Trabajo de Diploma (Departamento de Matemática Universidad de Oriente, Cuba)

Departamento de Matemática

Trabajo de Diploma en opción al título de Licenciado en Matemática.

Modelos y procedimientos optimales para la cadena de suministros en la nueva fábrica de

cemento de Santiago de Cuba

Autor: Rayner Manuel Sánchez Reyes

Tutor: Lic. Alexander Gorina Sánchez

Consultante: Lic. Alondra Martínez Arias

Colaboradores: Ing. Ernesto Guilarte

Ing. Gelkys Candeaux Ruiz

Santiago de Cuba Curso 2008-2009

Las matemáticas no solamente poseen la verdad, sino la suprema belleza, una belleza fría y austera, como la de la

escultura, sin atractivo para la parte más débil de nuestra naturaleza …

Bertrand Russell

DEDICATORIA

A mi queridísima y sacrificada madre, a mi querido y adorado padre, a

quienes amo eternamente, a ellos gracias por ser quien soy.

A mis hermanos que quiero y amo mucho Alfon y July, de quienes estoy muy

orgulloso.

A la estrella que me protege y me guía desde el cielo, que anhelaba mucho

este momento, a quien he amado con todas mis fuerzas y está presente en

cada segundo de mi vida, mi amada abuela Pucha.

A una persona con la cual sólo pude vivir los siete primeros años de mi vida

pero bastó ese tiempo para demostrarme su cariño y amor infinito, mi abuelo

Rafael.

A mis tíos Rafael y Olga.

A mis abuelos paternos Alfonso y Olga, por quererme y por estar presentes

en sus vidas.

A toda mi familia en general.

A mi chiquitica Iraida con la cual he vivido momentos muy bellos y ha

estado presente en los tiempos más difíciles, a quien amo infinitamente y me

hace muy feliz.

AGRADECIMIENTOS

Agradezco en primer lugar y muy especialmente, no sólo por haberse

consagrado completamente al éxito de la investigación realizada, sino

también por su dedicación, paciencia y entrega al brindarme su apoyo

incondicional en cualquier momento, a quien además de ser mi profesor y

tutor, es mi amigo, Alexander Gorina Sánchez.

De igual forma quiero agradecerle a la licenciada Alondra Martínez Arias,

quien dedicó parte de su preciado tiempo a la realización de la

investigación.

Gracias a los ingenieros Ernesto Guilarte Barrido y Gelkys Candeaux Ruiz

por su colaboración al hacer posible la investigación.

A todos los profesores del departamento de Matemática, los que

contribuyeron en mi formación, no sólo en la materia, sino en la vida en

general.

A la familia de Iraida por todo el apoyo y el cariño que me han ofrecido.

Un agradecimiento bien grande y merecido lo tienen todos mis compañeros

de aula (Andy, Maikel y Emilio), los cuales han compartido conmigo cinco

cursos y me han apoyado en todo momento.

A todos mis compañeros de la Facultad de Matemática- Computación, por

todos los momentos que hemos compartido durante este tiempo de

estudiantes universitarios.

A mis compañeros de cuarto, por haber estado conmigo en los momentos más

difíciles de la beca.

A mis amigos del barrio, por todos los momentos que hemos compartido y

por extrañarme siempre que estuve ausente de él.

A todos los que tuvieron que ver conmigo en algún momento, a ellos muchas

gracias.

Y no por último menos importante, le agradezco a Dios por haberme

permitido realizar este trabajo y por estar siempre presente en mi vida.

RESUMEN

En el presente trabajo se realiza un estudio para la evaluación de las cadenas

de suministro de ciertas materias primas en la nueva fábrica de cemento que se

instalará en Santiago de Cuba. Con ayuda de los modelos de inventario

empleados se determina: el tamaño óptimo de los lotes, el punto de reorden y el

inventario de seguridad para cada una de estas materias primas, lográndose

minimizar los costos de almacenamiento y el capital invertido. Se formula un

Problema de Programación Lineal Entero (PPLE) derivado de los modelos de

inventario y se resuelve con ayuda del software PLEC ++. Como resultado, se

obtiene la cantidad total mínima de camiones a utilizar y la cantidad mínima de

camiones a utilizar diariamente para cada materia prima, lo que permite realizar

una planificación para los 313 días de producción y los 16 días anteriores para

lograr acumular las disponibilidades iniciales.

ABSTRACT

In the present investigation a research work is done in order to evaluate the

supply chains of certain raw materials in the new cement factory that it will be

installed in Santiago de Cuba. Can be determined with the help of the models of

inventory used: the optimal size of the lots, the reorder point and the security

inventory to each one of these raw materials, being able to minimize the storage

costs and the invested capital. An Integer Lineal Programming Problem (ILPP) is

formulated, derived of the inventory models, and helped by PLEC ++ software to

solve it. As a result, is obtained the minimum total amount of trucks to be used and

the minimum amount of trucks to be daily used, what allows a planning for 313

production days and the previous 16 days to accomplish the beginning

availabilities.

ÍNDICE Pág.

INTRODUCCIÓN........................................................................................................................... 1 CAPÍTULO 1 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS PARA LA MODELACIÓN DE

CADENAS DE SUMINISTRO........................................................................... 4

Introducción al capítulo.................................................................................................... 4

1.1 Elementos de la Investigación de Operaciones................................................ 4

1.2 Metodología de la Investigación de Operaciones............................................. 5

1.3 Teoría de inventarios........................................................................................ 8 1.3.1 Generalidades.......................................................................................... 9

1.3.2 Características generales de los problemas de inventarios..................... 11

1.3.3 Representación gráfica............................................................................. 11

1.3.4 Reaprovisionamiento................................................................................ 12

1.3.4.1 Retrasos del reaprovisionamiento............................................... 13

1.3.5 Problemática y sus costos relevantes...................................................... 14

1.4 Elementos de Programación Lineal Entera (PLE)............................................ 17

1.4.1 Modelos de optimización enteros............................................................. 17

1.4.2 Métodos y algoritmos de Programación Lineal Entera (PLE)................... 18

Conclusiones al capítulo………………………………………………………………………. 22

CAPÍTULO 2 MODELACIÓN MATEMÁTICA DE LAS CADENAS DE SUMINISTRO DE MATERIAS PRIMAS........................................................................................ 23

Introducción al capítulo.................................................................................................... 23

2.1 Definición del problema y recolección de datos............................................... 23

2.1.1 Precisión del problema y los objetivos..................................................... 24

2.2 Modelos de inventarios con demanda promedio constante............................. 25

2.2.1 Un modelo casi general para la demanda promedio constante............... 26

2.2.2 Modelo para la demanda promedio constante con costo de almacenamiento proporcional al costo de compra y de transportación... 30

2.2.3 Cálculo del punto de reorden y del inventario de seguridad.................... 32

2.2.4 Inferencia de datos faltantes…………………………………...................... 36

2.3 Obtención del PPLE para la planificación óptima del transporte..................... 39

Conclusiones del capítulo................................................................................................ 41 CAPÍTULO 3 PLANIFICACIÓN DEL REAPROVISIONAMIENTO DE LAS MATERIAS

PRIMAS EN LA CADENA DE SUMINISTRO.................................................. 42 Introducción al capítulo.................................................................................................... 42

3.1 Obtención de una solución a partir de los modelos, prueba del modelo y de su solución…………………………………………………………………... 42

3.1.1 Establecimiento de controles sobre la solución del modelo matemático

47

3.1.2 Implantación de la solución del modelo matemático…………………….. 50

Conclusiones del capítulo................................................................................................

52

CONCLUSIONES GENERALES................................................................................................... 54 RECOMENDACIONES………………………………………………………………………………….. 56 BIBLIOGRAFÍA............................................................................................................................. 57 ANEXOS…………………………………………………………………………………………………... 62

1. Sistema de la cadena de suministro que se modela……………………………………..

2. Restricciones fundamentales de las materias primas en el proceso de producción de cemento………………………………………………………………………………………..

3. Muestra los costos de cada una de las materias primas………………………………… 4. Tarifa de transportación de cada una de las materias primas………………………….. 5. Lógica empleada para la modelación matemática……………………………………….. 6. Solución del modelo de PPLEP mediante el PLEC++, por el algoritmo GomoryI…….

7. Planificación para la cadena de suministro antes de comenzar la producción. Se incluyen 16 días………………………………………………………………………………

8. Planificación para la cadena de suministro para la producción. Se incluyen 313 días. 9. Distribución normal de la demanda para la materia prima hierro……………………….

