UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCO

FACULTAD DE INGENIERIA

PROGRAMA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA DE SISTEMAS

PROFESOR: ING FREDY CRUGGER

ALUMNO: LUIS ANTONIO CORNEJO OLIVERA

CODIGO: 032390-J

CUSCO, MAYO DEL 2010

METODO PARA GENERAR VARIABLES ALEATORIAS: Método de la transformada Inversa, Método de Consolidación, Método de Composición y Método

de aceptación y rechazo

GENERACION DE VARIABLE ALEATORIAS: INTRODUCCION

De forma general, el proceso de simulación necesita la generación de datos semejantes a los que se producen en la realidad, lo que precisa la posibilidad de generar variables aleatorias de varias distribuciones, por ejemplo la exponencial que es muy usada en casos de estudio de colas.El algoritmo concreto a utilizar dependerá de la distribución a generar, pero de forma general tendrá las siguientes etapas:

Características deseables: Exacto si es posible (existen métodos aproximados). Eficiente: poco almacenamiento, rápido y robusto. sencillo, fácil de comprender y de implementar. Que precise solo números U(0,1) y, si es posible un numero genere una variable

METODOS PARA GENERAR VARIABLES ALEATORIAS

Método de la Transformada Inversa Método de Convolución Método de Composición Método de Aceptación / Rechazo

METODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA

-Puede ser usada para muestrear distribuciones exponencial, uniforme, Weibull y triangular.-Es usada como base para muestrear una gran variedad de distribuciones discretas.-Es la técnica más fácil, pero no siempre es la más eficiente en términos computacionales.

Sea X la variable aleatoria cuya función de distribución es

Se genera un número aleatorio uniforme entre 0 y 1, u , y luego se determina x tal que

Supongamos que la variable tiene distribución exponencial con para siendo

la media de la distribución. Dado un numero aleatorio tal que ,

luego .

Generar uno a más números aleatorios U (0,1

Transformación

dependiente de la

distribución

Obtener X de la distribución deseada

Otra aplicación directa de este procedimiento es para la distribución uniforme en un intervalo

cualquiera (a, b). La función de distribución en este caso es si (0 para

valores menores y 1 para valores mayores) y dado un numero aleatorio tal que , se

tiene que .

La distribución Weibull es otra distribución para la que se puede aplicar este procedimiento

directamente. La función de densidad de una distribución Weibull de media ,

es , con lo que la función de distribución se obtiene de forma

inmediata , .Así , dado un valor aleatorio uniforme en (0,1), , el valor

generado sería .Aunque éste es el procedimiento más extendido, sin embargo, muestra una dificultad fundamental para su aplicación, la necesidad de conocer explícitamente la función de distribución. La forma habitual de caracterizar una distribución absolutamente continua es mediante su función de densidad, de ahí que se hayan diseñado otros procedimientos basados en esta función.

Ejemplo: Generar datos con distribución exponencial con , para =0,5520 Sol:

Se obtiene

u a0.552 0.3961

0.4881 0.47820.7512 0.19070.3124 0.77560.5696 0.37520.7238 0.21550.9438 0.0386

METODO DE LA TRANSFORMADA DIRECTA

-Técnica intuitiva de transformación directa que produce un par de variables normales estándar independientes una de otra con media cero y varianza uno.-No es tan eficiente pero es fácil de implementar en distintos tipos de lenguajes de programación

METODO DE CONVOLUCION

-La distribución de probabilidad de la suma de dos o más variables aleatorias independientes es llamada la convolución de las distribuciones de las variables originales.-El método de convolución es entonces la suma de dos o más variables aleatorias para obtener una nueva variable aleatoria con la distribución de probabilidad deseada.-Puede ser usada para obtener variables con distribuciones Erlang y binomiales.-Muchas v.a. se pueden expresar de forma exacta o aproximada mediante la suma lineal de otras v.a.-Este método se puede usar cuando la v.a. x se puede expresar como una combinación lineal de kv.a.,

-Se necesita generar k números aleatorios para generar v.a. y así obtener el valor final.

METODO DE COMPOSICION

El tercer método existente para la generación de variables aleatorias utilizando computadoras es el llamado método de composición o método de mezclas.Mediante este método la distribución de probabilidad fX (x) se expresa como una mezcla de varias distribuciones de probabilidad fi (x) seleccionadas adecuadamente.

Cada fragmento se expresa como producto de una función de densidad y un peso, y la función global queda como

Con

La guía para la selección de los fi (x) esta dada sobre las consideraciones relativas a la bondad

de ajuste y el objetivo de minimizar donde es el tiempo esperado de computación para generar valores de variables aleatorias a partir de fi (x).Los pasos requeridos para la aplicación de este método en la simulación de variables aleatorias sonlos siguientes:Algoritmo 4.1 Método de composición

1. Dividir la distribución de probabilidad original en sub áreas.2. Definir una distribución de probabilidad para cada sub área.3. Expresar la distribución de probabilidad original en la forma siguiente:

4. Obtener la función de distribución de las áreas.

5. Generar dos números aleatorios R1 y R2.6. Seleccionar la distribución de probabilidad fi (x) con la cual se va a simular el valor de X. Laselección de esta distribución se obtiene al aplicar el método de la transformación inversa, en lacual el eje de las ordenadas esta representado por la distribución acumulada de las áreas, y el ejede las abscisas por las distribuciones fi (x). Para esta selección se utiliza el numero aleatorio R1.7. Utilizar el numero aleatorio R2 para simular por el método de la transformada inversa o algún otro procedimiento especial, números al azar que sigan la distribución de probabilidad fi (x)seleccionada en el paso anterior.

