“UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DEL PERU”FILIAL AREQUIPA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA DE SEGURIDAD INDUSTRIAL Y MINERA

APLICACIÓN DE LA DERIVADA A LA INGANERIA ADMINISTRATIVA Y

ECONOMICA

PRESENTADO POR:

Del Carpio Yanapa, Josue José LorenzoCasapía Rospigliosi, Ernesto GastónHallasi Andrade, Jorge LuisMachaca Cahuina, Hernan Washington

AREQUIPA –PERU

2012

ContenidoINTRODUCCION..................................................................................................................................1

1.- APLICACIÓN ALA INGENERIA ADMINISTRATIVA............................................................................2

Ejemplo 1.- Descarga de granos.....................................................................................................2

Ejemplo 2.- Demanda.....................................................................................................................4

Ejemplo 3.- Variación de la población............................................................................................5

Ejemplo 4.- Costo de construcción.................................................................................................7

Ejemplo 5.- Nivel de demanda.......................................................................................................8

Ejemplo 6.- Alquiler de apartamentos..........................................................................................11

2.- APLICACIONES A LA ECONOMÍA..................................................................................................13

2.1.- Costo Marginal.....................................................................................................................13

Ejemplo 1:................................................................................................................................13

Ejemplo 2:................................................................................................................................14

2.2.- Ingreso Marginal..................................................................................................................15

Ejemplo 1:................................................................................................................................16

2.3.- Beneficio Marginal,..............................................................................................................18

Ejemplo 1:................................................................................................................................20

2.4.- FUNCIONES DE OFERTA Y DEMANDA...................................................................................20

2.5.- GANACIAS:...........................................................................................................................22

Ejemplo 1:................................................................................................................................22

Ejemplo 2:................................................................................................................................24

2.6 TASA DE VARIACIÓN MEDIA..................................................................................................24

2.6.1 INCREMENTO DE UNA FUNCIÓN....................................................................................24

2.6.2 TASA DE VARIACIÓN MEDIA..........................................................................................25

2.7 TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA. LA DERIVADA...............................................................25

Bibliografía.......................................................................................................................................27

1

INTRODUCCION

Las derivadas en la ingeniería administrativa y económica son una herramienta muy útil puesto que por su misma naturaleza permiten realizar cálculos marginales, es decir hallar la razón de cambio cuando se agrega una unidad adicional al total, sea cual la cantidad económica que se esté considerando: costo, ingreso, beneficio o producción.

En otras palabras la idea es medir el cambio instantáneo en la variable dependiente por acción de un pequeño cambio (infinitesimal) en la segunda cantidad o variable.

Tal línea de pensamiento fue posible desde la economía neoclásica, primero con Carnot, y luego con León Walras, Stanley Jevons y Alfred Marshall; por ello se conoce a esta innovación analítica como la revolución marginalista.

De hecho las funciones de costo, ingreso, beneficio o producción marginal son las derivadas de las funciones de costo, ingreso, beneficio, producción total.

En ese orden de ideas, el procedimiento se reitera en el contexto de las funciones multivariadas. Mediante las derivadas parciales, es decir estimar las razones de cambio de una variable independiente de una f(x,y) son las derivadas parciales respecto a x o y, manteniendo la(s) otra(s) fija(s). En consecuencia se pueden aplicar las técnicas especiales como derivadas direccionales, gradientes, diferenciales, etc.

NO hay que olvidar que se requiere con frecuencia estimar los niveles donde una función cualesquiera se maximiza (minimiza) -sea cual sea el número involucrado de variables independientes-. De nuevo el cálculo diferencial es de gran ayuda en estas situaciones. También para la búsqueda de la optimización sujeta a restricciones se trata con derivación de las funciones mediante los métodos de los multiplicadores de Lagrange o las condiciones de Kühn-Tucker (esta última para la eventualidad en que la función objetivo que se desea optimizar esté restringida con desigualdades).

