TRABAJO FIN DE GRADO Grupos Cristalográficosndices racionales acerca de la proporci on en que los...

Germán García Butenegro

José María Pérez Izquierdo

Facultad de Ciencia y Tecnología

Grado en Matemáticas

2015-2016

Título

Director/es

Facultad

Titulación

Departamento

TRABAJO FIN DE GRADO

Curso Académico

Grupos Cristalográficos

Autor/es

© El autor© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2016

publicaciones.unirioja.esE-mail: [email protected]

Grupos Cristalográficos, trabajo fin de gradode Germán García Butenegro, dirigido por José María Pérez Izquierdo (publicado por la

Universidad de La Rioja), se difunde bajo una LicenciaCreative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 3.0 Unported.

Permisos que vayan más allá de lo cubierto por esta licencia pueden solicitarse a los titulares del copyright.

Facultad de Ciencia y Tecnología

TRABAJO FIN DE GRADO

Grado en Matemáticas

Grupos Cristalográficos

Alumno:

Germán García Butenegro

Tutor:

José María Pérez Izquierdo

Logroño, febrero de 2016

Resumen

El objetivo del este trabajo es exponer la clasificacion de los grupos cristalograficos simorfi-cos, de los sistemas reticulares y de las clases cristalinas desde una perspectiva algebraica quenos permita trabajar de forma extensiva las herramientas adquiridas durante los estudios degrado a la par que familiarizarnos con el apasionante tema de la simetrıa en la naturaleza.

The present essay intends to present the classification of symmorphic crystallographicgroups, also known as symmorphic space groups, lattice systems and crystal classes from analgebraic perspective, more intuitive and friendly, which will allow us to apply the mathemati-cal background we have acquired all along these years as well as to advance in the fascinatingtopic of symmetry in Nature.

Indice general

Indice general 2

1 Introduccion 3

2 Fundamentos 62.1. El espacio afın euclıdeo, isometrıas y aplicaciones ortogonales. . . . . . . . . . . . . 62.2. Grupos cristalograficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Estructura geometrica de L(Γ) 153.1. Calculo del tipo de Sim(L). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2. Sistemas reticulares y retıculos de Bravais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3. Celda de Wigner-Seitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 Clases cristalinas geometricas 274.1. Clases cristalinas, sistemas cristalinos, familias cristalinas y sistemas reticulares. . 274.2. Clasificacion geometrica de Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3. Algunas ejemplos destacados de clases cristalinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.4. Notacion de Schoenflies y de Hermann-Mauguin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5 Clases cristalinas aritmeticas 375.1. Clasificacion de los subgrupos finitos abelianos de SL3(Z) . . . . . . . . . . . . . . 375.2. Clasificacion de los subgrupos finitos de SL3(Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.3. Clasificacion de los subgrupos finitos de GL3(Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Bibliografıa 56

2

Capıtulo 1

Introduccion

... an extremely surprising circumstance has come tolight, viz a coincidence in the work of two researcherssuch as has, perhaps, never been observed in the historyof science

— E.S. Fedorov

El estudio de los grupos cristalograficos es uno de los logros matematicos del siglo XIX. CamileJordan se intereso por los grupos cristalograficos cuyos elementos preservan la orientacion. Eltrabajo de Jordan llamo la atencion de Leonhard Sohncke (1842 - 1897) quien en 1879 dio una listade 66 de estos grupos. A finales de la decada de 1880 Felix Klein (1849 - 1925) sugirio que el trabajode Sohncke merecıa completarse y que se deberıan clasificar todos los grupos cristalograficos y nosolamente aquellos que preservaban la orientacion del espacio.

Cuando un problema es interesante suele llamar la atencion de distintos investigadores, y eso fueexactamente lo que ocurrio con la clasificacion de los grupos cristalograficos. Evgraf StepanovichFedorov (1853 - 1919) y Arthur Moritz Schoenflies (1853 - 1928) trabajaron independientementeen este problema poniendo finalmente sus resultados en comun. Ambos se percataron de que enla lista de Sohncke habıa un grupo que aparecıa dos veces con diferentes presentaciones por loque la lista en realidad proporcionaba 65 grupos distintos. Entre 1889 y 1891 el intenso trabajode estos investigadores condujo a dos listas diferentes. Fedorov descubrio 229 grupos mientras queSchoenflies encontro 227. La existencia de exactamente 230 grupos cristalograficos fue el resultadofinal tras discutir en 1892 ambos investigadores sus resultados. Fedorov habıa omitido dos gruposy habıa repetido uno; Schoenflies por su parte habıa omitido cuatro y habıa repetido uno. WilliamBarlow (1845 - 1934) tambien obtuvo en 1894 una lista incompleta a falta de cuatro grupos medianteotra demostracion que pretendıa ser independiente de las demostraciones aportadas por Fedorov ySchoenflies ya que Barlow conocıa los trabajos de ambos investigadores.

El afan cientıfico por clasificar las especies de animales y plantas no pudo por menos queextenderse a los minerales, y la matematica era el lenguaje natural para ello. Los grupos espacialesexpresan la simetrıa de los objetos mientras que los grupos cristalograficos expresan la simetrıa delas estructuras periodicas que rellenan el espacio. Una observacion fundamental fue que no todoslos elementos de simetrıa son posibles para tales estructuras periodicas. Ası por ejemplo, no esposible encontrar rotaciones de orden cinco, lo que impide que existan teselaciones del espaciomediante dodecaedros.

Christian Samuel Weiss (1780 - 1856) habıa realizado en 1815 una clasificacion de los cris-tales en terminos de su simetrıa respecto de ciertos ejes asociados al cristal. Como resultado desu clasificacion, corregida mas tarde por F. Mohs, aparecıan siete sistemas cristalinos: triclınico,monoclınico, ortorrombico, tetragonal, trigonal, hexagonal y cubico. La clasificacion de Weiss (yMohs) fue corroborada empıricamente en 1818 por Sir David Brewster (1781 - 1868).

3

CAPITULO 1. INTRODUCCION 4

Weiss y Mohns ya se habıan dado cuenta de que la simetrıa de algunos cristales era menor quela de otros del mismo sistema cristalino, por lo que se dejaba la puerta abierta a la descripcion delos grupos cristalograficos de acuerdo a los elementos de simetrıa que los formaban. Tal descripcionfue obtenida por Johann Friedrich Christian Hessel (1796 - 1872) en 1830. Basandose en la Leyde los angulos constantes enunciada en 1669 por Nicolas Steno (1638 - 1686) y en la Ley de losındices racionales acerca de la proporcion en que los planos de las caras de los cristales cortan alos ejes coordenados descubierta en 1784 por Rene Just Haudy (1743 - 1822), Hessel demostro queexistıan 32 clases cristalinas. Esta clasificacion fue tambien obtenida por A. Bravais en 1849, A.Gadolin en 1871 mediante el uso de proyecciones estereograficas, E. S. Fedorov en 1883, P. Curieen 1884, A. Schoenflies y F. Klein en 1887, B. Minnigerode en 1887 y L. Sohncke en 1888.

La simetrıa de los cristales debe ser compatible con la simetrıa de su repeticion periodica enel espacio. Ası pues, tambien era natural abordar el estudio de retıculos en el espacio. Un retıculodescompone el espacio en paralelepıpedos. Ludwig August Seeber (1793 - 1855) habıa explicadoen 1824 ciertas propiedades fısicas de los cristales situando atomos o moleculas en los vertices deparalelepıpedos. Seeber avanzo el estudio de formas cuadraticas de Joseph Louis Lagrange y deCarl Friedrich Gauss. En su trabajo de 1824 Seeber calculo el cuadrado de la distancia entre dosde estos atomos usando un sistema coordenado paralelo a los ejes del paralelepıpedo obteniendouna forma cuadratica ternaria definida positiva. En 1831 Seeber caracterizo las formas cuadraticasque aparecıan de este modo y mostro que el doble del valor que toma el determinante de su matrizde Gramm es mayor o igual que el producto de los coeficientes diagonales de la forma cuadratica.Esta demostracion fue reducida posteriormente por el propio Gauss. Geometricamente se puedeinterpretar, tomando raıces cuadradas, como que el volumen de un cubo de lado el mınimo delas longitudes de cualquier Z-base del retıculo es menor o igual que el volumen, multiplicado por√

2, de cualquier paralelepıpedo que nos permita reconstruir el retıculo. Este mınimo se alcanza sihay una Z-base que determina un romboedro, lo que tiene como consecuencia que a igual volumendel paralelepıpedo determinado por una Z-base, el retıculo mas denso es el denominado retıculocubico centrado en las caras, lo que esta relacionado con la famosa Conjetura de Kepler acercadel empaquetado del espacio en esferas, cuya solucion, asistida por ordenador, fue anunciada en1998 por Thomas Hales. Finalmente en 2014 se anuncio una demostracion formal de esta conjeturamediante Isabelle y HOL Light. Al igual que Gauss, Hermite en 1850, Dirichlet en 1850 y Lebesgueen 1856 proporcionaron nuevas demostraciones del Teorema de Seeber.

La clasificacion de los posibles retıculos la llevo a cabo Moritz Ludwig Frankenheim (1801 -1869) sobre 1845 mostrando que existıan 15 familias de retıculos. En 1848 Auguste Bravais (1811 -1863), companero de clase de Evariste Galois, corrigio la clasificacion de Frankenheim al demostrarque solamente habıa 14 de tales familias.

Fue en este bullicioso ambiente en el que Fedorov y Schoenflies encontraron la motivacion ylas herramientas que finalmente propiciaron la clasificacion de los 230 grupos cristalograficos delespacio afın euclıdeo de dimension tres.

Sin embargo, aunque concluyente, el trabajo de Fedorov y Schoenflies no supuso el final delestudio de los grupos cristalograficos. La publicacion del Programa de Erlangen en 1972 por Kleinrevoluciono y amplio el concepto de geometrıa liberandola por fin de la idea fısica intuitiva que deella se tenıa. Muchos nuevos tipos de geometrıas aparecieron como de la nada, y ası el problema quehabıa mantenido ocupados a muchos de los cientıficos del siglo XIX revivıa en geometrıas muchomas generales que la geometrıa euclıdea desafiando a las nuevas generaciones de matematicos quepoco a poco han ido resolviendo importantes retos en este campo.

El siglo XX ha sido un siglo dorado en el estudio de los grupos. Ahora resultados desconocidos enlos albores del estudio de los grupos cristalograficos se ensenan en el grado en Matematicas. Es porello que la presentacion que de los grupos cristalograficos hacemos en este trabajo no se correspondecon este apasionante periplo historico. De hecho, usando tecnicas de teorıa de grupos y de modulossobre dominios euclıdeos puede calcularse lo que se conoce como la clasificacion aritmetica de los

CAPITULO 1. INTRODUCCION 5

grupos cristalograficos. Esta clasificacion, totalmente algebraica, proporciona solamente 73 de los230 grupos cristalograficos pero es muy ilustrativa en cuanto al modo en que se se puede abordarla clasificacion general. Tambien permite obtener bastantes de las clasificaciones anteriormentemencionadas de modo muy directo y facil. Es por ello, por la claridad y el rigor inherentes y porque permite utilizar muchos de los resultados vistos en el grado en Matematicas el que hayamosoptado por seguir este camino en esta ocasion.

Una curva cerrada, continua y sin puntos deautointerseccion divide al plano en dos regionesconexas, una de ellas acotada y la otra no acotada

— Teorema de la curva de Jordan

Cualquier cientıfico que no sea matematico vera el conocido teorema de la curva de Jordan comoobvio y lo usara en su ciencia sin miramientos. El mismo cientıfico no tendra ningun problema enaceptar tambien como obvia la extension de este teorema a dimension tres o superior ya que parael, en el caso de dimension tres por ejemplo, la situacion es esencialmente la misma que la quese plantea cuando se mira a una esfera contenida en el espacio, solo que un poquito deformada.Sin embargo, aunque el resultado es tambien cierto en estas dimensiones, la situacion nada tieneque ver con la de la esfera; la existencia de la esfera cornuda de Alexander (1924) muestra que laregion exterior de la esfera es muy diferente topologicamente hablando de la region exterior quedetermina la imagen continua inyectiva de una esfera.

Ahora bien, si este cientıfico fuese un amante del rigor matematico entonces tendrıa que dejaraparcada la investigacion de los fenomenos naturales donde el teorema de la curva de Jordan osus generalizaciones se aplican para embarcarse probablemente en un viaje sin retorno al campode la topologıa algebraica, lo que obviamente le supondrıa el abandonar para siempre su ciencia;del mismo modo, el objetivo del presente trabajo era el presentar de forma simple dentro de uncontexto matematico algunos de los rudimentos de la teorıa de los grupos cristalograficos queaparece expuesta en numerosos libros orientados a mineralogistas, quımicos, fısicos, etc.

En la practica, la situacion es similar a la que se plantea con el teorema de la curva de Jordan, yes que cualquier definicion que estos cientıficos manejan es, en el mejor de los casos, “imcompatiblecon cualquier forma de vida matematica en nuestro planeta”. Ası pues, intentar definir a partirde estos libros en un trabajo fin de grado en matematicas una de las nociones mas basicas encristalografıa como es por ejemplo la de retıculo de Bravais y hacerla compatible con la intuicionque de ella se tiene en otras ciencias constituirıa en sı mismo un trabajo fin de grado, cuando noun artıculo de investigacion matematica - es por esto que en este trabajo nos hemos contenido enel uso de terminos como retıculo de Bravais, sistemas cristalinos, familias cristalinas, etc., y enespecial de hablar de clasificacion cuando ni se ha introducido una definicion rigurosa de los objetosa clasificar ni tampoco se ha definido cuando dos de estos objetos se consideran equivalentes.

Sin embargo, no todo esta perdido; en este trabajo fin de grado apareceran objetos que cualquiercientıfico con formacion en cristalografıa identificarıa como los siete sistemas cristalinos, los catorceretıculos de Bravais o las treinta y dos clases cristalinas y se clasificaran de modo matematicamenteriguroso los setenta y tres grupos cristalograficos simorficos y se discutira como estas tecnicas seextienden para obtener la clasificacion de los doscientos treinta grupos cristalograficos.

Capıtulo 2

Fundamentos

As a generalization of geometry arises then thefollowing comprehensive problem: Given a manifoldnessand a group of transformations of the same; toinvestigate the configurations belonging to themanifoldness with regard to such properties as are notaltered by the transformations of the group.

— F. Klein, 1872 (traducido por M. W. Haskell, 1892)

2.1. El espacio afın euclıdeo, isometrıas y aplicaciones ortogonales.

Un espacio afın sobre un cuerpo F es un conjunto A 6= ∅ junto con un espacio vectorial V yuna aplicacion ϕ : A×A → V que cumple:

1. la aplicacion

ϕP : A → V

Q 7→ ϕ(P,Q)

es biyectiva para todo P ∈ A y

2. ϕ(P,Q) + ϕ(Q,R) = ϕ(P,R) para todos P,Q,R ∈ A.

EscribiremosP + ϕ(P,Q) := Q o tambien

−−→PQ := ϕ(P,Q).

La dimension del espacio afın se define como la dimension del espacio vectorial asociado.

Una aplicacion afın entre dos espacios afines (A1, V1, ϕ1) y (A2, V2, ϕ2) es una aplicacionf : A1 → A2 junto con una aplicacion lineal f : V1 → V2 que cumple

f(−−→PQ) =

−−−−−−→f(P )f(Q)

para todos P,Q ∈ A1.

Un espacio vectorial euclıdeo es un R-espacio vectorial V dotado de una forma bilineal definidapositiva 〈 , 〉 : V × V → R a la que llamamos producto escalar euclıdeo. La norma de un vector

v ∈ V se define como ||v|| :=√〈v, v〉; el angulo entre u y v es uv := arc cos 〈u,v〉

||u|||v|| .

Un espacio afın euclıdeo es un espacio afın (E , E, ϕ) cuyo espacio vectorial asociado E es un

espacio vectorial euclıdeo; la distancia entre dos puntos P,Q se define como d(P,Q) := ||−−→PQ||. El

6

CAPITULO 2. FUNDAMENTOS 7

conjunto Rn con el producto

〈(x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)〉 :=

n∑i=1

xiyi (2.1)

es un espacio vectorial euclıdeo, al que denotaremos por En, que junto con la aplicacion ϕ definidamediante ϕ((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) := (y1 − x1, . . . , yn − xn) convierte a Rn en un espacio afıneuclıdeo al que denotaremos por En.

Un movimiento o movimiento rıgido o isometrıa de un espacio afın euclıdeo (E , E, ϕ) es unaaplicacion biyectiva f : E → E que cumple d(f(P ), f(Q)) = d(P,Q) para todos P,Q ∈ E - unmovimiento es siempre una aplicacion afın. El conjunto de todas las isometrıas de (E , E, ϕ) lodenotaremos por Isom(E) y es un grupo con la operacion dada por componer aplicaciones.

Para espacios vectoriales euclıdeos existe un concepto analogo: dado un espacio vectorial euclıdeo(E, 〈 , 〉), una aplicacion biyectiva f : E → E que cumpla 〈f(u), f(v)〉 = 〈u, v〉 para todos u, v ∈ Ese dira aplicacion ortogonal.

El grupo ortogonal de (E, 〈 , 〉) es el grupo formado por todas las aplicaciones ortogonales de(E, 〈 , 〉) con la operacion dada por la composicion de aplicaciones y lo denotaremos por O(E, 〈 , 〉).Para cualquier aplicacion afın es cierto que

f ∈ Isom(E) si y solamente si f ∈ O(E).

En un mismo espacio vectorial pueden coexistir diferentes productos escalares euclıdeos por loque incialmente es preciso puntualizar que producto escalar se esta considerando; en la practicasolamente consideraremos un producto escalar, e incluso un solo espacio vectorial euclıdeo, porlo que escribiremos E , E, Isom(E) y O(E) en lugar de (E , E, 〈 , 〉), (E, 〈 , 〉), Isom(E , E, 〈 , 〉) y deO(E, 〈 , 〉) respectivamente.

La notacion O(n) hace referencia al grupo ortogonal del espacio vectorial euclıdeo Rn con elproducto escalar (2.1).

Dado un conjunto ∆ ⊆ E , el grupo de simetrıas de ∆ se define como

Sim(∆) := {f ∈ Isom(E) | f(∆) = ∆}

y es un subgrupo de Isom(E).

La aplicacion

π : Isom(E) → O(E)

f 7→ f

es un homomorfismo suprayectivo de grupos cuyo nucleo es el conjunto de todas las traslaciones1

T (E) := {tv : P 7→ P + v | v ∈ E}.

De este modo aparece una sucesion de homomorfismos

{I} → T (E)→ Isom(E)π−→ O(E)→ {I} (2.2)

en la cual el nucleo de cada homomorfismo coincide con el conjunto imagen del anterior. Este tipode sucesiones de homomorfismos se denominan sucesiones exactas cortas (I denota la aplicacionidentidad). Para cualquier f ∈ Isom(E) y v ∈ E se tiene

ftvf−1 = tf(v)

1Las traslaciones son un elemento muy importante en el estudio de las redes cristalinas ya que, de modo muyimpreciso, estas redes aparecen al repetir indefinidamente un motivo principal en las tres direcciones espaciales.


por lo que el subgrupo de traslaciones T (E) es un subgrupo normal2 de Isom(E). De hecho, estodefine un homomorfismo de grupos3

Ad: O(E) → Aut(T (E))

f 7→ Adf : tv 7→ tf(v).

En general, la existencia de un homomorfismo de grupos φ : H → Aut(N), h 7→ φh permiteconstruir el producto semidirecto N oφ H de los grupos N y H como N oφ H = N × H con laoperacion

(n1, h1)(n2, h2) := (n1φh1(n2), h1h2).

Fijado un punto O ∈ E al cual llamaremos origen4, la aplicacion

Isom(E)∼=−→ T (E) oAd O(E)

f 7→ (t−−−−→Of(O)

, f)

es un isomorfismo de grupos bajo el cual O(E) es isomorfo al subgrupo Isom(E)O de isometrıas deE que fijan a O; el grupo T (E) se suele identificar con el grupo abeliano (E,+) de los vectores quedefinen las traslaciones y el isomorfismo anterior es habitual verlo expresado como5

Isom(E) ∼= E o O(E).

Ası pues, cada aplicacion ortogonal se corresponde con una unica isometrıa que fija a O - estehecho simplemente refleja que cualquier isometrıa f admite una unica descomposicion f = tvg enIsom(E) con g(O) = O.

En general, dado un subgrupo Γ de Isom(E) se define

Γ := {f ∈ O(E) | f ∈ Γ}

yL(Γ) := {v ∈ E | tv ∈ Γ}.

Existe una sucesion exacta corta

{I} → Γ ∩ T (E)→ Γπ−→ Γ→ {I}. (2.3)

Contrariamente a (2.2) esto no significa que Γ sea isomorfo a un producto semidirecto de Γ∩T (E)y de un subgrupo isomorfo a Γ. El problema es que ahora no se puede asegurar la existencia deun homomorfismo s : Γ→ Γ tal que πs = I, es decir, no se puede asegurar que la sucesion exactacorta sea escindible.

Sin embargo, sı es cierto que al fijar un origen O el conjunto de isometrıas Γs := {tvg | tv ∈Γ, g ∈ Γ, g(O) = O} es un subgrupo de Isom(E) para el cual Γs ∩ T (E) = Γ ∩ T (E) y Γs = Γ, porlo que se tiene la sucesion exacta corta

{I} → Γ ∩ T (E)→ Γsπ−→ Γ→ {I},

que ahora sı es escindible yΓs ∼= (Γ ∩ T (E)) o Γ ∼= L(Γ) o Γ.

2Un subgrupo N de un grupo G se dice normal si gNg−1 ⊆ N para todo g ∈ G3El conjunto de automorfismos Aut(G) de un grupo G es un grupo con la composicion de aplicaciones.4Contrariamente a los espacios vectoriales, donde el vector 0 es un vector destacado, los espacios afines no tienen

ningun punto destacado por lo que el elegir uno u otro punto como origen dependera del problema geometrico quese estudie.

