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PAGE 43Trabajo Final de Matemtica Aplicada a la Administracin

Pgina 73, Capitulo 2, Seccin 2-2, Ejercicio n 27: (Mezclas) La sustancia A contiene 5 miligramos de Niacina por onza y la sustancia B contiene 2 miligramos de Niacina por onza En qu proporciones se debe mezclar A y B de modo que la mezcla resultante contenga 4 miligramos de Niacina por onza?

Solucin:

A = 5 miligramos de Niacina por onza

B = 2 miligramos de Niacina por onza

Tenemos que:

A + B = 4 miligramos de Niacina / onzaEntonces:

A = 5 X

B = 2 X

Por lo tanto

5 X + 2 X = 4 X

7 X = 4 X

8 X = 4

X = 4/8 = Sustituyo:B = 2 X

B = 2 (1/2) = 2/2 = 1

Entonces:

A + B = 4 miligramos de Niacina/ onzaA = 4 B

A = 4 2 X

A = 4 -2(1)

A = 4-2 = 2 miligramos de Niacina/ onzaPgina 87, Capitulo 2-4, Ejercicio n 17: (Renta de Apartamento) En el ejercicio 16, el mantenimiento, los servicios y otros costos de el edificio ascienden a $5000 por mes mas $50 por cada apartamento ocupado y 20$ por cada apartamento vacante Qu renta debe cobrarse, si la ganancia ser de 1225$ mensuales? (La utilidad es el ingreso por las rentas menos los Costos)Problema 16:

Datos:

Cantidad: 60 apartamentos

Renta mensual = $150

Incremento en la renta = $ 3

Ingreso por la renta = 9.000$

Tenemos que:

Ingreso por la renta= (Renta por depto.) x (N de deptos. Rentados)

9000 = (150 + 3n) ( 60 n)

= 9000 =3(50 + n) ( 60 n) /3 3000 = (50 + 3) (60-n) 3000 = 3000 + 60n 50 n n2n2 50 n + 60n = 0

(n2 + 10n = 0)x -1

n (n - 10 ) = 0

n = 10 UnidadesTenemos que:

Existen 10 departamentos vacantes y 50 departamentos ocupados

Retomamos el problema 17:

Datos:

Cantidad = 60 apartamentos (10 departamentos vacantes y 50 departamentos ocupados)Renta por departamento = Costos de mantenimiento = $ 5000

Otros costos = $50 por cada apartamento ocupado y 20$ por cada apartamento vacanteUtilidad = 1.225$

Costos adicionales

50 *50 = 2.500 $ costos adicionales por departamentos ocupados10* 20 = 200 $ costos adicionales por departamentos vacantes

Costos Totales= 5000 $ + 2500 $ + 200$ = 7.700 $

Utilidad = ingreso por renta - Costos

Despejamos:

Ingreso por renta = Utilidad + Costos

Ingreso por renta = 1.225 + 7.700 = 8.925 $

Tenemos que:

Ingreso por la renta= (Renta por depto.) x (N de deptos. Rentados)

Despejamos:

Renta por depto. = Ingreso por la renta / (N de deptos. Rentados)

Renta por depto. = 8.925 / 50 = 178.,5 $

Pgina 89, Repaso Capitulo 2, Ejercicio n 33: (Inversiones) El ganador de la lotera Nacional quiere invertir su premio de $ 100.000 en dos Inversiones al 8% y al 10%. Cunto debera invertir en cada una de ellas si desea obtener ingresos anuales por $8500?Datos:

R1= 8%

R2= 10%

Capital total= 100.000 $

Ingresos Anuales= 8500$

Entonces:

i= R/100

i1= 8/100 = 0,08i2= 10/100 = 0,10

Capital 1 +Capital 2 = Capital totalC1 + C2 = 100.000$

C1 = 100.000$ - C2

Tenemos que:

Capital x Intereses = Ingresos Anuales

C1 (0.08) + C2 (0.1)= 8.500$

Sustituimos el valor de C10.08 C1 + 0.1 C2 = 8.500$

0.08 (100.000$ - C2 )+ 0.1 C2 = 8.500$

8000 -0.08 C2 + 0.1 C2 = 8.500$

-0.08 C2 + 0.1 C2 = 8.500 - 8000

0.2 C2 = 500

C2 = 500 /0.2

C2 = 25000$ se debe invertir al 10%

Tenemos entonces que:

C1 + C2 = 100.000$

Entonces:

C1 = 100.000$ - C2C1 = 100.000$ - 25000$

C1 = 75000$ se debe invertir al 8%Pgina 90, Repaso Capitulo 2, Ejercicio n 39: (Utilidades de una empresa) Una lavandera en seco ofrece servicio 8 horas diarias de lunes a viernes y cierra el fin de semana. El establecimiento maneja 15 transacciones (operaciones) por hora, y el promedio de ingresos por transaccin es de $56. El costo de mano de obra es de $16 por hora y el alquiler del local y el equipo de $560 semanales. El nico costo adicional para el operador es en materias primas: C dlares por transaccin.

a. Exprese la utilidad semanal U en trminos de C.

b. Supongamos que la lavandera obtiene actualmente utilidades de $600 a la semana. El costo de materias primas, esto es C, aumentar 20 % el prximo mes. Los precios al pblico, se incrementaran 10%. Suponiendo que ningn otro factor vara y que, en particular, el negocio no decae, Cul ser la nueva utilidad por semana?