2

1.- APLICACIÓN ALA INGENERIA ADMINISTRATIVA

Ejemplo 1.- Descarga de granos

La caja de un camión transportador de granos está siendo llenada con el grano

Proveniente de un silo a razón de 0.5 m3 / min.El grano forma un cono circular recto cuya altura es constantemente igual a 5/4 del radio de la base. Calcula:

a) ¿A qué velocidad está subiendo el vértice del cono cuando la altura es de 1.50 m?b) ¿Cuál es el radio de la base del cono en ese momento y a qué velocidad está variando?

Solución:

A medida que se produce la descarga del grano la relación entre el radio de la base y la altura se mantiene constante e igual a 4 / 5 por lo que los distintos conos son semejantes. El vértice del mismo sube verticalmente mientras que la circunferencia base aumenta su radio horizontalmente.

a) En esta parte se te pide que calcules la velocidad con que está subiendo el vértice.Llamando h a la altura del cono deberás calcular en el instante en que h = 1.5 m

El volumen de grano en un instante T será:

Como finalmente entonces:

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Derivando la expresión (1) respecto de T tienes:

Siendo Q gasto de descarga del grano, h= 1.5 m

Sustituyendo valores en (2) y despejando tendremos:

Esta es la velocidad con que sube el vértice del cono de grano en el instante en queh =1.5 m.

b) Siendo en todo instante t, derivando esta igualdad obtenemos la relación

entre las derivadas de R y h.

Como se te pide la velocidad de variación del radio en el mismo instante en que se te pidió la velocidad de variación de la altura, tendrás:

El valor correspondiente del radio es:

4

Ejemplo 2.- Demanda

Una fábrica vende q miles de artículos fabricados cuando su precio es de p U$S /unidad.Se ha determinado que la relación entre p y q es:

Si el precio p del artículo es de 9 U$S y se incrementa a una tasa de 0,20 U$S por semana, te pedimos:

a) Calcula el número de artículos vendidos a 9 dólares.b) ¿Con qué rapidez cambia la cantidad de unidades q , vendidas por semana cuando el precio es de 9 U$S?

Solución:

a) Como la relación entre q y p es:

Resolviendo la ecuación obtenemos q = 14 unidades.

(La otra raíz q = - 8 no tiene significado práctico).

b) Como el precio p varía en el tiempo, q será consecuentemente función del tiempo.Se te pide calcular la rapidez de variación de la demanda, o sea expresada en

cuando el precio es de 9 U$S.

La tasa de variación del precio por semana es constante e igual a 0.20 U$S.En consecuencia

Derivemos la relación (1) respecto del tiempo.

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Sustituyendo valores:

Finalmente, despejando obtienes:

Habrá entonces un incremento de 206 unidades demandadas.

Ejemplo 3.- Variación de la población

Un modelo matemático para estudiar la variación de la población mundial P ha supuesto que la misma está expresada por:

Con P en miles de millones de personas y t en años.En este modelo se han considerado constantes la tasa de natalidad (nacimientos por año) y de mortalidad (defunciones por año).Tomando t= 0 en el año l987:a) Bosqueja P como función de t para t ≥0.b) Calcula la tasa de variación instantánea de la población en el año l987.c) Calcula la población prevista para el año 2005 y la tasa de variación instantánea en ese año.d) ¿En qué tiempo se duplicaría la población existente en 1987 y cuando alcanzaría los 15.000 millones?e) ¿Crees adaptado a la realidad este modelo matemático?

Solución:

a) Se trata de una simple función exponencial para la cual:

6

El bosquejo gráfico es como el indicado en la figura.

b) Tomando t = 0 en el año l987, la tasa de variación instantánea de población fue:

c) El año 2005 corresponde a t = 18; por lo que tendremos

La tasa instantánea de variación de la población será:

7

d) Población en l987: P (0) = 5000 millones. La población se duplicará, es decir,

Será de 10.000 millones en un tiempo t0 tal que:

La duplicación ocurriría entonces en el año 2012.

La población alcanzaría los 15.000 millones en un tiempo t1 tal que:

que corresponde al año 2027 aproximadamente.

e) A finales del año 2002 la población mundial fue del orden de 6000 millones.De acuerdo a este modelo, como el 2002 corresponde a t = 16 lo que daría para la Población un valor de P (16) ≅7800 millones. Estos valores permiten afirmar que el modelo no es suficientemente ajustado a la realidad debiéndose corregir mediante la introducción de parámetros que tengan en cuenta factores que no fueron ponderados en él.