5Omitiremos el subındice en o cuando no haya posibilidad de confusion.


Desafortunadamente, Γ y Γs pueden no ser isomorfos e incluso grupos Γ no isomorfos podrıan darlugar a grupos Γs isomorfos.6

Ası pues, un subgrupo Γ de Isom(E) proporciona un subgrupo L(Γ) de (E,+) y un subgrupoΓ de O(E), pero solamente con estos datos no podemos reconstruir Γ de forma unıvoca, aunquepodemos reconstruir un subgrupo Γs de Isom(E) que proporciona los mismos datos y ademas esisomorfo a L(Γ) o Γ.

Los grupos cristalograficos son una familia de subgrupos Γ de Isom(E); una de las estrategiaspara estudiar esta familia se basa en:

1. estudiar las posibilidades para Γ,

2. para cada Γ estudiar los posibles L de modo que f(L) = L para todo f ∈ Γ y

3. para cada L y cada Γ estudiar las distintas posibilidades de subgrupos Γ de Isom(E) que son

compatibles con la existencia de una sucesion exacta corta {I} → Γ∩ T (E)→ Γπ−→ Γ→ {I}

con L ∼= Γ ∩ T (E).

Como veremos, dado un grupo cristalografico Γ, el grupo Γs ∼= L o Γ es tambien un grupocristalografico (grupo cristalograficos simorfico). El desarrollo de los puntos 1 y 2 anteriores pro-porcionara un subconjunto de 73 grupos de la familia de los grupos cristalograficos. El punto 3indica que con las mismas piezas quizas se pueden lograr mas, como en efecto es el caso ya que hayun total de 230 grupos cristalograficos (219 si no se tiene en cuenta la orientacion de E). El punto 3escapa a los objetivos de este trabajo ya que el problema de la clasificacion de las sucesiones exactas(2.3) es un problema cuyo lenguaje natural es la teorıa de cohomologıa de grupos y adentrarnostambien en ella excederıa los lımities naturales de un trabajo fin de grado.

2.2. Grupos cristalograficos

Definicion 1. Un grupo cristalografico es un subgrupo Γ de Isom(E) para el cual el subgrupo L(Γ)de (E,+) esta generado, como grupo abeliano, por alguna R-base de E.7

Es consecuencia de la existencia de bases ortonormadas en espacios vectoriales euclıdeos quedos de tales espacios de la misma dimension (finita) son isometricos, i.e. existe una aplicacionbiyectiva entre ellos que conserva el producto escalar.

Lo mismo ocurre para espacios afines euclıdeos; es por esto que para el estudio de los gruposcristalograficos en la geometrıa euclıdea asumiremos que el espacio afın euclıdeo es En con latopologıa dada por la metrica. En nuestro caso n = 3 ya que solamente consideraremos gruposcristalograficos del espacio tridimensional.

Definicion 2. Diremos que un grupo Γ es simorfico si existe algun punto O ∈ E3 de modo quepara todo f ∈ Γ existen tv, g ∈ Γ tales que f = tvg y g(O) = O.

Se puede comprobar que esta definicion equivale a que la sucesion (2.3) y que por lo tantoΓ = Γs ∼= L(Γ) o Γ.

Informalmente, una estructura cristalina se extiende indefinidamente ocupando todo el espacio,como la repeticion de una cierta region del espacio (que, por ejemplo, puede contener atomos)trasladandola indefinidamente en ciertas direcciones de modo que cubra todo el espacio.

6Los grupos cristalograficos que se estudian en este trabajo son justamente aquellos para los cuales la sucesion(2.3) es escindible y por lo tanto Γ ∼= L(Γ)oΓ. Estos grupos cristalograficos se diran grupos cristalograficos simorficos.Existen 73 grupos cristalograficos simorficos pero 230 grupos cristalograficos.

7En general nos referiremos a L(Γ) como el retıculo vectorial asociado a Γ.


Los grupos cristalograficos serıan los grupos de simetrıas de dichas estructuras (el conjunto deatomos distribuidos a lo largo de todo el espacio) - la definicion 1 viene motivada por este puntode vista. Sin embargo, hay un punto que pasa desapercibido: ¿es posible encontrar regiones infini-tamente pequenas que proporcionen exactamente el mismo grupo cristalografico? Una definicionde grupo cristalografico desde este punto de vista serıa la de un subgrupo discreto Γ de Isom(En)de modo que el espacio topologico En/G de las orbitas de la accion de G en En sea compacto8 peropor supuesto ahora no queda nada claro que el grupo contenga traslaciones.

Sorprendentemente, ambas definiciones son equivalentes.

Teorema 3 (Primer Teorema de Bieberbach). Un subgrupo Γ de Isom(En) contiene n traslacioneslinealmente independientes si y solamente si Γ es discreto y el espacio cociente En/G es compacto.

Con todo, la definicion de grupo cristalografico adolece de un problema grave, aunque irrelevantepara este trabajo. Hace mas de un siglo F. Klein sento las bases de la geometrıa en su famosoPrograma de Erlangen; segun Klein, la geometrıa es el estudio de los invariantes de los grupos.

En ese sentido, imponer Γ ⊆ Isom(E) limita el subsecuente trabajo al ambito de la geometrıaeuclıdea ya que el grupo ambiente es Isom(E). Sin embargo, podemos liberarnos de esta limitacion.

Teorema 4 (Zassenhaus). Un grupo abstracto Γ es isomorfo a un grupo cristalografico del espacioafın euclıdeo de dimension n si y solamente si Γ contiene un subgrupo abeliano libre de rango nque es normal, tiene ındice finito9 y es un subgrupo abeliano maximal.

El Teorema de Zassenhaus propone la definicion correcta del concepto de grupo cristalografi-co en geometrıas arbitrarias - sin embargo, en el presente trabajo nos ceniremos a la geometrıaeuclıdea.

Todavıa queda por establecer que criterio es el adecuado para clasificar grupos cristalograficos.En este sentido hubo dos aproximaciones. La aproximacion elegida por Bieberbach en 1910 consisteen declarar que dos grupos cristalograficos Γ1 y Γ2 de En son isomorfos como grupos cristalograficossi y solamente si lo son como grupos abstractos. Otra aproximacion mas geometrica, propuesta porFrobenius en 1911, consiste en declarar que Γ1 y Γ2 son isomorfos como grupos cristalograficos siexiste alguna transformacion afın biyectiva f : En → En tal que fΓ1f

−1 = Γ2. En 1912 Bieberbachdemostro que ambas aproximaciones son en realidad la misma.

Teorema 5 (Segundo Teorema de Bieberbach). Cualquier isomorfismo como grupos abstractosentre dos grupos cristalograficos de En puede obtenerse mediante la conjugacion10 por una trans-formacion afın biyectiva de En.

Definicion 6. Dos grupos cristalograficos de En se dicen (afınmente) isomorfos si son conjugadospor una transformacion afın biyectiva de En.

Bieberbach tambien demostro que, salvo isomorfismo, solamente hay un numero finito de gruposcristalograficos en En. Con ello demostro la primera parte del Problema 18 de Hilbert11.

8Si un grupo G actua en un subconjunto X ⊆ En, un dominio fundamental D de X es un subconjunto abiertoD que cumple: 1) ∪g∈GgD = X y 2) D∩ gD = ∅ si g 6= 1. La idea es que un grupo cristalografico tenga un dominiofundamental en su accion sobre todo el espacio.

9El ındice de un subgrupo en un grupo es la cardinalidad del conjunto de clases laterales.10El termino conjugacion aparecera con frecuencia. Un conjugado de un subconjunto X de un grupo G es un

subconjunto de la forma gXg−1 donde g ∈ G. Los elementos de la forma ghg−1 se dicen conjugados de h. Sinembargo, cuando el grupo es un grupo de matrices tambien se suele utilizar el termino semejante.

11Los Problemas de Hilbert son una lista de 23 problemas que el famoso matematico David Hilbert propuso alinicio del siglo XX. Esta lista ha tenido un gran impacto en el desarrollo de las matematicas durante los ultimoscien anos.


El objetivo de este trabajo no es clasificar todos los grupos cristalograficos salvo isomorfismo,que es una clasificacion demasiado fina, sino exponer una clasificacion aritmetica que a conti-nuacion explicaremos. Para ello, observamos que dado un grupo cristalografico Γ tenemos queΓ ⊆ Aut(L(Γ)). Tras fijar una Z-base B de L(Γ) tenemos un isomorfismo

cB : Γ → GLn(Z) ∼= Aut(L(Γ))

f 7→ cB(f)

que a cada f le hace corresponder su matriz coordenada respecto de la base B (GLn(Z) denota elgrupo de matrices invertibles de orden n con entradas enteras).

Al cambiar la Z-base B por otra B′ se tiene que cB′(Γ) = McB(Γ)M−1 para alguna matrizM ∈ GLn(Z), por lo que la clase de conjugacion de cB(Γ) en GLn(Z)

[Γ]Z := {McB(Γ)M−1 |M ∈ GLn(Z)}

no depende de la base elegida. Un conjunto mayor se obtiene al considerar la conjugacion pormatrices con entradas racionales

[Γ]Q := {McB(Γ)M−1 |M ∈ GLn(Q)}.

En general, usaremos el termino semejantes como sinonimo de conjugadas. Hablaremos de seme-janza entera o de semejanza racional para indicar que determinados elementos o subconjuntos sonconjugados por matrices con entradas enteras o con entradas racionales, segun corresponda.

Definicion 7. Diremos que dos grupos cristalograficos Γ1 y Γ2 son aritmeticamente equivalentessi [Γ1]Z = [Γ2]Z. Diremos que Γ1 y Γ2 son geometricamente equivalentes si [Γ1]Q = [Γ2]Q.12

Dos grupos cristalograficos aritmeticamente equivalentes son geometricamente equivalentes.Sin embargo, hay grupos cristalograficos que son geometricamente equivalentes pero que no sonaritmeticamente equivalentes - es decir, la clasificacion aritmetica es mas fina que la clasificaciongeometrica. De hecho, los grupos cristalograficos se dividen en 32 clases de equivalencia geometricasy estas se subdividen hasta proporcionar 73 clases de equivalencia aritmeticas13.

Presentaremos ahora los resultados de la clasificacion aritmetica de los grupos cristalograficos(por claridad posponemos la demostracion de estos resultados al Capıtulo 5); en ellos se describenlas distintas clases de conjugacion por elementos de GL3(Z) de subgrupos finitos de GL3(Z).

En los capıtulos 3 y 4 usaremos estos resultados para interpretar geometricamente la forma deL(Γ) y los elementos de Γ.

Teorema 8. Sea Γ un grupo cristalografico. Se tiene que Γ es un grupo finito.

Demostracion. Sea B una base de R3 contenida en L y sea l el maximo de la norma de los vectoresde esta base. El conjunto de vectores en L de norma menor o igual que ≤ l es finito. En efecto, sieste conjunto fuese infinito entonces el conjunto de puntos determinado por L tendrıa puntos deacumulacion y por lo tanto L contendrıa vectores arbitrariamente pequenos. Sin embargo, si M esla matriz cuyas columnas son la base B, cualquier vector no nulo en L tiene la forma MX parauna cierta matriz no nula 3 × 1 con entradas enteras. Considerando la factorizacion QR de M se

12Parece mas natural definir el concepto de geometricamente equivalentes en terminos de conjugacion por matricescon coeficientes reales ya que un espacio vectorial euclıdeo es un espacio vectorial sobre R. En realidad esto noimporta y [Γ1]R = [Γ2]R si y solamente si [Γ1]Q = [Γ2]Q. Esto es debido a que la existencia de una matriz M talque McB(Γ1) = cB(Γ2)M y |M | 6= 0 corresponde, la primera parte, a la solucion de un sistema de ecuacioneslineales, por lo que este sistema tiene solucion en R si y solamente si la tiene en Q. El poder elegir M con |M | 6= 0corresponde a que un polinomio con coeficientes racionales tenga valores reales en los que no se anula, y esto ocurresi y solamente si hay valores racionales en los que no lo hace.

13En la literatura las 32 clases de equivalencia geometricas se corresponden con los 32 tipos de cristales mientrasque las 73 clases de equivalencia aritmeticas se corresponden con los 73 sistemas cristalinos.


A Caso Generadores Caso Generadores

{I} (P1)(

1 0 00 1 00 0 1

)Z2 (P2)

(1 0 00 −1 00 0 −1

)(B2)

(1 0 10 −1 00 0 −1

)Z3 (P3)

(1 0 00 0 −10 1 −1

)(R3)

(1 0 10 0 −10 1 −1

)Z4 (P4)

(1 0 00 0 −10 1 0

)(I4)

(1 0 10 0 −10 1 0

)Z6 (P6)

(1 0 00 0 −10 1 1

)Z2 × Z2 (A)

(1 0 00 −1 00 0 −1

),(−1 0 0

0 1 00 0 −1

)(B)

(1 0 10 −1 00 0 −1

),(−1 0 0

0 1 10 0 −1

)(C)

(1 1 00 −1 00 0 −1

),(−1 −1 0

0 1 00 0 −1

)(D)

(1 1 10 −1 00 0 −1

),(−1 −1 0

0 1 00 0 −1

)Tabla 2.1: Subgrupos abelianos finitos de SL3(Z) salvo conjugacion.

tiene que ||MX|| = ||RX|| y este valor es mayor o igual que el mınimo de los valores absolutos delos elementos diagonales de R.14

Dada f ∈ Γ, f queda determinada por su restriccion a B. Sin embargo, puesto que f es unaisometrıa, f(B) esta formado por vectores de norma menor o igual l que pertenecen a L y por lotanto unicamente hay un numero finito de posibilidades para la restriccion de f a B. Ası pues, Γes necesariamente finito.

En los siguientes resultados debe tenerse en mente que Γ es un subgrupo finito de Aut(L(Γ)) ∼=GL3(Z) por lo que los resultados que presentamos clasifican tales Γ.

Teorema 9. El orden multiplicativo15 de cualquier matriz de GL2(Z) o de GL3(Z) es 1, 2, 3, 4, 6o ∞.

La clasificacion de Γ se lograra a partir del estudio de sus subgrupos abelianos.

Teorema 10. Sea A un subgrupo finito abeliano de SL3(Z). Se tiene que A es isomorfo a uno delos siguientes grupos: {I}, Z2, Z3, Z4, Z6 o Z2 × Z2.

El siguiente resultado describe salvo conjugacion16 los elementos de determinante 1 en Γ. Re-cordar que

SL3(Z) := {M ∈ GL3(Z) | |M | = 1}.

Teorema 11. Sea A un subgrupo abeliano finito de SL3(Z). Existe una matriz M ∈ SL3(Z) talque MAM−1 posee generadores segun se describe en la Tabla 2.1.

Esta descripcion conduce a la clasificacion abstracta de los posibles subgrupos Γ ∩ SO(3),donde SO(n) denota el subconjunto de aplicaciones ortogonales de determinante 1 de En, es decir,clasifica de forma abstracta los posibles grupos de rotaciones en el espacio vectorial E3 asociadosa los grupos cristalograficos.

14La factorizacion QR de una matriz es su expresion como producto de una matriz ortogonal y una matriztriangular superior. La existencia de esta descomposicion se puede deducir del metodo de ortogonormalizacion deGram-Schmidt.

15El orden multiplicativo de G ∈ GLn(Z) es el mınimo 1 ≤ k ∈ Z tal que Gk es la matriz identidad. Si no existeun tal k, el orden multiplicativo es, por convenio, infinito.

16En GL3(Z) dos matrices son conjugadas por alguna matriz en GL3(Z) si y solamente si son conjugadas poruna matriz en SL3(Z) por lo que usaremos ambos tipos de conjugacion indistintamente.


Grupo Formas en SL3(Z) Grupo Formas en SL3(Z)

I P1 Z2 × Z2 P222

Z2 P2 C222

B2 F222

Z3 P3 I222

R3 (Z2 × Z2) o Z3 P23

Z3 o Z2 P312 F23

P321 I23

R32 (Z2 × Z2) o S3 P432

Z4 P4 F432

I4 I432

Z4 o Z2 P422

I422

Z6 P6

Z6 o Z2 P622

Tabla 2.2: Subgrupos finitos de SL3(Z) salvo conjugacion.

Teorema 12. Todo subgrupo finito F de SL3(Z) contiene algun subgrupo normal en F que esabeliano maximal en F .

Teorema 13 (Auslander y Cook). Cualquier subgrupo finito de SL3(Z) es isomorfo a uno de losgrupos en la siguiente tabla:

{I} Z2 Z3 Z4 Z6 Z2 × Z2

Z3 o Z2 Z4 o Z2 Z6 o Z2 (Z2 × Z2) o Z3, (Z2 × Z2) o S3

Dos subgrupos de SL3(Z) pueden ser isomorfos como grupos abstractos pero no ser conjugadosdentro de SL3(Z) - los subgrupos de SL3(Z) isomorfos a un grupo abstracto G se dicen formas deG en SL3(Z).

El concepto de forma de G en GL3(Z) se define de igual manera. El siguiente resultado clasifica,salvo conjugacion, las formas de grupos de rotaciones en E3 asociados a los grupos cristalograri-cos17.

Teorema 14. La Tabla 2.2 recoge salvo conjugacion por matrices en SL3(Z) los distintos subgruposfinitos de SL3(Z).

La Tabla 2.2 muestra que, salvo conjugacion, SL3(Z) posee 24 grupos finitos no conjugados entresı aunque como grupos abstractos muchos son isomorfos entre sı. La descripcion salvo conjugacionde los posibles grupos Γ asociados a grupos cristalograficos queda recogida en el siguiente teorema:como grupos abstractos, las posibilidades son las que aparecen en la primera columna de la Tabla 2.3o su producto directo con Z2.

Teorema 15. La Tabla 2.3 recoge salvo conjugacion por matrices en GL3(Z) los distintos subgruposfinitos de GL3(Z)18.

17Todas las formas aparecen como grupos de rotaciones de adecuados grupos cristalograficos.18Un grupo Γ de la segunda o de la cuarta columna es isomorfo como grupo abstracto al correspondiente grupo

G de la primera columana. Un grupo Γ de la tercera columna es isomorfo a G × Z2 para el correspondiente grupoG de la primera columna.


Grupo Formas en SL3(Z) Adjuncion de −I Homomorfismos

I P1 P1

Z2 P2 P2/m Pm

B2 B2/m Bm

Z3 P3 P3

R3 R3

Z4 P4 P4/m P4

I4 I4/m I4

Z6 P6 P6/m P6

Z2 × Z2 P222 Pmmm Pmm2

C222 Cmmm Amm2, Cmm2

F222 Fmmm Fmm2

I222 Immm Imm2

Z3 o Z2 P312 P31m P3m1

P321 P3m1 P31m

R32 R3m R3m

Z4 o Z2 P422 P4/mmm P4mm,P42m,P4m2

I422 I4/mmm I4mm, I42m, I4m2


(Z2 × Z2) o Z3 P23 Pm3

F23 Fm3

I23 Im3

(Z2 × Z2) o S3 P432 Pm3m P43m

F432 Fm3m F43m

I432 Im3m I43m

Tabla 2.3: Subgrupos finitos de GL3(Z) salvo conjugacion.

Finalmente, hay que observar que si G es cualquiera de los subgrupos de GL3(Z) que aparecenen la Tabla 2.3, el Lema 34 nos asegurara que existe un producto escalar euclıdeo 〈 , 〉 en R3 demodo que G esta formado por aplicaciones ortogonales. Ası pues, interpretando los elementos deG como isometrıas del espacio afın euclıdeo E asociado al espacio vectorial euclıdeo E := (R3, 〈 , 〉)que fijan el origen O := (0, 0, 0) ∈ E obtenemos un grupo de isometrıas ΓO isomorfo a G. El grupoΓ := {tvf | v ∈ Z3, f ∈ ΓO} es claramente un grupo cristalografico que cumple que Γ = G yΓ ∼= L(Γ) o Γ.

Los resultados anteriores constituyen la clasificacion aritmetica de todos los grupos crista-lograficos del espacio afın euclıdeo E3 y clasifican los posibles grupos simorficos asociados a ellos.En particular, existen exactamente 73 grupos cristalograficos simorficos.

Capıtulo 3

Estructura geometrica de L(Γ)

Two remarks are necessary regarding this point. Firstly,it must be noticed that, while Bravais explicitly statedhis definition (A) above –de un retıculo de Bravais– , henever used it in his 1850 memoir to check whether his14 lattice types were indeed all distinct; nor did he tryto show that they are the only possible ones according tohis definition.

— M. Pitteri y G. Zanzotto, Acta Crystallographica(1996), A52, p. 830.

El objetivo de este capıtulo es describir geometricamente los diferentes retıculos vectorialesL(Γ) que pueden aparecer en conexion con grupos cristalograficos. Mucha de la literatura acer-ca de este tema o bien no presenta las definiciones o bien presenta definiciones poco rigurosas.Sorprendentemente, la pagina de Wikipedia

https://en.wikipedia.org/wiki/Space group#Table of space groups in 3 dimensions

intenta ser, con diferencia, lo mas rigurosa posible dentro un nivel matematico que no excedeel nivel de grado. Ası, las definiciones y resultados de clasificacion que presentamos se basanfundamentalmente en ella. Estos resultados se han obtenido a partir de la clasificacion de lossubgrupos abelianos de SL3(Z) obtenida en el Capıtulo 5, lo que nos permite una exposicion clara,rapida y rigurosa que no se encuentra en ninguno de los textos que hemos consultado.

Dado un grupo cristalografico Γ y su retıculo vectorial1 asociado L := L(Γ) consideremos elgrupo finito2

Sim(L) := {φ ∈ O(3) | φ(L) = L}.

y el subgrupo Sim+(L) := Sim(L) ∩ SO(3) de rotaciones en Sim(L).