10. Distribución normal de la demanda para la materia prima toba………………………… 11. Distribución normal de la demanda para la materia prima yeso………………………... 12. Comportamiento de la demanda para la materia prima hierro………………………….. 13. Comportamiento de la demanda para la materia prima toba…………………………… 14. Comportamiento de la demanda para la materia prima yeso……………………………

Trabajo de Diploma………………………………………………Rayner Manuel Sánchez Reyes

1

INTRODUCCIÓN Al aprobarse la inversión en la construcción de una fábrica de cemento de alta

producción y competitividad en la provincia de Santiago de Cuba, atendiendo a la

complejidad de los estudios de factibilidad que la misma implica, el Ministerio de la

Industria Básica (MINBAS), en particular el Grupo Empresarial CEMVID de la

Empresa Mixta “Cemento Santiago de Cuba S.A.” aprobó el contrato “Evaluación

de las alternativas de transportaciones en la nueva fábrica de cemento de

Santiago de Cuba”, con el Centro de Ingeniería del Transporte de Oriente (CIT)1,

perteneciente al Grupo de Innovación Tecnológica del Transporte, concerniente al

Ministerio del Transporte (MITRANS). En apoyo a dicho contrato, el Departamento de Matemática de la Universidad

de Oriente, en calidad de colaborador, realiza la presente investigación, a partir de

la necesidad de determinar la cantidad óptima de camiones necesarios para llevar

a cabo la transportación de ciertas materias primas para la elaboración del

cemento en toda la cadena de suministro, bajo la restricción prioritaria de que no

se rompan los inventarios de las mismas, minimizando los costos que intervienen

en todo el proceso. Lo anterior constituye el problema científico a abordar, y su

solución es una condición necesaria para la producción continua de cemento.

Cabe señalar que en una estimación preeliminar realizada por los especialistas

de la Empresa Mixta “Cemento Santiago de Cuba S.A.” se determinó que era

necesario disponer de un total de 30 camiones para transportar las materias

primas (corrector de hierro, toba, yeso, petcoke y carbón) hacia la fábrica de

cemento. El contrato mencionado anteriormente tiene entre sus objetivos

prioritarios precisar la cantidad mínima de camiones necesarios, debido a los altos

precios que tienen los camiones en el mercado internacional.

1 El CIT tiene implantado y documentado un Sistema de Gestión de la Calidad con alcance a Proyectos de Investigación - Desarrollo y Servicios Científicos Técnicos en la gestión empresarial, el desarrollo tecnológico del transporte, la explotación e infraestructura tecnológica del transporte automotor, ferroviario y marítimo, la energía, la vialidad y seguridad del tránsito, según los requisitos de la NC-ISO 9001:2001 siendo aplicable a todas las direcciones y divisiones de la entidad.


2

Para dar respuesta al problema científico planteado se consideró el objeto de la investigación las cadenas de suministros de materias primas de la nueva

fábrica de cemento en la provincia de Santiago de Cuba.

En el ambiente socioeconómico actual altamente competitivo y complejo, los

métodos tradicionales de toma de decisiones se han vuelto inoperantes e

inadmisibles, ya que los responsables de dirigir las actividades de las empresas e

instituciones se enfrentan a situaciones complejas y cambiantes con rapidez, que

requieren de soluciones creativas y prácticas apoyadas en una base cuantitativa

sólida. En este contexto, se evidencia como objetivo de la investigación la

obtención de herramientas de apoyo matemáticas para mejorar la gestión de las

cadenas de suministros de materias primas en la fábrica de cemento, que brinden

un soporte científico a las decisiones que deben tomarse en niveles tácticos y

operativos del sistema.

El objetivo de la investigación implica desarrollar las tareas científicas

derivadas de las siguientes interrogantes:

¿Qué metodología debe implementarse para optimizar los inventarios bajo

las restricciones del sistema?

¿Cómo puede realizarse una planificación del transporte al estimarse de

manera conjunta las políticas de inventarios de materias primas a lo largo de

una cadena de suministros?

Las respuestas a las interrogantes anteriores constituyen la base esencial para

determinar la cantidad mínima de camiones solicitadas, teniendo como valor

añadido, la posibilidad de realizar una planificación más general que minimice

diferentes costos. Dichas interrogantes se responden desde el campo de acción

de la presente investigación, es decir, la planificación del transporte para el

suministros de materias primas en su relación con los inventarios multi-producto y

multi-etapas.

Para dar respuestas a las interrogantes anteriores, se estructuró el informe de

la investigación de la siguiente forma:

En el Capítulo 1 se presentan los fundamentos matemáticos básicos que

posibilitaron sustentar la investigación, distinguiéndose algunos elementos


3

esenciales de la metodología de investigación de operaciones, elementos de la

Teoría de Inventarios y de Programación Lineal Entera, todos éstos de gran

utilidad en el estudio de las cadenas de suministros.

En el Capítulo 2, se expone como se llevaron a cabo las Etapas 1 y 2 de la

metodología de investigación de operaciones, las cuales se describen brevemente

en el Capítulo 1. Sobresale el hecho de concebir como un sistema, la estructura

de relaciones entre los diferentes componentes de la cadena de suministro, pues

de lo contrario, la simple suma de dichos componentes no logra captar la

complejidad inherente a la misma. Tal sistema se refleja en la interrelación entre la

política de reaprovisionamiento, los modelos de inventarios utilizados, que

incluyen la inferencia de los datos faltantes y el modelo para la planificación y

organización de la transportación para la cadena de suministro basado en

elementos de Programación Lineal Entera.

Para completar las etapas de la metodología de la investigación citada

anteriormente, en el Capítulo 3 se muestra como se llevaron a cabo las Etapas 3, 4 y 5. Se obtiene una solución para el problema planteado haciendo una

referencia cuidadosa de las expresiones que se utilizaron para la obtención de la

misma, dicha solución obtenida se valora teniendo en cuenta diferentes

perspectivas de análisis. Se brindan evidencias de la estabilidad de la solución

obtenida mediante el análisis de sensibilidad y mediante una simulación de las

demandas en los modelos de inventarios. Además, se hace un conjunto de

recomendaciones derivadas de los modelos y la solución obtenida, que fueron

presentados a los ejecutivos tomadores de decisiones de la Empresa Mixta

“Cemento Santiago de Cuba S.A.”, para que puedan implantar y darle seguimiento

a la planificación de la cadena de inventarios con mayor eficiencia y racionalidad.

Finalmente, se brindan las conclusiones del trabajo, las recomendaciones para

futuras investigaciones, las referencias bibliográficas y los anexos, posibilitando

estos últimos esclarecer o complementar ciertos análisis realizados en el cuerpo

del informe.


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CAPÍTULO 1. Fundamentos Matemáticos para la Modelación de Cadenas de Suministro

Introducción al capítulo En el presente capítulo se expone brevemente en qué consiste la Investigación

de Operaciones y se muestran cinco etapas de su metodología, las cuales fueron

empleadas durante la investigación. Se presentan además, los fundamentos

matemáticos básicos que posibilitaron llevar a cabo la modelación de las cadenas

de suministro de materias primas de la nueva fábrica de cemento, destacándose

en este sentido algunos elementos básicos de la Teoría de Inventarios y de la

Programación Lineal Entera (PLE).

1.1 Elementos de la Investigación de Operaciones La Investigación de Operaciones o Investigación Operativa, es una rama de las

Matemáticas consistente en el uso de modelos matemáticos, de la Estadística y de

algoritmos con el objetivo de realizar un proceso de toma de decisiones, es una

moderna disciplina científica que se caracteriza por la aplicación de teoría,

métodos y técnicas especiales, para buscar la solución de problemas de

administración, organización y control que se producen en los diversos sistemas

que existen en la naturaleza y los creados por el ser humano, tales como las

organizaciones diversas a las que identifica como sistemas organizados, sistemas

físicos, económicos, ecológicos, educacionales, de servicio social, etc.

Frecuentemente, trata el estudio de complejos sistemas reales, con la finalidad de

mejorar (u optimizar) el funcionamiento del mismo. La Investigación de

Operaciones permite el análisis de la toma de decisiones teniendo en cuenta la

escasez de recursos, para determinar cómo se pueden maximizar o minimizar

estos últimos.

La difusión de la Investigación de Operaciones presenta también la ventaja de

favorecer las investigaciones en las economías de las empresas y se considera

este desarrollo como una condición esencial para una renovación del pensamiento

y de la Ciencia Económica. El análisis de los fenómenos de producción, los

intercambios dentro del nivel de las empresas y de los sectores cada vez más


5

amplios, hacen de la Investigación de Operaciones una alternativa ineludible para

comprender la realidad y la naturaleza de los problemas.

En este sentido, el desarrollo de las investigaciones económicas en las

empresas implica varias condiciones:

Una documentación abundante (pero no bajo la forma tradicional de censos

parciales inconexos), con una normalización de la contabilidad que facilite

grandemente la recolección y la explotación de los datos numéricos mediante

las herramientas que brinda la Estadística.

La posibilidad de diálogos fecundos: En el seno de la empresa misma, entre

los ingenieros, especialistas en venta y mercados, técnicos administrativos;

así como entre los investigadores y los responsables de la economía.