Ejemplo 4.- Costo de construcciónEl costo total C de construcción de un edificio de n pisos está expresado por:

a) Expresa el costo medio por piso Cm en función de n..b) Calcula el número de pisos a construir para que el costo medio por piso sea mínimo. La respuesta deberá ser un número entero.

c) Si C está expresado en miles de dólares, calcula el costo total del edificio.

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Solución:

a) Siendo el costo total de los n pisos: el costo promediopor piso será:

b) Busquemos puntos críticos, siendo n > 0.

Anulando la derivada:

Necesitamos clasificar el punto crítico hallado, para lo cual podemos estudiar el signo de la derivada primera o calcular la derivada segunda en el valor hallado de n. Optando por lo último:

Como el número de pisos debe ser un número natural deberemos decidir entre 12 y 13 pisos, para lo cual calcularemos los costos correspondientes.

En consecuencia el costo total será mínimo para n = 13 pisos.

c) El costo total del edificio será: C (13) = 350615. (13) ≅U$S 4558000

Ejemplo 5.- Nivel de demanda

La relación entre el precio de venta por unidad p de un artículo y la cantidad de unidades vendidas q (demanda) se conoce como “función de demanda” del artículo considerado.Para un comercio que vende determinado artículo su función de demanda es:

El ingreso total I del comercio en miles de U$S / mes será entonces: I = p.qa) Bosqueja la función de demanda p (q).b) Encuentra el nivel de demanda que maximiza el ingreso total del comercio y calcula ese Ingreso mensual.

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Solución:

a) La función demanda p es tal que:

Bosquejaremos p (q) para lo cual calculamos:

Obviamente la derivada es negativa para todo valor de q , con lo que la función esMonótona decreciente.

La derivada segunda será:

Por lo que la concavidad será positiva.La figura indica el bosquejo de la función demanda.

b) El ingreso total I es el producto de la cantidad demandada q por el precio porunidad p.

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Graficaremos la función en [0, + ∞].

Puntos críticos.

Siendo continua con un solo punto crítico, y teniendo en cuenta los

cálculos hechos anteriormente, podemos concluir que el punto crítico corresponde almáximo absoluto.

En consecuencia el nivel de demanda pedido es de: q = 50 unidades por mes.El ingreso mensual correspondiente será entonces: I (50) = 148,5 miles de dólares o sea Imax. = U$S 148500.

El bosquejo de la función I será el indicado en la figura.

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Ejemplo 6.- Alquiler de apartamentos

Una inmobiliaria es dueña de 150 apartamentos que se ocupan en su totalidad si elalquiler es 300 dólares.Se sabe que al aumentar el alquiler el número de apartamentos alquilados disminuye linealmente a razón de 5 aptos. por cada 30 dólares de aumento.

a) Expresa la ganancia G en función del número x de apartamentos alquilados y grafica la función.

b) ¿Cuál es el número de apartamentos a alquilar y cuál su alquiler mensual para que la inmobiliaria obtenga máxima ganancia?

c) ¿Cuánto perdería la empresa si alquilara todos los apartamentos?

Solución:

Sea x el número de apartamentos alquilados.

El número de apartamentos no alquilados será entonces: 150 – x.Como el número de apartamentos alquilados disminuye linealmente a razón de 5 apartamentos por cada 30 dólares de aumento en el alquiler, la razón será de 1 apto. no alquilado por cada 6 dólares de aumento en el alquiler.Los apartamentos alquilados tendrán, cada uno, un alquiler de:

300 + 6 (150 – x) (U$S)

Como se alquilan x apartamentos la ganancia total G se expresará analíticamente como: G(x) = x. [300 + 6 (150 – x)] = - 6 x2 + 1200 x con 0≤x ≤150

La función ganancia es entonces una simple función cuadrática con concavidad negativa. Busquemos su máximo, vértice de la parábola representativa.

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Como el valor hallado pertenece al intervalo de estudio, corresponderá al máximoabsoluto de la función.

El bosquejo gráfico de la función G es el indicado en la figura.