Puesto que −I ∈ Sim(L), claramente Sim(L) = Sim+(L) ∪ −Sim+(L) y todo subgrupo nor-mal de Sim+(L) es automaticamente un subgrupo normal de Sim(L). El Teorema 12 nos diceque Sim+(L) contiene un subgrupo A normal que es abeliano maximal dentro de Sim+(L) y elTeorema 10 nos asegura que es isomorfo, como grupo abstracto, a uno de los siguientes grupos:{I},Z2,Z3,Z4,Z6 o Z2 × Z2.

Al fijar una Z-base de L e identificar los elementos de Sim(L) con elementos de GL3(Z) elTeorema 11 nos proporciona, salvo cambio de base, las posibles matrices coordenadas que podemosencontrar para los generadores de este subgrupo abeliano. Es mas, el Teorema 13 proporciona la

1Un retıculo vectorial de un espacio vectorial es un grupo abeliano generado por una base del espacio.2Vease el Teorema 8 y su demostracion.

15

CAPITULO 3. ESTRUCTURA GEOMETRICA DE L(Γ) 16

Sim(L) es de tipo. . . si Sim(L) es isomorfo al grupo de simetrıas de un. . .

Oh Cubo

D6h Prisma recto con base hexagonal regular

D3d Romboedro

D4h Prisma recto con base cuadrada

D2h Prisma recto con base rectangular

C2h Prisma oblicuo con base rectangular

Ci Prisma oblicuo

Tabla 3.1: Tipos a los que puede pertenecer Sim(L).

clasificacion abstracta de todos los grupos finitos de SL3(Z) y la Tabla 2.2 da su clasificacion salvosemejanza por matrices en GL3(Z). por lo que Sim+(L) debe aparecer entre los descritos.

En los casos en que A = 〈φ〉, si w1 es un vector direccional del eje de rotacion de φ entonces, alser A un subgrupo normal, para cualquier otro elemento ϕ ∈ Sim(L) tendremos que ϕφϕ−1 ∈ Apor lo que ϕφϕ−1(w1) = w1, ası que φ fija a ϕ−1(w1). Esto implica que

ϕ(w1) = ±w1 ∀ϕ ∈ Sim(L) si A es cıclico no trivial. (3.1)

Si A es isomorfo a Z2×Z2 entonces los elementos de Sim(L) deben permutar los diferentes ejes degiro de rotaciones en A.

En este capıtulo recorreremos las diferentes posibilidades para el subgrupo normal abelianomaximal A. Cada posibilidad proporciona una adecuada base de E3 con la cual mostrar unarealizacion explıcita de Sim(L) y calcular una Z-base de L. Con ello quedara descrita la geometrıadel retıculo vectorial L.3

En este capıtulo sera habitual el uso de {a,b, c} para denotar la R-base de E3 y de {v1, v2, v3}para denotar la Z-base de L.4 Tambien usaremos la siguiente notacion:

a := ||a||, b := ||b||, c := ||c||, α := bc, β := ca y γ := ab. (3.2)

Los posibles tipos para Sim(L) que apareceran son

Oh, D6h, D3d, D4h, D2h, C2h y Ci

por lo que lo antes de empezar vamos a definir que entenderemos cuando afirmemos que Sim(L)es de uno de estos tipos - la Tabla 3.1 recoge estas definiciones. Hay que tener en cuenta que elgrupo Sim(L) puede pertenecer a diferentes tipos, como claramente se deduce de la definicion.

3Esta descripcion permite comprender geometricamente como estan dispuestos los vectores de traslacion quedan origen a la estructura cristalina cuyo grupo cristalografico es Γ.

4En la literatura se llama base cristalina del retıculo vectorial L a cualquier Z-base de L.


3.1. Calculo del tipo de Sim(L).

Unfortunately, misunderstandings of the relationsbetween lattice types seem to be frequent.

— Hans Grimmer, Acta Crystallogr. A Found. Adv.2015

Analizaremos todos posibilidades para el subgrupo normal abeliano maximal A recogidas en laTabla 2.1. Ası el grupo abeliano maximal de rotaciones A puede ser de uno de los siguientes tipos:

P1, P2, B2, P3, R3, P4, I4, P6, A, B, C y D.

Tipos P6 y P3.

Asumamos que Sim(L) contiene un subgrupo de rotaciones de tipo P6. Por el Teorema 11,existe una Z-base {w1, w2, w3} de L respecto de la cual la matriz coordenada de la rotacion φ de

orden 6 es(

1 0 00 0 −10 1 1

). Respecto de la base {w1, w3,−w2}, la rotacion de orden tres φ2 tiene matriz

coordenada 1 0 00 0 −10 1 −1

, (3.3)

que es la que aparece en el caso P3. La demostracion del siguiente resultado solamente requierela existencia de esta rotacion por lo que en realidad no existe ningun L tal que Sim(L) posea unsubgrupo normal abeliano maximal de tipo P3 ya que en cuanto Sim(L) contiene un subgrupo detipo P3 entonces contiene tambien uno de tipo P6 del cual el de tipo P3 es subgrupo5.

Proposicion 16. Si Sim(L) contiene un subgrupo normal de rotaciones de tipo P6 o P3 entoncesE3 posee una base {a,b, c} tal que

a = b, β = γ = π/2, α =2π

3

y Sim(L) es un grupo de tipo D6h. Ademas

{a,b, c}

es una Z-base de L.

Demostracion. En ambos casos existe una rotacion φ de orden 3 y una Z-base {w1, w2, w3} de Lrespecto de la cual la matriz coordenada de φ es (3.3). Puesto que w1 es un vector propio de valorpropio 1 entonces es un vector direccional del eje de giro. Al ser el plano generado por w2 y w3

estable por φ entonces es perpendicular al eje de giro, por lo que w1 es perpendicular a w2 y a w3.Como w3 proviene de rotar w2 sus normas son iguales y el angulo que los separa es de 2π/3. Bastaentonces elegir a := w2, b := w3 y c := w1.

Sean O el origen de R3 y O + L el conjunto de puntos R3 determinado por los extremosde los vectores de L. Para calcular Sim(L) observamos que c es un vector direccional del ejede giro de φ por lo que para cualquier ϕ ∈ Sim(L) se tiene que ϕ(c) = ±c y por ortogonalidadϕ(Z〈a,b〉) = Z〈a,b〉. Los puntos del plano O+Z〈a,b〉 que equidistan de O+c son exactamente losvertices del hexagono determinado por los vectores {±a,±b,±(a+b)} por lo que necesariamente ϕdebe permutar este conjunto de vectores. Esto demuestra que Sim(L) es un grupo de tipo D6h.

5Este hecho es el responsable de una confusion frecuente entre los conceptos lattice system y crystal system.


Tipo P4.

Asumamos que Sim(L) posee un subgrupo normal de tipo P4. En este caso existe una Z-basede L respecto de la cual la matriz coordenada de un generador φ de este subgrupo es1 0 0

0 0 −10 1 0

. (3.4)

Proposicion 17. Si Sim(L) posee un subgrupo normal de rotaciones de tipo P4 entonces E3 poseeuna base {a,b, c} tal que

a = b, α = β = γ =π

2


{a,b, c}

es una Z-base de L.

Demostracion. Sea {w1, w2, w3} una Z-base de L respecto de la cual la matriz coordenada de unacierta rotacion φ de orden cuatro es la descrita en (3.4). Como φ(w1) = w1 entonces el eje derotacion de φ tiene vector direccional w1. Puesto que el plano Z〈w2, w3〉 es estable por φ entonceses perpendicular al eje de giro; por tanto, w1w2 = w1w3 = π/2. Puesto que w3 es la imagen dew2 entonces el angulo que los separa es tambien π/2. Ademas ||w2|| = ||w3||. Elegiendo a := w2,b := w3 y c := w1 se tienen las propiedades del enunciado.

Cualquier transformacion ortogonal ϕ ∈ Sim(L) debe cumplir que ϕ(c) = ±c ya que c es unvector direccional del eje de rotacion de φ. Al respetar ϕ la ortogonalidad, ϕ(Z〈a,b〉) = Z〈a,b〉.Los puntos de O + Z〈a,b〉 que equidistan de O + c son los del cuadrado determinado por losvectores {±a,±b}, que deben ser permutados por ϕ - esto muestra que Sim(L) es un grupo detipo D4h.

Tipo I4.

Asumamos que Sim(L) posee un subgrupo normal de tipo I4. En este caso existe una Z-basede L de modo que la matriz coordenada de un generador φ de este subgrupo normal es1 0 1

0 0 −10 1 0

. (3.5)

Proposicion 18. Si Sim(L) posee un subgrupo normal de rotaciones de tipo I4 entonces E3 poseeuna base {a,b, c} tal que

a = b, α = β = γ =π

2

y Sim(L) es un grupo de tipo D4h. Ademas{a,b,

a + b + c

2

}es una Z-base de L.


Demostracion. Sea φ el generador del subgrupo mencionado en el enunciado y sea {w1, w2, w3}una Z-base de L respecto de la cual la matriz coordenada de φ es (3.5). Claramente φ(w1) = w1,φ(w2) = w3 y φ(w3) = w1 − w2. Puesto que φ es una aplicacion ortogonal, imponiendo que〈wi, wj〉 = 〈φ(wi), φ(wj)〉 obtenemos

||w2|| = ||w3||, 〈w1, w2〉 = 〈w1, w3〉, 〈w1, w3〉 = 2〈w2, w3〉, 〈w1, w1〉 = 2〈w1, w2〉.

Los vectores a := w2 − w3, b := w3 + w2 − w1 y c := w1 cumplen las propiedades metricas delenunciado, al igual que tambien es cierto que {a,b, (a + b + c)/2} es una Z-base de L.

El vector c es un vector propio de valor propio 1 de φ por lo que es un vector direccional deleje de rotacion; ası, cualquier ϕ ∈ Sim(L) cumple que ϕ(c) = ±c. Por ortogonalidad, ϕ envıa elconjunto R〈a,b〉 ∩ L = Z〈a,b〉 a el mismo. Ası pues, ϕ(a), ϕ(b) ∈ {±a,±b}. Esto muestra queSim(L) es un grupo de tipo D4h.

Tipo R3.

Asumamos que Sim(L) posee un subgrupo normal de rotaciones de tipo R3. En este caso existeuna Z-base de L respecto de la cual la matriz coordenada de un generador φ de este subgrupoo es1 0 1

0 0 −10 1 −1

. (3.6)

Proposicion 19. Si Sim(L) posee un subgrupo normal de rotaciones de tipo R3 entonces E3 poseeuna base {a,b, c} tal que

a = b = c, α = β = γ (3.7)

y Sim(L) es un grupo de tipo D3d. Ademas

{a,b, c}

es una Z-base de L.

Demostracion. Sea {w1, w2, w3} la Z-base de L respecto de la cual la matriz coordenada de φes (3.6). Consideremos la nueva Z-base de L dada por a := w2, b := w3 y c := w1 − w2 − w3.Claramente c = φ(b) y a = φ2(b) por lo que las propiedades metricas de {a,b, c} son consecuenciainmediata de que φ es una aplicacion ortogonal.

Conviene notar que si se tiene una R-base {a,b, c} que satisface (3.7) entonces la aplicacionlineal determinada por a 7→ b,b 7→ c, c 7→ a es una transformacion ortogonal de determinante 1y orden 3, por lo que se trata de una rotacion de orden 3. Ademas, la matriz coordenada de estarotacion respecto de la base {a + b + c,b, c} es exactamente la dada por (3.6).

El vector w = a + b + c es fijo por φ por lo que es un vector direccional de su eje de giro. Losvectores {b,b−c, c−a} forman una Z-base de L, siendo los dos ultimos vectores ortogonales a w.Ası pues, cualquier ϕ ∈ Sim(L) debe cumplir que ϕ(w) = ±w y debe dejar invariante al subespacioZ〈b − c, c − a〉. Puesto que R〈b − c, c − a〉 ∩ L = Z〈b − c, c − a〉 y b − c, c − a estan separadospor un angulo de 2π/3 (uno es la imagen del otro por φ) es sencillo probar que ϕ debe permutarlos vectores {b − c, c − a,a − b} que determinan un triangulo equilatero. Por lo tanto Sim(L) esun grupo de tipo D3d.


Tipo A.

Asumamos que Sim(L) contiene un subgrupo normal isomorfo a Z2 × Z2 cuyos generadorestienen matrices coordenadas 1 0 0

0 −1 00 0 −1

,

−1 0 00 1 00 0 −1

(3.8)

respecto de alguna Z-base de L.

Proposicion 20. Si Sim(L) posee un subgrupo normal de rotaciones de tipo A entonces E3 poseeuna base {a,b, c} tal que

α = β = γ = π/2 (3.9)


{a,b, c}

es una Z-base de L. Si ademas a = b = c entonces Sim(L) es un grupo de tipo Oh.

Demostracion. Denotaremos las rotaciones correspondientes a las matrices coordenadas (3.8) comoφ1 y φ2 respectivamente. La Z-base de L respecto de la cual se tienen estas matrices coordenadassera {w1, w2, w3}. Al ser aplicaciones ortogonales, φ1 y φ2 conservan el producto escalar y porlo tanto w1w2 = w1w3 = w2w3 = π

2 . Definiendo a := w1, b := w2 y c := w3 se cumplen laspropiedades metricas del enunciado.

Cualquier elemento ϕ de Sim(L) permuta los ejes de rotaciones determinados por las rotaciones{φ1, φ2, φ1φ2} ya que el subgrupo que generan estas rotaciones es normal. Puesto que los vectoresa,b, c son los vectores direccionales de dichos ejes entonces ϕ debe permutar {±a,±b,±c} y porlo tanto Sim(L) es un grupo de tipo D2h. Si a = b = c entonces el grupo es claramente un grupode tipo Oh.

Tipo B.


0 −1 00 0 −1

,

−1 0 00 1 10 0 −1

(3.10)


Proposicion 21. Si Sim(L) posee un subgrupo normal de rotaciones de tipo B entonces E3 poseeuna base {a,b, c} tal que

α = β = γ = π/2 (3.11)

y Sim(L) es un grupo de tipo D2h. Ademas{a,b,

a + b + c

2

}es una Z-base de L. Si ademas a = b = c entonces Sim(L) es un grupo de tipo Oh.


Demostracion. Sean φ1, φ2 las rotaciones que poseen matrices coordenadas (3.10) respecto de unaZ-base {w1, w2, w3} de L. Puesto que φ1(w1) = w1 y φ1(w2) = −w2 entonces w1 y w2 son ortogo-nales. Al ser φ1 una rotacion tambien w3 − φ1(w3) = 2w3 − w1 es ortogonal al vector direccionaldel eje de giro de φ1, es decir a w1. Por lo tanto 2w3 − w1 − w2 es ortogonal a w1. De igualmodo w3 − φ2(w3) = 2w3 − w2 es ortogonal al eje de rotacion de φ2, que tiene vector direccionalw2. Esto prueba la ortogonalidad de los vectores w1, w2 y w3. Definiendo a := w1, b := w2 yc := 2w3 − w2 − w1 se tienen las relaciones metricas del enunciado.

Como en la demostracion del caso A, los vectores {a,b, c} son los vectores direccionales delos ejes de rotacion de las rotacion φ1, φ2 y φ1φ2 por lo que cualquier elemento ϕ ∈ Sim(L) debepermutar el conjunto {±a,±b,±c} y por lo tanto Sim(L) es un grupo de tipo D2h. Si a = b = centonces Sim(L) serıa un grupo de tipo Oh.

Tipo C.


0 −1 00 0 −1

,

−1 −1 00 1 00 0 −1

(3.12)


Proposicion 22. Si Sim(L) posee un subgrupo normal de rotaciones de tipo C entonces E3 poseeuna base {a,b, c} tal que

α = β = γ = π/2 (3.13)

y Sim(L) es un grupo de tipo D2h. Ademas{a + b

2,b, c


Demostracion. Sean φ1 y φ2 las rotaciones que tienen matrices coordenadas (3.12) respecto de laZ-base {w1, w2, w3}. Puesto que φ1(w1) = w1 y φ1(w3) = −w3 entonces w1 y w3 son ortogonales.Tambien w2 − φ1(w2) = 2w2 −w1 es ortogonal al vector direccional del eje de rotacion de φ1, quees w1. De hecho, como φ2(w2) + w2 = 2w2 − w1 entonces 2w2 − w1 es un vector direccional deleje de rotacion de φ2. Por lo tanto, al ser φ2(w3) = −w3, 2w2 − w1 tambien es ortogonal a w3.Definiendo a := 2w2 − w1 b := w1, y c := w3 se tienen las propiedades metricas del enunciado.

Como en los casos A y B es inmediato comprobar que Sim(L) es un grupo de tipo D2h.

Hay un motivo por el cual no se ha distinguido la posibilidad a = b = c (o en general a = b)en el enunciado de la Proposicion 22. Si a = b entonces a′ := (a + b)/2 y b′ := (b− a)/2 formanconjuntamente con c′ := c un conjunto ortogonal de vectores que es ademas Z-base de L, por loque la forma geometrica de L corresponderıa a la analizada en la Proposicion 20.


Tipo D.


0 −1 00 0 −1

,

−1 −1 00 1 00 0 −1

(3.14)


Proposicion 23. Si Sim(L) posee un subgrupo normal de rotaciones de tipo C entonces E3 poseeuna base {a,b, c} tal que

α = β = γ = π/2 (3.15)

y Sim(L) es un grupo de tipo D2h. Ademas{b + c

2,a + c

2,a + b

2

}es una Z-base de L. Si ademas a = b = c entonces Sim(L) es un grupo de tipo Oh.

Demostracion. Sean φ1, φ2 las rotaciones que tienen matrices coordenadas (3.14) en una Z-base{w1, w2, w3} de L. Definimos a := w1, b := 2w2 − w1 y c := 2w3 − w1. La demostracion de laortogonalidad de los vectores a,b, c es similar a lo visto en los casos anteriores. De igual modo,estos vectores son los vectores direccionales de los ejes de rotacion de φ1, φ2 y φ1φ2 por lo quecualquier ϕ ∈ Sim(L) debe permutar el conjunto {±a,±b,±c} y ası Sim(L) es un grupo de tipoD2h. En el caso en que a = b = c entonces claramente Sim(L) es de tipo Oh.

Tipo P2.

Asumamos que Sim(L) contiene un subgrupo de rotaciones normal isomorfo a Z2 cuyo generadortiene matriz coordenada 1 0 0

0 −1 00 0 −1

(3.16)


Proposicion 24. Si Sim(L) posee un subgrupo normal de rotaciones de tipo P2 que es abelianomaximal entonces E3 posee una base {a,b, c} tal que

α = γ = π/2

y Sim(L) es un grupo de tipo C2h. Ademas,

{a,b, c}

es una Z-base de L.

Demostracion. Sea φ el generador del grupo de tipo P2 con matriz coordenada (3.16) respecto deuna Z-base {w1, w2, w3} de L. Puesto que φ es una aplicacion ortogonal entonces w1 es perpen-dicular a w2 y a w3. Definiendo b := w1, a = w2 y c = w3 se tienen las relaciones metricas delenunciado.

Puesto que 〈φ〉 es un subgrupo normal, φ debe conmutar con todos los elementos de Sim(L) ycomo es abeliano maximal entonces Sim(L) = 〈φ,−I〉 que es un grupo de tipo C2h.


Tipo B2.

Asumamos que Sim(L) contiene un subgrupo de rotaciones normal isomorfo a Z2 cuyo generadortiene matriz coordenada 1 0 1

0 −1 00 0 −1

(3.17)


Proposicion 25. Si Sim(L) posee un subgrupo normal de rotaciones de tipo B2 que es abelianomaximal entonces E3 posee una base {a,b, c} tal que

α = γ = π/2

y Sim(L) es un grupo de tipo C2h. Ademas{a + b

2,b, c


Demostracion. Sea φ un generador del grupo de tipo B2 con matriz coordenada (3.17) respectode la Z-base {w1, w2, w3} de L. Basta elegir a := 2w3 − w1, b := w1 y c := w2 para obtener lasrelaciones metricas del enunciado. Como en el caso anterior, el que 〈φ〉 sea normal implica que φesta en el centro y, al ser abeliano maximal, Sim(L) = 〈φ,−I〉. Por lo tanto Sim(L) es un grupode tipo C2h.

Tipo P1.

Este caso es trivial ya que si Sim(L) contiene a {I} como subgrupo abeliano maximimal entoncesSim(L) = {±I}, que es un grupo de tipo P1. Ademas, cualquier Z-base {a,b, c} de L es una basede E3, pero no hay ninguna restriccion acerca de ella.

3.2. Sistemas reticulares y retıculos de Bravais

Mathematics is an experimental science, and definitionsdo not come first, but later on.

— O. Heaviside

The mystery of the fifteenth Bravais lattice

— A. Nussbaum, Amer. J. Phys., 2000.

En la Seccion 3.1 se han descrito geometricamente los posibles retıculos de los grupos crista-lograficos de E3. Dado que para cualquier retıculo L el grupo Sim(L) es un grupo cristalografico,en realidad se han descrito geometricamente todos los posibles retıculos de E3.

En total han aparecido 14 posibilidades que se “corresponden” con los 14 retıculos de Bravais6

y se pueden agrupar en 7 sistemas reticulares7. El criterio que se sigue es la disposicion geometricade la base {a,b, c} de E3 y la forma de recuperar una Z-base de L a partir de ella.

6Cuiadado: no se esta dando una definicion de retıculo de Bravais ni tampoco una definicion de lo que serıan dosretıculos de Bravais equivalentes. Piensese que el concepto de grupo cristalografico se puede definir para geometrıasarbitrarias, por lo que el concepto de retıculo de Bravais no es un concepto sencillo. La palabra “corresponden” sedeja sin significado. Lo que se va a hacer es poner un adjetivo comunmente aceptado a los retıculos vectoriales quehan aparecido.

