Trabajo de Probabilidades (1)

5/24/2018 Trabajo de Probabilidades (1)

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Integrantes:

- Aburto Falcn, Katherine- De La Sota Crdova, Shirley Alexandra- Daz Milla, Jhosselyn Fiorella- Paredes Azaedo, Lady

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Integrantes:

- Aburto Falcn, Katherine- De La Sota Crdova, Shirley Alexandra- Daz Milla, Jhosselyn Fiorella- Paredes Azaedo, Lady


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PROBABILIDAD

CONCEPTOS BASICOS DE LA

TEORIA DE CONJUNTOS

TERMINOS DE

PROBABILIDAD Y

OPERACIONES

ENTRE LOS

CONJUNTOS

ENFOQUES DE

PROBABILIDAD

TRCNICAS DE

CONTEO

REGLAS DE

PROBABILIDAD

DETERMINA POSIBILIDADES

DE OCURRENCIA

SOLUCION A PROBLEMAS

En corres ondencia con


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CONCEPTOS BSICOS DE PROBABILIDAD.

HERNDEZ Lerma Onsimo, Elementos de Probabilidad y EstadsticaLIPSCHUTZ Seymour, Probabilidad, Editorial McGraw-Hill, 2da Edicin,2001.MEYER, Paul L. Probabilidad y Aplicaciones Estadsticas. FondoLas Probabilidades pertenecen a la rama de la matemtica que estudia ciertosexperimentos llamados aleatorios; o sea, regidos por el azar, en que se conocentodos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cul ser enparticular el resultado del experimento.

LA PROBABILIDADes el estudio de los fenmenos de los que no estamosseguros de su ocurrencia.

EXPERIMENTO:es un fenmeno observable perfectamente definido.

Experimento aleatorio y determinstico

Experimento aleatorio:es aquel que no se puede prever el resultado.

Experimento determinstico:no se puede prever el resultado (aleatorio)

Cmo se distingue un fenmeno determinstico de un aleatorio?

En los determinsticos podemos prever el resultado. En los aleatorios no se puede prever el resultado debido a su naturaleza

aleatoriaya que se tienen varios resultados.

Espacio Muestral ( S ).El conjunto de todos los posibles resultados de unexperimento, pudiendo ser tambin el equivalente del conjunto universal entrminos de la teora de conjuntos.

El espacio muestral se clasifica en dos tipos:

Espacio Muestral Discreto:Es aquel en el cual los resultados se puedenenumerar.Espacio Muestral Continuo: Este se define en intervalos de la recta de losnmeros reales.Los espacios muestrales discretos a su vez se dividen en dos tipos:

Espacios muestrales discretos finitos.


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Espacios muestrales discretos infinitos

Evento.Un evento es algn subconjunto del espacio muestral

Evento Simple (E).Cada uno de los posibles resultados de un experimento y que

No se puede descomponer.

Evento Compuesto.Los eventos A, B, C, etctera, son eventos compuestos si secomponen de dos o ms eventos simples.

Evento simple: Si lanzamos un dado al aireA = {evento que salga un # impar}A = {1, 3, 5}B = {el nmero sea 4 } = { 1, 2, 3, 4 }Evento Compuesto: Lanzamiento de dos monedas

A = el evento de observar una caraA = {HH, HT, TH, TT }

PROBABILIDAD DE UN EVENTO

La probabilidad de un evento A, P(A) es la suma de las probabilidades de todoslos puntos de muestreo contenidos en el evento A.

P(A) =

PROBABILIDAD DE UN EVENTO =

Donde n(A) es el nmero de veces que ocurre el evento en el experimentoaleatorio,Y n(S) es el espacio muestral del experimento aleatorio

AXIOMAS DE LA PROBABILIDAD

Axioma 1: La probabilidad de un evento existe y es un nmero mayor o igual a

cero0 P(A)

Axioma 2: La probabilidad de todo el espacio muestral es 1. P(S)=1

Axioma 3: Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes P(AUB)=P(A)+P(B)


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TEORIA DE CONJUNTOS

El concepto de Conjunto aparece en todas las ramas de las Matemticas. Demanera intuitiva, un conjunto (1) es cualquier lista bien definida o cualquiercoleccin de objetos, y ser representado por las letras maysculas A, B, Y, X,

Un conjunto:es la reunin en un todo de objetos bien definidos y diferenciablesentre s, que se llaman elementos del mismo. O tambin puede ser unacoleccin de objetos.