Finalmente, métodos de aproximación y de investigación que permiten

explotar las informaciones recogidas con el propósito de resolver los

problemas planteados, tanto por la administración de las empresas como por

el estudio científico de los fenómenos económicos, donde los métodos

cuantitativos juegan un papel fundamental.

Antes de profundizar en algunos de los métodos cuantitativos, debe señalarse

la importancia que tiene la metodología de investigación de operaciones, pues por

su gran generalidad y flexibilidad puede contribuir a viabilizar la forma de abordar

científicamente una gran gama de problemas económicos u de otra naturaleza, en

aras de tomar decisiones de la forma más racional posible.

1.2 Metodología de la Investigación de Operaciones La Investigación de Operaciones, hace uso de una metodología para resolver

problemas científicos, tomando en consideración las etapas de un proyecto de

Investigación de Operaciones. Estas etapas son:

1. Definición del problema y recolección de datos En esta fase del proceso se necesita: una descripción de los objetivos del

sistema, es decir, qué se desea optimizar; identificar las variables

implicadas, ya sean controlables o no; determinar las restricciones del

sistema. También hay que tener en cuenta las alternativas posibles de


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decisión, los límites de tiempo para tomar una decisión y las restricciones

para producir una solución adecuada. Este proceso de definir el problema

es muy importante ya que afectará en forma significativa las conclusiones

en estudio, es imposible extraer una respuesta correcta de un problema

equivocado. Una parte bien importante para la formulación de un modelo

matemático es la recolección de datos, pues ellos permitirán la realización

del modelo y la exactitud de los resultados, pues se necesitan muchos

datos para lograr un entendimiento exacto del problema y proporcionar el

insumo adecuado para el modelo matemático que se formulará en la

siguiente etapa del estudio.

2. Formulación de un modelo matemático Una vez que nos aseguramos que la definición del problema ha sido

construida de manera específica y correcta, continuamos con la formulación

de un modelo matemático, este modelo debe ser formulado de tal manera

que exprese la esencia del problema.

El modelo matemático está basado en ecuaciones y desigualdades

establecidas en términos de variables, las cuales expresan la esencia del

problema a resolver y son definidas en función de las características

esenciales del problema. Después de localizar las variables en función del

problema, se procede a determinar matemáticamente las dos partes que

constituyen el modelo:

La medida de efectividad que permite conocer el nivel de logro de los

objetivos, generalmente es una función llamada función objetivo.

Las limitantes del problema, llamadas restricciones, que son un conjunto

de igualdades o desigualdades que constituyen las barreras y

obstáculos para la consecución del objetivo.

3. Obtención de una solución a partir de los modelos, prueba del modelo y de su solución Una vez que se tiene el modelo, se procede a obtener una solución

matemática empleando las diversas técnicas y métodos matemáticos para

resolver problemas y ecuaciones. Resolver un modelo consiste en


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encontrar los valores de las variables dependientes, asociadas a las

componentes controlables del sistema con el propósito de optimizar, si es

posible, o cuando menos mejorar la eficiencia o la efectividad del sistema

dentro del marco de referencia que fijan los objetivos y las restricciones del

problema. Debemos tener en cuenta que las soluciones que se obtienen en

este punto del proceso, son matemáticas y debemos interpretarlas en el

mundo real. La selección del método de solución depende de las

características del modelo. El modelo debe probar su validez, antes de ser implantado, observando si

los resultados predicen o no, con cierta aproximación o exactitud, los

efectos en relación a las diferentes alternativas de solución. Para

comprobar la solución del modelo, deberá recopilarse la información, con el

fin de hacer las pruebas necesarias y hacer la verificación según los

siguientes pasos:

a) Definir científicamente (incluyendo la medida de rendimiento)

b) Llevar a cabo el muestreo (incluyendo el diseño de experimentos)

c) Reducir el número de datos

d) Utilizar los datos en la prueba de hipótesis

e) Evaluar los resultados

Si estos pasos son llevados a cabo recurrentemente cada vez que obtienen

resultados del modelo y les son presentados al grupo de toma de

decisiones, se empieza a ejecutar un procedimiento sistemático de control

que depura y ajusta al mismo, con la realidad.

4. Establecimiento de controles sobre la solución del modelo matemático Una solución establecida como válida para un problema, permanece como

tal, siempre y cuando las condiciones del problema, las variables no

controlables, los parámetros, las relaciones, entre otros, no cambien

significativamente. Esta situación se vuelve más factible cuando algunos de

los parámetros fueron estimados aproximadamente. Por lo anterior, es

necesario generar información adicional sobre el comportamiento de la

solución debido a cambios en los parámetros del modelo, usualmente esto


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se conoce como análisis de sensibilidad. En pocas palabras, esta fase

consiste en determinar los rangos de variación de los parámetros dentro de

los cuales no cambia la solución del problema.

5. Implantación de la solución del modelo matemático Cuando ya se ha desarrollado el sistema para aplicar el modelo, la última

etapa consiste en la implantación de los resultados probados del mismo.

Esto básicamente implicaría la traducción de estos resultados en

instrucciones de operación detallada, emitidas en una forma comprensible a

los individuos que administrarán y operarán al sistema. Al culminar el

estudio, es apropiado que el equipo de investigación de operaciones

documente su metodología utilizada con suficiente claridad para que el

trabajo sea reproducible.

Una vez presentada la metodología de la investigación de operaciones, la cual

constituye una lógica investigativa de gran utilidad para potenciar el acercamiento

al estudio de variados fenómenos, resulta conveniente introducir algunos

elementos básicos relacionados con la teoría de inventarios que serán de

aplicación en la investigación.

1.3 Teoría de inventarios Los inventarios pueden definirse ampliamente como la cantidad de artículos,

mercancías y otros recursos económicos que son almacenados o se mantienen

inactivos en un instante de tiempo dado. Los recursos económicos varían en

cantidad con el tiempo en respuesta al proceso de demanda que opera para

reducir el nivel de inventario y el proceso de abastecimiento que opera para

elevarlo.

Normalmente la demanda es una variable no controlable, pero la magnitud y

frecuencia del abastecimiento es controlable. Los inventarios por ejemplo, pueden

comprender:

1) Inventarios de materias primas: son materias primas que esperan para

ser utilizadas en la producción de artículos.


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2) Inventario de trabajo en proceso: productos semiterminados o productos

en proceso almacenados temporalmente durante el proceso de producción.

3) Inventario de productos terminados: productos terminados que esperan

embarque desde la fábrica, distribuidores al por mayor o detallistas.

1.3.1 Generalidades

El aprovisionamiento de materiales y equipos necesarios para la producción,

las demandas de la clientela, las disponibilidades razonables de refacciones, entre

otros, plantean problemas extraordinariamente diversos. Es difícil hacer una

clasificación coherente y lógica de los problemas de inventarios. Es pertinente, sin

embargo, reconocer antes que nada, la naturaleza de la demanda, la cual puede

ser:

Determinada (previsible con una cierta precisión);

aleatoria, pero estadísticamente estable;

aleatoria, pero estadísticamente inestable;

desconocida

En los problemas de inventario intervienen restricciones que pueden ser:

Interacciones entre los diversos productos;

limitaciones de medios (volumen, peso, tiempo de operación,

disponibilidades financieras, entre otros).

El estudio de la administración de inventarios es un campo del conocimiento

que se ha examinado de manera científica hace ya varias décadas. Desde que fue

propuesto el modelo de lote económico por F. W. Harris en 1915, según plantea

José Elías Jiménez Sánchez [25], muchos autores se han dado a la tarea de

resolver múltiples problemas de inventarios. El principio fundamental de esta clase

de modelos se orienta a determinar la política de abastecimiento a través de

precisar la cantidad a pedir y el período de suministro para lograr el costo mínimo.

En general, los modelos matemáticos para el control de inventarios se emplean

en forma indistinta para describir el reabastecimiento con un proveedor externo o

producción interna. Esto significa que desde el punto de vista del modelo, el

control de inventarios y la planeación de la producción son con frecuencia


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sinónimos según plantea Steven Nahmias [32]. Su principal objetivo está orientado

a satisfacer las necesidades de los clientes, y su principal diferencia es que la

demanda puede ser constante o variable en el tiempo, determinista o aleatoria,

predecible o impredecible. De esta manera, por el tipo de demanda que se

analiza, los modelos de inventarios se pueden clasificar tal y como se muestra en

la Fig. 1.3.1.1.

Fig. 1.3.1.1. CLASIFICACIÓN DE INVENTARIOS A PARTIR DELTIPO DE DEMANDA

Regularmente los modelos de inventario se clasifican de acuerdo a si se

conoce o no la demanda en un período determinado, llamándose en este caso

deterministas; y estocásticos cuando se trabaja con cantidades posibles o

probables. Lo anterior resulta de interés si se desea seleccionar una adecuada

política de gestión de inventarios, la cual puede incidir de manera significativa en

los costos de una empresa.