G (100) = 60000 U$S G (0) = 0 G (150) = 45000 U$S

b) El número de apartamentos alquilados será 100 y el alquiler de cada uno de U$S 600, y la ganancia total de U$S 60000.

c) Si se alquilaran todos los apartamentos la ganancia sería de G (150) = 45000 U$S lo que implicaría una pérdida para la inmobiliaria de 15000 U$S.

(colo herrera & patritti)

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2.- APLICACIONES A LA ECONOMÍA

2.1.- Costo Marginal

El costo marginal es el costo adicional que se genera al producir una unidad adicional de un producto o servicio.Ahora, supongamos que tenemos una función costo(x) que representa el costo por producir x unidades, de tal manera que el costo por producir h unidades adicionales es:

Se le conoce como el costo promedio por producir h unidades adicionales. Cuando existe el límite del cociente anterior al tender h a cero,

Se le llama costo marginal por producir h unidades adicionales, es decir,

Costo marginal = Q’(x)

Ejemplo 1:

Un fabricante de autos tiene una producción x y el costo total anual de la producción se describe por medio de la función

El costo cuando se producen 100 autos es de $252,00. Encontrar el costo marginal cuando se produce 1 auto más y determinar si es conveniente producirlo.

Solución:

Utilizando la definición de costo marginal, se tiene que es

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y el costo por producir 1 auto más es,

esto quiere decir, que si se produce 1 auto más, el costo se incrementa en $1,540. La función costo promedio es,

el costo promedio al producir 100 autos es,

como el costo promedio de la producción de 100 autos es mayor al costo generado por producir un auto más, conviene producir la siguiente unidad.

Ejemplo 2:

Supóngase que el costo de un artículo depende de la cantidad x producida de acuerdo con la función, Así, el costo por producir 300 artículos es de $90,602.

Calcular el costo marginal por producir la siguiente unidad y determinar si es conveniente producirla.

Solución:

La función costo marginal es, en este caso,

el costo marginal por producir 1 artículo más es de

la función costo promedio es, en este caso,

y el costo promedio al producir 300 artículos es

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es decir, el costo promedio es menor que el costo de la siguiente unidad, por tanto, no conviene producir la siguiente unidad.

2.2.- Ingreso Marginal

De manera análoga a la definición de costo marginal se puede definir el ingreso marginal, que es el ingreso adicional obtenido por la venta de una unidad más de un producto o servicio.

Observemos que si cada una de las unidades de un producto se vende al mismo precio, entonces, el ingreso marginal siempre es igual al precio.

Ahora, supongamos que tenemos una función ingreso R(x) que representa el ingreso por la venta de x unidades y x es la cantidad vendida, de tal manera que el ingreso por vender h unidades adicionales es,

se le conoce como el ingreso promedio por vender h unidades adicionales y, si existe el límite del cociente anterior cuando h tiende a cero,

entonces, a este límite se le llama ingreso marginal por vender h unidades adicionales, es decir,

Análogamente, como en la función costo, en la práctica sólo se conocen puntos aislados de la gráfica de la función ingreso, por tanto, no es posible en general, conocer la función que corresponde a tales puntos de la gráfica de la función ingreso total, es por eso que recurrimos (como en el caso de la función costo) al análisis marginal, de la siguiente manera:Al suponer que se tienen algunos puntos de cierta gráfica y que no se conoce la función ingreso a la que corresponden, no se puede calcular el ingreso marginal por vender h

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unidades adicionales, pero se puede calcular, por extrapolación, el ingreso por vender la siguiente unidad, ya que se conoce el ingreso en el punto x+1, además de conocer el ingreso en el punto x; entonces el ingreso adicional por vender 1 unidad más está dado por

Si se considera que en la práctica el dominio de la función R es un subconjunto de los números naturales y por tanto que x + h 2 N, y que, además, el punto más próximo a cero es 1, entonces se puede considerar una aproximación al ingreso marginal dada por la relación anterior, de la siguiente manera,

Cabe mencionar que para que esta aproximación se ajuste a la realidad es necesario que la gráfica de la función ingreso sea una curva suave y se requiere considerar, además, que se venden solamente unidades completas.