Ejemplo: Se desea generar variables aleatorias de la siguiente distribución de probabilidad:

Siguiendo los pasos descritos previamente, la generación de variables aleatorias, puede ser resumida en los siguientes pasos.

1. La distribución de probabilidad original, se va ha dividir en dos áreas, definidas por los

limites de la misma, entonces estas áreas son: que es el área definida en el

intervalo y que corresponde al área definida en el intervalo

2. En seguida se determinan las distribuciones de probabilidad y distribución acumulada de las áreas definidas en el paso anterior

y

y 3. La distribución de probabilidad original, se puede expresar como:

4. Con las áreas y distribuciones fi(x) definidas en los pasos anteriores, la distribución acumulada de las áreas sería

½, si x esta definido en

= 1, si x esta definido en

5. Generar dos números aleatorios R1 y R26. Si R1<1/2, entonces se simulan valores de la distribución fX(x)1:

En caso contrario, se simulan valores de la distribución fX(x)2:

7. Repetir los pasos anteriores tantas veces como se desee.

Con estos pasos, generamos una muestra aleatoria de tamaño n=10000, y obteniendo el histograma con el respectivo ajuste de datos

METODO DE ACEPTACION/RECHAZO

-Se generan variables aleatorias con alguna distribución y son aceptadas si cumplen con una condición determinada, sino son rechazadas.-La eficiencia de esta técnica depende grandemente en ser capaz de minimizar el número de rechazos.-La número medio de dígitos aleatorios requerido para generar una variable X es uno más que el número de rechazosSe utiliza cuando es imposible o extremadamente difícil expresar x en función de la transformada

inversa .

Sea f la función densidad de probabilidad. Este método precisa una función que sea mayor que f, tal que g(x) ≥f(x) para todo x.g(x) no será una función densidad puesto que:

Para c ≤∞, entonces h(x)=g(x)/c es una función densidad.

Algoritmo1. Generar Y teniendo una densidad h.2. Generar U de U(0,1), independiente de Y.3. Si U ≤ f(Y)/g(Y), entonces hacer X←Y, sino volver al paso 1.El algoritmo continúa haciendo este bucle sobre el paso 1 hasta que se genera un (Y,U) para el que U ≤ f(Y)/g(Y) (hasta que aceptamos el valor de Y para Z). La variable aleatoria Z generada por el algoritmo anterior tiene una función densidad f.¿Cómo elegir g?• Hay que intentar elegir g de modo que la variable aleatoria Y se pueda generar rápidamente,• La probabilidad de aceptar Y debiera ser grande (c próxima a 1), lo que significa que g debe estar próxima a f.Ejemplo:

La distribución Beta (4,3) tiene una función densidad f(x) = 60 x3 (1 – x)2 0 ≤ x ≤ 1El valor máximo de f se alcanza para x=0,6 y f(0,6) = 2,0736.Si definimos g(x)=2,0736 para 0 ≤ x ≤1, entonces g es mayor que f.Algoritmo:1. Generar Y y U de U(0,1).

2. Si Entonces hacer X=Y; sino rechazar el valor de Y y volver al paso 1.

ELECCION DEL METODO ADECUADO

• Si la función de distribución se puede invertir utilizar inversión.• Si la función de distribución es la suma de otras funciones de distribución utilizar composición.• Si la variable aleatoria es composición de otras variables aleatorias utilizar convolución• Si existe una función que maximice a función densidad utilizar aceptación rechazo.• Si existe algún tipo de relación utilizar métodos específicos.

METODOS PARA GENERAR VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

• Uniforme: Transformada inversa• Exponencial: Transformada inversa• Erlang: Convolución• Gamma: Aceptación-rechazo• Weibull: Transformada inversa• Normal: Transformación directa• Triangular: Transformada inversa• Empírica: Transformada inversa• Bernoulli: Transformada inversa• Uniforme: Transformada inversa• Discreta arbitraria: Transformada inversa• Binomial: Convolución• Geométrica: Transformada inversa• Poisson: Aceptación-rechazo

CONCLUSIONDado que existen varios métodos para generar variables aleatorias continuas, y también discretas, se debería profundizar en el tema de estudio para poder reconocer bien con que método se puede trabajar, en lo que respecta a mi proyecto, se trabajara con el método exponencial y la transformada inversa ya que se trabajara con colas y tiempos de espera.El método de aceptación- rechazo no me parece que es muy acertado en las respuestas ya que tiene que cumplir con ciertas condiciones, sino se rechaza, asi que se tiene que procurar obtener la mínima cantidad de rechazos.