuerda de gran longitudL, de seccin uniformeSy con una densidad de masa por unidad de longitud (que ser igual a su densidad de masa por unidad de volumen, , multiplicada por la seccin de la cuerda = S).Esta cuerda est sometida a tensin, por ejemplo, atando uno de sus extremos a una pared y colgando un peso del otro extremo. Por efecto de las perturbaciones esta cuerda vibra transversalmente, de forma que un punto de ella, de coordenadaxse desplaza una cantidad y en la direccin perpendicular a la cuerda. Supondremos que las deformaciones son de pequea amplitud, de forma que puede suponerse que la longitud de la cuerda no se ve afectada por la curvatura, y que cada punto de la cuerda se mueve solo transversalmente y no hacia adelante o hacia atrs.

Consideremos un trozo de cuerda de longitud infinitesimal, comprendido entre las posicionesxyx+ x. Este trozo tendr una masa muy pequea

Esta masa, aunque dibujada de forma exagerada como un segmento largo de cuerda, puede tratarse como una partcula que se mueve exclusivamente en la direccin vertical, segn hemos supuesto, de forma que la velocidad y aceleracin de esta masa esEl uso de la derivada parcial, en vez de la total, indicada normalmente con uno () o dos puntos (sobre la variable, se debe a queydepende realmente de dos variables,xyt. La velocidad y la aceleracin corresponden a un movimiento vertical (variacin ent) sin que se modifique la posicin horizontal (xconstante). Esta es justamente la definicin de derivada parcial.

Este trozo infinitesimal de cuerda se mueve sometida a la accin de las fuerzas ejercidas por los trozos de cuerda adyacentes, a travs de la tensincon que tiran de ella. De esta forma, la segunda ley de Newton para esta masa puntual se escribir

El signo menos en la segunda tensin se debe a que consideramos la tensin siempre como la que el elemento situado enx+ xtira del elemento anterior, situado enx. Si consideramos la fuerza con la que un elemento tira del siguiente, en vez del anterior, habr que cambiarle el signo.Veamos cada componente de esta ecuacin vectorial por separado.Componente longitudinal: Si consideramos la direccin longitudinal, paralela a la cuerda, tenemos que en esta direccin la aceleracin es nula (pues la onda es transversal), as que la segunda ley de Newton se reduce a

siendoFTxlas componentes de la tensin (que, como toda fuerza, es un vector) en la direccin longitudinal. Podemos relacionar estas componentes con el mdulo de la tensin,, y el nguloque forma con la direccin longitudinal

con lo que nos queda

Ahora bien, por ser pequea la amplitud de las oscilaciones, este ngulo \theta es siempre muy pequeo, de forma que podemos hacer la aproximacin

de forma que la ecuacin de movimiento en la direccin longitudinal se reduce a

o, lo que es lo mismo, la tensin es la misma, en mdulo, para todos los puntos de la cuerda. Por ello se puede hablar de la tensin de la cuerda sin especificar a qu punto nos referimos. Hay que recordar, no obstante, que este resultado es aproximado, consecuencia de haber supuesto pequeas amplitudes.Componente transversal: En la direccin transversal s debemos considerar la aceleracin del elemento de masa, de forma que nos queda

Relacionando de nuevo las componentes con el mdulo (del cual ya sabemos que es constante) y el ngulo nos queda

Aplicando de nuevo que el ngulo es pequeo, podemos hacer una doble aproximacin(recordemos que el coseno vale prcticamente la unidad). Esto nos convierte la ecuacin para la componente transversal en

Ahora bien, la tangente del nguloes justamente la pendiente de la recta tangente a la curva, esto es, la derivada con respecto ax

as que la ecuacin anterior la podemos escribir como (pasandoxal segundo miembro)

pero, para una funcin cualquiera en un instante dado, sixes infinitesimal

as que nos queda finalmente

que es la ecuacin de onda que buscbamos. Rapidez en una cuerda tensa:La ecuacin de onda anterior la podemos escribir en la forma

que, comparndola con la forma general

nos dice que la velocidad con la que se propagan las ondas por una cuerda tensa es

Segn esto, la velocidad es mayor cuanto ms tensa est la cuerda y menor cuanto mayor sea su masa. Para el caso de que la cuerda sea un cable circular de dimetroDde un material de densidad volumtrica , esta velocidad vale

Segn esto, para dos hilos del mismo material sometidos a la misma tensin, si uno es el doble de grueso que el otro, la velocidad de las ondas en l ser la mitad.

