Lara, Julieta; Pérez, RocíoLara, Julieta; Pérez, Rocío

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El valor absoluto o móduloabsoluto o módulo de un número real cualquiera xx :

Se simboliza | x |

Es la distancia entre x y cero en la recta numérica, por lo cual nunca puede ser un valor negativo.

Es decir que | x | ≥ 0

Demostración:Demostración:

|2|=2|2|=2

|-2|= - (-2) = 2|-2|= - (-2) = 2

0 5-3

3 5

5-(-3)=8

a bdab= |a-b|

|5-(-3)| = |8| = 8

|-3-5| = |-8| = 8

Los Módulos poseen ciertas propiedades que nos resultaran útiles cuando resolvamos ecuaciones e inecuaciones que los incluyan.

1. El modulo de un numero real es igual al de su opuesto y, además, es no negativo.

Ejemplo: |x| = |-x| ≥ 0

2. El modulo del producto de dos números reales es igual al producto de los módulos de esos números.

Ejemplo: |a.b| = |a|.|b|

3. El modulo del cociente de dos números reales es igual al cociente de los módulos de esos números.

Ejemplo: |a / b| = |a| / |b| Con b ≠ 0

4. Analicemos que ocurre con el modulo de la suma de dos números reales y la suma de los módulos de esos números.

Ejemplo 1: |6 + 4| = |10| = 10 Ejemplo 2: |-6 + 4| =|-2| = 2 |6| + |4| = 6 + 4 = 10 |-6| + |4| = 6 + 4 = 10

EN SIMBOLOS: |a+b| ≤ |a| + |b| EN SIMBOLOS: |a+b| ≤ |a| + |b|

5. Analicemos que ocurre con el modulo de la diferencia de dos números reales y la diferencia de los módulos de esos números.

Ejemplo 1: |8 - 3| = |5| = 5 Ejemplo 2: |8 - (-3)| = |11| = 11 |8| - |3| = 8 – 3 = 5 |8| - |-3| = 8 – 3 = 5

EN SIMBOLOS: |a-b| ≥ |a| - |b| EN SIMBOLOS: |a-b| ≥ |a| - |b|

|x| < k -k < x < k |x| > k x > k o x < -k

-k 0 k -k 0 k

 3 |x+1| - 1 ≤ 6 3 |x+1| ≤ 7 |x+1| ≤ 7/3 -7/3 ≤ x + 1 ≤ 7/3-10/3 ≤ x ≤ 4/3  S [ -10/3 ; 4/3 ]  

|3x+6| + |x+2| > 13 |x+2| + |x+2| > 14 |x+2| > 1|x+2| > ¼ X+2 > ¼ o x+2 < -1/4X > -7/4 o x < -9/4 S (- ∞ ; 9/4) u ( -7/4 ; ∞ )

-10/3 04/3

-9/4 -7/4

1. |x+2| = 1 

X+2 = 1 x+2 = -1 X = -1 x = -3  S { -1 ; -3 } 

2. |2,5 x| = 6 |2,5| |x| = 6 2,5 |x| = 6 |x| = 6 : 2,5 |x| = 2,4

X = 2,4 x = -2,4  S { 2,4 ; -2,4 }3. 3 - |x-1| = 1

- |x-1| = -2 |x-1| = 2 x-1 = 2 x-1= -2 x = 3 x = -1  S { 3 ; -1 }

http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/Maria%20Rodriguez/valorabsoluto.htm

Trabajado en clases.

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