Como x (número de unidades vendidas) y p (precio unitario) son variables no negativas, entonces R(x) es no negativa. Sin embargo, dR(x) = dx puede ser positiva o negativa ya que, a medida que se incrementa la demanda, el precio tiende a aumentar, hasta que se llega a un precio en el cual la demanda disminuye y por tanto el ingreso también disminuye; lo que significa, que no obstante que el ingreso total es no negativo, éste puede aumentar o disminuir a medida que se incrementa la cantidad de demanda.

Ejemplo 1:

Consideremos la función demanda , donde p(x) representa el precio unitario y x el número de unidades.

a) Determinar la función ingreso total.b) Determinar la función ingreso promedio.c) Determinar la función ingreso marginal.d) Analizar las funciones anteriores.

Solución:

a) La función ingreso total es para este caso,

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b) La función ingreso promedio es para este caso,

c) La función ingreso marginal es para este caso,

d) Obsérvese que para las funciones de demanda lineales del tipo R(x) = a ¡bx, a medida que la cantidad de unidades x aumenta, el ingreso total también aumenta al principio, y posteriormente disminuye, mientras que el ingreso medio y el ingreso marginal decrecen linealmente cuando crece la cantidad de unidades x: Así mismo obsérvese que las gráficas del ingreso medio y del ingreso total se cortan en un punto (como se muestra en la figura 1), y además, con excepción de ese punto, la gráfica del ingreso marginal se encuentra por debajo de la gráfica del ingreso promedio (Figura 2).

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De lo anterior se puede ver que la gráfica del ingreso marginal interseca al eje x en un punto que es el valor de la producción total para el cual el ingreso total es máximo, mientras que la gráfica del ingreso promedio interseca al eje x en un punto que representa el doble de esa producción.

El valor de la pendiente de la función ingreso medio es la mitad del valor de la pendiente de la función del ingreso marginal, lo que significa que el ingreso medio es la mitad del ingreso marginal al interceptar el eje x.El comportamiento de todas las funciones ingreso cuadráticas es similar comportamiento anterior.

2.3.- Beneficio Marginal,

La ganancia o beneficio marginal es la diferencia que existe entre el ingreso marginal y el costo marginal.

La regla básica que se utiliza para saber si se produce o no la siguiente unidad es:a) Si el ingreso marginal es mayor que el costo marginal, entonces, se producirá la

siguiente unidad.

b) Si el ingreso marginal es menor que el costo marginal, entonces no se producirá la siguiente unidad, ya que el producirla generaría pérdidas.

c) c) Si el ingreso marginal es igual al costo marginal, entonces tampoco se producirá la siguiente unidad, debido a que el bene…cio ya es máximo, (se demostrará en la página ( ) en la sección sobre máximos y mínimos).

Si no se conocen las funciones ingreso total y costo total, entonces se requiere trabajar directamente con la función beneficio total, y así, se define el beneficio marginal como la ganancia que se obtiene al producir y vender una unidad adicional de un producto o servicio.

Ahora, al suponer que se tiene una función bene…cio G(x), donde x es la cantidad de unidades producidas y vendidas y G(x) es el bene…cio por producir y vender x unidades, de tal manera que el bene…cio por producir y vender h unidades adicionales es:

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se le conoce como el bene…cio promedio por producir y vender h unidades adicionales.Si existe el límite del cociente anterior cuando h tiende a cero, entonces a

se le llama beneficio marginal por producir y vender h unidades adicionales, es decir,

Beneficio marginal =

Análogamente, como en las funciones costo e ingreso, se usará el análisis marginal para determinar una aproximación a la función beneficio marginal, de la siguiente manera:

Al suponer que se conocen algunos puntos de cierta gráfica de una función beneficio que no se conoce, por lo que no se puede calcular el beneficio marginal al producir y vender h unidades adicionales, pero si se puede calcular, por extrapolación, el beneficio obtenido por producir y vender la siguiente unidad, ya que se conoce el beneficio en el punto x +1 (además de conocer el beneficio en el punto x), entonces, el beneficio adicional por producir y vender 1 unidad más es

Si se considera que en la práctica el dominio de la función G(x) es un subconjunto de los números naturales y, por tanto, que x + h 2 N, y que además, el punto más próximo a cero es 1, entonces se puede considerar una aproximación al beneficio marginal dada por la relación anterior, de la siguiente manera

Cabe mencionar que para que esta aproximación se ajuste a la realidad es necesario que la gráfica de la función beneficio sea una curva suave y se requiere considerar además que se producen y se venden solamente unidades completas.