7Cuidado: no se esta definiendo el concepto de sistema reticular. Al igual que antes simplemente se esta poniendoadjetivos comunmente aceptados.


1. Sistema reticular triclınico.

Retıculo de Bravais triclınico primitivo. Cualquiera, no hay restricciones.

2. Sistema reticular monoclınico. Aquı α = γ = π/2 y una Z-base de L es:

Retıculo de Bravais monoclınico primitivo: {a,b, c}.Retıculo de Bravais monoclınico centrado en las bases: {(a + b)/2,b, c}.

3. Sistema reticular ortorrombico. Aquı α = β = γ = π/2 y una Z-base de L es:

Retıculo de Bravais ortorrombico primitivo: {a,b, c}.Retıculo de Bravais ortorrombico centrado en las bases: {(a + b)/2,b, c}.Retıculo de Bravais ortorrombico centrado en el cuerpo: {a,b, (a + b + c)/2}.Retıculo de Bravais ortorrombico centrado en las caras: {(b+c)/2, (a+c)/2, (a+b)/2}.

4. Sistema reticular tetragonal. Aquı a = b, α = β = γ = π/2 y una Z-base de L es:

Retıculo de Bravais tetragonal primitivo: {a,b, c}.Retıculo de Bravais tetragonal centrado en el cuerpo: {a,b, (a + b + c)/2}.

5. Sistema reticular romboedrico. Aquı a = b = c, α = β = γ y una Z-base de L es:

Retıculo de Bravais romboedrico primitivo: {a,b, c}.

6. Sistema reticular hexagonal. Aquı a = b, β = γ = π/2, α = 2π/3 y una Z-base de L es:

Retıculo de Bravais hexagonal primitivo: {a,b, c}.

7. Sistema reticular cubico. Aquı a = b = c, α = β = γ = π/2 y una Z-base de L es:

Retıculo de Bravais cubico primitivo: {a,b, c}.Retıculo de Bravais cubico centrado en el cuerpo: {a,b, (a + b + c)/2}.Retıculo de Bravais cubico centrado en las caras: {(b + c)/2, (a + c)/2, (a + b)/2}.

3.3. Celda de Wigner-Seitz

Dado un retıculo vectorial L, el grupo Sim(L) refleja las simetrıas del retıculo; sin embargo, serıamas interesante el poder teselar todo espacio de modo que el volumen que se traslada mediantelos vectores de L tenga como grupo de simetrıas no ya Sim(L), que no puede ser pues incluyelas traslaciones, sino el subgrupo de Sim(L) que fija algun punto como, por ejemplo, el centro demasas del volumen - esto proporcionarıa una idea mas visual de la simetrıa del retıculo. La celdade Wigner-Seitz es una posible eleccion para ese volumen.

Definicion 26. Una celda primitiva de un retıculo vectorial L de E es un subconjunto C ⊆ E dela forma

P0 + {x1v1 + · · ·+ xnvn | 0 ≤ x1, . . . , xn ≤ 1}

para algun P0 ∈ E y alguna Z-base {v1, . . . , vn} de L.

Al ir trasladando una celda primitiva por vectores de L se rellena todo el espacio E compartiendodos de estas celdas trasladadas a lo sumo una cara. Pese a ello, una celda primitiva, que es muyutil en su papel de unidad fundamental con la que se tesela el espacio, puede no mostrarnos por sımisma la simetrıa de L.


Definicion 27. Se llama celda de Wigner-Seitz de L centrada en P ∈ E3 al conjunto

WS(P ) := {Q ∈ E | d(Q,P ) ≤ d(Q,P + v) ∀v ∈ L}.

La forma de calcular esta celda es sencilla: dado P ′ ∈ E , los puntos Q que cumplen qued(Q,P ) ≤ d(Q,P ′) son exactamente los puntos del semiespacio que contiene a P obtenido a partirdel plano perpendicular al segmento que une P y P ′ y que pasa por su punto medio. Ası pues,WS(P ) se obtiene al intersecar todos estos semiespacios cuando P ′ = P + v y v varıa en L \ {0}.

Sea

Isom(L)P := {f ∈ Isom(E) | ∃f ∈ Sim(L) tal que f(Q) = P + f(−−→PQ) ∀Q ∈ E}.

La aplicacion f 7→ f proporciona un isomorfismo de grupos IsomP (L) ∼= Sim(L); esencialmenteIsom(L)P es el mismo grupo que Sim(L) solo que ahora actua sobre puntos en lugar de sobrevectores y fija al punto P . Esto nos va a permitir ver que WS(P ) posee la simetrıa de L.

Proposicion 28. Se tiene que f(WS(P )) = WS(P ) para todo f ∈ Isom(L)P .

Demostracion. Basta aplicar la definicion

f(WS(P )) = {f(Q) ∈ E | d(Q,P ) ≤ d(Q,P + v) ∀v ∈ L}= {f(Q) ∈ E | d(f(Q), P ) ≤ d(f(Q), P + f(v)) ∀v ∈ L}= {f(Q) ∈ E | d(f(Q), P ) ≤ d(f(Q), P + v′) ∀v′ ∈ L}= {Q′ ∈ E | d(Q′, P ) ≤ d(Q′, P + v′) ∀v′ ∈ L}= WS(P )

Proposicion 29. Se tiene que:

1. WS(P ) es un poliedro convexo y

2. WS(P ) unicamente interseca a P + L en P .

Demostracion. El primer apartado es consecuencia de que WS(P ) es la interseccion de semiespaciosque contiene un entorno de P . Para probar el segundo apartado observamos que si Q := P + v ∈WS(P ) ∩ P + L entonces d(Q,P ) ≤ d(Q,P + v) = d(Q,Q) = 0 por lo que Q = P .

Por ultimo observamos que WS(P ) permite teselar el espacio utilizando los vectores de trasla-cion de L.

Proposicion 30. Se tiene que:

1. WS(P ) + v = WS(P + v) para todo v ∈ L,

2. E =⋃v∈LWS(P ) + v y que

3. dado 0 6= v ∈ L o bien WS(P ) ∩WS(P + v) = ∅ o bien WS(P ) ∩WS(P + v) es un vertice,lado o cara comun de ambos poliedros.


Demostracion. En primer lugar observamos que

WS(P ) + v = {Q+ v ∈ E | d(Q,P ) ≤ d(Q,P + w) ∀w ∈ L}= {Q+ v ∈ E | d(Q+ v, P + v) ≤ d(Q+ v, P + v + w) ∀w ∈ L}= {Q′ ∈ E | d(Q′, P + v) ≤ d(Q′, P + v + w) ∀w ∈ L}= WS(P + v).

Tambien sabemos que para cualquier punto Q ∈ E hay un punto P + v en P +L del cual distamenos que al resto por lo que Q ∈WS(P + v), es decir, E =

⋃v∈LWS(P + v).

Por ultimo, si Q ∈WS(P )∩WS(P +v) entonces d(Q,P ) ≤ d(Q,P +v) y d(Q,P +v) ≤ d(Q,P )por lo que d(Q,P ) = d(Q,P + v) y ası uno de los planos que determina a uno de los semiespaciosque definen a WS(P ) coincide con uno de los que aparecen cuando se considera WS(P + v). Estoprueba que WS(P ) ∩WS(P + v) es uno de los vertices, lados o caras de ambos poliedros.

Capıtulo 4

Clases cristalinas geometricas

In the literature it is common to find incorrect ormisleading statements about crystallographic symmetry.Below, we list some of these crystallographic horrors,and hope that you will not make such mistakes yourself !

— M. Glazer, G. Burns y A. N. Glazer, Space Groupsfor solid state scientists, 2012

Podemos clasificar1 Γ a partir de L ya que sabemos que sera un subgrupo de Sim(L): aparecenun total de 32 clases de grupos que se distinguen entre sı por el tipo de elementos de simetrıa quecontienen (rotaciones de ciertos ordenes, reflexiones, etc.), que se denominan clases cristalinas. Eshabitual referirse a estas clases como clases de grupos puntuales cristalograficos o simplemente,dentro del contexto de la cristalografıa, grupos puntuales2. Nuevamente la pagina de Wikipedia

https://en.wikipedia.org/wiki/Space group#Table of space groups in 3 dimensions

es extraordinariamente rigurosa por lo que hemos optado por basarnos en ella para definir los con-ceptos y para presentar los resultados de clasificacion. Estos resultados consisten esencialmente enla descripcion de los subgrupos de ciertos grupos que se han estudiado en la asignatura Estructurasalgebraicas, por lo que su demostracion es un sencillo ejercicio para un estudiante de matematicas.

4.1. Clases cristalinas, sistemas cristalinos, familias cristalinas ysistemas reticulares.

Crystal systems, crystal families, and lattice systems aresimilar but slightly different, and there is widespreadconfusion between them: in particular the trigonalcrystal system is often confused with the rhombohedrallattice system, and the term “crystal system” issometimes used to mean “’lattice system” or “crystalfamily”.

— Crystal system, Wikipedia

1La palabra “clasificar” significa por ahora que vamos a describir los subgrupos de los grupos que aparecen enla columna de la derecha a de la Tabla 3.1 a partir de la interpretacion geometrica de los elementos.

2Un grupo puntual es un grupo de isometrıas que fija al menos un punto del espacio. El grupo Γ asociado aun grupo cristalografico Γ puede identificarse con un grupo de isometrıas que fija el origen, por lo que bajo estaidentificacion puede verse como un grupo puntual. Hay mas grupos puntuales que los cristalograficos, como porejemplo el grupo de isometrıas de un dodecaedro, el cual contiene rotaciones de orden 5. En muchos contextos seidentifica “grupo puntual” con “clase de grupo puntual”, lo que desde un punto de vista matematico no es riguroso.

27

CAPITULO 4. CLASES CRISTALINAS GEOMETRICAS 28

Interpretar geometricamente los elementos de Γ supone una perdida de informacion con respectoa la clasificacion artimetica (por semejanza entera); por ejemplo, en la Tabla 2.1 los generadoresde los grupos de tipo P2 y B2 son ambos rotaciones de orden 2, por lo que desde un puntode vista geometrico los grupo P2 y B2 perteneceran a la misma clase cristalina aunque no sonaritmeticamente equivalentes. Es por esto que solamente apareceran 32 clases cristalinas frente alas 73 clases aritmeticas.

Puesto que lo que se va a hacer es recorrer los tipos de grupos de la ultima columna de laTabla 2.1 e ir describiendo sus subgrupos, parece logico pensar que las clases cristalinas se podrıanagrupar en clases de equivalencia mayores: triclınica, monoclınica, ortorrombica, tetragonal, rom-boedrica, hexagonal y cubica - de este modo cada clase cristalina tendrıa un sistema reticularasociado.

Esta aproximacion, aunque natural, es incorrecta. El problema es el caso P3, que como se havisto en la Seccion 3.1 proporcionaba el mismo sistema reticular que el caso P6: geometricamentelos grupos P3 y R3 son equivalentes (grupos generados por una rotacion de orden 3) pero a uno letendrıamos que asignar el sistema reticular hexagonal mientras que al otro le deberıamos asignarel sistema reticular romboedrico - tal asignacion no es posible.

Ası pues, las clases cristalinas no se pueden agrupar de forma compatible con los sistemas reticu-lares. Las clases cristalinas se agrupan de acuerdo a 7 sistemas cristalinos: triclınico, monoclınico,ortorrombico, tetragonal, trigonal, hexagonal y cubico.

Conjuntamente los sistemas cristalinos trigonal y hexagonal recogen los subgrupos que aparecenal considerar los sistemas reticulares romboedrico y hexagonal, pero dentro del sistema cristalinotrigonal hay grupos a los cuales les corresponde un retıculo del sistema reticular hexagonal (losque tienen un subgrupo normal de rotaciones de tipo P3) y a otros les corresponde un retıculo delsistema reticular romboedrico (los que tienen un subgrupo normal de rotaciones de tipo R3) - desdeese punto de vista el sistema cristalino trigonal es mayor3 que el sistema reticular romboedrico.

Tambien es habitual el agrupar las clases cristalinas en familias cristalinas. La unica diferenciaentre las familias cristalinas y los sistemas cristalinos es que solamente hay 6 familias cristalinasya que los sistemas cristalinos trigonal y hexagonal se han unido para formar la familia cristalinahexagonal.

4.2. Clasificacion geometrica de Γ

Vamos a describir los posibles elementos de simetrıa de los grupos puntuales cristalograficoso, equivalentemente, de los grupos Γ: puesto que se trata de grupos puntuales, los elementos desimetrıa pueden ser rotaciones, reflexiones, rotoreflexiones (rotacion seguida de una reflexion conplano de reflexion perpendicular al eje de rotacion) o rotoinversiones (rotacion seguida de simetrıacentral) - las rotaciones, rotoreflexiones y rotoinversiones quedan caracterizadas por su orden y porel eje de rotacion mientras que para las reflexiones se suele especificar el plano de reflexion.

Para denotar a los distintos grupos puntuales se usara la notacion de Schoenfilies pero tambiense incluira la notacion abreviada de Hermann-Mauguin.

Sistema cristalino triclınico.

Este sistema esta formado por dos clases cristalinas, una por cada subgrupo del grupo desimetrıas de un prisma oblicuo generico4. Los subgrupos son:

3El concepto de “mayor” no se ha definido en esta situacion ya que en realidad los sistemas cristalinos son clasesde equivalencia de grupos puntuales cristalograficos mientras que los sistemas reticulares son clases de equivalenciade retıculos vectoriales.

4El termino“generico” aplicado a un tipo de cuerpo geometrico se usara para indicar que dentro de todas loscuerpos de ese tipo se esta considerando uno cuyo grupo de simetrıas es de cardinalidad mınima. En ese sentido un


Hermann-Mauguin Schoenflies1 C1

1 Ci

Tabla 4.1: Sistema cristalino triclınico


m Cs2m C2h

Tabla 4.2: Sistema cristalino monoclınico

1) C1 generado por I;

2) Ci generado por −I.

Como iremos viendo, en la notacion de Hermann-Mauguin se presenta una sucesion de sımbolosque indican la existencia de ciertos elementos de simetrıa en el grupo: un numero indica la existenciade un eje de rotacion de ese orden, un numero con una barra encima indica la presencia de unarotoinversion cuya rotacion tiene el orden indicado.

En este sentido, el sımbolo 1 senala que el unico elemento de simetrıa del grupo es una rotacionde orden 1, lo cual equivale a que el grupo sea C1.

Sistema cristalino monoclınico.

Si ρ denota el giro de orden 2 en el grupo C2h, entonces

C2h = {±I,±ρ}.

Para no repetir casos podemos asumir que los subgrupos que vamos a determinar contienen unelemento 6= ±I. Los casos que se obtienen son

3) C2 generado por ρ;

4) Cs generado −ρ;

5) C2h.

El grupo puntual Cs se denota tambien por m ya que existe un plano de reflexion. El grupoC2h se denota por 2

m . El significado del 2 es el mismo que el ya discutido, la existencia de un ejede rotacion de orden 25. La m indica la existencia de una reflexion. Haber puesto la m debajo del2 quiere decir, en esta notacion, que el plano de reflexion y el eje de rotacion son perpendiculares.

Sistema cristalino ortorrombico.

En el caso ortorrombico, si ρ1 denota un eje de rotacion de orden 2, ρ2 denota otro rotacion deorden 2 con eje perpendicular al anterior y ρ3 := ρ1ρ2 es una tercera rotacion de orden 2 con ejeperpendicular a los anteriores entonces el grupo del cual vamos a obtener sus subgrupos es

D2h = {±I,±ρ1,±ρ2,±ρ3}.

cubo no es generico como prisma oblıcuo ya que su grupo de simetrıas posee muchos elementos de simetrıa que nole corresponden como prisma oblicuo.

5El orden del eje de rotacion es, por definicion, el mayor orden de las rotaciones con ese eje.


Hermann-Mauguin Schoenflies222 D2

mm2 C2v

mmm D2h

Tabla 4.3: Sistema cristalino ortorrombico

Para no repetir casos podemos asumir que los subgrupos a determinar tiene al menos cuatroelementos y que en caso de tener exactamente cuatro entonces no contienen a −I. Teniendo encuenta el papel simetrico de ρ1, ρ2, ρ3 los casos que quedan son

6) D2 generado por ρ1 y ρ2;

7) C2v generado por ρi y −ρj para ciertos i 6= j;

8) D2h.

El grupo D2 se denota por 222. Como se ha dicho, cada sımbolo representa un elemento desimetrıa. En este caso hay tres ejes de orden 2 no equivalentes6. Al no haber indicado mas elementosde simetrıa esto nos permite recuperar todo D2. Para C2v la notacion de Hermann-Mauguin esmm2, lo que indica la existencia de dos reflexiones no equivalentes entre sı7 y un giro de orden 2cuyo eje es paralelo a los planos anteriores (de ser perpendicular a uno de ellos habrıa un sımbolo2m ). Estos elementos determinan D2v. Finalmente D2h se denota por mmm.

Sistema cristalino tetragonal.

Dentro del sistema tetragonal aparecen subgrupos deD4h, que es isomorfo como grupo abstractoal grupo D4 × Z2

8. Si ρ denota el giro de orden 4 y σ una reflexion con plano paralelo a este ejeentonces,

D4h = {±ρi,±σρi | i = 0, 1, 2, 3}.

Para no caer en los casos anteriores podemos asumir que el subgrupo tiene un elemento de orden4, i.e. salvo cambio de ρ por ρ3 el subgrupo contiene a ρ o a −ρ. Distinguiendo segun haya otrosgeneradores (de orden 2) del subgrupo ademas del de orden 4 llegamos facilmente a


10) C4v generado por ρ y σ;

11) D4 generado por ρ y −σ;

12) C4h generado por ρ y −I;

13) S4 generado por −ρ;

14) D2d generado por −ρ y −σ;

15) D2h generado por ρ, σ y −I.

En esta notacion, C4 se denota 4 por un eje de rotacion de orden 4. Para D4 tenemos 422, estoes, tres ejes de rotacion no equivalentes de orden 4, 2 y 2. La notacion de C4h es 4

m , indicando uneje de rotacion de orden y un plano de reflexion perpendicular a el. Encontramos D4v denotado

6Dos ejes son equivalentes si uno se obtiene a partir del otro al transformarlo por una isometrıa del grupo.7Dos reflexiones son equivalentes si el plano de la primera puede transformarse en el plano de la segunda mediante

un elemento del grupo.8El grupo Dn denota al grupo diedrico de grado n, que tiene 2n elementos. Este grupo es ampliamente estudiado

en la asignatura Estructuras algebraicas.



422 D44m C4h

4mm D4v4mmm D4h

4 S4

42m D2d

Tabla 4.4: Sistema cristalino tetragonal


3 S6

32 D3

3m C3v

3m D3d

Tabla 4.5: Sistema cristalino trigonal

como 4mm - un eje de rotacion de orden 4 y dos planos de reflexion no equivalentes paralelos adicho eje.

El caso D4h corresponde a un eje de rotacion de orden 4 y tres planos de reflexion perpendicu-lares; uno de ellos es perpendicular al eje, lo que denotaremos por 4

m . S4 tiene un eje de rotacionde orden 4 y una inversion respecto al origen9, a partir de la cual es posible construir todo S4; sunotacion es, pues, 4. Nos queda el subgrupo D2d que presenta un eje de rotoinversion de orden 4,un eje de rotacion de orden 2 no equivalente al primero y un plano de reflexion paralelo a ambos,y se denota como 42m.

Sistema cristalino trigonal

El grupo D3h es isomorfo a D3 × Z2. Denotamos por ρ un giro de orden 3, por σ una simetrıacon plano paralelo a este eje de giro. Tenemos que

D3h = {±ρi,±σρi | i = 0, 1, 2}

Los subgrupos nuevos son:


17) S6 generado por −ρ;



20) D3d generado por ρ, σ y − I

Aquı aparece el subgrupo C3, denotado 3 por un eje de rotacion de orden 3, ası como S6, dadopor un eje de rotoinversion de orden 3 que se de nota como 3. Tambien tenemos D3, con un eje derotacion de orden 3 y un eje de rotacion de orden 2 no equivalente.

El subgrupo C3v se denota 3m por el plano de reflexion paralelo al eje de rotacion de orden3 y, finalmente, aparece D3d determinado por un eje de rotoinversion de orden 3 y un plano dereflexion paralelo al mismo, y que en la notacion de Hermann-Maugain aparece representado como3m.

9Con anterioridad hemos denotado esta operacion como rotoinversion, y ası lo haremos en adelante.



622 D66m C6h

6mm D6v6mmm D6h

3 C3h

6m2 D3d

Tabla 4.6: Sistema cristalino hexagonal

Sistema cristalino hexagonal.

El grupo D6h es isomorfo a D6×Z2. Denotamos por ρ un giro de orden 6 y por σ a una simetrıacon plano paralelo a este eje de giro. Se tiene que

D6h = {±ρi,±σρi | i = 0, 1, 2, 3, 4, 5}.

Para no repetir casos buscamos subgrupos que contengan un elemento de orden 6, que salvo cambiode ρ por ρ5 este elemento sera o bien ρ o bien −ρ


22) C3h generado por −ρ;

23) C6h generado por ρ y −I;



26) D3h generado por −ρ y σ;

27) D6h

El subgrupo C6 posee un eje de rotacion de orden 6 y se denota 6; D6 cuenta, ademas, con dosejes de rotacion no equivalentes de orden 2, por lo que lo denotaremos 622. El caso C6h correspondea un eje de rotacion de orden 6 y un plano de inversion perpendicular a el, que en esta notacion seexpresa como 6

m .

En D6v encontramos un eje de rotacion de orden 6 y dos planos de reflexion perpendicularesentre sı y paralelos al eje, por lo que lo denotaremos como 6mm. Queda D6h, que tiene un ejede rotacion de orden 6 y tres planos de reflexion perpendiculares (de los cuales claramente uno esperpendicular al eje); se denota 6

mmm en virtud de estas simetrıas.