Datos::

Trabaja de lunes a viernes 8 horas diarias

Horas trabajadas semanal= 8 hrs. * 5 dias = 40 horas /semanalTransacciones= 15 operaciones/horas

Promedio de Ingresos/transacciones= 56$/transaccin

Costo M.O.= 16 $/hora

Alquiler del local y equipos =560$/semana

U= I C

I = (6 $)(15 operaciones/hora)(8 horas/da)(5 das) = 3600 $Costos Totales = Costos de Mano de Obra +C + Costos Adicionales

Sustituyendo tenemos:

C = (16)(8)(5)+560+(C)+(15)(8)(5)

C =640+560+600c

C =1200+600c

Entonces:

U = 3600-(1200+600C)= 3600 - 1200 - 600CU = 2400 - 600C Utilidad Semanal U en trminos de CTenemos que:

U = 600$;

C = aumenta 20% (1.2) I = incrementa 10% (1.1) U = I C

Tomando en cuenta que:

U= 2400-600C

Tenemos entonces:600 = 2400 - 600C 600C = 1800; C = 1800 = 3

600

Como C aumenta 20% entonces tenemos que C es:C = (3) (1.2) = 3,6

Como I aumenta 10% entonces tenemos que I es:

I = (3600)(1.1)=3960

Sustituimos con los nuevos valores de I y C:

U = I C

U= 3960 - (1200+600C)

U = 3960-1200-600C

U= 2760-600C

Entonces para C = 3,6 sustituimos:

U=2760-(600). (3,6)

U=2760-2160 U= 600 $ por semana (Nueva utilidad por semana)Pgina 105, Ejercicios 3-2 N 25: (Inversiones) Un hombre tiene $700 para invertir. Quiere invertir parte al 8% y el resto al 10%.Cual es el monto mximo que debe invertir al 8% si desea un ingreso anual por inters de al menos $600 anuales.Datos:

R1= 8%

R2= 10%

Capital total= 700 $

Ingresos Anuales= 600$

Entonces:

i= R/100

i1= 8/100 = 0,08

i2= 10/100 = 0,10Tenemos que:

C1 + C2 = 7000$

C2 = 7000$ - C1

Capital x Intereses = Ingresos Anuales

C1 (0.08) + C2 (0.1)= 600$Sustituimos el valor de C1C1 (0.08) + (7000$ - C1)(0.1)= 600

0.08C1 + 700 - 0.1C1= 600

700 - 600= 0.1C1 - 0.08C1

100 = 0.02C1 Despejamos:C1 = 100 / 0.02 C1 =5000 $ Es el monto mximo a invertir al 8%Pgina 106, Ejercicios 3-2 N 31: (Publicacin de Revistas) El costo de publicacin de cada ejemplar de la revista semanal COMPRE Y VENDA es de 35 c .Los ingresos por venta de distribucin son de 30 c por ejemplar, y los ingresos por publicidad del 20% sobre los ingresos obtenidos por ventas mas all de los 2000 ejemplares.Cuantos ejemplares deber publicar y vender cada semana para obtener ingresos semanales de al menos $ 1000.Datos:

Costo publicacin = 35 /unidadIngreso p/vta. de distribucin = 30 /ejemplar

Ingreso p/publicidad`20% de ingreso por venta mas all de los 2000 unid.Ingresos semanales = 1000$

Tenemos que:1 $ = 100

0.35$ = 35 0.30$ = 30 I = Ingresos x distribucin + ingresos x publicidad

U = I C

Sustituimos:

1000 = (0.30 + 0.2 Ip) - 0.35

1000 + 0.35 = 0.30. + 0.2 Ip1000.35 - 0.30 = 0.2 Ip 1000.05 = 0.2 IpEntonces:

Ip = 1000.05 /0.2 = 5000 5000 2000 = 3000 Unid20% de Ingresos por venta:

3000 x 0.2 = 600 $Por lo tanto:

x 600 = Ingresos semanales

Si tenemos que

Ingresos semanales 1000

X -600 1000

X 1000+ 600

X 1600 ejemplares (ms de 1600 ejemplares para obtener ingresos semanales por $1000)

Pgina 111, Ejercicios 3-3 N 28: (Ingresos del Fabricante) Un fabricante puede vender x unidades de un producto cada semana al precio de p dlares por unidad, en donde p= 200- x Qu nmeros de unidades deber venderse a la semana para obtener ingresos mnimos por $ 9900?Datos:Ingresos totales semanales = 9900 $

Precio = 200-x

Ingresos totales semanales = n clientes x Precio

9900 = X (200 X)

9900 = 200X X2

X2 - 200X +9900 = 0

(X -110) (X- 90) = 0

90 x 110 Pgina 112, Ejercicios 3-3 N 40: (Decisiones sobre fijacin de precios) Un peluquero atiende en promedio a 120 clientes a la semana cobrndoles $4 por corte. Por cada incremento de 50 en el precio, el peluquero pierde 8 clientes. Qu precio mximo deber fijar para obtener ingresos semanales de al menos $520?

Datos:Promedio clientes atendidos = 120 clientes/semanales Precio de $4

Si incrementa 50 pierde 8 clientes/semanales

Ingresos Semanal = 520$

50/100 = 0.5 $

X= incremento I= P. Cantidad

Entonces:P= 4+0,5X

C=120-8X

Sustituimos:

I= (4+0.5x)(120-8x)Condicionamos para I 520

I=480+60X-32x-4x2 si I 520

480+60x-32x-4x2 520

480+28x-4x2 520

480-520+28x-4x2 520

-40+28x-4x2 0

x2 -7x+10 0

(x-5)(x-2) 0

x5 y x2

Tenemos que:Para x2

Entonces:

Para x=1

Sustituimos:

x2 -7x+10

1 -7+100

40 no cumple

Tenemos que:Para 2x 5 Entonces: Para x=3

Sustituimos:

x2 -7x+10

9-21+100

-250 0 si cumple

Tenemos que:

Para x5 Entonces:

x=6

Sustituimos:

x2 -7x+10

36-42+10040 No cumple

Por lo tanto 2x 5 P=4+(0.5)(5)P = 6.5 $6.5 $ es el precio mximo deber fijar para obtener ingresos semanales de al menos $520Pgina 120, Repaso Capitulo 3. N 51: (Decisiones sobre inversiones) La Sra. Ruiz quiere invertir $ 60,000 Ella puede escoger los bonos emitidos por el gobierno que ofrecen un inters del 8% o con mayor riesgo, los bonos hipotecarios con un 10% de inters. Qu cantidad mnima deber invertir en bonos hipotecarios de modo que reciba un ingreso anual de al menos $5500?Datos:C1 + C2 = 60.000 $

C2 = 60.000 - C1

Entonces:

C1 (10%) + C2(8%)= 5.500

0,1C1 + 0.08C2= 5.500

Sustituyo C2:

0,1C1 + 0.08(60.000 - C1) = 5.500

0,1C1 + 4800 - 0.08C1 = 5.500

0,02C1 = 5.500 4800

C1= 700/0,02

C1= 35.000 $ 35.000 $ es la cantidad mnima deber invertir en bonos hipotecariosPgina 121, Repaso Capitulo 3. N 57: (Fijacin de precios y Utilidades) En el ejercicio 53 tiene un costo de (260+ 8X) dlares producir x unidades. Qu precio p (en dlares) por unidad debe fijarse para obtener una utilidad de al menos 400 dlares?Desarrollamos el Ejercicio 53: Si X unidades pueden venderse diariamente el precio $p cada una, donde p= 60- X. Cuantas unidades deben venderse para obtener un ingreso diario de al menos $ 800?

Precio = P= 60- x

Utilidad= $ 800

I = (unidades vendidas) x ( precio por unidad)

I = X. PI = X ( 60 X) = 60X X2Entonces:

800 = 60X X2X2 - 60X +800 = 0

(X-40) (X -20)

Datos: Ejercicio N 57:

Costo: 260 + 8X

Unidades= X unidades

P= ?

U= $ 400U = I C

400 = ( 60X X2) (260 + 8X)

400 = 60X X2 -260 - 8XX2 52 X +660 = 0

(X 30) (X -22) = 0

Sustituyo en :

P = 60 XP1 = 60- 30 = 30

P2 = 60- 22 = 38

$30 P $ 38

Pgina 148, Ejercicios 4-3. N 5: (Modelo de Costo Lineal) Los costos fijos por fabricar cierto articulo son de $300 a la semana y los costos totales por fabricar 20 unidades a la semana son de $ 410. Determine la relacin entre el costo total y el nuecero de unidades producidas, suponiendo que es lineal Cul ser el costo de fabricar 30 unidades a la semana? Datos:Cf = $ 300

Ct= $ 410

N = 20 UnidadesTenemos que:

Ct = Cf + CvCt - Cf = Cv410 - 300 = Cv = $ 110

m = 110/20 = 5,5 $/unid

Yc= mC + b

Yc= 5,5 X + 300

Sustituimos:

Yc= 5,5 (30) + 300 Yc= $ 465Pgina 148, Ejercicios 4-3. N 11 (Ecuacin de la Oferta) A un precio de $ 2,50 por unidad, una empresa ofrecer 8.000 camisetas al mes; a $4 cada unidad, la misma empresa producir 14.000 camiseta al mes. Determine la ecuacin de la oferta suponiendo que es lineal.

Datos:X = 8000 Unid

P = 2,50 $

X1 = 14000 Unid

P1 = 4 $

Tenemos que:

m = (P P1) / (X X1)

m = (4- 2,5) / (14.000 - 8.000) = 1,5/6.000 = 0,00025$/unid

Entonces sustituimos:

P P1 = m (X X1)

P 2,5 = 0,00025 (X 8.000)P 2,5 = 0,00025X 2

P = 0,00025X +0,5

Pgina 160, Ejercicios 4-4. N 27: (Decisiones de adquisicin) Una compaa trata de adquirir y almacenar dos tipos de artculos X y Y cada artculos cuesta $3 y cada articulo Y cuesta $2.5. Cada articulo X ocupa 2 pies cuadrado del espacio del piso y cada articulo Y ocupa un espacio de 1 pie cuadrado. Cuantas unidades de cada tipo pueden adquirirse y almacenarse si se dispone de $400 para la adquisicin y 240 pies cuadrado de espacio para almacenar estos artculos?

Datos:

Px = $ 3Py = $ 2,5

X = 2 pies2Y = 1 pies2

Pt = $ 400

Espacio = 240 pies2Tenemos que:

240 = 2X + Y

240 -2X = Y

Al tener

(3,2) ; ( 2.5 , 1)

Entonces:

400 = 3X + 2,5Y

Sustituimos Y400 = 3X + 2,5 (240 -2X)

400 = 3X + 1000 5X

400 = 1000 2X

Despejamos X

X = (1000-400)/2 = 300

Entonces:

X = 300/3

X = 100 Unidades

Sustituimos X:Y = 240 -2(100)

Y = 40 Unidades

Pgina 168, Ejercicios 4-5. N 7: (Anlisis no lineal del punto de equilibrio) El costo de producir X artculos al da dado en $ por Yc= 80+4X+0,1X2. Si cada artculo puede venderse a 10$ determine el punto de equilibrio. Datos:Costo: Yc= 80+4X+0,1X2

YI= 10X

10X = 80+4X+0,1X2

0 = 0,1X2 -10X + 4X+80

0 = 0,1 X2 6X + 80(0 = 0,1 X2 6X + 80)/ 0,1

0 = X2 6X + 800

0 = (X - 20) ( X - 40)Punto de EquilibrioX= 20 Y X= 40

Pgina 169, Ejercicios 4-5. N 15: (Equilibrio de Mercado) Un comerciante puede vender diariamente 200 unidades de cierto bien en $ 30 por unidad y 250 unidades en $27 por unidad. La ecuacin de oferta para ese bien es 6p= x+48.