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Ejemplo 1:

Si la función de ingreso total es y la función costo total es

Determinar la función beneficio marginal.

Solución:

La función beneficio total es para este caso,

al derivar la función anterior, obtenemos la función beneficio marginal,

que representa la ganancia o pérdida al producir una unidad adicional.

2.4.- FUNCIONES DE OFERTA Y DEMANDA

Si x es el número de Unidades de un bien ; siendo; y el Precio de cada unidad entonces las Funciones de Oferta y demanda pueden representarse por:

Y = f (x)

Donde: en la práctica x se toma siempre positivo.

Si: f’ > 0; la función es de oferta

Si: f < 0; La función es de Demanda.

El punto de intersección de las Funciones de oferta y Demanda se llama punto de equilibrio.

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Oferta y demanda

0

10

20

30

40

50

60

70

0 100 200 300 400 500 600

cantidades

pre

cio

s

demanda

oferta

Hallar el punto de equilibrio y las pendientes en ese punto de las funciones de Oferta y

Demanda: Respectivamente:

Y = (2008 -8x – x^2) / 16 ; y = (1 x^2)/13

Y = (208 -8x – x^2)/16 x=8 ; y = 5

Y = (1 + x^2)/13 -11,5 : y = 10.4

Se tomara únicamente la 1ra solución como punto de equilibrio, ya que : x debería ser positivo.

La pendiente de la demanda en: P (8,5)

Y = (208 -8x – x^2) /16 Y’ = ½ -x/8

Reemplazando x=8 y’(s) = -3/2 <0

La pendiente de la oferta en: P (8,5)

Y= 0 1 + x^2 / 13 y’(8) = 16/13 > 0

Por la interpretación geométrica de la Derivada, una Derivada es una Pendiente es una

Razón o relación de Variación Instantánea.

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Por tanto en el anterior cálculo de las pendiente de las funciones de oferta y Demanda, representan las variaciones instantáneas de los Precios Unitarios (y) con respecto al número de Unidades (x); exactamente en el instante en que: x = 8.

Tomando en Valor absoluto las Pendientes de la Demanda 3/2; de la Oferta 16/13, se aprecia que mayor es la variación de la demanda.La variación de una cantidad respecto de otra puede ser descrita, mediante un concepto promedio, o un concepto margina.El concepto Promedio, es la variación de una primera cantidad, respecto a un Intervalo limitado de la Segunda cantidad.El concepto Marginal, es la variación de una Primera Cantidad, respecto a un intervalo tendiente a Cero de una Segunda Cantidad, es decir se trata de una variación Instantánea.Comúnmente la primera cantidad es de un concepto Económico (Costo, Ingreso, etc.), La segunda Cantidad es el número de unidades.

2.5.- GANACIAS:

Si x es el número de Unidades; siendo R(x) el Ingreso Total ; c((x), el costo total; la

ganancia entonces es:

G(x) = R(x) – C(x)

Para maximizar la Ganancia de acuerdo a técnicas conocidas se debe derivar e igualar a

cero esto significa:

G’ (x) = R’(x) – C’(x) = 0

r’(x) = C’(x)

Entonces en el máximo de la Ganancia el ingreso Marginal, debe ser igual al Costo

Marginal.

Ejemplo 1:

Hallar la ganancia Máxima que se obtiene con determinado bien cuya ecuación de Costo

total es: C(x) = 20 + 14x ; La Demanda que posee el bien es: y= 90-2x

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El costo total C(x) = 20 + 14x

La Demanda y = 90-2x

El ingreso Total: R(x) xy = x(90-2x)

La Ganancia: G(x) = R(x) – C(x)

= x(90-2x) – (20 + 14 x)

= -2x^2 +76x – 20

Maximizando G’(x) = -4x + 76 = 0 x = 19

GMax. = 2+19^2 + 76*19 – 20 = 702

Se supone que las unidades del ingreso; Costo, Ganancia son unidades monetarias iguales.