Finalmente, el subgrupo D3d presenta un eje de rotoinversion de orden 6, un plano de reflexionparalelo a este y un eje de rotacion de orden 2 no equivalente al primero. Le corresponde la notacion6m2. No mencionamos C3h porque lo hemos estudiado en el sistema trigonal.

Sistema cristalino cubico.

Finalmente, en el sistema cubico hay que examinar los subgrupos de Oh que no hayan aparecidoya, es decir, subgrupos con al menos tres rotaciones de orden 3.

El grupo Oh es isomorfo a S4 × Z2. Tres rotaciones de orden 3 en el cubo generan el subgrupoA4 por lo que en realidad apenas vamos a tener posibilidades - de hecho, los subgrupos de S4×Z2

que contienen A4 × I estan en biyeccion con los subgrupos de (S4 × Z2)/(A4 × I) ∼= Z2 × Z2 porlo que hay exactamente 5 subgrupos de Oh que contienen tres rotaciones de orden 3.


Forma completa Forma abreviada Schoenflies23 23 T2m3 m3 Th432 432 O43m 43m Td4m3 2

m m3m Oh

Tabla 4.7: Sistema cristalino cubico

28) T subgrupo generado por las rotaciones respecto de ejes que pasan por vertices opuestos;

29) Td subgrupo generado por T y por −ρ para alguna rotacion ρ de orden 4;

30) Th subgrupo generado por T y por −I;

31) O subgrupo de rotaciones del cubo;

32) Oh.

Se han popularizado ciertos diagramas de flujo para determinar en la practica de forma rapidalas clase cristalina. La Figura 4.1 muestra uno de ellos (lease a partir de la tercera fila) que puedeencontrarse en http://symmetry.otterbein.edu/common/images/flowchart.pdf.

4.3. Algunas ejemplos destacados de clases cristalinas

Algunas propiedades de las substancias que forman cristales dependen de la clase cristalina desu grupo cristalografico.

Definicion 31. Una clase cristalina se dice centrosimetrica (o piezoelectrica) si el grupo que larepresenta no contiene a −I.

La piezoelectricidad es la capacidad que tienen algunos materiales de adquirir polarizacionelectrica cuando son sometidos a tensiones mecanicas. Este fenomeno puede ser reversible y ası, alsometer a un material a un campo electrico el material puede cambiar de forma.

Esta propiedad de los materiales fue estudiada por los hermanos Jacques y Pierre Curie en1880 prediciendo el comportamiento piezoelectrico de algunos materiales a partir del conocimientode su estructura cristalina. Algunos materiales piezoelectricos se utilizan en la fabricacion de osci-ladores, componentes electronicos que pueden convertir la corriente continua en corriente alternaa una determinada frecuencia permitiendo la sincronizacion de las senales dentro de los sistemaselectronicos. La piezoelectricidad es especialmente util en la produccion de ultrasonidos ya quees posible crear oscilaciones mecanicas (sonido) a partir de oscilaciones electricas al igual que esposible recoger el eco de estas oscilaciones convirtiendolo nuevamente en voltajes electricos. Esta esla base del diagnostico por imagenes con ultrasonido (ecografıas) y de otros sistemas de deteccionmuy utiles en la industria10.

Una simple inspeccion a la lista de las 32 clases cristalinas muestra que hay exactamente 20 cuyosrepresentantes no contienen a −I, por lo que hay exactamente 20 clases cristalinas piezoelectricas.La existencia de −I en Γ se corresponde con la existencia de una simetrıa central11 en Γ. A este tipode clases cristalinas tambien se las llama centrosimetricas. Estas clases son las correspondientes agrupos Γ de tipo: C1, C2, Cs, D2, C2v, C4, C4v, D4, S4, D2d, C3, S6, D3, C3v, C6, D6, C6v, T , Td,O.

10La piezoelectricidad tambien es la base de los populares encendedores de cocina, de microfonos, de pulsadores,de sensores de vibraciones, etc.

11Una simetrıa central es una isometrıa para la cual existe un punto P , su centro de simetrıa, tal que f(Q) =

P −−−→PQ.


Molecular

Structure

Is the molecule

linear?

Does the

molecule contain

two or more unique

C3 axes?

No

Does the

molecule contain an

inversion center?

YesD!h

C!v

Yes

No

Does the

molecule contain

two or more unique

C5 axes?

Does the

molecule contain

two or more unique

C4 axes?

No

Does the

molecule contain an

inversion center?

YesIh

Yes

I

No

Does the

molecule contain an

inversion center?

Oh

O

Yes Yes

No

Does the molecule

contain one or more

reflection planes?

Does the

molecule contain an

inversion center?

ThYes Yes

TdT

No

No No

Does the

molecule contain a

proper rotation axis

(Cn)?

No

Does the

molecule contain a

reflection plane?

Does the

molecule contain an

inversion center?

Identify the

highest order Cn.

Are there n perpen-

dicular C2 axes?

Does the

molecule contain a

horizontal reflection

plane ("h)?

Yes Yes

Does the

molecule contain n

dihedral reflection

planes ("d)?

Dnd

Dn

Dnh

Does the

molecule contain a

horizontal reflection

plane ("h)?

Cs

Ci

C1

Does the

molecule contain n

vertical reflection

planes ("v)?

Does the

molecule contain a

2n-fold improper

rotation axis?

Cnh

Cnv

S2n

Cn

No

No

Yes Yes

Yes

No

No

Yes

Yes

No

No

Yes

Yes

No

No

No

Yes

Figura 4.1: Diagrama de flujo para la determinacion de la clase cristalina.


Definicion 32. Una clase cristalina se dice polar (o piroelectrica) si el grupo que la representaposee un vector propio de valor propio 1 comun a todos sus elementos12.

La presencia de este vector senala en algunas de estas clases una direccion (un eje) comogeometricamente destacado. La piroelectricidad es la propiedad que presentan ciertos materialesde adquirir polarizacion electrica al ser sometidos al cambio de temperatura13. Por supuesto quepara ser una clase polar −I no puede aparecer como un elemento de simetrıa por lo que estasclases hay que buscarlas dentro de las clases piezoelectricas. De hecho, hay exactamente 10 clasespiroelectricas: C1, Cs, C2, C2v, C3, C3v, C4, C4v, C6 y C6v.

Definicion 33. Una clase cristalina se dice enantiomorfa si todos los elementos del grupo que larepresenta poseen determinante 1.

La mayorıa de las moleculas de importancia en biologıa tienen grupo de simetrıas pertenecientea alguna clase enantiomorfa14. Ası, en la naturaleza se pueden dar dos versiones distintas de estasmoleculas, siendo una de ellas la imagen especular de la otra. Nuevamente estas grupos hay quebuscarlos entre las clases centrosimetricas. Una rapida inspeccion muestra que hay 11 de talesclases: C1, C2, D2, C4, D4, C3, D3, C6, D6, T y O.

4.4. Notacion de Schoenflies y de Hermann-Mauguin

La notacion de Schoenflies emplea los siguientes sımbolos:

i denota un centro de simetrıa o centro de inversion.

σ denota un plano de reflexion.

C denota un eje de rotacion.

S denota un eje de rotoreflexion.

Un plano de reflexion horizontal, indicado por un subındice h, es perpendicular al eje prin-cipal.

Un plano de reflexion vertical, indicado por un subındice v, contiene al eje principal.

La notacion de Hermann-Mauguin se conoce como notacion internacional, y es la preferidaen cristalografıa porque permite considerar simetrıas traslacionales y las direcciones de los ejes.Emplea los siguientes sımbolos:

n ∈ Z representa un eje de rotacion de orden n.

n, n ∈ Z representa un eje de rotacion e inversion

Un plano de reflexion de orden 2 (2 en esta notacion) se representa como m.

Los planos de reflexion se representan dando el eje de rotacion perpendicular.

Si un eje de rotacion n y un plano de reflexion m tienen la misma direccion, se representancomo n

m o como n/m.

Si dos o mas ejes tienen la misma direccion, se muestra aquel con mayor simetrıa.

12El subespacio vectorial generado por este tipo de vectores se llama representacion trivial del grupo Γ.13Los materiales piroelectricos son muy populares en los sensores de movimiento que se instalan en los edificios

para activar el alumbrado pero tambien son utiles en muchos otros campos.14Aunque en nuestro contexto nos estamos centrando en grupos cristalograficos, sin embargo tiene sentido decir

que un subgrupo de O(E3) pertenece a una cierta clase cristalina si el grupo contiene los mismos elementos desimetrıa que los que aparecen en el grupos que representa a dicha clase cristalina.


Sımbolo Posibilidades Tipo de grupo Caracterısticas

Cn Cnh Cıclico Plano de reflexion horizontal

Cnv Plano de reflexion vertical

S2n n par: S2n Especular (Spiegel) Rotacion y reflexion de orden 2n

n impar: Cnh

Dn Dnh Diedrico Plano de reflexion horizontal

Dnd Plano de reflexion diagonal

T Th Tetraedrico Tres planos de reflexion horizontales

Td Plano de reflexion diagonal entre cada dos ejes

O Oh Octaedrico Tres planos de reflexion horizontales

Centros de inversion

La notacion internacional para un grupo va precedida de una letra que indica el retıculo deBravais que le corresponde.

Notacion Retıculo de BravaisP Primitivo.I Centrado de cuerpo (Innenzentriert.)F Centrado de cara (Flachenzentriert.)A Centrado de base en la cara A.B Centrado de base en la cara B.C Centrado de base en la cara C.R Romboedrico.

Capıtulo 5

Clases cristalinas aritmeticas

En este capıtulo desarrollaremos la clasificacion aritmetica de los grupos cristalograficos. Esto esequivalente a la clasificacion de los subgrupos finitos de GL3(Z) por conjugacion mediante matricesde GL3(Z). Los resultados y las demostraciones pueden encontrarse en [1]. Sin embargo, al tratarseesta referencia de un artıculo de investigacion, las demostraciones son muy esquematicas por loque en muchos casos se han tenido que completar. El que la clasificacion sea mediante matricesenteras supone una dificultad anadida ya que requiere del conocimiento de la clasificacion de losmodulos finitamente generados sobre dominios euclıdeos resultando insuficiente el Algebra linealusual.

5.1. Clasificacion de los subgrupos finitos abelianos de SL3(Z)

Los siguientes lemas seran muy utiles en posteriores demostraciones. Conviene recordar que alfijar una base ortonormada en un espacio vectorial euclıdeo de dimension n podemos identificar elgrupo de aplicaciones ortogonales O(n) con el grupo de matrices ortogonales. Puesto que no habraconfusion utilizaremos O(n) para denotar indistintamente a ambos grupos.

Lema 34. Sea H un subgrupo finito de GLn(R). Existe M ∈ GLn(R) tal que MHM−1 ⊆ O(n).

Demostracion. Considerar la matriz C = 1|H|∑G∈H G

TG que es simetrica y definida positiva. Ası,

C = MTM para alguna matriz M invertible. Dado G ∈ H se tiene que

(MGM−1)T (MGM−1) = (MT )−1GTMTMGM−1 = (MT )−1GTCGM−1

= (MT )−1CM−1 = In

ya que GTCG = C para todo G ∈ H. Esto prueba que MHM−1 ⊆ O(n).

Lema 35. Un vector v ∈ Zn puede completarse hasta una Z-base de Zn si y solamente si suscomponentes son primas entre sı.

Demostracion. Si {v1 = v, v2, . . . , vn} es una Z-base de Zn entonces la matriz cuyas filas sonv1, . . . , vn es una matriz invertible cuya inversa tiene entradas enteras. En particular, el determi-nante de esta matriz debe ser un numero entero con inverso entero, i.e., ±1. Esto implica que ningunnumero entero distinto de ±1 puede dividir a todas las entradas de cualquiera de sus columnas.Ası pues, las componentes de v son primas entre sı.

Si v = (x1, . . . , xn) tiene componentes primas entre sı entonces por la Identidad de Bezout(una consecuencia de que Z es un dominio de ideales principales) existen a1, · · · , an ∈ Z tales quea1x1+· · ·+anxn = 1. Consideramos el subconjuntoN := {(y1, . . . , yn) ∈ Zn | y1a1+· · ·+ynan = 0}.Este conjunto es un subgrupo de Zn y claramente N∩Zv = {0}. Ademas, todo vector (z1, . . . , zn) ∈Zn puede escribirse como (

∑ni=1 ziai)v + v′ con v′ ∈ N . Ası pues Zn = Zv ⊕N . Puesto que N es

37

CAPITULO 5. CLASES CRISTALINAS ARITMETICAS 38

un subgrupo de Zn entonces es un subgrupo abeliano libre [2, Teorema 4, p. 460]. Eligiendo unaZ-base de N y anadiendole v obtenemos una Z-base de Zn.

El siguiente resultado es bien conocido pero lo incluimos ya que se usara repetidas veces.

Lema 36. Sea G′ una matriz n × n con entradas enteras y determinante no nulo. Sea ZnG′ :={(x1, . . . , xn)G′ | (x1, . . . , xn) ∈ Zn}. El cardinal del grupo cociente Zn/ZnG′ es el valor absolutode |G′|.

Demostracion. Existen matrices P,Q ∈ GLn(Z) tales que PG′Q es una matriz diagonal D con en-tradas diagonales positivas a1, . . . , an [5, Proposicion 2.11, p. 339]. Ahora tenemos que Zn/ZnG′ =Zn/ZnP−1DQ−1 = Zn/ZnDQ−1 = ZnQ−1/ZnDQ−1 ∼= Zn/ZnD ∼= Za1×· · ·×Zan ya que ZnD ={(a1x1, . . . , anxn) | x1, . . . , xn ∈ Z}. Asi pues, el cardinal de Zn/ZnG′ es a1 · · · an = |D| = |PG′Q|que es exactamente el valor absoluto del determinante de G′ ya que P y Q tienen determinante±1.

Forma canonica de las matrices de SL2(Z)

Teorema 37. El orden multiplicativo1 de cualquier matriz de GL2(Z) o de GL3(Z) es 1, 2, 3, 4, 6o ∞.

Demostracion. Sea G ∈ GL3(Z) una matriz de orden multiplicativo finito. La traza de G es unnumero entero igual a la suma de los valores propios de G. Por ser G conjugada de una matrizortogonal (Lema 34) estos valores propios son de la forma {±1, θ, θ} para algun θ ∈ C con |θ| = 1.En particular, θ + θ debe ser un numero entero - es decir, si θ = cosα+ i sinα entonces 2 cosα =θ+ θ ∈ Z y por lo tanto cosα ∈ {0,± 1

2 ,±1} y α = 2πk con k ∈ {1, 2, 3, 4, 6}. Una vez que ya hemos

determinado la parte angular de θ el resultado es inmediato para G. Para matrices en GL2(Z)el resultado se puede obtener de modo analogo o como consecuencia de que GL3(Z) contienesubgrupos isomorfos a GL2(Z).

Teorema 38. Sea G ∈ SL2(Z) una matriz de orden multiplicativo finito. Existe una matriz M ∈GL2(Z) tal que MGM−1 es una de las siguientes matrices

G1 :=

(1 00 1

), G2 :=

(−1 00 −1

), G3 :=

(0 −11 −1

), G4 :=

(0 −11 0

)o G6 :=

(0 −11 1

).

Demostracion. El orden multiplicativo k de una matriz G ∈ SL2(Z) de orden multiplicativo finitopertenece a {1, 2, 3, 4, 6}. ComoGk−I = 0, el polinomio mınimo2 deG divide a xk−1. En particular,todas las raıces complejas de dicho polinomio son simples y por lo tanto G es diagonalizable sobreC y sus valores propios son raıces de xk − 1.

Puesto que por hipotesis |G| = 1 tambien sabemos que los dos valores propios son inversos eluno del otro, i.e. son {θ, θ} para cierto θ ∈ C con θk = 1. Vamos a distinguir caso segun el valorde k.

Caso k = 1. En este caso G =(

1 00 1

)= G1 por lo que puede elegirse la matriz identidad como M .

Caso k = 2. En este caso los valores propios son {−1,−1} por lo que G =(−1 0

0 −1

)= G2 y

nuevamente puede elegirse la matriz identidad como M .

1El orden multiplicativo de G ∈ GLn(Z) es el mınimo 1 ≤ k ∈ Z tal que Gk es la matriz identidad. Si no existeun tal k, el orden multiplicativo es, por convenio, infinito.

2El polinomio mınimo de una matriz G ∈ GLn(R) es el polinomio monico m(x) ∈ R[x] de menor grado tal quem(G) = 0.


Caso k = 3. En este caso θ3 = 1 por lo que el polinomio caracterıstico (x − θ)(x − θ) de G esx2 + x+ 1 y ası G2 +G+ I = 0. Sea ω := e2iπ/3. La aplicacion

Z [ω]× Z2 → Z2

(a+ bω, v) 7→ v(aI + bG)

define una estructura de Z [ω]-modulo finitamente generado en Z2. El anillo Z [ω] se conoce comoel anillo de enteros de Eisenstein y es un dominico euclıdeo [2, pp. 271-272, 278]. El unico elementode torsion de este Z [ω]-modulo es (0, 0), ya que si a+ bω 6= 0 y v 6= (0, 0) entonces

(a+ bω) · v = (0, 0)⇔ av + bvG = (0, 0)⇔ bvG = −av ⇔ vG = −abv

lo que implicarıa la existencia de un valor propio de G en Q y que es absurdo ya que θ, θ 6∈ Q.

Ası pues, por el teorema de clasificacion de modulos finitamente generados sobre dominioseuclıdeos [2, Teorema 5, p. 462] Z2 es un Z[ω]-modulo libre isomorfo a Z[ω]m para algun m ≥ 1.Ahora bien, como grupo abeliano Z[ω]m es isomorfo a Z2m por lo que necesariamente m = 1.Es decir, Z2 es un Z[ω]-modulo libre de rango 1. Sea v ∈ Z2 tal que Z2 = Z[ω] · v = {av +bvG | a, b ∈ Z}. Claramente {v, vG} es una Z-base del grupo abeliano Z2. La matriz coordenada,respecto de la Z-base {v, vG}, del homomorfismo Z2 → Z2 definido por G es

(0 1−1 −1

). Puesto

que(

0 11 1

)(0 1−1 −1

)(0 11 1

)−1=(

0 −11 −1

)= G3 podemos concluir que existe M ∈ GL2(Z) tal que

MGM−1 = G3.

Caso k = 4. En este caso G2 = −I. Por analogıa con el caso anterior definimos una estructura deZ[i]-modulo –aquı i denota la unidad imaginaria– de la siguiente forma:

Z [i]× Z2 → Z2

(a+ bi, v) 7→ v(aI + bG)

El anillo Z[i] se conoce como anillo de los enteros de Gauss y es un dominio euclıdeo [2, pp.271-272]. De forma analoga al caso k = 3 se prueba que Z2 es un Z[i]-modulo libre de rango 1.Sea v ∈ Z2 tal que Z2 = Z[i] = {av + bvG | a, b ∈ Z}. El conjunto {v, vG} es una Z-base deZ2 y la matriz coordenada en dicha base del homomorfismo asociado a G es

(0 1−1 0

). Puesto que(

0 11 0

)(0 1−1 0

)(0 11 0

)−1=(

0 −11 0

)= G4 existe M ∈ GL2(Z) tal que MGM−1 = G4.

Caso k = 6 En este caso G3 = −I por lo que (−G)3 = I. Por lo visto en el caso k = 3 existeM ∈ GL2(Z) tal que M(−G)M−1 =

(0 1−1 −1

). Ası pues, MGM−1 = G6.

Forma canonica de las matrices de SL3(Z)

Conviene tener presentes las matrices G1, G2, G3, G4 y G6 que aparecieron en el Teorema 38.

Lema 39. Sea G ∈ SL3(Z) una matriz de orden multiplicativo k ∈ {1, 2, 3, 4, 6}. Existe una matrizM ∈ GL3(Z) tal que MGM−1es de la forma 1 v

00

Gk

para algun v ∈ Z2.

Demostracion. Puesto que Gk = I los valores propios de G son raıces del polinomio xk − 1 y almenos uno de ellos debe ser un numero real. Como |G| = 1 entonces 1 es uno de estos valorespropios; ası pues, existe3 v1 ∈ Q3 tal que v1G = v1. Sin perdida de generalidad, podemos asumir

3Los valores propios de una matriz coinciden con los de su traspuesta.


que v1 ∈ Z3 con sus componentes primas entre sı, y el Lema 35 asegura que existen v2, v3 ∈ Z3

tales que {v1, v2, v3} es una Z-base de Z3.

El homomorfismo g : Z3 → Z3 dado por v 7→ vG induce un homomorfismo g : Z3/Zv1 → Z3/Zv1

que satisface gk = I. Puesto que Z3/Zv1∼= Zv2 × Zv3

∼= Z2, el Teorema 38 asegura que existeuna Z-base de Z3/Zv1 tal que la matriz coordenada de g es Gk. Podemos pensar en esta Z-basecomo {[v2] , [v3]}, donde [v] denota la clase lateral v + Zv1. Ası la matriz coordenada de g en

la Z-base {v1, v2, v3} es(

1 v00Gk

)para algun v ∈ Z2. Por lo tanto existe M ∈ GL3(Z) tal que

MGM−1 =(

1 v00Gk

). Finalmente, si |M | = −1 entonces cambiarıamos M por −M .

Es de especial importancia resaltar que en el lema anterior la matriz M con la que transforma-mos G es una matriz con entradas enteras. Si las entradas se permitiesen en cuerpos tales comoQ, R o C –y en lo siguiente veremos que hay momentos en los que no es necesario restringirnos aentradas enteras– entonces podrıamos asumir que v = (0, 0) ya que, adentrandonos en la demos-tracion, siempre podrıamos encontrar un subespacio g-invariante que complementase al subespaciogenerado por v1.