Datos:

X1= 200 Unidades

X = 250 Unidades

P1 = $ 30P = $ 27

Oferta = 6P = X + 48

a) Determine la ecuacin de demanda para el bien, suponga que es lineal.

Tenemos que:

m = (P P1) / (X X1)

m = (30-27)/ (200-250) = 3/-50 = -0,06

Entonces sustituimos:

P P1 = m (X X1)

P 30 = -0,06 (X 200)

P = -0,06X +12+ 30

P = 42-0,06X ( (a) Ecuacin de demanda para el bien)b) Encuentre el precio y la cantidad de equilibrio.

Tenemos que Oferta:

6P = X + 48

P = (X + 48)/6

Condicin de Equilibrio:

Demanda = Oferta

42 0,06X = (X + 48)/66(42 0,06X) = (X + 48)

252 - 0,36X = X +48

252-48 = X + 0,36X

(204/1,36) = X

X = 150 Unidades ( (b) Cantidad de Equilibrio)Sustituyo X:

P = 42 0,06XP = 42 0,06 (150)

P = $ 33 ( (b) Precio de Equilibrio)

c) Determine el precio y la cantidad de equilibrio, si se cobra un impuesto de $ 3,40 por unidad del bien Cul es el aumento en el precio y cual la disminucin en la cantidad demandada?

Tenemos que:

Pc -3,4 = (x+48)/6

6 (Pc -3,4) = (x+48)

6 Pc -20,4 = x+48Pc = (x+68,4)/6

Condicin de Equilibrio:

Demanda = Oferta

42 0,06X = (X + 68,4)/6

6(42-0,06X) = X +68,4

252 0,36X = X +68,4

252-68,4 = X +0,36X

183,6/1,36 = X

X = 135 (La demanda Baja)

Sustituimos X:

P = 42 0,06X

P = 42 0,06 (135)P = $ 33,9 (los precios suben)

d) Qu subsidio por unidad aumentara la demanda en 24 unidades?

Tenemos que:

Pc= Ps + S

X= 150 + 24 = 174Sustituimos:

Demanda:

42-0,06X = 42 0,06(174) = 31.56 $

Oferta

(X + 48)/6 = (174+48)/6 = 37 $

Entonces:

Pc = Ps + S

Pc = 37 31.56 = $ 5,44 (subsidio por Unidad)e) Qu impuesto aditivo por unidad debe cobrarse en el bien de modo que el precio de equilibrio por unidad aumente en $ 1,08?

Tenemos que:

Demanda: 42-0,06X

Oferta: (X + 48)/6 Entonces:

P0 1,08 = (X + 48)/6

6( P0 1,08) = (X + 48)6P0 6,48 = X + 48P0 = (X + 48+ 6,48)/6

P0 = (X + 54,48)/6

Sustituimos X= 150

P0 = (150 + 54,48)/6

P0 = 34,08 $ (impuesto aditivo por unidad)

Demostracin:

P0 1,08= 42 0,06X

P0 = 42 0,06X +1,08 = 43,08 0,06X

P0 = 43,08 0,06(150) = 34,08

Pgina 172, Repaso Capitulo 4. N 35: (Anlisis de punto de Equilibrio) Una compaa tiene costos fijos de $2.500 y los costos totales por producir 200 unidades son de $3.300.

a) Suponiendo linealidad, escriba la ecuacin costo-produccinDatos:

P = 2.500 $

P1= 3.300 $ X1= 200 Unidades

Tenemos que:

m = (P P1) / (X X1)

m = (3300-2500)/ (200-0) = 800/200 = 4

Sustituimos:

P 3.300 = m ( X -200)

P = 4X -800 +3.300

P = 4X +2.500

Entonces:

Yc = 4X + 2.500 (Ecuacin costo-produccion)

b) Si cada articulo producido se vende a $ 5,25 encuentre el punto de equilibrio.

Datos:

Cantidad: 200 unidadesPrecio: $ 5,25Tenemos que:

YI= 5,25 X

En Equilibrio YI = YC5,25 X= 4X +2.500 5,25X 4X = 2.500

X = 2500/1,25

X = 2000 Unidades (Punto de equilibrio)

c) Cuantas unidades deber producir y vender de modo que resulte una utilidad de $200?

Datos:Utilidad = $ 200

Tenemos que :

U = YI - YC

Sustituimos:200 = 5,25X ( 4X + 2.500)

200 = 5,25X -4X -2.500

200 + 2500 = 1,25X

2.700/1.25 = X

X = 2.160 Unidades (deber producir y vender)Pgina 173, Repaso de Capitulo 4. N 45: (Decisiones sobre produccin) Una empresa puede elaborar sus productos empleando dos mtodos. El costo de producir X unidades por el primer mtodo es (10X + 20.000) dlares, mientras que por el segundo mtodo cuesta (15X + 9.000) dlares. La empresa puede vender todo lo que produce a $ 30 cada artculo. Cul mtodo de produccin deber utilizar la administracin de la empresa si las ventas proyectadas son de:a) 800 Unidades

Datos:

1er Mtodo:

Costo= 10X + 20.000; 2 Mtodo:

Costo= 15X + 9.000; Precio= 30$ c/ art.