Similarmente en el problema se supone que las unidades monetarias de la Demanda y Costo

son iguales.

Hasta el momento se ha operado en los distintos problemas, con funciones ya conocidas de

Demanda, costo, etc.

Sin embargo en la práctica es preciso a veces obtener tales funciones a partir de las

situaciones que presenten los problemas, que utilizan a las Derivadas como aplicación

económica.

Para obtener las funciones de costo demanda, etc. Es conveniente ordenar datos, que

provienen de las condiciones del problema de ser necesario se utilizaran variables

auxiliares, que posteriormente dieran ser eliminadas, siguiendo luego pasos equivalentes a

los sugeridos en los problemas de Máximos y mínimos. Se obtendrán los resultados

pedidos.

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Ejemplo 2:

Un propietario de 40 departamentos (dep.) puede alquilarlos a 100 $ c/u, sin embargo observa que puede incrementar en 5$ el alquiler por cada vez que alquila un Departamento menos. ¿Cuántos Departamentos debe alquilar para un máximo ingreso?

Reordenando los datos:

Nº Total Dep. : 40Nº Dep. Alquilados: xNº Dep. No alquilados: u

Alquiler de 1 dep. Originalmente: 100$Incremento por 1 Dep. No alquilado: 5$Ingreso por u Dep. No alquilados: 5u$Ingreso por alquiler de 1 Dep. : 100 + 5uIngreso por alquiler de x Dep. : X (100+5u)

Reemplazando la ecuación de ingreso es:

R = x ((100+5(40-x))= -5x^2 + 300x

R’ = -10x + 300 = 0 x = 30Rmax. = -5*30^2 + 300*30 = 4500$

Nótese que no se alquilan 10 dep. (u = 10)El alquiler de 1 Dep. Es:100 + 5u = 100 + 5*10 = 150$

2.6 TASA DE VARIACIÓN MEDIA

2.6.1 INCREMENTO DE UNA FUNCIÓN

Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando  al

valor a +h, entonces f pasa a valer

f(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a)

el incremento de la función.

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2.6.2 TASA DE VARIACIÓN MEDIA

Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio)  T.V.M., de la función y =f(x)

en el intervalo

 [a, b] al cociente entre los incrementos de la función y de la variable, es decir:

T.V.M. [a, b] =

 

Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función

f(x) =3-x2 en el intervalo [0,2]

Solución

T.V.M. [0, 2] =

 

2.7 TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA. LA DERIVADA

Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo).

La tasa de variación media en el intervalo [a, a +h] sería .

 Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es

decir:

A este valor se le llama la derivada de la función f en el punto a y se designa por ,

por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación

media cuando el incremento de la variable tiende a 0.

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=

Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a.

Observación 1. Si hacemos x =a +h , la derivada, en el punto a , también puede expresarse

así:

Observación 2. También se puede hablar de derivadas laterales, f ’+ y f -’ (obligatorio que

f sea continua) según se considere el límite para  h>0 o h<0. Si existen los dos límites

laterales y coinciden la función es derivable.

Ejemplo 2. Las derivadas laterales de la función  en x =0 son 1 y –1.

      

Luego la función valor absoluto no es derivable en el 0.

Proposición. Toda. Función derivable en un punto es continua en dicho punto.

El recíproco es falso.

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Bibliografía

Anton, H. (1991). Cálculo y Geometría Analítica. México.: Limusa.

Arya, & Larner. (1992). Matemáticas aplicadas a la Administración. Economía, Ciencias Biológicas y Sociales. Méjico: Prentice Hall Hispanoamericana.

B., G. B. (2004). CALCULO. Santiago de Chile.

Bittinger. (2002). Cálculo para Ciencias Económicas-Administrativas. Colombia: Addison Wesley.

colo herrera, a., & patritti, h. aplicacion de la derivada.

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Espinosa, D. J. (s.f.). MATEMÁTICAS BÁSICAS . Recuperado el 19 de 06 de 2012, de Facultad de Contaduría y Administración. UNAM: http://www.fca.unam.mx/docs/apuntes_matematicas/28.%20Aplicaciones%20de%20la%20Derivada.pdf