Ondas estacionarias:Cuando dos ondas de la misma frecuencia y misma amplitud se propagan por el mismo medio los puntos en los que se producen interferencias constructivas y destructivas reciben el nombre de vientres y nodos. Las lneas que los unen se denominan, respectivamente, lneas ventrales y lneas nodales. Un caso particular de interferencia es la que da lugar a lo que se conoce como onda estacionaria.Una onda estacionaria es la onda que resulta del encuentro de dos ondas de igual longitud de onda y amplitud, que se propagan en la misma direccin, pero en sentidos contrarios.

En las ondas estacionarias destacan tres hechos importantes:1. Aparecen puntos en estas ondas en los que la interferencia es nula (nodos). Estos puntos siempre aparecen como mnimo en los extremos fijos.1. La onda resultante no viaja ya que la energa no puede avanzar a travs de los nodos. 1. En un medio limitado por ambos lados no puede producirse cualquier onda, sino slo las que originen nodos en los extremos fijos del medio. Las frecuencias para las cuales se originan las ondas estacionarias son las frecuencias propias o resonantes.

Estas ondas se producen, por ejemplo, cuando un medio limitado, como un tubo o una cuerda de un instrumento musical, se ve afectado por un movimiento ondulatorio; las ondas estacionarias son provocadas por las reflexiones que este movimiento experimenta en los extremos del medio. Por tanto se consiguen las diferentes notas musicales variando la longitud de la cuerda desplazando los dedos sobre ella (guitarra, viola, contrabajo, etc) o la longitud de la columna de aire que vibra mediante los pistones o yemas de los dedos (trompeta, clarinete, flauta, etc).Al no existir transporte de energa, no podemos considerar las ondas estacionarias como ondas en sentido estricto.En los nodos, la amplitud es cero, cosa que ocurrir cuando sen kx=0, por lo que los valores posibles de kx sern: kx=0, , 2, 3 Y puesto que k=2/, podemos encontrar la relacin entre las posiciones x y la longitud de la onda estacionaria, de modo que los nodos se encuentran ubicados en:

Nodos normales de vibracin:Una cuerda horizontal est sujeta por uno de sus extremos, del otro extremo cuelga un platillo en el que se ponen pesas. Una aguja est sujeta al centro de la membrana de un altavoz y por el otro extremo est sujeta a la cuerda. La aguja empieza a vibrar cuando se conecta el altavoz al generador de ondas .

Tenemos un sistema oscilante, la cuerda, y la fuerza oscilante proporcionada por la aguja. Cuando la frecuencia de la fuerza oscilante, la que marca el generador coincide con alguno de los modos de vibracin de la cuerda, la amplitud de su vibracin se incrementa notablemente, estamos en una situacin de resonanciaNuestra experiencia simulada, difiere de la experiencia en el laboratorio, en que no cambiamos directamente la tensin de la cuerda sino la velocidad de propagacin de las ondas. La relacin entre una y otra magnitud se explica en la pgina que estudia lasondas transversales en una cuerda

DondeTes la tensin de la cuerda ymla densidad lineal de la cuerda.Una vez establecida la velocidad de propagacin, o la la tensin de la cuerda, vamos cambiando la frecuencia de la fuerza oscilante para buscar los distintos modos de oscilacin de la cuerda.Una vez que encontramos la frecuencia del primer modo de vibracin, se pueden buscar rpidamente los restantes: la frecuencia del segundo modo es el doble que la del modo fundamental, la frecuencia del tercer modo es triple, y as sucesivamente...f1modo fundamentalfn=nf1armnicosn=2, 3, 4.