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ESTADSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL

Antonio Vargas Sabadas

Experimentos aleatorios

Llamamos experimento a cualquier proceso que genera un conjunto de datos, losresultados de un experimento dependen del azar, un ejemplo es el lanzamiento de undado sobre una mesa el nmero en la cara superior no puede predecirse.

Un experimento se dice aleatorio cuando sus posibles resultados son posibles y cadaprueba depende del azar. Se estudian a partir de una muestra representativa.

Un problema en la investigacin es el tener que decidir a partir de los datos aportadospor un experimento sobre la validez o no de un planteamiento previamente establecido.

Para ello el investigador necesita establecer una hiptesis nula y otra alternativa, ladecisin est basada en un conjunto de clculos.

El concepto de probabilidades la base que permite adoptar la decisin adecuada.

Operaciones con sucesos

Llamamos espacio muestral, al conjunto de todos los resultados posibles de unexperimento aleatorio y lo vamos a representar por E.

Ej. Cuando lanzamos un dado, el espacio muestral es:

{ }Llamamos suceso a cada uno de los posibles subconjuntos del espacio muestral. Ashablaremos del sucedo para obtener par en el lanzamiento de un dado, estar formado

por:

{ }

Se llamaran sucesos elementales cuando no se pueden descompones en sucesos mssimples.


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Sea E el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio, los sucesos secomportan como conjuntos, admitiendo operaciones de unin e interseccin, van atener una estructura de lgebra de Boole.

Interseccin de sucesos: la interseccin de los sucesos A y B se representa

si

se verifica A y B a la vez.

En el experimento del dado si consideramos { }y { }, el suceso interseccin ser:

{ }Cuando 2 sucesos no tienes el mismo lugar como { } eI={ }, P e I son incompatibles y se representa por el smbolo .Unin de sucesos: la unin de los sucesos A y B se representan si se verifica A,B o ambos a la vez.

En el lanzamiento de un dado, { } y { }, el suceso unin de A y B es: { }

Suceso contrario: Cuando el contrario del suceso A se representa A, tiene lugarsiempre que no se verifica A

El suceso contrario del suceso { } es { }. La unin de ellos tiene lugar y se llama sucesoseguro.

Relacin de contenido: el suceso A est contenido en el suceso B, se representa cuando tiene lugar A se verifica B.Cualquier suceso A est contenido en el suceso seguro:

Y tambin se cumple que el suceso imposible est contenido en todo suceso:

Igualdad de sucesos: Los sucesos A y B son iguales, lo representamos A=B, si A B y B A.


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Otras operaciones y relaciones entre sucesos

Diferencia de sucesos: La diferencia de dos sucesos A y B, que vamos arepresentar por A-B, es el suceso que tiene lugar cuando se verifica A y no tiene

lugar B.

Definicin de Probabilidad

Consideremos un experimento aleatorio, al que tenemos asociado un espaciomuestral (E,U), siendo U una lgebra de sucesos de E. Se define probabilidadcomo una aplicacin P de U en el conjunto de los nmeros reales.

Que verifica los siguientes axiomas:

I. II. Si , siendoincompatibles dos a dos, se verifica

III.

En esta definicin intervienen 3 elementos: el suceso seguro E, el lgebra U desucesos E y la aplicacin P.A. la terna (E,U,P) formada por estos tres elementos sele denomina espacio probabilstico o espacio de probabilidades.

Propiedades de la probabilidad

1. Si A es el suceso contrario de A, es

En efecto, por el tercer axioma, es Y, por el segundo axioma, al ser A y A incompatibles,

Luego , de donde resulta


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A-B

B-A

2. En efecto, , y, por la propiedad 2, es

3. Si y En efecto, si , siendo y incompatibles. Por elaxioma 2, ser

, y, como

por el primer

axioma, debe ser .4. ,cualquiera que sea .En efecto, cualquiera que sea A, A est contenido en E, luego

5. Dado los sucesos cualesquiera A y B de U, se verifica En efecto, el suceso se puede poner como la unin de tres sucesos

incompatibles:

De modo que:

Tambin los sucesos A y B se pueden poner como unin de dos sucesosincompatibles:

y

6. Esta propiedad es una consecuencia de la anterior.7. Si el espacio muestral est formado por un nmero finito de sucesos

elementales, { }, ser:{} {} {}

A B


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Los sucesos elementales son incompatibles dos a dos, luego

{} {} {} {} {} {} 8. Sea { }, donde son conocidas {} {} {}.