X = 800 Unidades

Tenemos:

I = Unidades x Precio

I = (800) ( 30) = 24.000$

Sustituimos:

U = I C

1er Mtodo:

U= 24.000 - (10X + 20.000)

U = -10X +4000

Sustituimos X = 800 Unidades

U = -10(800) +4000

U= -4.000$2 Mtodo:

U= 24.000 (15X + 9.000)U = 24.000 -15X -9.000U = -15X +15000

Sustituimos X = 800 Unidades

U = -15(800)+15.000

U= 3000 $ (Se deber utilizar el segundo mtodo)

b) 2.500 UnidadesI = Unidades x Precio

I = (2.500)(30) = 75.000 $

1er Mtodo:

U= 75.000 - (10X + 20.000)

U = -10X +55.000

Sustituimos X = 2.500 Unidades

U = -10(2.500) +55.000

U = 30.000 $ (Se deber utilizar el primer mtodo)2 Mtodo:

U= 75.000 (15X + 9.000)

U = 75.000 -15X -9.000

U = -15X +66000

Sustituimos X = 2.500 Unidades

U = -15(2.500)+66.000

U= 28.500$

c) 1.500 UnidadesTenemos:

I = Unidades x Precio

I = (1.500) ( 30) = 45.000$

Sustituimos:

U = I C

1er Mtodo:

U= 45.000 - (10X + 20.000)

U = -10X +25.000

Sustituimos X = 1.500 Unidades

U = -10(1.500) +25.000

U= 10.000$

2 Mtodo:

U= 45.000 (15X + 9.000)

U = 45.000 -15X -9.000

U = -15X +36.000

Sustituimos X = 1.500 Unidades

U = -15(1.500)+15.000

U= 13.500 $ (Se deber utilizar el segundo mtodo)

Pgina 190, Ejercicios 5-1, Ejercicio n 52: (Funcin de Ingresos) Un fabricante puede vender 300 unidades de su producto al mes a un costo de $20 por unidad y 500 unidades a un costo de $15 por unidad. Exprese la demanda del mercado x (el numero de unidades que pueden venderse al mes) como una funcin del precio por unidad, suponiendo que es una funcin lineal. Exprese los ingresos como:

a) Una funcin del precio

Datos:

X1 = 300 Unidades

P1 = 20 $

X = 500 Unidades

P = 15 $

Tenemos que:

m = (P P1) / (X X1)

m = (20-15)/ (300-500) = 5/-200 = -0,025

Sustituimos:

P 20 = -0,025 (X -300)

P = -0,025X + 7,5 + 20

P = -0,025X + 27,5

b) Una funcin de X.

P = -0,025X + 27,5 X= (-P +27,5)/0,025 X = -40P +1.100

Pgina 196, Ejercicios 5-2. N 15: (Ingreso Mximo) El ingreso mensual por concepto de la venta de X unidades de cierto artculo esta dado por: R(x)= 12x - 0,01x2 dlares. Determine el nmero de unidades que deben venderse cada mes con el propsito de maximizar el ingreso Cul es el correspondiente ingreso mximo?

Datos:

Ingreso R(x)= 12X -0,01 X2Ordenando:

R(x)= -0,01X2 +12X

Donde:

a = -0,01

b = 12

Tenemos que:

X = -b/2 Sustituyendo:

X = -12/2(-0,01) = -12/-0,02 X = 600 Unidades (que deben venderse)R(max)= -0,01(600)2 +12(600)

R(max)= -3.600 +7200

R(max)= 3.600$ ( Ingreso Mximo)Pgina 220, Repaso de Capitulo 5. N 21: (Ingresos mensuales) Un vendedor tiene un salario base de $1000 al mes ms una comisin del 8% de las ventas totales que realiza por arriba de $6000. Exprese sus ingresos mensuales E como una funcin de x, en donde x son las ventas mensuales totales en dlares.

Datos:

E =$1000 $/mesComisin =8% si X 6000

Tenemos que:

i = 8 %/100 = 0,08a) Cul es el Dominio de esta funcin?

Para E = $ 1000 si 0 X 6000

Entonces tenemos que:E =1000 + 0,08 (X-6000) = 1000+0,08X-480 = 520 +0,08XE = 0,08X + 520 si X 6000Dominio: X 0

b. Cul ser el salario total cuando realiza ventas por $5.000 y $ 8.000X= $ 5000 Tenemos un condicionante que es

E = $ 1000 si 0 X 6000

Por lo que

Para X= $ 5000; E = $1000 Ventas por 8000 Sustituimos

E = 520+0,08(8000)E = $ 1160; para X = $ 8000Pgina 221, Repaso capitulo 5. N 25: (Alquiler ptimo) El propietario de un edificio de departamentos puede alquilar todas las 60 habitaciones si fija un alquiler de $ 120 al mes por habitacin. Si el alquiler se incrementa en 5$, dos de las habitaciones quedaran vacas sin posibilidad alguna de alquilarse. Suponiendo que la relacin entre el N de habitaciones vacas y el alquiler lineal encuentre:

a) Ingresos en funcin del alquiler mensual x unidad

Datos:

X1= 60 Habitaciones

P1= 120$ c/u

X = 58 Habitaciones

P = 125$ c/u

Tenemos que:

m = (60-58)/ (120-125) = 2/-5 = -0,4Sustituimos:

P 60 = -0,4 (x -120)

P = -0,4x +48 +60 = 108 - 0,4xPor lo que:

R(p) = 108 - 0,4p

Entonces:

R(p) = p(108 - 0,4p)

R(p) = 108p - 0,4p2 ( Donde p es la renta en $ x habitacin)b) Ingresos en funcin del numero de habitaciones ocupadasTenemos que:

m = (120-125) /(60-58) = -5/2 = -2,5Sustituimos:

P 125 = -2,5 (X -58)

P = -2,5x +145 +125 = 270 - 2,5xEntonces:

R(x) = x(270 - 2,5x)

R(p) = 270x - 2,5x2 ( Donde x son las habitaciones ocupadas)c) El alquiler que maximiza el ingreso mensual.