Ondas Sonoras:Las ondas sonoras viajan a travs de cualquier medio material con una rapidez que depende de las propiedades del medio. A medida que las ondas sonoras viajan a travs del aire, los elementos del aire vibran para producir cambios en densidad y presin a lo largo de la direccin del movimiento de la onda. Si la fuente de las ondas sonoras vibra sinusoidalmente, las variaciones de presin tambin son sinusoidales. La descripcin matemtica de las ondas sonoras sinusoidales es muy parecida a las ondas sinusoidales en cuerdas. Las ondas sonoras se dividen en tres categoras que cubren diferentes intervalos de frecuencia. 1) Las ondas audibles se encuentran dentro del intervalo de sensibilidad del odo humano. Es posible generarlas en una variedad de formas, como de instrumentos musicales, voces humanas o bocinas. 2) Las ondas infrasnicas tienen frecuencias por abajo del intervalo audible. Los elefantes usan ondas infrasnicas para comunicarse mutuamente, aun cuando estn separados por varios kilmetros. 3) Las ondas ultrasnicas tienen frecuencias por arriba del alcance audible. Es posible que usted haya usado silbatos silenciosos para llamar a su perro. Los perros escuchan el sonido ultrasnico que emite este silbato, para los humanos es imposible detectarlo. Las ondas ultrasnicas tambin se usan para la formacin de imagen mdica. Rapidez de las ondas sonoras:En la figura se describe grficamente el movimiento de un pulso longitudinal unidimensional mvil a travs de un tubo largo que contiene un gas compresible. Un pistn en el extremo izquierdo se mueve hacia la derecha para comprimir el gas y crear el pulso. Antes de que el pistn se mueva, el gas no est perturbado y tiene densidad uniforme, como se representa mediante la regin coloreada en el mismo tono de la figura. Cuando el pistn se empuja sbitamente hacia la derecha , el gas justo enfrente de l se comprime (como se representa mediante la regin con el tono ms oscuro); la presin y la densidad en esta regin ahora son mayores de lo que eran antes de que el pistn se moviera. Cuando el pistn se detiene, la regin comprimida del gas contina en movimiento hacia la derecha, lo que corresponde a un pulso longitudinal que viaja a travs del tubo con rapidez v. La rapidez de las ondas sonoras en un medio depende de la compresibilidad y la densidad del medio; si ste es un lquido o un gas y tiene un mdulo volumtrico B y densidad S, la rapidez de las ondas sonoras en dicho medio es:

Intensidad, potencia y energa de las ondas sonoras:Todas las ondas transportanenerga. Un modo ms sencillo de verlo es con una onda mecnica cualquiera: como la perturbacin, o el apartamiento, o como quieras llamarlo, es un movimiento... y el movimiento es energa cintica... luego la onda no slo propaga un movimiento, con l, propaga energa.Del mismo modo en que se definepotencia(Pot) en el resto de los captulos de la fsica, se define en ONDAS:Pot = E / tLapotenciaes el cociente entre laenergatransportada (emitida o recibida) y el intervalo de tiempo considerado. Y las unidades son las usuales.Tal vez ms novedoso es el concepto deintensidad(I). Resulta que la propagacin de una onda puede ocurrir en una direccin lineal, en una superficie, o en un volumen. En cada caso, la energa de la perturbacin emitida se recibe en muchas posiciones diferentes y no siempre se recibe la misma cantidad de energa, ya que hay que repartirlademocrticamente entre todas las posiciones receptoras.

Se define intensidad,I, como el cociente entre la cantidad de energa que atraviesa un rea,S, en un intervalo. O, si se prefiere, como el cociente entre la potencia ondulatoria y el rea atravesada por la onda.I=E/S . tI=Pot/SPara una onda material se demuestra que la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud y al cuadrado de la frecuencia.I~A . fDe modo que si, por ejemplo, cierta transformacin disminuye la amplitud de una onda 4 veces, su intensidad disminuir 16 veces.En las ondas sonoras, la amplitud estara dada por el promedio de la longitud de las vibraciones de las molculas de aire... o sea... una medida microscpica muy difcil de establecer, y demasiado incmoda. Es preferible establecer la amplitud de las ondas sonoras como una medida de la variacin de presin (Pr) que se produce en el medio (una medida macroscpica).I ~ PrSi pretendemos una ecuacin tenemos que agregar una constante de proporcionalidad. En este caso la constante depender de la velocidad del sonido en el medio,v, la densidad del medio,, y un factor numrico,2, que proviene de haber integrado todo el trabajo requerido durante la variacin de presin hasta una presin mximaPr... y queda as:

I =Pr/2v

Bibliografa

Tipler-Mosca. (2010). Fsica para ciencias y terminologa. Espaa: Reverte Raymond A. Serway. (2009). Fisica Vol. I. Santa Fe, Mexico: Cengage Learning. http://es.physibooks.org/wiki/F%C3%ADsica/Vibraciones_mec%C3%A1nicas/Movimiento_ondulatorio https://www.google.com.pe/search?q=fisica&biw=1366&bih=667&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ei=TtxjVebML8W

Indice

1. Teoria ondulatoria 1a. Clasificacion de las ondas2b. Elementos de una onda senoidal8c. Rapidez de propagacin de una perturbacin9d. Ecuacin general de una onda viajera92. Ondas senoidales viajeras9a. Ecuacin general de una onda senoidal viajera103. Ondas viajeras en una cuerda tensa10a. Calculo de la rapidez de un pulso en una cuerda13b. Potencia y energa transmitida en una cuerda tensa134. Ondas estacionarias14a. Interpretacin de la ecuacin de una cuerda estacionaria15b. Nodos normales de vibracin155. Ondas sonoras17a. Rapidez de las ondas sonoras17b. Intensidad, potencia y energa de las ondas sonoras18 6. Bibliografa 20

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