Un modelo de inventario se utiliza para establecer una política óptima a fin de

que, de manera relativamente sencilla, se pueda determinar cuándo efectuar un

pedido (o proceso de fabricación) y el tamaño del lote por adquirir o fabricar. Lo

anterior tiene dos objetivos bastante claros:

a) mantener cierta cantidad de mercancía en existencia durante un período fijo

para minimizar los costos;

b) lograr el mejor nivel de servicio al cliente.


11

1.3.2 Características generales de los problemas de inventarios El problema de inventario se presenta bajo la forma de fenómenos de espera

de una naturaleza particular. Estos fenómenos se estudian valiéndose de la noción

de probabilidad, pero en ciertos casos bastantes frecuentes, cuando las medidas

estadísticas hacen aparecer varianzas muy débiles, se les asocia modelos

deterministas.

Cualquier problema de inventario incluye:

1. Una demanda de ciertos artículos que, en general, es aleatoria y se expresa

en función del tiempo, pero que también puede conocerse y determinarse.

2. La existencia de un inventario de esos artículos para satisfacer la demanda;

este inventario se agota y debe de ser reaprovisionado o renovado. El

reaprovisionamiento puede ser continuo, periódico o inclusive realizarse a

intervalos cualesquiera.

3. Costos asociados a esas operaciones: inversiones, depreciaciones,

seguros, riesgos diversos, almacenamiento, etc., sin olvidar el que se

atribuye en forma más o menos arbitraria a la escasez y que juega un papel

esencial en algunos problemas; esos costos permiten dar una función

económica que se propondrá optimizar.

4. Objetivos a alcanzar o restricciones que intervienen en razón de la

naturaleza misma del problema.

1.3.3 Representación gráfica Para describir un problema de inventario, podría realizarse mediante la

representación dada en la Fig. 1.3.3.1, en donde aparece la existencia inicial iS , la

existencia final fS , el intervalo φ que separa los instantes en donde se han

tomado iS y fS . En general, las demandas son cantidades aleatorias,

representadas mediante un trazo o mediante escalones. Es cómodo reemplazar

ese trazo por una recta o por una curva que dará una descripción analítica más

adecuada de la demanda.


12

Fig. 1.3.3.1. VARIACIÓN DEL INVENTARIO DESDE LA EXISTENCIA INICIAL HASTA LA FINAL.

1.3.4 Reaprovisionamiento Supongamos que el intervalo de tiempo que transcurre entre la emisión de una

orden de reaprovisionamiento y la recepción, sea nulo. Distinguiremos entonces

dos métodos principales de administración de inventario elemental. La primera se

ilustra en la Fig. 1.3.4.1, y se llama método por periodo o administración del tipo I.

Se da un periodo T al final del cual el reaprovisionamiento se realiza

sistemáticamente. Este periodo presenta el inconveniente de riesgo de ruptura del

inventario y puede implicar una administración costosa; pero tiene la ventaja de

ser automático.

Fig. 1.3.4.1. INVENTARIO ELEMENTAL POR PERIODO ADMINISTRACIÓN DEL TIPO I.


13

El segundo presentado en la Fig. 1.3.4.2, es un método que podríamos llamar

método de relajamiento, por analogía con los fenómenos físicos de la misma

naturaleza; la llamaremos también administración de tipo II, la cantidad

reaprovisionada es constante, pero los intervalos ...,,, 321 TTT no son iguales. En este

caso no existe el riesgo de que se rompa el inventario, la administración es

generalmente menos costosa, pero por otro lado, no puede hacerse

sistemáticamente tan fácil.

Fig. 1.3.4.2. MÉTODO DE RELAJAMIENTO O ADMINISTRACIÓNDE TIPO II.

1.3.4.1 Retrasos del reaprovisionamiento

Supongamos que el retraso de reaprovisionamiento (intervalo de tiempo entre el

momento de pasar la orden y la recepción de ésta) sea independiente de la cantidad

pedida en la orden, más precisamente, que sea constante y con una duración t .

Comparemos lo que pasaría con relación a los siguientes casos. En el primer caso,

Fig. 1.3.4.1.1, se conoce la fecha de emisión de la orden, y se necesita extrapolar

para determinar la cantidad que hay que reordenar, lo cual ha sido preguntado en el

intervalo tT − que precede a t ; en algunos casos t puede ser mayor que T .

Fig. 1.3.4.1.1. RETRASO DE REAPROVISIONAMIENTO CONSTANTE Y CON UNA

DURACIÓN t, INDEPENDIENTE DE LA CANTIDAD PEDIDA EN EL REORDEN.


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En el segundo caso, la cantidad a pedir en la orden es constante, pero la fecha

de emisión de la misma es desconocida y debe de determinarse mediante una

extrapolación que a veces puede ser insuficientemente precisa (el intervalo 3T , por

ejemplo sobre la Fig. 1.3.4.1.2); en algunos casos iTT ≥ . En general, la demanda

es conocida en probabilidad y a veces el lapso es proporcional a (o función de) la

cantidad pedida, lo cual complica generalmente la administración.

Fig. 1.3.4.1.2. REAPROVISIONAMIENTO CON LA CANTIDAD A PEDIR

CONSTANTE Y CON FECHA DE EMISIÓN DESCONOCIDA.

1.3.5 Problemática y sus costos relevantes

Muchos académicos y practicantes han señalado que las inversiones en

inventarios representan una gran proporción de los bienes de la compañía. De

hecho, estiman que la inversión puede llegar a representar entre el 20 y 40% del

total, según expone Tersin [38]. Por otra parte el inventario encapsula el dinero, y

una mala gestión del mismo puede afectar el estado financiero de las empresas,

tener demasiado inventario es tan problemático como disponer de poco,

demasiado implica costos adicionales innecesarios relacionados con el

almacenaje, seguros, impuestos y los correspondientes al deterioro u

obsolescencia de los artículos que se mantienen en existencia; y disponer de

poco, involucra costo por faltantes de los artículos en el momento de ser

utilizados. Dichos costos son crecientes con el aumento del inventario. Sin

embargo, existen otros que disminuyen cuando el inventario aumenta.

En general, por la importancia que revisten, es necesario hacer un análisis

detallado de los distintos tipos de costos que pueden formar parte de cualquier


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problema de inventarios. Los tipos fundamentales de costos pueden ser

agrupados de la forma siguiente:

a) Costos de conservación.

Estos costos pueden ser de diversos tipos, como por ejemplo:

1. Costo de adquisición o de manufactura (en caso de fabricación).

Considera costo de mano de obra directa o indirecta, costo de

materiales directos o indirectos, gastos generales (se expresa en unidad

monetaria por unidad de producto).

2. Costo por ordenar. Costos administrativos y de oficina involucrados en

el proceso de una orden de compra, despacho, trámite del pedido, costo

de transporte o costo de iniciar una tanda de producción, en caso de

fabricación (se expresa en unidad monetaria por orden).

3. Costo de almacenamiento. Dinero inmovilizado en inventario, costo del

espacio de almacenamiento, costo de manipulación, costo salarial (de

los trabajadores), costo de seguro, obsolescencia, deterioro de calidad,

costo de tener registro de inventario (expresado en unidad monetaria /

unidad físicas / unidad de tiempo).

4. Costo por faltantes o escasez (déficit). Considera los requerimientos de

tiempo extra ocasionado por el déficit, tiempo adicional de oficinas

administrativas, costo de apresuramiento, pérdida de reputación, costo

especial de manipulación y embarque, pérdida de tiempo de producción

y cualquier otro costo atribuible al déficit (expresado en unidad

monetaria / unidad física / unidad de tiempo). No considera ventas

perdidas porque supone que esto no ocurre ya que contemplan solo

retrasos en las entregas.

5. Costos de depreciación, de envejecimiento, obsolescencia o de pérdida

(en artículos perecederos, materias sensibles a la humedad, artículos de

moda, entre otros). Si tomamos en consideración los gastos de

conservación, estos aconsejan una gestión tal en la empresa, que el

inventario medio sea lo más pequeño posible.


16

b) Costos de aprovisionamiento o de obtención. El aprovisionamiento obliga a una serie de operaciones que implican

gastos. Estos gastos pueden ser:

1. Costos de transporte. Estos costos se dan en los casos en que la

empresa transporta los productos hasta el almacén del comprador o

cuando debe buscar las materias primas con sus propios medios.

2. Costos de pedido. Estos costos incluyen desde llamadas telefónicas

hasta el contrato formalmente establecido, salarios extras relacionados

con el pedido, entre otros.