El vector v obtenido en el lema anterior no es unico. De hecho, algunas manipulaciones extrapermiten lograr vectores v sencillos: a continuacion destacamos dos posibles formas de cambiareste vector v sin alterar la estructura de la forma canonica que proporciona el lema.

Cambio 1. Dado w ∈ Z2 observamos que 1 w00

Gk

1 v00

Gk

1 w00

Gk

−1

=

1 v + w(Gk − I)00

Gk

(5.1)

permite elegir v + w(Gk − I) en lugar de v. Ademas, como el conjunto {v + w(Gk − I) | w ∈Z2} = v + Z2(Gk − I) de estos posibles sustitutos de v es la clase lateral [v] en el grupo cocienteZ2/Z2(Gk − I), el elegir un sustituto adecuado de v ira ligado al estudio de este grupo cociente.

Cambio 2. Dada C ∈ SL2(Z) tal que CGk = GkC se tiene 1 0 000

C−1

1 v00

Gk

1 0 000

C−1

−1

=

1 vC00

Gk

, (5.2)

de modo que podemos elegir vC en lugar de v.

Clasificacion de los subgrupos finitos abelianos de SL3(Z)

Primero clasificaremos los subgrupos abelianos de SL3(Z) como grupos abstractos.

Teorema 40. Sea A un subgrupo finito abeliano de SL3(Z). Se tiene que A es isomorfo a uno delos siguientes grupos: {I}, Z2, Z3, Z4, Z6 o Z2 × Z2.

Demostracion. Conviene recordar que, gracias al Lema 34, salvo conjugacion por algun elementode GL3(R) –y ahora no nos importa si la matriz que se usa para conjugar tiene entradas reales oenteras– A es un subgrupo del grupo SO(3) de matrices ortogonales de orden 3 y de determinante1.

Asumamos que A 6= {I} y elijamos I 6= a ∈ A; en tal caso 1 es un valor propio de a demultiplicidad geometrica 1. Al ser A conmutativo este vector propio debe ser vector propio de


A Caso Generadores Caso Generadores

{I} (P1)(

1 0 00 1 00 0 1

)Z2 (P2)

(1 0 00 −1 00 0 −1

)(B2)

(1 0 10 −1 00 0 −1

)Z3 (P3)

(1 0 00 0 −10 1 −1

)(R3)

(1 0 10 0 −10 1 −1

)Z4 (P4)

(1 0 00 0 −10 1 0

)(I4)

(1 0 10 0 −10 1 0

)Z6 (P6)

(1 0 00 0 −10 1 1

)Z2 × Z2 (A)

(1 0 00 −1 00 0 −1

),(−1 0 0

0 1 00 0 −1

)(B)

(1 0 10 −1 00 0 −1

),(−1 0 0

0 1 10 0 −1

)(C)

(1 1 00 −1 00 0 −1

),(−1 −1 0

0 1 00 0 −1

)(D)

(1 1 10 −1 00 0 −1

),(−1 −1 0

0 1 00 0 −1

)Tabla 5.1: Subgrupos abelianos finitos de SL3(Z) salvo conjugacion.

todos los elementos de A a la vez por lo que, salvo conjugacion por elementos de GL3(R), podemosasumir que A consta de matrices de la forma±1 0 0

0 ∗ ∗0 ∗ ∗

.

La matriz a tendra la forma(

1a′)

para alguna matriz a′ ∈ SO(2). Distinguimos dos casos:

Caso 1: existe a ∈ A de orden multiplicativo 3, 4 o 6. En este caso, dado b =(±1

b′

)∈ A, como

cualquier matriz de O(2) que conmute con a′ debe tener tambien determinante positivo, podemosconcluir que b =

(1b′)∈ A. Ası, la aplicacion b 7→ b′ es un homomorfismo inyectivo de grupos de

A en SO(2). Puesto que todos los subgrupos finitos de SO(2) son cıclicos4, A es un grupo cıclicoy su orden es el orden de cualquiera de sus generadores, que por el Teorema 37 es 3, 4 o 6. Por lotanto A es isomorfo a Z3, Z4 o Z6.

Caso 2: todo elemento de A tiene orden 2. Salvo conjugacion por elementos de GL3(R) podemos

asumir que A esta contenido en el subgrupo de SO(3) generado por( 1−1−1

)y(−1

1−1

)que es

isomorfo a Z2 × Z2. Por lo tanto A es isomorfo o bien a Z2 o bien a Z2 × Z2.

Una vez que conocemos como son los subgrupos abelianos de SL3(Z) como grupos abstractosdesarrollamos su clasificacion mediante conjugacion por elementos de SL3(Z).

Teorema 41. Sea A un subgrupo abeliano finito de SL3(Z). Existe una matriz M ∈ SL3(Z) talMAM−1 posee generadores segun se describe en la Tabla 5.1.

Demostracion. Distinguiremos los distintos casos segun la clasificacion abstracta de A.

Caso A ∼= Z2: Sea A un subgrupo de SL3(Z) isomorfo a Z2 y sea G el generador del subgrupo A.Sabemos que existe M ∈ SL3(Z) tal que

MGM−1 =

1 v00

G2

.

Sin embargo, v puede ser sustituido por otro elemento de Z2 usando (5.1) y (5.2); como |G2 −I| = det

(−2 00 −2

)= 4, el grupo Z2/Z2(G2 − I) tiene 4 elementos (Lema 36). Las clases laterales

4Un subgrupo finito de rotaciones del plano que fijen el origen es un grupo cıclico generado por la rotacion demenor angulo no nulo en el subgrupo.


[(0, 0)] , [(1, 0)] , [(0, 1)] , [(1, 1)] son distintas, por lo que usando (5.1) podemos cambiar v por algunode los representantes de estas clases. Mas aun, como

(1 01 1

),(

0 −11 0

)conmutan con G2 y (1, 1) =

(0, 1)(

1 01 1

)y (1, 0) = (0, 1)

(0 −11 0

)entonces (5.2) asegura que podemos elegir v ∈ {(0, 0), (0, 1)}. Es

decir, el generador G es una de las siguientes matrices: (Caso P2)(

1 0 00 −1 00 0 −1

), (Caso B2)

(1 0 10 −1 00 0 −1

).

Hay que observar que los subgrupos isomorfos a Z2 generados en cada caso no son con-jugados por medio de matrices de SL3(Z). En efecto, supongamos que existiese M ∈ SL3(Z)

tal que M(

1 0 00 −1 00 0 −1

)M−1 =

(1 0 10 −1 00 0 −1

). En tal caso M =

(a w00M1

)y se tendrıa

(a −w00−M1

)=(

a w+(0,1)M1

00

−M1

)por lo que (0, 1)M1 = 2w y todos los elementos de la segunda fila de M1 serıan

multiplo de 2, lo que es absurdo ya que el determinante de M es 1.

Caso A ∼= Z3. Sea A un subgrupo de SL3(Z) isomorfo a Z3 y sea G un generador de A. En

este caso existe M ∈ SL3(Z) tal que MGM−1 =(

1 v00

0 −11 −1

). Como |G3 − I| = det

(−1 −11 −2

)= 3,

Z2/Z2(G3 − I) tiene tres elementos. Como [(0, 0)], [(0, 1)] y [(0,−1)] son clases laterales distintasentonces, por (5.1) podemos asumir que v ∈ {(0, 0), (0, 1), (0,−1)}. Mas aun, como C =

(−1 00 −1

)conmuta con G3 y (0,−1) = (0, 1)

(−1 00 −1

)entonces, por (5.2), podemos elegir v ∈ {(0, 0), (0, 1)}.

De este modo, salvo conjugacion por un elemento de SL3(Z), G es o bien el generador del caso(P3) o bien el generador del caso (R3).

Nuevamente hay que hacer notar que los subgrupos isomorfos a Z3 generados por estos genera-dores no son conjugados el uno del otro por medio de matrices de SL3(Z). En efecto, supongamos

que existe M ∈ SL3(Z) tal que M(

1 0 100G3

)M−1 ∈ 〈

(1 0 000G3

)〉. Entonces M =

(a w00M1

)para ciertas

M1 y w y se tienen dos posibilidades:

Primera posibilidad: M(

1 0 100G3

)=(

1 0 000G3

)M . De aquı se obtiene que (0,−a) = w(G3 − I) por

lo que [(0,−a)] = [(0, 0)]. Puesto que [(0, 0)], [(0, 1)] y [(0,−1)] son las distintas clases lateralesentonces a 6= ±1 y por lo tanto |M | 6= ±1, lo que es absurdo ya que M ∈ SL3(Z).

Segunda posibilidad: M(

1 0 100G3

)=(

1 0 100G2

3

)M . Nuevamente se llega a que (0,−a) = w(G3 − I)

obteniendo una contradiccion.

Caso A ∼= Z4: Sea A un subgrupo de SL3(Z) isomorfo a Z4 y sea G un generador de A. Sabemos

que existe M ∈ SL3(Z) tal que MGM−1 =(

1 v00

0 −11 0

). Como |G4− I| = det

(−1 −11 −1

)= 2, entonces

Z2/Z2(G4−I) tiene unicamente dos elementos: {[(0, 0)] , [(0, 1)]}. Por consiguiente podemos asumirque v ∈ {(0, 0), (0, 1)}. Estas dos posibilidades se corresponden con los casos (P4) e (I4) delenunciado.

Tambien hay que hacer notar que los subgrupos isomorfos a Z4 generados por los dos generado-res que aparecen en este caso no son conjugados el uno del otro por matrices en SL3(Z). En efecto,

supongamos que existe M ∈ SL3(Z) tal que M(

1 0 00 0 −10 1 0

)M−1 ∈ 〈

(1 0 10 0 −10 1 0

)〉. En tal caso se tendrıa

que M(

1 0 00 0 −10 1 0

)M−1 =

(1 1 10 −1 00 0 −1

)por lo que M =

(a w00M1

)y(a −w00−M1

)=(a w+(1,1)M1

00

−M1

). Ası

(1, 1)M1 = −2w y podrıamos cambiar la segunda fila de M1 por (1, 1)M1 sin cambiar el valor de|M1|, pero la nueva fila es divisible por 2 por lo que |M1| 6= ±1, lo que es absurdo ya que M esinvertible.

Caso A ∼= Z6: Sea A un subgrupo de SL3(Z) isomorfo a Z6 y sea G un generador de A. Sabemos que

existe M ∈ SL3(Z) tal que MGM−1 =(

1 v00

0 −11 1

). Como |G6 − I| = det

(−1 −11 0

)= 1, Z2/Z2(G6 −

I) = {[(0, 0)]} y podemos elegir v = (0, 0). Ası que G es el generador que aparece en el caso (P6).

Caso A ∼= Z2×Z2: Sea A un subgrupo de SL3(Z) isomorfo a Z2×Z2 y sean F,G generadores de A.Puesto que F 2 = I, 1 es valor propio de F con multiplicidad geometrica 1. Como F y G conmutan


entonces tambien v1 es vector propio de G. Mas aun, podemos elegir v1 en Z3 con componentesprimas entre sı, por lo que por el Lema 35 podemos completar v1 hasta una Z-base {v1, v2, v3} deZ3. Ası pues, existe M ∈ SL3(Z) tal que

MFM−1 =

1 ∗00

F ′

y MGM−1 =

b ∗00

G′

para ciertas matrices F ′ y G′ y un cierto b = ±1.

El homomorfismo v 7→ vF induce un homomorfismo de Z3/Zv1 en el mismo. En la base{[v2] , [v3]} la matriz coordenada de este homomorfismo es F ′. Puesto que tiene el valor propio−1 con multiplicidad geometrica 2 (F 2 = I y |F | = 1) necesariamentes F ′ = −I. Si b = 1 enton-

ces el mismo argumento muestra que tambien G′ = −I y ası MFM−1 =(

1 v00−I

)y MGM−1 =(

1 w00−I

). Ahora bien, como A es abeliano entonces

(1 v00−I

)(1 w00−I

)=(

1 w00−I

)(1 v00−I

)por lo que(

1 w−v00−I

)=(

1 v−w00−I

)y ası v = w, i.e. F = G, lo que no es cierto. Por lo tanto b = −1 y los valores

propios de G′ son 1 y −1, ambos con multiplicidad geometrica 1.

Vamos ahora a elegir una matriz M ∈ SL3(Z) de modo que MFM−1 y MGM−1 sean lo massencillas posible. El endomorfismo de Z3/Zv1 dado por [v] 7→ [vG] tiene valores propios 1 y −1. Asıque podemos elegir una Z-base {[w2], [w3]} de Z3/Zv1 de modo que [w2G] = [w2]. Usando comoZ-base de Z3 la base {v1, w2, w3} podemos concluir que existe una matriz M ∈ SL3(Z) tal que

MFM−1 =

1 a1 a3

0 −1 00 0 −1

y MGM−1 =

−1 b1 b30 1 b20 0 −1

.

Para modificar las entradas a1, a3, b1, b2 y b3 algo mas conjugamos por matrices de SL3(Z) de

la forma N :=(

1 n1 n30 1 n20 0 1

)cuya inversa es N−1 =

(1 −n1 n1n2−n30 1 −n20 0 1

). Calculando NMFM−1N−1 y

NMGM−1N−1 nos damos cuenta de que podemos hacer los siguientes cambios

En lugar de a1 a3 b1 b2 b3ahora se tiene a1 − 2n1 a3 − a1n2 + 2n1n2 − 2n3 b1 + 2n1 b2 − 2n2 b3 + b2n1 − (b1 + 2n1)n2

Ademas, como F 2 = I = G2 y FG = GF , se tiene que b1 = −a1 y 2b3 = −a1b2. Para elegir ade-cuadamente N de modo que los nuevos valores de a1, a3, b1, b2 y b3 sean mas sencillos distiguimosdos casos dependiendo de la paridad de a1.

Caso a par. En este caso elegimos n1 := a12 y n2 := 0. Con n3 elegido adecuadamente obtenemos las

siguientes nuevas parejas de matrices: P1)(

1 0 00 −1 00 0 −1

),(−1 0 0

0 1 b20 0 −1

)y P2)

(1 0 10 −1 00 0 −1

),(−1 0 0

0 1 b20 0 −1

).

Cambiando F y G por las nuevas F y G, y volviendo a realizar este tipo de cambios a las entradasde la nueva pareja F , G –ahora n1 := n3 := 0 y n2 hay que elegirlo adecuadamente– se logran las

posibilidades (I)(

1 0 00 −1 00 0 −1

),(−1 0 0

0 1 00 0 −1

)(II)

(1 0 10 −1 00 0 −1

),(−1 0 0

0 1 10 0 −1

)(III)

(1 0 10 −1 00 0 −1

),(−1 0 0

0 1 00 0 −1

)(IV)

(1 0 10 −1 00 0 −1

),(−1 0 0

0 1 10 0 −1

). Algunas de estas posibilidades son redundantes pero antes de discri-

minarlas terminamos el caso pendiente.

Caso a impar. En este caso elegimos n1 tal que a1 = 2n1 + 1, n2 = 0 = n3. Ası se llega nuevas

parejas Q1)(

1 1 a30 −1 00 0 −1

),

(−1 −1 b30 1 −2b30 0 −1

)y Q2)

(1 1 a30 −1 00 0 −1

),(−1 −1 0

0 1 00 0 −1

). Volviendo a realizar este

tipo de modificaciones a estas parejas –ahora con n1 = 0 = n2 y el n3 elegido adecuadamente–

obtenemos como nuevas parejas: (V)(

1 1 00 −1 00 0 −1

),(−1 −1 0

0 1 00 0 −1

)(VI)

(1 1 10 −1 00 0 −1

),(−1 −1 0

0 1 00 0 −1

)


De las posibilidades (I)-(VI) que nos han aparecido vamos ahora a eliminar algunas duplicidades.En primer lugar observamos que que los subgrupos generados por las parejas (II), (III) y (V) son to-

dos ellos conjugados entre sı por matrices de SL3(Z). En efecto, ya que(

0 1 01 0 00 0 1

)(1 0 00 −1 00 0 −1

)(0 1 01 0 00 0 1

)=(−1 0 0

0 1 00 0 1

)y(

0 1 01 0 00 0 1

)(−1 0 00 1 10 0 −1

)(0 1 01 0 00 0 1

)=(

1 0 10 −1 00 0 −1

)se tiene que las parejas (II) y (III) son conju-

gadas. El subgrupo generado por la pareja (II) es {I,(

1 0 10 −1 00 0 −1

),(−1 0 0

0 1 00 0 −1

),(−1 0 −1

0 −1 00 0 1

)} y como

ademas se tiene que(

1 0 00 0 10 1 0

)(1 1 00 −1 00 0 −1

)(1 0 00 0 10 1 0

)=(

1 0 10 −1 00 0 −1

)y que

(1 0 00 0 10 1 0

)(−1 −1 00 1 00 0 −1

)(1 0 00 0 10 1 0

)=(−1 0 −1

0 −1 00 0 1

)podemos concluir que tambien las parejas (II) y (V) son conjugadas por elementos de

SL3(Z). En resumidas cuentas, quedan los siguientes subgrupos

(I) ={I,(

1 0 00 −1 00 0 −1

),(−1 0 0

0 1 00 0 −1

),(−1 0 0

0 −1 00 0 1

)}(V ) =

{I,(

1 1 00 −1 00 0 −1

),(−1 −1 0

0 1 00 0 −1

),(−1 0 0

0 −1 00 0 1

)}(IV ) =

{I,(

1 0 10 −1 00 0 −1

),(−1 0 0

0 1 10 0 −1

),(−1 0 −1

0 −1 −10 0 1

)}(V I) =

{I,(

1 1 10 −1 00 0 −1

),(−1 −1 0

0 1 00 0 −1

),(−1 0 −1

0 −1 00 0 1

)}que se corresponden exactamente con los que aparecen en el enunciado en el caso en que A esisomorfo a Z2 × Z2.

Veamos finalmente que estos cuatro subgrupos no son conjugados entre sı por elementos deSL3(Z). SeanH yH ′ dos de estos subgrupos. Tendremos queH = {I, A,B,C} para ciertas matricesA,B,C; puesto que todas estas matrices tienen a 1 como valor propio existen v1, v2, v3 ∈ Q3 talesque v1A = v1, v2B = v2 y v3C = v3.

Sin perdida de generalidad podemos asumir que v1, v2, v3 ∈ Z3 y que las tres componentesde cada uno de estos vectores son primas entre sı. Esto hace que v1, v2 y v3 queden deter-minados unıvocamente salvo cambio de signo. Procedemos ahora por reduccion al absurdo: siH = MH ′M−1 para alguna matriz M ∈ SL3(Z) entonces H ′ = {I,M−1AM,M−1BM,M−1CM}y ademas (v1M)(M−1AM) = v1M, (v2M)(M−1BM) = v2M, (v3M)(M−1CM) = v3M . Tambienobservamos que si d divide a las entradas de viM entonces divide a las entradas de viMM−1 = vi,por lo que d = ±1.

Ası pues, v1M,v2M,v3M son, salvo signo, los vectores propios de valor propio 1 de los ele-mentos de H ′ que tienen componentes enteras primas entre sı. Ahora bien, para cada una delas distintas posibilidades (I), (V), (IV) y (VI) estos vectores son (I): (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1),(V): (2, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) (IV): (2, 0, 1), (0, 2, 1), (0, 0, 1) y (VI): (2, 1, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Enrelacion a cada una de estas posibilidades definimos las siguientes matrices cuyas filas son exac-

tamente los vectores que acabamos de calcular: MI =(

1 0 00 1 00 0 1

), MV =

(2 1 00 1 00 0 1

), MIV =

(2 0 10 2 10 0 1

)y MV I =

(2 1 10 1 00 0 1

). Puesto que v1M,v2M,v3M son, salvo signo y orden, los vectores que hemos

calculado entonces existe una matriz Q obtenida al al permutar las filas de(±1 0 0

0 ±1 00 0 ±1

)tal que

QMi = MjM para ciertos i 6= j. Esto implica en particular que |Mi| = ±|Mj |, lo que inmediata-mente nos dice que ni el subgrupo (I) ni el subgrupo (IV) son conjugados de ningun otro subgrupode la lista distinto de ellos mediante matrices de SL3(Z). Para comprobar que los subgrupos (V)

y (VI) no son conjugados entre sı procedemos como sigue: la matriz A := M(−1 0 0

0 −1 00 0 1

)M−1 per-

tence a (VI). Ahora bien, las filas {v1, v2, v3} de M−1 son una base de Z3 tal que v1A = −v1 ,v2A = −v2, y v3A = v3. En particular, {v ∈ Z3|vA = v}+ {v ∈ Z3|vA = −v} = Z3. Sin embargo,


por ejemplo

(x, y, z)

1 1 10 −1 00 0 −1

= (x, y, z)⇔ (x, y, z) ∈ Z(2, 1, 1)

(x, y, z)

1 1 10 −1 00 0 −1

= −(x, y, z)⇔ (x, y, z) ∈ Z〈(0, 1, 0), (0, 0, 1)〉,

pero Z(2, 1, 1) +Z(0, 1, 0) +Z(0, 0, 1) 6= Z3, luego M(−1 0 0

0 −1 00 0 1

)M−1 6=

(1 1 10 −1 00 0 −1

). Procediendo de

forma analoga con las demas matrices de (VI) obtenemos una contradiccion.

5.2. Clasificacion de los subgrupos finitos de SL3(Z)

Lema 42. Sean G ∈ SL3(Z), 0 6= v ∈ Q3 y λ ∈ C tales que Gv = λv. En tal caso λ ∈ {1,−1}.

Demostracion. Se puede asumir sin perdida de generalidad que v ∈ Z3 y que v = (a, b, c) con a, by c primos entre sı. Como Gv = λv entonces λ ∈ Q por lo que λ = p

q , con p, q ∈ Z, q 6= 0 y

mcd(p, q) = 1. Ası pues, qGv = pv y por lo tanto q divide a gcd(p, q) = 1. Concluimos que q = ±1,i.e. λ ∈ Z. Como tambien λ−1v = G−1v, se tiene p = ±1 y ası probamos que λ−1 ∈ Z y queλ = ±1.