I = (renta x unidad) ( n unidades rentadas)Tenemos que

R(p) = 108p - 0,4p2Entonces:

-0,4 p2 +108p +0 = 0

Donde:

a = -0,4

b = 108

c = 0

Tenemos que:P= -b/2aSustituimos:

P = -108/((2)(-0,4))

P = $135 por habitacinPgina 242, Ejercicios 6-2, Ejercicio n 40: (Crecimiento de ganancias) Las ganancias de cierta compaa han ido aumentando en 12% anual en promedio entre 1975 y 1980. En 1980, fueron $ 5.2 millones. Suponiendo que esta tasa de crecimiento contine, encuentre las ganancias en 1985.

Datos:

Aumento de ganancias =12% anual en promedio

Entre 1975 y 1980Po = 5,2 millones $

Tenemos que:

i = R/100 = 12/100 = 0,12t = 1985 1975 = 10 aos

Aplicamos que:

Po (1 + i )t = Po eitPo (1 + i )t = Po e0,12tPo (1 + i )t /Po = e0,12t(1 + i )t = e0,12t((1 + i )t )1/t= (e0,12t)1/tDespejamos i:

1 + i = e0,12i = e0,12-1

i= 1,1278 + 1 = 0,128

Pf = Po (1 + i )tt= 1980-1985 = 5 aos

Sustituimos

Pf = 5,2 x106 (1 + 0,12)5Pf = 5,2 x106 (1,762341683)

Pf = 9,164 x106 Sern las ganancias para 1985

Pgina 253, Ejercicios 6-3. N 85: (Funcin de Costos) Una compaa esta ampliando sus instalaciones y tiene opcin para escoger entre dos modelos. Las funciones de costos son C1(x) = 3,5 + log (2x+1) y C2(x)= 2 + log(60x+105) donde x es la tasa de produccin . Encuentre la tasa x a la cual los dos modelos tienen los mismos costos. Para valores grandes de x , cul modelo es mas barato?

Datos:C1= 3,5 + Log (2x + 1)C2= 2 + Log (60x + 105)

Tenemos que:

C1= C23,5 + Log (2x + 1) = 2 + Log (60x + 105)

3,5 -2 = Log (60x + 105) - Log (2x + 1)101,5 =10Log ((60x + 105)/ (2x + 1))101,5 = (60x + 105)/(2x+1)(101,5) (2x+1) = (60x + 105)

(101,5. 2x) +(101,5) = 60x + 105

(101,5. 2x) - 60x = 105 - 101,5X((101,5. 2) 60) = 105 - 101,5X= (105 - 101,5)/ ((101,5. 2) 60)X = 73,37/3,24

X= 22,6El segundo diseo es mas barato para X grandes Demostracin x= 10000C1= 3,5 + Log (2(10000) + 1) = 7,8

C2= 2 + Log (60(10000) + 105) = 7,7

Pgina 263, Ejercicios 6-4. N 29: (Aumento en el IPC) Entre Enero de 1975 y Enero 1980, el ndice de precios al consumidor I pas de 121 a 196.

a) Calcule el incremento porcentual promedio por un ao durante este periodo.

Datos:IPC = 121 (1975)IPC= 196 (1980)

t= 1980-1975 = 5 aos

Tenemos que

Vp (1+i)n =Vf 121(i+1)5 = 196

(i+1)5 = 196 /121

(i+1)5 = 1,62

log (i+1)5 = log 1,62

5log (i+1) = log 1,62

log (i+1) = (log 1,62)/ 510 log (i+1) = 10 0,0419i+1 =10 0,0419i = 10 0,0419 1 = 0,1013Entonces:

I= R/100 Despejamos R

R= i x100 = 0,1013 x 100

R = 10,13% (Incremento % promedio por ao)b) Exprese I en la forma bekt, con t=0 correspondiente a Enero de 1975

b= 121

Entonces

K = Ln ( i + 1)

Sustituyendo

K = Ln (0,1013 + 1) = Ln 1,1013

K= 0,0965

Tenemos que:

c) I = 121 e(0,0965)t ( I correspondiente a Enero de 1975)c) Suponiendo que sta tasa de crecimiento contina, determine cuando I alcanzar 250.TendiendoI= 250 $

I = bekt250 = 121 e(0,0965)t250/121 = e(0,0965)tLn 2,07 = ln e(0,0965)tLn 2,07 = 0,0965 tLn 2,07/ 0,0965 = tt = 7,52 aos (despus de Enero de 1975)Pgina 266, Repaso Capitulo 6, Ejercicio n 29: (Demanda) La ecuacin de demanda de cierto producto esta dada por p= 200e-x/50 en donde x denota el numero de unidades que pueden venderse al precio de $p cada una. Exprese el ingreso I como una funcin de la demanda x. Cul ser el ingreso total si se venden 25 unidades?

