REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN

UNIDAD EDUCATIVA COLEGIO PABLO NERUDA BARQUISIMETO ESTADO LARA

INTEGRANTES: García, Ricardo Marchán, Roger Colmenárez, Diego Goyo, Jorge Mavares, Danilo

AÑO Y SECCIÓN: 5º B

BARQUISIMETO, NOVIEMBRE 2014

ESPACIO VECTORIAL

El Espacio 3R

El espacio 3R Es el conjunto de ternas ordenadas (X, Y, Z) de números reales,

es decir, ( ){ }RZRyRXZYXR ∈∈∈== ,,,,3 por lo tanto cada punta P del

espacio 3R se puede representar por una terna de números reales (X, Y, Z) llamadas

coordenadas del punto P y anotamos ),,( ZYXP = .

Ejemplo:

• Son las puntas del espacio ( )3,2,2/1);4,3,1(:3 −=−= qPR

• Representación de puntos en el espacio 3R

Plano Zy

Z+

X-

y+ y

-

X+

Z-

Plano XZ

Plano Xy

Para representar un punto ),,( ZYXP = , primero representamos las

coordenadas X, y de P en el plano XY, lo cual de un punto en el plano XY, luego

partiendo de este punto, subimos o bajamos (de acuerdo al signo de Z Z unidades en

línea paralela al y Z podrás notar que plano ( ){ }RYXOYXXY ∈= ,:,, : plano

( ){ }RZXZOXXZ ∈= ,:,, ; plano ( ){ }RYXOYXYZ ∈= ,:,,

Ejemplo: P (3,2,4) en 3R

Dirección de una Recta en el Espacio

Para caracterizar la posición de una recta en el espacio no solo hace falta saber

la ubicación de dos de sus puntos sino que se debe tener conocimiento de su

dirección, la cual queda determinada por la dirección del vector libre que ella

Z

Y

2

XY X

contiene. Consideremos la recta ℓ, dicha recta contiene a los vectores BAyAB

tales que ( ) ( )222111 ,,,, ZYXByZYXA .

La dirección del AB esta determinada por los cosenos de los ángulos que

forma con los ejes coordenadas. A esos cosenos los denominaremos coseno

directores, y son:

d

ZZ

d

YYb

d

XX 121212 cos,cos,cos−=−=−= αα

Módulo o Distancia entre dos Puntos en el Espacio

Sean los puntos ( ) ( )22221111 ,,,, ZYXPyZYXP en el espacio. La distancia de

21 PPd = está dada por ( ) ( ) ( ) ( )212

212

21221 ZZYYXXPPd −+−+−=

Dados los puntos ( ) ( )2,1,3,3,5,1 −− BA hallar la distancia y dirección

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) 55

25364

5512

32)5(113

222

222

212

212

212

=

++=

−+++=

−−+−−+−=

−+−+−=

ABd

ABd

ABd

ABd

ZZYYXXABd

''98,51'59º35

)8,0(cos

8,0cos

55

6cos

55

51cos

55

)5(1cos

cos

1

12

==

=

=

−=

−−=

−=

−

ββ

β

β

β

β

βd

YY

Vectores en el Espacio

Si p y q son puntos del espacio, llamamos vector pq al segmento orientado

de origen p y extremo q. Al vector pq en el espacio lo representamos por pq

o también mediante una letra, así U

''2,17'21º74

)26,0(cos

26,0cos

55

2cos

55

13cos

cos

1

12

=

=

=

=

−=

−=

−

α

α

α

α

α

αd

XX

''36,31'23º132

)7,06(cos

67,0cos

55

5cos

55

32cos

cos

1

12

=−=

−=

−=

−−=

−=

−

φφ

φ

φ

φ

φd

ZZ

Y

d

c X

e

c

b

Z

Elementos de un Vector

a) la dirección está determinada por la recta que contiene al vector

b) Sentido: viene dado por la orientación que se le haya dado al segmento y se

indica por la punta de la flecha

c) Módulo: Es la longitud del segmento que define al vector

Vectores Equipolentes o Iguales

Dos o más vectores del espacio, son equipolentes o iguales si tienen la misma

dirección, módulo y sentido.

Y

X

Z

5 cm

a

b

cdab ≈

Componentes de un Vector

Los componentes de un vector V , son los componentes del punto

( )ZYXp ,,= que le corresponde en el espacio ( ),,, ZYXpV ==

Ejemplo: Si ( ) ( )4,3,24,3,2 == opentoncesp

Si ( ),4,3,2=VopaeequipolentesV

Y

X

Z

a

b d

c

Terminación de los Componentes de un Vector en el Espacio

( ) ( ),,,,, 222111 ZYXbyZYXaSi == entonces los componentes del vector

ab son:

( )121212 ,, ZZYYXXab −−−=

Ejemplo:

1) Si ( ) ( )13,43,2,1 −== bya hallar los componentes de ab

( )

( )

( )2,5,3

31,23,14

,, 121212

−−=

−−−−=

−−−=

ab

ab

ZZYYXXab

Y

X

5 cm

a

( )4,3,2p

2

3

4

2) Sea ( )321 ,, SSSS = el origen del vector equipolente a pq , cuyo extremo

es ( ) ( )74,56,2,4 −−=−= Pqyτ

( ) ( )

( )13,2,9

1329

764254

764254

7,4,56,2,4.

321

321

321

321

−=

=−===+=−=+

−=−=−−−=−

−−=−−−−⇒=

S

SSS

SSS

SSS

SSSPqS τ

Operaciones con Vectores en el Espacio

Adición de Vectores en 3R

La adición de vectores en 3R en una operación que hace corresponder a los

vectores ( ) ( )321321 ,,,,, bbbbaaaa ==

En vector suma ( )332211 ,, babababa +++=+