Clasificacion abstracta de los subgrupos abelianos maximales de SL3(Z)

Teorema 43. Sea A un subgrupo de SL3(Z) isomorfo a Z4, Z6 o Z2 × Z2. En tal caso A es unsubgrupo abeliano maximal de SL3(Z).

Demostracion. Estructuraremos la demostracion en casos segun sea A.

Caso A ∼= Z2 × Z2. En este caso A = {I, F,G, FG} con F 2 = G2 = (FG)2 = I. El polinomiomınimo de estas matrices divide a x2 − 1 por lo que pueden ser diagonalizadas a la vez usando

alguna matriz M ∈ GL3(Q). Sin perdida de generalidad tendremos que MFM−1 =(

1−1−1

),

MGM−1 =(−1

1−1

), MFGM−1 =

(−1−1

1

). Sea ahora g ∈ SL3(Z) una matriz que conmute

con todas las matrices en A; en tal caso MgM−1 conmuta con MFM−1 por lo que MgM−1 ∈GL3(Q) es diagonal. El Lema 42 nos dice que entonces MgM−1 =

(±1±1±1

), y como |g| = 1

entonces MgM−1 ∈{I,(

1−1−1

),(−1

1−1

),(−1

−11

)}= MAM−1. Ası pues g ∈ A - esto

prueba la maximalidad de A como subgrupo abeliano de SL3(Z).

Caso A ∼= Z4 En este caso, como se observo inmediatamente despues del Lema 39, existe M ∈GL(3,Q) tal que MAM−1 =

(1 0 000G4

)〉 ≤ GL(3,Q). Sea G ∈ SL(3,Q) tal que G conmuta con los

elementos de A. En tal caso MGM−1 conmuta con(

1 0 000G4

)por lo que es de la forma

(b11 0 00 a b0 −b a

).

Al ser un valor propio, b11 ∈ {1,−1}. Como 1 = |G| = |MGM−1| = b11(a2 + b2) se tiene queb11 = 1 y que a2 + b2 = 1. Ahora, 1 + 2a = traza(MGM−1) = traza(G) ∈ Z implica que 2a ∈ Z.Como a2 + b2 = 1, a ∈ {0,± 1

2 ,±1} pero como tambien b ∈ Q entonces a ∈ {0,±1}. Ası pues

se tiene que MGM−1 ∈{I,(

1 0 00 0 10 −1 0

),(

1 0 00 0 −10 1 0

),(

1 0 00 1 00 0 1

),(

1 0 00 −1 00 0 −1

)}= MAM−1. y por lo tanto

G ∈ A.

Caso A ∼= Z6. En este caso existe M ∈ GL(3,Q) tal que MAM−1 = 〈(

1 0 000G6

)〉. Dada una matriz

G ∈ SL(3,Z) que conmute con A, MGM−1 conmuta con(

1 0 000G6

)y por lo tanto MGM−1 =


(b11 0 00 a b0 −b a+b

), con a, b ∈ Q. Como b11 ∈ Z por ser valor propio de G y como 1 = |G| = |MGM−1| =

b11(a2 +ab+b2) = b11

[(a+ b

2

)2+ 3

4b2]> 0, se tiene que b11 = 1. Ası pues MGM−1 =

(1 0 00 a b0 −b a+b

),

con(a+ b

2

)2+ 3

4b2 = 1 y a+ b

2 = 12 (2a+ b) = traza(G)− 1 ∈ Z. Por lo tanto a+ b

2 ∈ {0,±12 ,±1}.

Si a + b2 = 0 entonces 3

4b2 = 1, absurdo, ya que b ∈ Q, luego a + b

2 ∈ {±12 ,±1}. Ası pues

MGM−1 ∈{I,(

1 0 00 −1 00 0 −1

),(

1 0 00 0 10 −1 1

),(

1 0 00 0 −10 1 −1

),(

1 0 00 −1 10 −1 0

),(

1 0 00 1 −10 1 0

)}= MAM−1 y por lo tanto

G ∈ A.

Clasificacion abstracta de los subgrupos finitos de SL3(Z)

Lema 44. Todo subgrupo finito de SL3(Z) es resoluble5.

Demostracion. Puesto que los elementos de un tal subgrupo finito F tienen orden 1, 2, 3, 4, o 6,,el Teorema de Cauchy [2, Teorema 11, p. 93] nos asegura que |F | = 2n3m y gracias al Teorema pqde Burnside [2, Teorema 1, p. 886] podemos concluir que F es resoluble.

Teorema 45. Todo subgrupo finito F de SL3(Z) contiene algun subgrupo normal en F que esabeliano maximal6 en F .

Demostracion. Sin perdida de generalidad, en la demostracion podemos asumir donde nos convengaque F no es abeliano ya que si lo fuese entonces F serıa el unico subgrupo normal abelino maximal.

Puesto que F es resoluble entonces F contiene un subgrupo normal A que es abeliano [2,Teorema 9, p. 195]. En este punto sabemos la estructura de los subgrupos abelianos finitos deSL3(Z) ası que vamos a estructurar la demostracion en funcion de A. Si A ∼= Z4, A ∼= Z6 oA ∼= Z2 × Z2 el Teorema 40 nos asegura que A es un subgrupo abeliano maximal por lo que bastacomprobar los casos A ∼= Z2 y A ∼= Z3.

Caso A ∼= Z3. Por el Teorema 39 sabemos que existe una matriz M ∈ GL3(Q) tal que MAM−1 =

〈(

1 0 00 0 −10 1 −1

)〉. Ahora bien, si G ∈ F conmuta con A entonces MGM−1 debe conmutar con

(1 0 00 0 −10 1 −1

).

Facilmente esto implica que G =(a 0 00 e −h0 h e−h

)para ciertos enteros a, e, h. Imponiendo que |G| = 1

tenemos que a((e − 12h)2 + 3

4h2) = 1. Al ser a, e, h numeros enteros, necesariamente a = 1 y hay

solamente tres posibles soluciones, que se corresponden con las potencias de(

1 0 00 0 −10 1 −1

). Por lo tanto

MGM−1 ∈MAM−1, luego G ∈ A. Asi pues A no es solamente un subgrupo normal abeliano sinoque es abeliano maximal.

Caso A ∼= Z2. En este caso A es subgrupo normal y tiene solamente dos elementos por lo quenecesariamente A ⊆ Z(F ), el centro de F . Tambien sabemos que existe una matriz M ∈ GL3(Q)tal que MAM−1 = 〈

(1−I)〉 por lo que MFM−1 ⊆ {

( εf ′)| ε = ±1, f ′ ∈ GL2(Q), |f ′| = ε}

ya que ε es valor propio racional. Consideramos ahora el subgrupo K de F determinado porMKM−1 = MFM−1∩

{(1f ′)| f ′ ∈ SL2(Q)

}. Claramente A ⊂ K y ademas: 1) K es un subgrupo

normal de F y es ademas un subgrupo maximal ya que |F : K| = 2 y 2) K es abeliano ya que Kes isomorfo a un subgrupo finito de SL2(Q), y por lo tanto tambien es isomorfo a un subgrupo deSO(2) pero SO(2) =

{(cosα − sinαsinα cosα

)| α ∈ R

}por lo que K es abeliano, ası que K es un subgrupo

normal que es abeliano maximal.

Lema 46. Sean F un subgrupo finito de SL3(Z) y A un subgrupo abeliano maximal de F que esademas normal. Se tiene que:

5Un grupo G se dice resoluble is existe una cadena de subgrupos {I} = G1 ≤ G2 ≤ · · · ≤ Gl = G de modo queGi es un subgrupo normal de Gi+1 y el grupo cociente Gi+1/Gi es un grupo abeliano para todo i = 1, . . . , l− 1.

6En caso de que F sea abeliano, el mismo es un subgrupo abeliano maximal. Este convenio es contrario alconcepto usual de maximalidad pero es natural en este contexto.


1. F/A ∼= Aut(A).

2. Si A ∼= Z2 entonces F = A.

3. Si A ∼= Z3 entonces o bien F = A o bien F ∼= Ao Aut(A)7.

4. Si A 6∼= Z2,Z3 y H es un subgrupo del normalizador8 de A en SL3(Z) tal que A ∩H = {I} y|H| = |Aut(A)| entonces F = A(F ∩H) ∼= Ao (F ∩H) y H ∼= Aut(A).

Demostracion. Puesto que A es un subgrupo abeliano maximal entonces A es el nucleo del ho-momorfismo h 7→ Adh : g 7→ hgh−1 de F en Aut(A); por el primer teorema de isomorfıa paragrupos, F/A es isomorfo a un subgrupo de Aut(A). Si A ∼= Z2 entonces |Aut(A)| = 1 por lo quenecesariamente |F/A| = 1 y por lo tanto F = A. Si A ∼= Z3 entonces |Aut(A)| = 2 por lo que obien F = A o bien |F | = 6. En este ultimo caso el Teorema de Cauchy [2, Teorema 11, p. 93] nosasegura que F tiene un elemento de orden 2 y por lo tanto un subgrupo H de orden 2. ClaramenteA ∩H = {I} y F = AH ası que F = AoH y ademas podemos identificar H con Aut(A) bajo laaplicacion Ad que ya hemos usado anteriormente. Ası pues o bien F = A o bien F ∼= Ao Aut(A).

Para demostrar el ultimo apartado primero vamos a mostrar que el conjunto de aplicaciones{Adh | h ∈ H} es exactamente Aut(A) (lo cual de paso probara tambien que H ∼= Aut(A)). Enefecto, si no lo fuese entonces, como |H| = |Aut(A)|, existirıan h 6= h′ ∈ H tales que Adh = Adh′ .Es decir, hgh−1 = h′gh′−1 para todo g ∈ A. Por lo tanto h−1h′ conmuta con todos los elementosde A. Pero por hipotesis y por el Teorema 43, A es un subgrupo abeliano maximal de SL3(Z) asıque h−1h′ ∈ A. Como A ∩ H = {I} obtenemos que h = h′, lo que no es cierto. Mas aun, dadocualquier elemento h ∈ F , Adh es un automorfismo de A por lo que tiene que coincidir con unode los autormorfimos Adh′ para algun h′ ∈ H. El argumento anterior muestra que h ∈ AH por loque F ⊆ AH; como A ⊆ F entonces F = A(F ∩H). Finalmente A ∩ (F ∩H) = A ∩H = {I} porlo que efectivamente F ∼= Ao (F ∩H).

Este lema restringe notablemente el tipo de isomorfıa de F ya que Aut(A) es un grupo muypequeno. De hecho, Aut(Z2) = {I}, Aut(Z3) ∼= Z2, Aut(Z4) ∼= Z2, Aut(Z6) ∼= Z2 y Aut(Z2×Z2) ∼=S3 grupo simetrico de grado 3.

Teorema 47 (Auslander y Cook). Cualquier subgrupo finito de SL3(Z) es isomorfo a uno de lossiguientes grupos

{I} Z2 Z3 Z4 Z6 Z2 × Z2

Z3 o Z2 Z4 o Z2 Z6 o Z2 (Z2 × Z2) o Z3, (Z2 × Z2) o S3

Demostracion. En la tabla aparecen todas las posibilidades teoricas del teorema anterior excepto(Z2×Z2)oZ2 - el motivo es que este grupo contiene un subgrupo cıclico de orden 4 y por lo tantoya aparece como Z4 oZ2 en la tabla. Por completitud vamos a probar que todas las posibilidadesde la tabla realmente aparecen; basta elegir un grupo A para cada uno de los tipos de isomorfıa(como grupos abstractos) de los subgrupos abelianos finitos de SL3(Z) y encontrar un subgrupo Hcomo el que se menciona en el lema anterior. Con la notacion del Teorema 41, en los casos (P3),

(P4) y (P6) el subgrupo H es el generado por la matriz(−1 0 0

0 0 10 1 0

). En el caso A) el subgrupo H es

el generado por las matrices(

0 1 00 0 11 0 0

)y(−1 0 0

0 0 −10 −1 0

).

7El grupo A o Aut(A) se denomina grupo holomorfo de A. Recordar que el sımbolo o denota el productosemidirecto de grupos.

8Recordar que el normalizador de un subgrupo A es el conjunto de todos los elementos h tales que hAh−1 ⊆ A.


Clasificacion de los subgrupos finitos de SL3(Z)

El Lema 46 es la clave para la clasificacion de los subgrupos finitos de SL3(Z) salvo conjugacionpor elementos de SL3(Z). Cada grupo finito F de SL3(Z) posee un subgrupo abeliano maximal Aque es ademas normal. Hemos visto que salvo conjugacion A es uno de los doce grupos que noshan aparecido en el Teorema 41; a continuacion hemos de encontrar todas las formas de extenderestos subgrupos dentro de SL3(Z) para conseguir subgrupos de mayor tamano.

Procederemos caso a caso (el caso A ∼= Z2 queda resuelto por el Lema 46).

Extensiones de A ∼= Z3. El Teorema 41 nos dice que, salvo conjugacion, hay dos posibles sub-grupos isomorfos a Z3 que hemos de considerar; para cada uno de ellos hemos de encontrar, salvoconjugacion por matrices de SL3(Z), todas las extensiones hasta obtener un subgrupo isomorfo aZ3 o Z2.

Caso P3. En este caso A esta generado por la matriz g =(

1 0 00 0 −10 1 −1

). Ademas podemos comprobar

facilmente que el centralizador9 de g en SL3(Z) es exactamente C = 〈g, s〉 = A ∪ sA donde

s =(

1 0 00 −1 00 0 −1

). Igualmente se comprueba que el normalizador de A es N = C ∪ k1C = A ∪ sA ∪

k1A ∪ sk1A donde k1 =(−1 0 0

0 0 10 1 0

).

Para calcular todas las posibles extensiones de A hasta un subgrupo isomorfo a Z3 o Z2 - talsubgrupo serıa de la forma 〈g, k〉 para algun k ∈ N \ C, es decir k ∈ k1A ∪ k1sA. Puesto que enlugar de k podemos elegir cualquier elemento de kA sin que cambie el subgrupo 〈g, k〉 entoncespodemos asumir que k = k1 o k = k1s. Es decir, que a lo sumo hay dos posibles extensiones de A:

P312) 〈(

1 0 00 0 −10 1 −1

),(−1 0 0

0 0 10 1 0

)〉 P321) 〈

(1 0 00 0 −10 1 −1

),(−1 0 0

0 0 −10 −1 0

)〉.

Ademas estos subgrupos no son conjugados entre sı por elementos de SL3(Z) ya que si h〈g, k1〉h−1 =〈g, k1s〉 para algun h ∈ SL3(Z) entonces h ∈ N y ademas podemos cambiar h por cualquier elementode h〈g, k1〉 o de h〈g, k1s〉 por lo que podemos asumir que o bien h = I o bien h = s. Ahora bien,en estos casos h conmuta con k1 pero deberıa ocurrir que hk1h

−1 = k1sgi para algun i. Es decir,

sgi = I, o equivalentemente s ∈ A, lo que no es cierto.

Caso R3. En este caso A esta generado por g =(

1 0 10 0 −10 1 −1

). Podemos comprobar facilmente que el

centralizador de g en SL3(Z) es exactamente A por lo que el normalizador de A es N = A∪kA con

k =(−1 0 0

0 0 −10 −1 0

). Usando exactamente los mismos argumentos que en el caso anterior obtenemos

que solamente hay una unica forma de extender A hasta un subgrupo de SL3(Z) isomorfo a Z3oZ2

R32) 〈(

1 0 10 0 −10 1 −1

),(−1 0 0

0 0 −10 −1 0

)〉.

Extensiones de A ∼= Z4. El Teorema 41 nos dice que, salvo conjugacion, hay dos posibles subgru-pos isomorfos a Z4 que hemos de considerar. Hemos de extender A hasta un subgrupo isomorfo aZ4oZ2 de todas las forma posibles salvo conjugacion por matrices de SL3(Z). Ahora bien, podemostratar los dos casos P4) e I4) conjuntamente ya que al ser A un subgrupo abeliano maximal deSL3(Z) entonces el centralizador de A en SL3(Z) es exactamente A. Tambien es sencillo comprobar

que el normalizador de A en SL3(Z) es N = A ∪ kA donde k =(−1 0 0

0 0 −10 −1 0

). Esto nos muestra,

por identicos argumentos a los usados en casos anteriores, que hay solamente una posibilidad deextender A hasta un subgrupo de SL3(Z) isomorfo a Z4 o Z2. Puesto que hay dos posibilidadespara A obtenemos dos posibles subgrupos

P422) 〈(

1 0 00 0 −10 1 0

),(−1 0 0

0 0 −10 −1 0

)〉 I422) 〈

(1 0 10 0 −10 1 0

),(−1 0 0

0 0 −10 −1 0

)〉.

9El centralizador de g es el conjunto de elementos que conmutan con g.


Extensiones de A ∼= Z6. En este caso hay, salvo conjugacion, un unico subgrupo A ∼= Z6. El

elemento g =(

1 0 00 0 −10 1 1

)es un generador de A; puesto que A es un subgrupo abeliano maximal de

SL3(Z), el centralizador de g en SL3(Z) es el propio A. Es sencillo comprobar que el normalizador

de A es N = A ∪ kA con k =(−1 0 0

0 0 10 1 0

). Como en los casos anteriores esto implica que existe

solamente una extension de A isomorfa a Z6 o Z2:

P622) 〈(

1 0 00 0 −10 1 1

),(−1 0 0

0 0 10 1 0

)〉.

Extensiones de A ∼= Z2 × Z2. En este caso salvo conjugacion hay cuatro posibles subgruposA isomorfos a Z2 × Z2 y hemos de extenderlos hasta subgrupos isomorfos a (Z2 × Z2) o Z3 o(Z2 × Z2) o S3. Los cuatro posibles subgrupos son:

A)(

1 0 00 −1 00 0 −1

),(−1 0 0

0 1 00 0 −1

)B)

(1 0 10 −1 00 0 −1

),(−1 0 0

0 1 10 0 −1

)C)

(1 1 00 −1 00 0 −1

),(−1 −1 0

0 1 00 0 −1

)D)

(1 1 10 −1 00 0 −1

),(−1 −1 0

0 1 00 0 −1

)Caso A) Este caso es muy sencillo de analizar ya que las matrices permutacion10 junto con susopuestas normalizan a A. Ası pues, restringiendonos a SL3(Z) obtenemos que el subgrupo de SL3(Z)

〈(

0 0 11 0 00 1 0

),(

0 −1 0−1 0 00 0 −1

)〉

normaliza a A y por lo tanto, gracias al Lema 46, las dos posibilidades del Teorema 47 para extenderA aparecen:

P23) 〈(

1 0 00 −1 00 0 −1

),(−1 0 0

0 1 00 0 −1

),(

0 0 11 0 00 1 0

)〉

P432) 〈(

1 0 00 −1 00 0 −1

),(−1 0 0

0 1 00 0 −1

),(

0 0 11 0 00 1 0

),(

0 −1 0−1 0 00 0 −1

)〉

Caso B) En este caso tambien se dan las dos posibilidades teoricas de extender A, aunque elnormalizador es ligeramente mas complicado. Mediante calculo directo obtenemos que el subgrupo

〈(

0 −1 01 −1 00 2 1

),(

0 −1 0−1 0 00 0 −1

)〉

es isomorfo a S3 y normaliza a A. Por lo tanto las dos posibilidades del Teorema 47 para extenderA son:

I23) 〈(

1 0 10 −1 00 0 −1

),(−1 0 0

0 1 10 0 −1

),(

0 −1 01 −1 00 2 1

)〉

I432) 〈(

1 0 10 −1 00 0 −1

),(−1 0 0

0 1 10 0 −1

),(

0 −1 01 −1 00 2 1

),(

0 −1 0−1 0 00 0 −1

)〉

Caso C) Este caso es especial ya que el normalizador de A en SL3(Z) es mas pequeno de loesperado. De hecho, un calculo directo muestra que el normalizador de A esta generado por A y

por la matriz(−1 0 0

2 1 00 0 −1

)que tiene orden 2, por lo que la unica extension posible de A es isomorfa

a (Z2 × Z2) o Z2, que es un caso redundante.

Caso D) Este caso sigue el patron de los casos A y B. Las matrices(1 0 1−2 −1 −10 0 −1

)y

(−1 −1 02 1 10 1 0

)generan un subgrupo isomorfo a S3 y normalizan a A. Las dos posibles extensiones de A son

F23) 〈(

1 1 10 −1 00 0 −1

),(−1 −1 0

0 1 00 0 −1

),(−1 −1 0

2 1 10 1 0

)〉

F432) 〈(

1 1 10 −1 00 0 −1

),(−1 −1 0

0 1 00 0 −1

),(−1 −1 0

2 1 10 1 0

),(

1 0 1−2 −1 −10 0 −1

)〉

La Tabla 5.2 recoge gran parte de los resultados obtenidos.10Una matriz permutacion es una matriz cuyas filas se obtienen permutando las de la matriz identidad.


Grupo Formas en SL3(Z) Grupo Formas en SL3(Z)

I P1 Z2 × Z2 P222

Z2 P2 C222

B2 F222

Z3 P3 I222

R3 (Z2 × Z2) o Z3 P23

Z3 o Z2 P312 F23

P321 I23

R32 (Z2 × Z2) o S3 P432

Z4 P4 F432

I4 I432

Z4 o Z2 P422

I422

Z6 P6

Z6 o Z2 P622

Tabla 5.2: Subgrupos finitos de SL3(Z)

5.3. Clasificacion de los subgrupos finitos de GL3(Z)

Habiendo descrito todos los subgrupos finitos de SL3(Z) salvo conjugacion por matrices deSL3(Z), podemos abordar finalmente la clasificacion de los subgrupos finitos de GL3(Z) salvoconjugacion por matrices en GL3(Z).