3. Costos de preparación. Costos relacionados con la preparación de

materiales, equipos y otros, para iniciar una tanda de producción que

permita satisfacer la demanda.

c) Costos de ruptura o de agotamiento. 1. Este es el costo asociado con la demora en satisfacer la demanda o con

la incapacidad de servir la orden en el momento que se solicita. Algunas

veces la estimación de este costo es bastante subjetiva, ya que en

ocasiones es muy difícil estimar la pérdida ocasionada por la no llegada

de un pedido en el momento en que se carece de existencias. Pero una

empresa sí puede estimar las pérdidas ocasionadas por la detención de

una máquina herramienta por carecer de la pieza necesaria o la

detención de un camión por carecer de algún agregado. Si el almacén

es independiente de la empresa, entonces al establecer el contrato de

abastecimiento, pudiera incluirse a pedido de esta última una cláusula

acerca del pago por las pérdidas debidas al abastecimiento incompleto o

de retraso o sea una penalización. En esta situación sí pudiera

estimarse con exactitud la pérdida ocasionada por la no satisfacción de

la demanda.

La relación intrínseca de los costos de inventarios tiene diversos

planteamientos, por ejemplo: poco inventario puede provocar escasez (stock outs)

e interrupciones en los sistemas de producción. Además, la producción de largo

plazo, asociada a un nivel de inventario alto, oculta problemas de producción (por


17

ejemplo: calidad) que puede dañar el desempeño de la compañía a largo plazo,

según lo expuesto por Vergin [44]. Por tanto, el problema de inventario supone la

existencia de una relación directa entre los diferentes tipos de costos

mencionados. El inventario óptimo es aquel para el cual la suma de estos costos

se hace mínima.

1.4 Elementos de Programación Lineal Entera (PLE) Tradicionalmente estos modelos se han considerado como subclases de la

programación lineal, sin embargo, las variables de decisión que aparecen en ellos

sólo toman valores enteros, por lo que realmente deben considerarse como

problemas de programación entera. El número de modelos lineales enteros y sus

métodos de solución es en la actualidad bastante extenso, lo que ha llevado a

hacerse una selección considerada de aquellos que sean más interesantes y que

aparecen con mayor frecuencia en la realidad.

Los problemas de programación lineal entera puros son problemas de

programación lineal en los que se exige que todas las variables del modelo sean

enteras. La resolución de este problema se obtiene analizando las posibles

alternativas de valores enteros de esas variables en un entorno alrededor de la

solución obtenida considerando las variables reales.

1.4.1 Modelos de optimización enteros Por intereses prácticos de nuestra investigación, se abordan solo aquellos

problemas lineales en los cuales se les exige que todas las variables sean

enteras. Es por esta razón que se comenzará exponiendo la definición del

Problema de Programación Lineal en Enteros. Dado el problema de programación lineal:

cxxfMinoMax =)()(

s. a. }0,/{1 ≥== xbAxxS (1.4.1.1) donde A es una matriz de orden m x n , b es un vector de orden m y c es un vector

de n componentes. Se define un problema lineal en enteros (PLE), como:

cxxfMinoMax =)()(


18

s. a. }0,/{2 enteroxbAxxS ≥== (1.4.1.2) Ahora bien, teniendo en cuenta que la función objetivo y las restricciones son

lineales, podemos escribir el PLE de la siguiente forma:

∑=

n

jjj xcMinoMax

1

s. a. mibxan

jijji ,...,1

1==∑

=

(1.4.1.3)

njenterox j ,...,1,0 =≥

o lo que es lo mismo, en forma matricial:

cxMax

s. a. bAx= (1.4.1.4)

enterox 0≥ .

Asumimos que en general todos los datos serán enteros. El problema (1.4.1.2)

es un problema de programación lineal entero puro.

1.4.2 Métodos y algoritmos de Programación Lineal Entera (PLE)

Para resolver los PLE podrían emplearse dos grupos de métodos:

a) Planos Cortantes: Los métodos de planos cortantes deben su nombre a la

idea geométrica que los sustenta la cual consiste en añadir al problema de

optimización continuo, bajo estudio, restricciones adicionales, de modo que

se reduzca el conjunto de soluciones posibles de dicho problema sin

eliminar ninguna solución del PLE, o sea, dar un corte. Utilizan la técnica

del Simplex como auxiliar para obtener una solución que además de ser

óptima sea entera. Dentro de los que se encuentran:

Gomory I

Gomory II

Corte Primal

b) Enumeración: realizan una exploración del conjunto de las soluciones

posibles en busca del óptimo, aprovechando para ello la estructura discreta

del conjunto, como son:


19

Branch and Bound (ramificación y acotación).

Enumeración lexicográfica.

Enumeración Implícita.

Vamos a describir brevemente el algoritmo enumerativo de Branch and Bound

y el algoritmo de corte Gomory I que fueron los utilizados para darle solución al

modelo construido en el capítulo siguiente.

Algoritmo Branch and Bound Este algoritmo genera mediante el proceso de ramificación la separación del

conjunto S de soluciones admisibles del problema continuo inicial en subconjuntos

jS tales que: SSP

jj =

=U

1

, y consecuentemente, genera un conjunto de problemas

jP : { } PjSXCXMaxP jj ...,,1/ =∈= .

Algoritmo Branch and Bound

Paso 1: (Inicio) Resolver el problema continuo (PC). Sea 0X la Solución óptima del PC.

Si 0X es entera; es la solución óptima del problema entero. FIN

Si 0X no es entera, −∞=Z~ (valor inicial de la cota inferior), ir al Paso 3.

Paso 2:

a) Seleccionar un nuevo vértice kV e ir a b). Si no hubiera vértices para analizar, entonces ir al Paso 5.

b) Resolver kP Si ZkZ ~≥ ir al Paso 3. ( kZ es el valor de la función

objetivo para el problema kP en kX ) Si ZkZ ~< tachar kV e ir al Paso 2 a).

Paso 3: a) Sea kX solución óptima del kP .

Si kX es entera: ZCX k ~→ (se actualiza la cota inferior), XX k → (se guarda la posible solución óptima) tachar kV e Ir al Paso 2 a).

Si kX no es entera, ir al Paso 4.


20

b) φ=KS tachar kV . Ir al Paso 2 a). Paso 4: (Ramificación)

Se definen los problemas: jX ≤ [ k

jX ]; jX ≥ [ kjX ] + 1, X∈ kS . Ir al Paso 2 b)

kX : la solución del continuo asociado al problema dado en kV .

kS : conjunto de soluciones posibles. kjX : componente obtenida por el criterio de selección.

Paso 5: (Final)

Si −∞=Z~ ⇒ no hay soluciones posibles. En otro caso X es la solución óptima.

Algoritmo Gomory I Como se había dicho anteriormente, este algoritmo utiliza la idea geométrica

que consiste en añadir al problema de optimización continuo bajo estudio,

restricciones adicionales, de modo que se reduzca el conjunto de soluciones

posibles de dicho problema sin eliminar ninguna solución del PLE, o sea, dar un

corte. En este caso se utiliza la expresión (1.4.2.1), es decir, la restricción

fundamental o corte fundamental [16].

[ ] [ ] [ ] iohyioyhjxRj

ijhyijyh −≥∈

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−∑ (1.4.2.1)

Cuando se le da a h diferentes valores en (1.4.2.1), se obtienen distintos tipos de

cortes. Haciendo 1=h , se obtiene:

[ ]ioyioyjxRj

ijyijy −≥∈

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−∑

Tomando, ijfijyijy +⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= , es decir, el número como su parte entera más su parte

fraccionaria, obtenemos:

[ ] [ ]∑∈

−+≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

Rjioyiofioyjxijyijfijy


21

∑∈

≥Rj

iojij fxf (1.4.2.2)

o lo que es lo mismo:

0 ; ≥+−= ∑∈

SffSRj

jxijio

De manera que la solución básica x es eliminada por la relación (1.4.2.2). Por lo

tanto, éste es el corte de Gomory I, a continuación se muestra el algoritmo.

Algoritmo Gomory I

Paso 1:

Resolver el PLC asociado. Si la solución es entera: FIN. De lo contrario

ir al Paso 2.

Paso 2:

Dada una componente ibx de valor no entero 0ib , construir a partir de la

fila i el corte: 0 ; ≥∈

+−= ∑ SRj

jxijfiofS , e ir al Paso 3.

Paso 3:

La restricción introducida afecta la primal posibilidad, no así la condición

0≥− jj cZ (o sea, la dual posibilidad) para todo j , por tanto se aplica el

Algoritmo Dual del Simplex, es decir:

a) Se determina la fila de la variable que sale de la base ( 0<iS ):

fila S .

b) Se determina la columna de la variable que entra a la base, a

partir de:

básicas) no variablesde (conjuntoRj ,0 ∈>−

=−

ljkk yquetal

ljyjCjZ

Minlky

CZ

c) El elemento pivote es el de la intersección de la fila l con la

columna k : kly Si la solución obtenida es entera: FIN, sino ir al Paso 2.


22

Conclusiones del capítulo En el capítulo se abordaron aquellos fundamentos matemáticos básicos de la

Investigación de Operaciones y su metodología que se corresponden con la

modelación realizada en las cadenas de suministro de materias primas de la

nueva fábrica de cemento. En este sentido, se presentaron algunos elementos

básicos de la Teoría de Inventarios y de la Programación Lineal Entera que

posibilitan una mejor comprensión de la lógica empleada en dicha modelación, y

de la investigación en general.