Entonces, si un suceso A est formado por k sucesos elementales,

{ },se verifica:

Asignacin de probabilidades

El tipo de suceso ms frecuente en la prctica diaria nos obliga a hacer unarestriccin, que nos va a conducir en la definicin clsica de probabilidad oregla de Laplace.Sea un espacio muestral finito, donde { } y la -lgebra desucesos es la clase de las partes de . Si es admisible el axiomaadicional de que todos los sucesos elementales son equiprobables, es

decir:

{} {} {}

Ser: {} {} {} {} Y, por tanto {} , para Entonces, si un suceso A de P(E) est formado por k sucesos elementales,ser:

{}

Donde k es el nmero de veces que se da el suceso A (casos favorables),en tanto que n es el nmero de pruebas realizadas (casos posibles).

Podemos expresar la relacin anterior en la forma:


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Este resultado se conoce como regla de Laplace .

Probabilidad condicionada

Sea (E, U, P) un espacio probabilstico y A un sucedo de U tal que P(A)>0.Entonces, para todo suceso B de U se define probabilidad del suceso B

condicionado por A, y se representa por P(B/A), como

( )

Sucesos dependientes e independientes

Independencia de sucesos: Dados dos sucesos A y B de un espacio

probabilstico (E, U, P), se dice que el suceso B es independiente de A si

P(B / A)=P(B)

Sucesos independientes dos a dos: Los sucesos de una familia S se diceque son independientes dos a dos cuando A y B sonindependientes.

Sucesos mutuamente independientes: Los sucesos de una familia S sedicen que son mutuamente independientes si para toda subfamilia finita

{ }de sucesos de S, se verifica queP(A1 A2 Ak) = P(A1)P(A2)P(Ak)

Teorema de probabilidad total y de Bayes


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Probabilidad

Estadstica y probabilidad el mundo de los datos y el azar. AutorDomnguez Domnguez, Mxico Oxford 2006

PROBABILIDAD.-Medida numrica asociada con algn resultado e indica que

tanprobable es que el resultado pueda ocurrir.

EXPERIMENTO.- Es cualquier proceso que genera una observacin.

ESPACIO MUESTRAL.-Es el conjunto de todos los posibles resultados de unexperimento aleatorio.

SUCESOS ALEATORIOS O EVENTO.- Son los resultados posibles de unexperimento aleatorio.

RELACIN ENTRE EVENTOSEspacios muestrales discretos: Son espacios muestrales cuyos elementosresultan de hacer conteos y por lo general son subconjuntos de los nmerosenteros.

Espacios muestrales continuos Son espacios mustrales cuyos elementosresultan de hacer mediciones y por lo general son intervalos en la recta Real.

Unin de eventos: Dados dos eventos A y B de un mismo espacio muestral suunin se representa por A

B y es el evento que contiene los elementos que estn

en A o en B, o en ambos. El evento ocurre si al menos uno de los dos eventosocurre.

Intercepcin de eventos: Dado dos eventos Ay B de un mismo espacio muestralsu interseccin se representa por A n B y es el evento que contiene los elementosque estn en A y B al mismo tiempo. El evento ocurre cuando los eventos ocurrensimultneamente.

Evento complementario:El complemento de un evento A se representa pory esel evento que contiene todos los elementos que no estn en A. El ocurre si A no

ocurre.


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Probabilidad condicional

Sean A y B dos eventos de un mismo espacio muestral S. La probabilidadcondicional de A dado que B ha ocurrido esta dado por:

Probabilidad de producto

Dados los eventos A y B de un mismo espacio muestral, la probabilidad de que

ambos ocurran est dado por:

Probabilidad total y regla de Bayes


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ESTADSTICA: DESCRIPTIVA E INFERENCIAL, 5TA EDICIN MANUELCRDOVA ZAMORA

PROBABILIDAD

La probabilidad es una ciencia exacta que se desarrolla en forma axiomtica(requiere primero conocer los conceptos bsicos). La estadstica es una ciencia deaproximaciones, que para proyectar hacia la poblacin los resultados obtenidos enuna muestra de sta, aplica la probabilidad como una medida de la fiabilidad.

A. Experimento aleatorio, espacio muestral, eventos:

* Segn el nmero de elementos o puntos muestrales, los espacios muestrales seclasifican en:

a) Discretos finitos, Contienen un nmero finito de elementos.b) Discretos infinitos,Contienen un nmero infinito numerable de elementos.c) Continuos,Contienen un nmero infinito no numerable de elementos.

Experimento

aleatorio

Es todo proceso queconsiste de la ejecucinde un acto (o prueba)una o ms veces, cuyoresultado depende delazar en consecuencia nose puede predecir con

certeza.Ejemplo: Allanzar un dado o ver elN de objetosdefectuosos producidos.

Espacio muestral

Se denota por al conjuntode todos los resultadosposibles de un experimentoaleatorio.