Para ello conviene hacer notar que si G es un subgrupo finito de GL3(Z) entonces G := G ∩SL3(Z) es un subgrupo finito de SL3(Z) de ındice o bien 1 (si G ⊆ SL3(Z)) o bien 2 (si G 6⊆ SL3(Z))en G - podemos dar la vuelta a este argumento y decir que o bien G esta contenido en SL3(Z) (encuyo caso aparece en la Tabla 5.2) o bien puede obtenerse a partir de un subgrupo finito de SL3(Z)anadiendo un nuevo generador que no pertenezca a SL3(Z).

Primera construccion. El elemento mas natural, aunque no el unico, que podemos anadir a Ges −I. De este modo obtenemos a partir de cualquier subgrupo finito G de SL3(Z) un subgrupofinito de GL3(Z) definido por G = 〈G,−I〉. Este metodo da lugar a 24 subgrupos nuevos, uno porcada subgrupo abeliano de SL3(Z). En este caso se obtiene la Tabla 5.3.

Segunda construccion. La primera construccion solamente proporciona los subgrupos finitos deGL3(Z) que no sean subgrupos de SL3(Z) y que contengan a −I, pero no todos los subgrupos finitosde GL3(Z) que no sean subgrupos de SL3(Z) contiene a −I. Es necesaria una segunda construccion.Sea G un subgrupo finito de GL3(Z) tal que G 6⊆ SL3(Z) y −I 6∈ G. Sea G+ = {g ∈ G | |g| = 1} yG− = {g ∈ G | |g| = −1}. Podemos construir un nuevo grupo

G = G+ ∪ −G−

que, sorprendentemente, esta contenido dentro de SL3(Z) y es isomorfo a G mediante el isomorfismo

φ : G → G

g 7→

g si g ∈ G+

−g si g ∈ G−


Grupo Forma G en SL3(Z) G = 〈G,−I〉I P1 P1

Z2 P2 P2/m

B2 B2/m

Z3 P3 P3

R3 R3

Z4 P4 P4/m

I4 I4/m

Z6 P6 P6/m

Z2 × Z2 P222 Pmmm

C222 Cmmm

F222 Fmmm

I222 Immm

Z3 o Z2 P312 P31m

P321 P3m1

R32 R3m

Z4 o Z2 P422 P4/mmm

I422 I4/mmm

Z6 o Z2 P622 P6/mmm

(Z2 × Z2) o Z3 P23 Pm3

F23 Fm3

I23 Im3

(Z2 × Z2) o S3 P432 Pm3m

F432 Fm3m

I432 Im3m

Tabla 5.3: Subgrupos finitos de SL3(Z) y su extension mediante −I

Este isomorfismo nos proporciona un homomorfismo

α : Gφ−1

−−→G det−−→{±1}.

Para recuperar el grupo G a partir de G y de α basta calcular α−1(1) := {g ∈ G | α(g) = 1},α−1(−1) := {g ∈ G | α(g) = −1} y se tendra que el grupo

Gα := α−1(1) ∪ −α−1(−1).

es exactamente G. Ası pues, para cada uno de los subgrupos finitos G de SL3(Z) debemos encontrarlos homomorfismos no triviales α de G en C2 := {±1} y para cada uno de estos α debemos construirel correspondiente grupo Gα. Al hacer esto obtendremos todos los subgrupos finitos de GL3(Z)que nos faltan.

Sin embargo, conviene antes de llevarlo a cabo determinar cuando dos de tales homomorfismosnos conduciran a grupos Gα conjugados por matrices en GL3(Z).

Definicion 48. Sea G un subgrupo finito de SL3(Z) y α, β : G → C2 dos homomorfismos. Di-remos que α y β son semejantes, y lo denotaremos por α ∼ β, si existe algun elemento h en elnormalizador de G en GL3(Z) de modo que α(g) = β(hgh−1) para todo g ∈ G.


Lema 49. Los homomorfismos α, β son semejantes si existe un elemento h en el normalizadorde G en GL3(Z) de modo que α−1(1) = hβ−1(1)h−1.

Demostracion. Si α y β son semejantes entonces existe un h en el normalizador de G en GL3(Z) demodo que α(g) = β(hgh−1) para todo g ∈ G. Ası pues, g ∈ kerα si y solamente si hgh−1 ∈ kerβ.Por lo tanto α−1(1) = kerα = h kerβh−1 = hβ−1(1)h−1.

Recıprocamente, si α−1(1) = hβ−1(1)h−1 para algun elemento h en el normalizador de G enGL3(Z) entonces, como G = α−1(1)∪α−1(−1) = β−1(1)∪β−1(−1) y G = hGh−1 tambien podemosconcluir que α−1(−1) = hβ−1(−1)h−1 y por lo tanto que para todo g ∈ G, α(g) = β(hgh−1), loque prueba que α y β son semejantes.

Proposicion 50. Los grupos Gα y Gβ son conjugados en GL3(Z) si y solamente si α ∼ β.

Demostracion. Asumamos primero que Gα y Gβ son conjugados. Es decir, existe h ∈ GL3(Z) demodo que Gα = hGβh

−1. Puesto que el determinante de una matriz no cambia al conjugarla,

α−1(1) = hβ−1(1)h−1 y α−1(−1) = hβ−1(−1)h−1. (5.3)

Puesto que G = α−1(1) ∪ α−1(−1) = β−1(1) ∪ β−1(−1) podemos concluir que hGh−1 = G porlo que h es un elemento del normalizador de G en GL3(Z). Ademas, (5.3) claramente implica queα(g) = β(hgh−1) para todo g ∈ G por lo que α ∼ β.

Recıprocamente, si α ∼ β entonces existe un elemento h en el normalizador de G en GL3(Z) demodo que las igualdades en (5.3) son ciertas. Esto inmediatamente implica que Gα = hGβh

−1.

Conviene observar antes de seguir que

i) Dos subgrupos G1 y G2 de SL3(Z) proporcionan grupos 〈G1,−I〉, 〈G2,−I〉 semejantes enGL3(Z) si y solamente si G1 y G2 son semejantes en SL3(Z). En efecto, esto es una conse-cuencia de que el determinante de una matriz no cambia al conjugarla por otras matrices.

ii) Dados G y G1 dos subgrupos de SL3(Z) y α : G→ C2 un homomorfismo no trivial, los gruposGα y 〈G1,−I〉 no son semejantes en GL3(Z). En efecto, cualquier subgrupo semejante a〈G1,−I〉 debe contener a −I - pero en tal caso −I ∈ −α−1(−1) y ası α(I) = −1, lo que noes posible.

Aunque no tenemos un criterio universal para decidir si dos homomorfismos α, β : G→ C2 sonsemejantes, el siguiente resultado nos ayudara en la clasificacion.

Lema 51. Sea G un subgrupo finito de SL3(Z). Se tiene que

1. Si G tiene un solo homomorfismo no trivial en Z2, entonces α ∼ β ⇔ α = β.

2. Si el normalizador de G en SL3(Z) es G entonces α ∼ β ⇔ α = β.

3. Si G ∼= Ao Aut(A) para algun subgrupo abeliano maximal A de SL3(Z) entonces el norma-lizador de G en SL3(Z) es G.

Demostracion. El primer apartado, aunque muy util, es trivial; dedicaremos la demostracion alsegundo y al tercero.

Si α ∼ β entonces existe h en el normalizador de G en GL3(Z) de modo que α(g) = β(hgh−1)para todo g ∈ G. Cambiando h por −h si es preciso podemos asumir que h ∈ SL3(Z).

Por hipotesis, h normaliza a G y entonces h ∈ G; ahora bien, kerβ es un subgrupo normal deG por lo que h kerβh−1 = kerβ, de modo que, si g ∈ kerβ entonces α(g) = β(hgh−1) = 1. Puestoque kerα y kerβ tienen la misma cardinalidad (la mitad que la de G), entonces kerα = kerβ, yentonces α = β.


Demostremos ahora el tercer apartado. Puesto que la imagen isomorfa en G de A es tambienun subgrupo abeliano maximal de SL3(Z), podemos asumir sin perdida de generalidad que G =Ao Aut(A).

Dado un elemento h en el normalizador N de G en SL3(Z), y dado que Aut(G) es un grupofinito por serlo G, existe una potencia hn de h que conmuta con todos los elementos de G. Al ser Aun subgrupo abeliano maximal de SL3(Z), hn ∈ A - por lo tanto, el subgrupo G〈h〉 es un subgrupofinito de SL3(Z) que contiene a G.

Sin embargo, el Lema 46 asegura que cualquier subgrupo finito de SL3(Z) que contenga a Adebe estar contenido en G, y entonces G = G〈h〉. Ası pues, h ∈ G y el normalizador de G enSL3(Z) es el propio G.

Clasificacion por semejanza de los homomorfismos de los subgrupos finitos deSL3(Z) en C2

Procedemos a analizar uno a uno todos los grupos que han aparecido en clasificacion recogidaen la tabla 5.2.

Caso G ∼= Z2. Solamente hay un homomorfismo no trivial de α : G → C2 por lo que solamenteaparece un Gα por cada G. Obtenemos dos nuevos subgrupos Pm y Bm, uno procedente de P2y otro de B2 - estos grupos estan generados por los opuestos de los generadores de P2 y B2respectivamente.

Caso G ∼= Z3. Este grupo no admite homomorfismos no triviales en C2 por lo que no apareceningun nuevo subgrupo de GL3(Z). Nos quedamos entonces con P3 y R3.

Caso G ∼= Z4. Solamente hay un unico homomorfismo no trivial α : G → C2 por lo que P4 e I4proporcionan dos nuevos subgrupos P 4 e I 4. El subgrupo P 4 esta generado por el opuesto delgenerador de P4 y lo mismo sucede para I 4.

Caso G ∼= Z6. Solamente hay un unico homomorfismo no trivial de G en C2 por lo que en estecaso solamente aparece un nuevo subgrupo P 6, que esta generado por el opuesto del generador deP6.

Caso G ∼= Z2 × Z2. Aquı hay tres posibles subgrupos P222, C222, F222, I222 que estudiar. Doshomomorfismos α, β : G → C2 determinan dos nucleos kerα, kerβ que contienen solamente doselementos, siendo el elemento identidad uno de ellos. Ademas, α = β si y solamente si kerα = kerβ- esto nos indica que hay a lo sumo tres posibles homomorfismos no triviales G→ C2; mas aun, enlos casos P222, F222, I222, en el apartado dedicado a la clasificacion de los subgrupos finitos deSL3(Z), hemos visto que si N es el normalizador de G en SL3(Z) entonces todo automorfismo de Gse puede obtener como Adh : G→ G g 7→ hgh−1 para algun h ∈ N . El grupo de automorfismos de Ges isomorfo a S3 y actua permutando los tres elementos distintos del elemento identidad. Entonces,para cualesquiera subgrupos de orden 2 de G, como por ejemplo kerα, kerβ, existe h ∈ N talque kerα = h kerβh−1 - en vista del Lema 49 los homomorfismos α y β son semejantes. Esto nosmuestra que los casos P222, F222, I222 originan subgrupos Pmm2, Fmm2, Imm2 de GL3(Z).

El caso que nos falta por estudiar es C222. Aquı nuevamente hay tres homomorfismos distintosno triviales αi : G → C2 i = 1, 2, 3. Sin embargo, el normalizador de G en GL3(Z) induce ununico automorfismo de G (hemos visto que no se puede extender G a G o Aut(G) en GL3(Z)sino solamente a G o Z2). Sin perdida de generalidad podemos suponer que este automorfismopermutara kerα1 y kerα2 entre sı pero fijara kerα3 - esto indica que α1 y α2 seran semejantesmientras que α3 no sera semejante ni a α1 ni a α2. Aparecen entonces dos nuevos subgrupos nosemejantes entre sı dentro de GL3(Z), que llamaremos Amm2 y Cmm2.

Caso G ∼= Z3oZ2. Cualquier elemento de orden 3 deG debe pertenecer al nucleo del homomorfismoα : G → C2, por lo que hay un unico homomorfismo no trivial. De este modo P312, P321 y R32proporcionan P3m1, P31m y R3m respectivamente.


Caso G ∼= Z4oZ2. En este caso, gracias al Lema 51, sabemos que la semejanza de homomorfismoses lo mismo que la igualdad. Hay tres posibles homomorfismos no triviales de Z4 o Z2 en C2

correspondientes a las distintas posibles imagenes de los dos generadores de Z4 oZ2. Por lo tanto,P422 proporciona subgrupos P4mm,P 42m y P 4m2 mientras que I422 proporciona subgruposI4mm, I 42m e I 4m2.

Caso G ∼= Z6oZ2. Este es un caso similar al anterior ya que tambien la semejanza de homomorfis-mos equivale a la igualdad y hay tres posibles homomorfismos de Z6 oZ2. Proporciona subgruposP6mm,P 62m y P 6m2.

Caso G ∼= (Z2 × Z2) o Z3. Este es un caso muy especial. En primer lugar, el homomorfismoα : G → C2 envıa todos los elementos de orden 3 a 1. De esta manera, α queda determinado porsu restriccion al subgrupo isomorfo a Z2 × Z2. Aunque hay homomorfismos no triviales de estegrupo a C2, en este caso no pueden aparecer; el motivo es que Z2 × Z2 esta contenido dentro delsubgrupo derivado11 de (Z2 × Z2) o Z3 y cualquier homomorfismo de (Z2 × Z2) o Z3 en C2 debeenviar al subgrupo derivado a 1. Por lo tanto este caso no origina nuevos subgrupos.

Caso G ∼= (Z2 × Z2) o S3. En este caso la semejanza de homomorfismos es lo mismo que laigualdad. Nuevamente Z2 × Z2 esta contenido en el nucleo de cualquier homomorfismo en C2 yaque es un subgrupo del grupo derivado, y entonces basta estudiar los homomorfismos S3 → C2.

Los elementos de orden 3 pertenecen al nucleo de este homomorfismo, ası que en realidadsolamente hay un homomorfismo: el correspondiente a la signatura de las permutaciones. Por lotanto cada una de las posibilidades de G inducira un unico Gα, lo que nos proporciona tres nuevossubgrupos: P 43m,F 43m e I 43m.

Como conclusion de este estudio se obtiene la Tabla 5.4.

11El subgrupo derivado de G es el subgrupo generado por los elementos de la forma x−1y−1xy (conmutadores)- la imagen de cualquier conmutador por un homomorfismo G→ C2 es 1.


Grupo Formas en SL3(Z) Adjuncion de −I Homomorfismos

I P1 P1

Z2 P2 P2/m Pm

B2 B2/m Bm

Z3 P3 P3

R3 R3

Z4 P4 P4/m P4

I4 I4/m I4

Z6 P6 P6/m P6

Z2 × Z2 P222 Pmmm Pmm2

C222 Cmmm Amm2, Cmm2

F222 Fmmm Fmm2

I222 Immm Imm2

Z3 o Z2 P312 P31m P3m1

P321 P3m1 P31m

R32 R3m R3m


I422 I4/mmm I4mm, I42m, I4m2


(Z2 × Z2) o Z3 P23 Pm3

F23 Fm3

I23 Im3

(Z2 × Z2) o S3 P432 Pm3m P43m

F432 Fm3m F43m

I432 Im3m I43m

Tabla 5.4: Subgrupos finitos de GL3(Z) salvo semejanza.

Bibliografıa

[1] Auslander, L. y Cook, M.: An algebraic classification of the three-dimensional crystallographicgroups, Advances in Applied Mathematics, 32, 1-21, (1991).Este es el artıculo de referencia en el que se basa este trabajo. El capıtulo dedicado a la cla-sificacion aritmetica de los grupos cristalograficos se ha obtenido de el, corrigiendo algunoserrores menores y ampliando las demostraciones. Los autores no mencionan el uso de la clasifi-cacion de modulos sobre dominios euclıdeos en su trabajo, aunque para obtener ciertas formascanonicas que presentan sin justificacion no parece haber otra aproximacion mas natural. Esun gran trabajo que permite demostraciones claras y elegantes.

[2] Dummit, D.S. y Foote, R. M.: Abstract Algebra, Tercera edicion, John Wiley & Sons, Inc.,2004.En este libro puede encontrarse la demostracion de que los enteros de Gauss y los enterosde Eisenstein son ejemplos de dominios euclıdeos y la clasificacion de los modulos finitamentegenerados sobre dominios de ideales principales (y en particular sobre dominios euclıdeos). Estelibro tambien contiene todas las definiciones y resultados relativos a grupos que se estudianen el grado en Matematicas. En el se pueden encontrar el Teorema de Cauchy, el Teorema pqde Burnside y los resultados acerca de grupos resolubles que se usan en este trabajo.

[3] Hahn, T.: (Redactor), Intenational Tables for Crystallography, Volume A: Space Group Sym-metry, Springer, 2002. Quinta edicion.La serie de tratados International Tables for Crystallography son textos de referencia en elambito cristalografico publicados conjuntamente con la Union Internacional de Cristalografıa.El volumen A, de 938 paginas, ha sido muy util en este trabajo a la hora de abordar las clasescristalinas y la notacion de Hermann-Mauguin.

[4] Hiller, H.: Crystallography and Cohomology of Groups. The American Mathematical Monthy,Vol. 93, No. 10, 1986.Este trabajo de divulgacion da una estupenda idea del contenido y las tecnicas de la cris-talografıa matematica. Se trata de un trabajo para matematicos, con el rigor propio de laMatematica. Ha sido de gran ayuda.

[5] Hungerford, T.W.: Algebra. Springer, 1974.Este es otro libro de referencia en cuanto a teorıa de grupos, anillos y modulos.

[6] Johnson, R. W.: Unimodularly invariant forms and the Bravais lattices, Advances in AppliedMathematics 12, 22-56(1991).Este artıculo complementa al de Auslader y Cook intentando establecer un puente entre laforma en que los grupos aparecen clasificados en ese trabajo y la forma en que aparecen enlos textos de referencia para cristalografos. El trabajo es matematicamente riguroso abordan-do, por ejemplo, los retıculos de Bravais como clases de formas bilineales definidas positivasinvariantes por un grupo.

[7] Kraus, E. H.: Essentials of crystallography, Nabu Press, 2013. Reimpresion de la edicion de1923.

56

BIBLIOGRAFIA 57

Es un libro elegantemente escrito y con bellos modelos geometricos de cuerpos geometricospertenecientes a los distintos sistemas cristalinos.

[8] Vinber, E.B. (Editor): Geometry II. Spaces of Constant Curvature, Encyclopaedia of Mathe-matical Sciences, Vol. 29, Springer-Verlag, 2013.La parte Discrete groups of motions of spaces of constant curvature cuyos autores son E.B.Vinberg y O.V. Shvartsman trata en el capıtulo 3 los grupos cristalograficos. Este libro esuna maravilla desde el punto de vista matematico ya que al tratar grupos relativos a distin-tas geometrıas proporciona el grado de abstraccion necesario para comprender correctamenteque es un grupo cristalografico sin las limitaciones del espacio euclıdeo de dimension tres.Al igual que el artıculo de H. Hiller contiene una descripcion de como clasificar los gruposcristalograficos a traves del primer y segundo grupo de cohomologıa de determinados grupos.

[9] http://www.cryst.ehu.es/Servidor cristalografico de la Universidad del Paıs Vasco. Contiene, entre mucho otro material,datos matematicos acerca de los grupos puntuales y su teorıa de la representacion.

[10] http://csi.chemie.tu-darmstadt.de/ak/immel/index.htmlLa pagina del Stefan Immel en el Instituto de Quımica Organica (Technical University ofDarmstadt) contiene imagenes tridimensionales de muy alta calidad con los elementos desimetrıa de los grupos puntuales al igual que sus proyecciones estereograficas.

[11] http://www.iucr.org/La pagina de la Union internacional de cristalografıa centraliza mucha informacion y recursosacerca de cristalografıa. Mantiene un diccionario online de terminos cristalograficos. Desafortu-nadamente las definiciones no tienen el rigor propio de la Matematica. La siguiente definicion,central en este contexto, es un ejemplo: Geometric crystal classes (or simply ’crystalclasses’): classify the symmetry groups of the external shape of macroscopic crystals, namelyaccording to the morphological symmetry. There are 10 two-dimensional geometric crystal clas-ses and 32 three-dimensional geometric crystal classes, in one to one correspondence with the10 and 32 types of point groups in E2 and E3, respectively. Claramente se esta describiendola utilidad y alguna propiedad de las clases cristalinas geometricas pero no se esta aportandosu definicion.

[12] http://symmetry.otterbein.edu/challenge/index.htmlLa pagina de recursos relativos a la simetrıa de la Universidad de Otterbein es realmenteinteresante desde un punto de vista educativo. Contiene applets para descubrir de modo in-teractivo los sistemas cristalinos de distintas moleculas.

[13] http://ocw.uniovi.es/course/view.php?id=94El curso acerca de cristalografıa de la Universidad de Oviedo dentro de su oferta OpenCour-seWare es un excelente recurso para aprender los fundamentos de la cristalografıa que se haelaborado con notable pulcritud cientıfica.

[14] http://www.xtal.iqfr.csic.es/Cristalografia/Pagina del Consejo Superior de Investigaciones Cientıficas dedicadas a la Cristalografıa. Esuna pagina muy amplia pero en la que se ha hecho un esfuerzo para proporcionar un primercontacto sencillo con la cristalografıa y da a la vez una vision muy clara de la importancia de lacristalografıa en el contexto cientıfico actual. En La Rioja se senala a La Unidad Centralizadade Difraccion de Rayos X como el grupo como un grupo cientıfico con intereses cristalograficos.

TRABAJO FIN DE GRADO Grupos Cristalográficosndices racionales acerca de la proporci on en que los...

Documents

Transcript of TRABAJO FIN DE GRADO Grupos Cristalográficosndices racionales acerca de la proporci on en que los...