Trabajo de Diploma……………………………………………….Rayner Manuel Sánchez Reyes

23

CAPÍTULO 2. Modelación Matemática de la Cadena de Suministro de Materias Primas

Introducción al Capítulo En el presente capítulo se define el problema matemático que se aborda en la

investigación, se presentan los datos recopilados para la construcción y

formulación de los modelos matemáticos. Se exponen además los modelos

construidos para la planificación y organización de la transportación en la cadena

de suministro, sustentados fundamentalmente en elementos de la Teoría de

Inventarios y Programación Lineal Entera.

2.1 Definición del problema y recolección de datos La primera actividad que se llevó a cabo fue el estudio del sistema relevante y

el desarrollo de un resumen bien definido del problema a resolver. El anexo 1

muestra las diferentes materias primas a transportar (toba, corrector de hierro2,

yeso, petcoke y carbón), los orígenes de dichas materias primas, los centros de

carga y descarga, y los diferentes almacenes en la fábrica, es decir todo el

esquema de transportación. Es significativo señalar que cada camión a emplear

en la transportación de dichas materias primas cuesta alrededor de 149 780.00 € (euros), por lo que resulta prioritario comprar la menor cantidad de camiones de

forma tal que se puedan transportar las cantidades de materias primas

demandadas para la fabricación de cemento de acuerdo a las exigencias propias

del sistema.

En el anexo 2 se muestran las restricciones fundamentales con relación a las

materias primas de interés, en cada caso se tiene en cuenta la necesidad anual, la

capacidad de almacenamiento, el consumo diario estimado, las distancias

significativas entre los diferentes vértices del sistema, el tiempo de carga y

descarga y el tiempo de viaje total (que incluye ida y vuelta) que está determinado

por la distancia desde el origen hasta el destino.

2 En lo adelante se utilizará indistintamente « hierro » y « material de hierro ».


24

Los diferentes costos de extracción o de compra de cada una de las materias

primas se muestran en el anexo 3. Finalmente, en el anexo 4 se muestran las

diferentes tarifas de transportación por tonelada para los diferentes modos de

transporte, desde cada origen a cada destino.

Teniendo en consideración la información relevante a la que se tuvo acceso,

fue posible concretar el problema y el objetivo de la investigación, así como las

interrelaciones del área bajo estudio con otras áreas de la organización, los

diferentes cursos de acción posibles, los límites de tiempo para tomar las

decisiones, todo estos aspectos posteriormente fueron extrapolados al proceso de

modelación matemática.

2.1.1 Precisión del problema y los objetivos Del análisis de la problemática anterior surge el problema que se quiere

resolver: la necesidad de determinar la cantidad óptima de camiones necesarios

para llevar a cabo la transportación de ciertas materias primas para la elaboración

del cemento en toda la cadena de suministro, bajo la restricción prioritaria de que

no se rompan los inventarios de las mismas, minimizando los costos que

intervienen en todo el proceso. Realmente el problema planteado es lo más general posible, pero para brindar

una solución del mismo hay que tener en cuenta otras restricciones

fundamentales, en especial aquellas que se relacionan con una buena

aproximación a la reducción de los costos globales los cuales intervienen en todo

el proceso de la cadena de suministro y juegan un papel importante para disminuir

los costos de producción de cemento.

Por tanto, el objetivo general que se persigue es la obtención de herramientas

de apoyo matemáticas para mejorar la gestión de las cadenas de suministros de

materias primas en la fábrica de cemento, que brinden un soporte científico a las

decisiones que deben tomarse en niveles tácticos y operativos del sistema.

Al concretar el objetivo de la investigación, se deben desarrollar las tareas

científicas derivadas de las siguientes interrogantes:

¿Qué metodología debe implementarse para optimizar los inventarios bajo

las restricciones del sistema?


25

¿Cómo puede realizarse una planificación del transporte al estimarse de

manera conjunta las políticas de inventarios de materias primas a lo largo

de una cadena de suministros?

De lo anterior se infiere la necesidad de llevar a cabo una modelación

matemática que tenga en consideración los aspectos esenciales en la cadena de

suministro de materias primas bajo las restricciones propias de dicho sistema. La

lógica empleada para dicha modelación se muestra en el anexo 5.

2.2 Modelos de inventarios con demanda promedio constante Antes de pasar a mostrar el modelo que se empleó, se van a precisar algunas

hipótesis que se asumieron para el mismo, al considerar la información

suministrada por los especialistas con relación a los parámetros fundamentales de

los inventarios para las materias primas bajo estudio:

El retardo de reaprovisionamiento es casi constante, y sea t este lapso,

(ver Fig. 2.2.1).

Costo de almacenamiento proporcional al costo de compra y de

transportación (esta hipótesis se utilizó sólo en el modelo para la demanda

promedio constante con costo de almacenamiento proporcional al costo de

compra y de transportación [27, pp. 217-218]).

La demanda es aleatoria y su tasa media es constante. Se precisan dos

almacenes, ya sean físicamente o no, para constituir el inventario. Cuando

el primero haya agotado su existencia, se pasa al segundo y al mismo

tiempo se emite un pedido de reaprovisionamiento n , que será entregado

con el retardo t . Mientras se espera que llegue el reaprovisionamiento, es

el segundo almacén el que proporciona la materia prima y el que constituye

así un inventario de seguridad. (Este método es sólo aproximado puesto

que hay que admitir hipótesis de trabajo distintas para los inventarios de

cada uno de los almacenes [27, pp. 228-231]). Las ideas anteriores brindan

las bases para emplear los conceptos de punto de reorden y de inventario

de seguridad, pues constituyen una alternativa análoga.

Bajo las hipótesis anteriores se empleará un método aproximado, que permite

obtener un valor vecino al óptimo verdadero permitiendo el nivel mínimo de


26

reaprovisionamiento, teniendo en cuenta lo que hemos impuesto con respecto a la

escasez. Prácticamente el lapso t es una variable aleatoria, y el estudio analítico

se vuelve demasiado complicado siendo a menudo preferible determinar el óptimo

mediante simulación [27]. Además, debe señalarse que como lo que se está

llevando a cabo es un proyecto, no se tienen datos empíricos del comportamiento

de la demanda, sólo se cuenta con estimaciones de ciertos especialistas.

Fig. 2.2.1. TIEMPO DE REAPROVICIONAMIENTO CONSTANTE

2.2.1 Un modelo casi general para la demanda promedio constante A continuación mostraremos el desarrollo de un modelo casi general para la

demanda promedio constante, el cual tuvo su desarrollo tomando como base la

función de costo, donde interviene la suma de todos los costos del proceso y dicha

función se hace mínima. El mismo brinda la posibilidad de obtener la cantidad

óptima a pedir de cada materia prima en todo el proceso de abastecimiento en la

cadena de suministro.

Definición de variables:

=lC el costo de emisión de un lote (independiente del tamaño del lote), costo

constante;

=sC costo de almacenamiento de una pieza por unidad de tiempo;

=φ periodo de producción anual;


27

=N número de toneladas para el período φ ;

=n número de toneladas en un lote de duración T ;

=r número de lotes en el periodo φ ;

Se asumió que los lotes comprenden un mismo número de piezas n . Entonces

surge la pregunta: ¿Cuál es el valor que hay que dar a n para que el costo total de

pedido y almacenamiento de las N toneladas sea mínimo?, lo anterior implica

determinar el número r de lotes, así como el periodo T de reaprovisionamiento

del inventario. Esta pregunta se hace extensiva para todas las materias primas

que se tienen en cuenta.

Para obtener a n se trabajará sobre la función mínima de costo, lo que

garantizará que su valor obtenido sea el óptimo. La administración de un

inventario en esas condiciones se parece a la administración de tipo I y de tipo II,

descrita en el capítulo anterior.

El nivel medio del inventario durante un periodo T es 2n , como se puede

apreciar en la Fig. 2.2.1.1, el costo del almacenamiento durante este intervalo es

.21 TCn s Así pues, el costo total para un lote es:

sl CTnC21

+ (2.2.1.1)

Fig. 2.2.1.1. NIVEL MEDIO DE INVENTARIO

Por consiguiente como:


28

Tn

Nr φ== (2.2.1.2)

El costo total para el intervalo de tiempo φ es:

rCnTC sl ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=Γ

2 (2.2.1.3)

nNCnTC sl ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

2

sl CNT

nNC

2+=

nCn

NC sl

2φ

+=

Se ha podido expresar Γ en función de la cantidad variable y de las otras

magnitudes conocidas lCN ,,φ y .sC Por lo tanto, la función de costo queda:

nCn

NCn sl

2)( φ

+=Γ (2.2.1.4)

Si llamamos: nCN l

l =Γ (2.2.1.5)

el gasto total de emisión de un lote (independiente del tamaño del lote),

nCss φ21

=Γ (2.2.1.6)

sería el gasto total de almacenamiento;

Se ve que lΓ es inversamente proporcional a n , en tanto que sΓ es proporcional

a n .