Datos:Demanda: p= 200e-x/50

Tenemos que

R = x.p= p(x)p(x) = x 200e-x/50 (funcin de la demanda x)Sustituimos:p(x) = x200e-x/50p(x) = (25)200e-25/50p(x) = (25)200e-0,5p(x) = 3032,65 $ (ingreso total si se venden 25 unidades) Pgina 267, Repaso Capitulo 6, Ejercicio n 37: (Valor Presente) Un hombre a la edad de 45 aos adquiere una pliza de retiro en edad avanzada a una pequea compaa de seguros que le pagar una suma total de $20.000 a la edad de 65 aos. La compaa le fija una cantidad de $5000 por la pliza. De cuanto es la tasa de descuento que estn usando?Datos:

Vf = 20.000$

Vp = 5.000$

Tenemos

n = 65-45 = 20 aos

Vf = Vp (1+i)n20.000 = 5.000 (1+i)20(20.000/5.000)1/20 = ((1+i)20)1/201,0718 = 1 + i1,0718 1 = i

i = 0,0718

Despejamos de

i = R/100

R= i x 100 = 0,0718 x 100

R = 7,18 % (Tasa de Descuento que estn usando)Pgina 268, Repaso Capitulo 6, Ejercicio n 54: (Crecimiento del PNB) El PNB de la nacin B durante el mismo perodo (vase el ejercicio 53 (periodo entre 1970 y 1980)) se incrementa de $1,0 a $1,5 mil millones.a) Calcule el porcentaje de crecimiento promedio por ao de la nacin B.

b) Exprese el PNB en la forma bekt c) Determine cundo el PNB de la nacin A alcanzar al de la nacin B Datos:

PNB 1970=$ 1

PNB 1980=$ 1,5 Entonces:

t = 1980-1970 = 10P (t)= bektP (o)=eKo=1 a) P (10)=1eK10 1,5 = eK10

ln 1,5 = ln eK10

ln 1,5 = 10 K

(ln 1,5)/10 = K

K = 0,04055 Entonces:

0,04055 x 100 = 4,055% Anual. (El porcentaje de crecimiento promedio por ao de la nacin B.)

b) P(t) = e0,04055(11) P(t) = 1,562% Crecimiento Anual =(1,5/1.562) x 100 = 96,03%

c) P (11)= 0,5 eK11

1,1 = 0,5 eK11 ln 1,1 = ln 0,5 e11k ln 1,1 = ln 0,5 + 11k Despejamos KK = (ln 1,1 - ln 0,5)/11

K = 0,07168Entonces:

P (t) = 0,5 e0,07168 te0,03686 t = 0,5 e0,07168 tln e0,03686 t = ln 0,5 e0,07168 t0,03686 t = ln 0,5 + 0,07168 t

0,03686 t 0,07168 t = ln 0,5

-0,03482 t = -0,69315

t =(-0,69315/-0,03482) t = 19,9 = 20 aos (PNB de la nacin A alcanzar al de la nacin B )

Pgina 278, Ejercicios 7-1. N 25: (Inters Simple) Una persona deposita $50 al inicio de cada mes en una cuenta de ahorro en la cual el inters permitido es del % al mes sobre el balance mensual. Determine el balance de la cuenta al trmino del segundo ao, calculando a inters simple.

Datos:

R = %

Deposito = $ 50 mensual

Tenemos

Al segundo ao:

Capital = 50 x 24 = 1200 $

I = P (R/100)

I = 50 (0,5/100)

I = 0,25

Entonces:

0,25 x 12 = 3 anual

Vf= (1200) + (0,25 x 100 x3)

Vf= 1275 $ (El balance de la cuenta al trmino del segundo ao)

Pgina 279, Ejercicios 7-1. N 29: (Pago de prstamo) Un individuo est de acuerdo en saldar una deuda de $ 1800 en cierto nmero de pagos, cada uno de ellos (empezando con el segundo) menor que el previo en $10. Si su quinto pago es de $200. Cuntos pagos sern necesarios de modo que salde la deuda?Datos:

P5= 200$

D = 10$

Sn= 1800$

Tenemos que :

5-1 = 4 x 10 = 40

a = 200-40 = 160

Entonces:

Sn=(n/2) 2a + (n-1)d

1800 =(n/2) 2x160 + (n-1)10

2x 1800 = 320n + n( 10n -10)

3600 = 10n2 +320n -10n

(0= 10n2 +310n-3600)/100 = n2 +31n-360

(x-9) (x+40) =0

X = 9 pagos sern necesarios de modo que salde la deuda

Pgina 286, Ejercicios 7-2. N 23: (Depreciacin) Una mquina se deprecia anualmente a una tasa del 10% de su valor. El costo original fue de $ 10.000 y el valor de desecho de $ 5.314,41. Calcule la vida efectiva de la maquina.

Datos:

a = 10000$

i = 10%

Valor de Desecho = 5314,41 $

Tenemos que:

100% - 10% = 90% al terminar c/ao

Tn = 10000(0,9) x (0,9)n-1Tn= 10000(0,9) n5314,41/10000 = (0,9)n

0,531441 = (0,9)n

log 0,531441 =n log (0,9)

log 0,531441/ log (0,9) =n

n= 6 aos la vida efectiva de la maquina.

Demostracin:

(Costo valor de desecho)/ vida util = depreciacin anual

(10000 5314,41)/ 6 = depreciacin anual

780,93$ = depreciacin anual

Entonces:

nCosto $Dep. anual $Valor final $

110000-780,939219,07

29219,07-780,938438,14

38438,14-780,937657,21

47657,21-780,936876,28

56876,28-780,936095,35

66095,35-780,935314,42

Pgina 295, Ejercicios 7-3. N 37: (Anualidad) Mara recibe una herencia de $10.000 que invierte al 6% anual. Al termino de cada ao, ella desea retirar una suma P con el objeto de tomarse unas vacaciones en Cancn. De Cuanto debe ser la cantidad p si el dinero esta invertido a 10 aos?