={/ es un puntomuestral}

Si el espacio muestral tieneun N finito de elementos esposible enlistar a todosestos, si el N de elementoses infinito el espaciomuestral se describemediante una regla. *

Eventos

Se denomina evento a cualqusubconjunto del espacmuestral.

-Evento imposible: - Evento unitario o element{}-Eventos compuestos: que tiendos o mas eventos elementales

- Evento seguro: contietodos los eventos elementaposibles


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- Operaciones con Eventos:

1. La Unin: { }La unin describe el evento de que ocurra por lo menos en uno delos dos. (Fig.1)

2. La interseccin: { }La interseccin describe el evento de que ocurra en ambos A y B.(Fig.2)

3. La diferencia:

{ }

La diferencia describe el evento de que ocurra en A y noocurra en B. (Fig.3)

4. El producto cartesiano:

{ }El producto cartesiano AxB describe el evento de que ocurra, 1 en A y2 en B.El espacio muestral asociado a un experimento aleatorio compuestode dos experimentos aleatorios , cuyos espacios muestralesrespectivos son , se puede expresar como un productocartesiano, esto es:

B. Conteo de puntos muestrales:

Cuando es grande el nmero de resultados posibles de un experimentoaleatorio, ste determina sus resultados mediante ciertas reglas que facilitanel conteo.


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- Nmero de puntos muestrales: , para todo evento A.- Regla de la multiplicidad en el conteo de puntos muestrales:

Si una operacin puede realizarse de formas y por cada una de estasformas, una segunda operacin puede realizarse de formas, entonces, lasdos operaciones pueden realizarse de formas.

- Regla de adicin en el conteo de puntos muestrales:

1. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces: 2. Si A y B son dos eventos cualquiera, entonces:

- Variaciones:

a) Variaciones simples o sin repeticin:Variaciones de kobjetos tomados de nobjetos distintos, los arreglosdifieren del orden.

b) Variaciones con repeticin:De k objetos tomados de n objetos distintos a cada uno de losarreglos.

- Permutaciones:

a) Permutaciones Simples: Son variaciones de objetos distintos, sinrepeticin.

b) Permutaciones circulares: Pueden formarse con n objetos distintos

donde no hay ni primero ni ltimo objeto, ya que todos forman un crculo.


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C) Permutaciones con objetos repetidos:

- Combinaciones:

a) Combinaciones simples: Combinaciones de k objetos tomado de nobjetos distintos a cada seleccin, sin tener en cuenta el orden.

b) Combinaciones con repeticin:

C. Probabilidad de un evento:Definiciones axiomticas, Sea el espacio muestral asociado a unexperimento aleatorio. La probabilidad de cualquier evento A de es elnmero real P(A)que satisface los siguientes axiomas:

P1. P(A)

0 para todo evento A

P2. P() = 1P3. Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces

Notas:

- Para todo evento A se verifica la relacin: . Entonces, - La probabilidad de un evento es una medida de fiabilidad de que ocurra el

evento.- La probabilidad de P es un funcin definida en eventos que son partes de

.

D. Clculo de Probabilidades:

- Espacio muestral finito: Sea = { }, un espacio muestralfinito de n elementos. Este espacio se expresa como la unin disjunta finitade sus eventos elementales.

= {}


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- Espacio muestral infinito numerable: Sea = {

}, un

espacio muestral infinito numerable. Entonces, se puede expresar comouna unin disjunta infinita de sus eventos elementales, esto es:

= {} - Espacio muestral continuo: Sea A cualquier evento de un espacio

muestral continuo , tal que la medida (longitud, rea o volumen) de Adenotado por m(A) exista. Entonces, la probabilidad de A es el nmero real.

E. Probabilidad condicional:

A menudo se quiere determinar que ocurra un evento sabiendo que otroevento ha ocurrido. La probabilidad condicional de que un evento B ocurradado que otro evento A ha ocurrido denota por P(B/A).

Definicin:

( ) Notas:

- Si P(A) =0, se define P(B/A)=0

- Observe que A luego, cada vez que se calcula P(B/A) estamosrealmente calculando P(B) con respecto al espacio muestral reducido A.- En particular si A y B son dos eventos de un espacio muestral finito

equiprobable , la probabilidad condicional de B dado A se calcula por

P(B/A) =

si #(A) >0.


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Estadstica y probabilidad el mundo de los datos y el azar. Autor DomnguezDomnguez, Mxico Oxford 2006

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ESTADSTICA: DESCRIPTIVA E INFERENCIAL, 5TA EDICINMANUELCRDOVA ZAMORA

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