29

Fig. 2.2.1.2. VARIACIONES DE LOS COSTOS QUE INTERVIENEN EN LA CADENA DE SUMINISTRO

Representemos mediante una gráfica como muestra la Fig. 2.2.1.2 las

variaciones de lΓ y de sΓ . Se ve que la suma sln Γ+Γ=Γ )( debe de tener un valor

mínimo para un cierto valor de n .

Ahora bien, sabemos que el mínimo de la suma de dos magnitudes variables

cuyo producto es constante, tiene lugar cuando esas magnitudes son iguales (esto

es un resultado directo de la derivación con respecto a n de la función )(nΓ ), en el

caso que nos ocupa:

teslsl CCCN ==ΓΓ φ

21. (2.2.1.7)

Así pues, el mínimo de sl Γ+Γ tiene lugar para

sl Γ=Γ , (2.2.1.8)

o también nCn

NC sl

2φ

= ; (2.2.1.9)

o sea

s

l

CCNnn

φ20 == (2.2.1.10)

que es la cantidad económica buscada.

Se puede obtener una primera conclusión: el mínimo de la función económica

para la administración de un inventario tiene lugar cuando el costo total de emisión

es igual al costo total de almacenamiento.


30

Sustituyendo (2.2.1.10) en (2.2.1.2) obtenemos

00 nNCN

CTTs

l φφ=== (2.2.1.11)

donde T es el tiempo de duración de un lote de tamaño n .

Realmente, la forma más general de obtener la cantidad económica ( n ) es

calculando los valores extremos de nCn

NCn sl

2)( φ

+=Γ , para lo cual primeramente

se deriva dicha función con respecto a n , obteniéndose en este caso

2

)( 2sl C

nCNn φ

+−=Γ′ (2.2.1.12)

Luego, se iguala a cero la primera derivada y se despeja n , siendo

s

l

CCNnn

φ20 == , se puede chequear fácilmente que dicho valor es un

mínimo de la función de costo expresada en (2.2.1.4), tal como se esperaba.

El modelo analizado anteriormente no tiene en cuenta los costos de

transportación ni de compra para cada lote para cada tonelada de materia prima

de interés. Estos costos son fundamentales para determinar el tamaño de lote

óptimo para cada materia prima, por lo que es conveniente trabajar con otro

modelo donde sean considerados los mismos.

2.2.2 Modelo para la demanda promedio constante con costo de almacenamiento proporcional al costo de compra y de transportación

Ahora vamos a analizar una situación semejante a la anterior, pero haciendo

intervenir en esta ocasión el costo de producción o el precio de compra de las

toneladas de materia prima (siendo proporcional este costo al de producción de un

lote), y además se tendrá en cuenta el costo de transportación de cada tonelada

de materia prima.


=N número de toneladas para el período φ ;

=φ periodo de producción anual;


31

=n número de toneladas en un lote de duración T;

=aC precio de compra o costo de producción de una tonelada (sin tomar en

cuenta el costo fijo de un lote) y de la transportación (en tren y camión);

MPcTtTa CCCC ++= , donde:

=tTC es el costo de transportar en tren una tonelada;

=cTC es el costo transportar en camión una tonelada;

=MPC es el costo de comprar una tonelada de materia prima;

=bC costo fijo de un lote (independiente del tamaño del lote);

=α coeficiente de proporcionalidad entre el costo de almacenamiento por

toneladas y por unidad de tiempo, y el costo de emitir una tonelada que es

nCC b

a + ;

A partir de las definiciones anteriores, se puede expresar

)(n

CCC bas +=α (2.2.2.1)

y balt CCnC += (2.2.2.2)

donde ltC es el costo total de emisión del lote;

Como tenemos que el costo total es:

slt CTnC21

+ (2.2.2.3)

Entonces sustituyendo (2.2.2.1) y (2.2.2.2) en (2.2.2.3) y haciendo un

procedimiento análogo al realizado con el modelo anterior, tenemos que la función

de costo viene dada por

rCCnTCnn bab )](21[)( ++=Γ α (2.2.2.4)

( ) rCTCCnTCnn bbaa ]21

21[)( αα +++=Γ (2.2.2.5)

donde =r número de lotes en el periodo φ ;

Pero como NnT

=φ

(2.2.2.6)


32

y nNr = (2.2.2.7)

Entonces sustituyendo (2.2.2.6) y (2.2.2.7) en (2.2.2.5) obtenemos:

babba CnNCnCnCNCn ++++=Γ φααφα

222)( (2.2.2.8)

donde ba CNC φα2

+ es una cantidad independiente de n .

Por lo tanto derivando (2.2.2.8) con respecto a ( n ) se obtiene

ba CnNCn 22

)( −=Γ′ φα , luego igualando la primera derivada a cero, 02 2 =− ba C

nNCφα

y despejando n obtenemos:

a

b

CCNn

φα2

= (2.2.2.9)

y por tanto a

b

CNCT

αφ2

= (2.2.2.10)

Debe señalarse que en (2.2.2.8) para calcular la cantidad fija de pedido ( n ), los

faltantes se ignoraron y se supuso que la demanda es estadísticamente estable.

A pesar de que se obtuvieron la mayoría de los datos de interés por parte de la

empresa, no se pudieron obtener la totalidad de los mismos para el cálculo del

tamaño del lote, por lo que hubo que realizar ciertas inferencias imprescindibles

sobre los datos faltantes.

2.2.3 Cálculo del punto del reorden y del inventario de seguridad Para calcular el punto de reorden ( R ) no existe una manera de encontrar el R

óptimo cuando no se conocen los costos de faltantes (como en nuestro caso), en

su lugar se usan los conceptos de: inventario de seguridad y nivel de servicio.


33

Fig. 2.2.3.1. SISTEMA GENERAL DE CANTIDAD FIJA DE REORDEN

La posibilidad de quedar sin artículos en el almacén existe solo durante el

tiempo de entrega. Podemos observar en la Fig. 2.2.3.1 que cuando el nivel de

inventario está arriba del punto de reorden, antes de colocar el pedido en 1R no

hay posibilidad de quedar sin existencias, cuando el nivel baja al punto de reorden

se coloca un pedido y comienza el período de entrega solamente durante los

períodos ( 1eT , 2eT , 3eT ,…) en los cuales sí existe la posibilidad de que haya

faltantes. Para determinar el punto de reorden ( R ) solo es necesario conocer la

distribución de la demanda durante el período de entrega. Esto recibe el nombre

de demanda del tiempo de entrega, en la Fig. 2.2.3.2 se muestra un ejemplo.

Fig. 2.2.3.2. DISTRIBUCIÓN DE LA DEMANDA DEL TIEMPO DE ENTREGA


34

Aquí se muestra una distribución normal centrada en la demanda promedio del

tiempo de entrega edT , donde d es la demanda diaria promedio y eT es el tiempo

de entrega. Si el punto de reorden se igual a la demanda diaria del tiempo de

entrega, el inventario que se tiene en el momento de recibir una orden será 0

(cero), en promedio. Pero la mitad de las veces será más que 0 (cero) y la mitad

de las veces será menos que cero, es decir, habrá faltantes. Como casi siempre

una posibilidad del 50% de quedar sin existencias es muy alta, se debe agregar un

inventario de seguridad, el efecto de dicho inventario se muestra en la Fig. 2.2.3.3.

Fig. 2.2.3.3. EFECTOS DEL INVENTARIO DE SEGURIDAD

El punto de reorden se incrementa para proporcionar mayor protección contra

los faltantes durante el tiempo o período de entrega, entonces la fórmula para el

punto de reorden ( R ) es

BTdR e += (2.2.3.1)

donde =R punto de reorden;

=d demanda promedio en día;

=B inventario de seguridad;

=eT tiempo de entrega promedio en días, y se define por ω+++= ctttdce TTTT ,

siendo =ω tiempo de llegada de seguridad;

=dcT , tiempo de carga y descarga;


35

=tt

T tiempo de transportación en tren;

=ct

T tiempo de transportación en camiones;

Definir eT de esta forma implica prácticamente prescindir de la aleatoriedad en

los retardos aleatorios de las llegadas de los trenes y reduce la incertidumbre en la

planificación, es por ello que se lleva a cabo esta última de una forma casi

determinista, pues la probabilidad de que se rompa el convenio con la Empresa

Ferrocarriles de Cuba se supone que sea muy pequeña de acuerdo a una cláusula

acerca del pago por las pérdidas debidas al abastecimiento incompleto o de

retraso (o sea una penalización).