Datos:

A= 10000$

R = 6 %

n = 10 aos

Entonces:

A = P a

n i

Sustituimos:

10000 = P a

10 0,06

10000 = P x 7,360087

10000/7,360087 = P

P = 1358,68 $ Pgina 296, Ejercicios 7-3. N 50: (Prstamo para un automvil) El seor Surez compr un automvil por $20,000 e hizo un pago de 15% sobre su costo. El resto pidi prestado al banco, al 9% anual compuesto mensualmente. Si el prstamo debe pagarse en 36 pagos mensuales De cunto debe ser cada pago? Qu proporcin de su trigsimo pago es por intereses?

Datos:Precio=20000

Pago=15% del precio

Tasa anual =9% en 36 meses

n = 36 pagos mensualesEntonces:

Precio pago= (20000)(15%) =3000 $Entonces:

Diferencia del =20000x 75%=17000 $A = P a

n i

Tasa anual 9% Tasa mensual = 9%/12 meses = 0,75%i=0,75/100 =0,0075

a = 31,446805

36 0,0075

Tenemos que:P =A/a

n i

P =17000/a = 17000/31,446805 36 0,0075

P = 540,60 $ Deber ser el pagoPorcin del trigsimo pago anual que corresponde al inters

i = R/100

Entonces

R =1+i = 1+0,0075R =1,0075 %

Tenemos rn A = P A = P/ rn Trigsimo pago: n=30 r30 = (1,0075)30 =1,251271A= 540,60/1,251271 =432,04Inters 540,60 - 432,04 =108,56$

Pgina 310, Ejercicios 7-4. N 35: El sr. Black ha invertido $ 50.000 a una tasa de inters de 10% compuesto anualmente. Si retira $ 3000 cada ao en el aniversario de su deposito. En cuantos aos su inversin ser mayor a $ 65.000?Datos:

C = 50000$

R = 10%

Retiro = 3000 $ anual

Entonces

a = (1 + i) = 1 + 0,1 = 1,1b = 3000

Tenemos que

Yn = Can b/(a-1)

65000 = 50000(1,1) n 3000 ((1,1 1)

(65000 + 30000)/ 50000 = (1,1) nLog 1,9 = n log 1,1

Log 1,9 / log 1,1 = n

n = 6,7 aos

La inversin ser mayor a $ 65.000 en 6 aos

Pgina 311, Ejercicios 7-4. N 47: Mary pidi prestada una suma de $ 10.000 a un banco para comprar un automvil nuevo. El banco cobra un inters de 12% anual compuesto mensualmente y el prstamo se saldar en pagos mensuales iguales a $p cada uno. Sea Yn el monto que se debe de n pagos mensuales:

a) Determine la ecuacin en diferencias que satisface Yn y resulvala.

Datos:

R = 12% anual

C = 10000$

Entonces:

Yn = C (1+i) n + P/i

Yn = Yn-1 + (R/100) Yn-1 P

Yn = Yn-1 + (1/100) Yn-1 P

Yn = Yn-1 + 0,01 Yn-1 P

Yn = 1,01 Yn-1 P

Tenemos que

R = 12%/12meses = 1% mensual

i = R/100 = 1/100

i = 0,01

SustituimosYo= (1,01) 0 10000Yo= 10000 $

Igualamos Yn:Yn= (1,01) n 10000 ; Yn= C (1 + i ) n + P/i

Yn= (1,01) n 10000 = 10000 (1,01 ) n + P/i

Yn= P/i = P/(1/100)Yn= 100P

Entonces

Yn= 10000(1,01) n + 100P = 100P (1,01) n

Yn= 10000(1,01) n - 100P (1,01) n + 100P b) Determine el pago mensual de $p al banco, si el prstamo se liquidara en 4 aos.

4 aos x 12 meses = 48 mesesTenemos que:

10000(1,01) 48 + 100P = 100P (1,01) 4816122,261 + 100P = 161,22P

16122,261 = 161,22P -100P16122,261/61,22 = P

P = 263.34 $

Pgina 319, Repaso Capitulo 7. N 17: (Pago de un prstamo) Una persona paga $975 en pagos mensuales. Cada uno es menor que el anterior en $5. El monto del primer pago es de $100. En cuanto tiempo ser pagada la cantidad total?

Datos:

d= 5$

Sn= 975$

Tenemos que

n

P + (Pi-1) -5 = 975

i=2975 = 100+95+90+85+80+75+70+65+60+55+50+45+40+35+30

Demostramos:

nPagosDism. n

P + (Pi-1) -5 i=2

1100100

2100-595

395-590

490-585

585-580

680-575

775-570

870-565

965-560

1060-555

1155-550

1250-545

1345-540

1440-535

1535-530

Por lo que tenemos que:

a =30

n = 15

Sn = n/2 2a + (n-1) d

975/2 = 2na + n (n-1)d

1950 = 2x30n + n(n-1)5

1950 = 60 n + 5n2 5n0 = 5n2+ 55 n -1950(0 = 5n2+ 55 n -1950)/5

0 = n2+ 11 n -390

(x-15)(x+26) = 0

X= 15 (Demostrado en la tabla; pago n 15)

Pgina 320, Repaso de Capitulo 7. N 25: (Amortizacin de prstamos) En el ejercicio 24 De cunto deben ser los pagos mensuales de Jons con objeto de liquidar el prstamo en 48 meses?

Datos:Prstamo: $5000 C=1% n=48Tenemos que:(Ejercicios 7-4. N 47 ver despeje de formulas)

5000(1,01) 48 + 100P = 100P (1,01) 488061,13 + 100P = 100 P(1,6122)8061,13+100P = 161,2226P

8061,13 = 61,2226P

8061,13/61,2226 = P

P= 131.67 $ Alumna: Jeannette K. Gipe G.

C.I. 10.048.130