Para calcular el inventario de seguridad, se emplea el concepto de nivel de

servicio o nivel de confianza, que es la probabilidad de tener un artículo en

almacén cuando se necesite. Los niveles de servicio en general varían del 80 % al

99 %. Esto significa que la posibilidad de quedar sin artículos en el almacén varía

entre un 20% y 1 %. Una vez que se escoge el nivel de servicio, se determina la

cantidad de inventario de seguridad, como se muestra en la Fig. 2.2.3.4.

Con una tabla para la distribución normal, se encuentra el valor de Z que

corresponde al nivel de servicio deseado, para un nivel de servicio del 99 % el

valor de ,326348.2=Z precisamente dicho nivel fue el utilizado en nuestro caso

para obtener el inventario de seguridad para cada materia prima bajo estudio, y se

empleó la siguiente expresión para su cálculo

σZB = (2.2.3.2)

donde σ es la desviación estándar de la demanda durante el tiempo de entrega,

ya que en nuestro caso la desviación fluctúa en un 15%, dato obtenido por los

especialistas de la Empresa Mixta “Cemento Santiago de Cuba S.A.”.


36

Fig. 2.2.3.4. EMPLEO DEL INVENTARIO DE SEGURIDAD PARA EL CÁLCULO DEL PUNTO DE REORDEN

2.2.4 Inferencia de datos faltantes

El modelo obtenido en el epígrafe 2.2.2 exige de conocer )(α . Dado que se

está trabajando en el proyecto, es natural de que no se tengan datos empíricos

sobre ciertos subprocesos del sistema de la cadena de suministro que son

necesarios para poder tomar decisiones, es por ello que es meritorio inferir de la

forma más científica posible acerca de los mismos.

El costo de almacenamiento es desconocido, a pesar de ser uno de los costos

fundamentales que intervienen en la cadena de suministro, y ser fundamental para

determinar al coeficiente de proporcionalidad (α ). A continuación se expone el

análisis desarrollado que posibilitó inferir dicho costo.

El costo de almacenamiento sCTn21 lo podemos dividir en costo financiero y

en un costo que depende del valor de aC . El costo financiero viene dado por la

expresión )(1 nCC b

a +α , donde n

CC ba + , como se dijo anteriormente, constituye el

costo de emitir una tonelada, y 1α puede interpretarse como el interés diario que

genera 1.00 CUC en una cuenta bancaria, para inferir dicho interés se muestra el

análisis que se realizó.


37

Si se deposita un capital 0V en una cuenta bancaria con interés compuesto

continuo y conocemos que el interés anual es 06.0=′K . Sabemos que al

transcurrir un año el capital es KeV 3650 , donde K es el interés diario (que es

desconocido), es decir el capital inicial ha aumentado en )( 0365

0 VeV K − . Ahora bien,

para el capital inicial de 1.00 CUC, al cabo de un año aumenta en )1( 365 −Ke , pero

dicho aumento es conocido e igual a 06.0=′K , es decir

06.01365 =−Ke (2.2.4.1)

Por otro lado, el desarrollo de xe en series de potencias alrededor de 0=x

es KK ++++++=!!3!2!1

132

nxxxxe

nx , en el desarrollo, las potencias de mayor orden

tienden a cero mas rápido que las lineales, por lo que pueden hacerse

despreciables, es por ello que se utiliza una aproximación lineal, resultando

xex +≈1 , por lo tanto

Ke K 3651365 +≈ (2.2.4.2)

Al sustituir (2.2.4.1) en (2.2.4.2) y despejar K se obtiene que36506.0

≈K , donde

K es el interés aproximado diario, se obtiene una aproximación que algunos

autores la emplean como un método aproximado para la obtención de la tasa

conocido como ad valorem, que a pesar de ser muy usada en ocasiones se

desconoce su procedencia. Luego podemos concluir que 1α es igual a K .

Luego el costo que depende del valor de aC viene dado por los costos de

almacenamiento, de mantenimiento o de posesión del stock, incluyen todos los

costos directamente relacionados con la titularidad de los inventarios tales como

los gastos del almacén, seguros, deterioros, pérdida y degradación de

mercancías. En este caso se hizo una valoración a partir de las recomendaciones

que brinda Marco Antonio Dell`Agnolo [11], el cual brinda una estructura razonable

para la composición de la tasa en el almacenamiento que tiene en cuenta el tipo

de mercadería, de la actividad de almacenaje, esté gestionado por la empresa o

no, o de que la mercadería esté almacenada en régimen de depósito por parte del


38

proveedor o de que sean propiedad del fabricante. Atendiendo a los elementos

anteriores, en nuestro caso se arribó a la conclusión de que era plausible tomar

12 =α en la expresión 100

2αaC , que representa el 1% de aC .

Luego se obtiene ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++=

100)( 2

1αα ab

asC

nCCC (2.2.4.3)

y como el costo de almacenamiento es sCTn21 (2.2.4.4)

entonces sustituyendo (2.2.4.3) en (2.2.4.4) se puede reescribir el costo de

almacenamiento de la siguiente forma:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++

100)(

21 2

1αα ab

aC

nCCTn (2.2.4.5)

Resultando que: [ ]bas CCnTCTn 121 100)100(2002

1 ααα ++= (2.2.4.6)

Luego, retomando el costo total para el intervalo de tiempo φ dado en (2.2.2.3),

y utilizando el hecho de que batl CCnC += , se obtiene la siguiente función de

costo

rCTnCCnn sba )]21[)( ++=Γ (2.2.4.7)

y al sustituir (2.2.4.6) en (2.2.4.7) la función de costo adopta la siguiente forma

[ ]nNCCnTCCnn baba ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ++++=Γ 121 100)100(

200)( ααα , (2.2.4.8)

despejando T en (2.2.2.6) y sustituyendo su expresión en (2.2.4.8)

obtenemos

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++

+++=Γ )100(

2002)( 21

1 ααφα abba

CnCnCNNCn (2.2.4.9)

y al derivar dicha función con respecto a n , como en los casos anteriores se

obtiene

)100(

200

210 ααφ +==

a

b

CCNnn (2.2.4.10)

que es la cantidad económica buscada para esta situación.


39

Note que en (2.2.4.10) si se toma 100

100 21 ααα += , se obtiene la expresión

(2.2.2.9) sin dificultad, lográndose una estimación para el valor α .

2.3 Obtención del PPLE para la planificación óptima del transporte Después de obtener las expresiones matemáticas para obtener el tamaño

óptimo del lote, el punto de reorden y el inventario de seguridad, es necesario

determinar para cada día la cantidad mínima de camiones que se van a utilizar

para cada una de las materias primas.

Debe señalarse que los eventos más extremos en la transportación de materias

primas están dados por el arribo cinco veces al año de un barco con 20 000

toneladas de petcoke y un barco una vez al año con 20 000 toneladas de carbón.

Estas materias primas no se tuvieron en cuenta en el Problema de Programación

Lineal en Enteros (PPLE), pues para realizar la planificación del transporte por

camiones se determinó que para un barco con 20 000 toneladas (de carbón o de

petcoke) son suficientes 9 camiones trabajando 20 horas efectivas durante 4 días,

para que transporten toda la materia prima a los almacenes de la fábrica.

A continuación se plantea el PPLE genérico.

Definición de parámetros:

,...1 Ii= donde I denota la cantidad de materias primas;

iJj ...1= , donde iJ denota la cantidad de días en que se puede cargar la

materia prima i ;

=iTv tiempo de viaje total (ida y vuelta) para la materia prima i (parámetro

conocido);

=in cantidad de toneladas de un lote de materia prima i (parámetro conocido a

partir del cálculo del tamaño óptimo del lote);

=iTcd tiempo de carga y descarga de la materia prima i (parámetro conocido

según la tecnología aplicada);

=Ct capacidad técnica del camión (parámetro conocido, 30 toneladas)


40

=Efic eficiencia neta del tiempo disponible en la jornada laboral diaria

10 ≤≤ Efic (según los especialistas valoran que 85.0=Efic )

=iTtd tiempo de trabajo diario máximo disponible para cargar la materia prima

i (en el caso de que 2,1=i , petcoke y carbón respectivamente, es de 24

horas, el resto de las materias primas es de 12 horas)


=jiC cantidad de camiones para cargar la materia prima i el día j (estas son

las variables de interés del problema de optimización entero)

Formulación del modelo:

Función objetivo: ∑∑= =

=I

i

iJ

jjiCZMin

1 1 (2.3.1)

s.a. EficTtdCt

TcdTvnCi

iiiiJ

jji **

100*)(*

1

+≥∑

=

, para i fija, Ii ...1= (2.3.2)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ +

≥i

i

iii

ji JEficTtdCt

TcdTvn

C **100*)(*

, iJjIi ...1,...1 == (2.3.3)

1**100*)(*

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ +

≤i

i

iii

ji JEficTtdCt

TcdTvn

C , iJjIi ...1,...1 == (2.3.4)

MCI

iji ≤∑

=1, para cada valor i , y j cualquiera donde iJj ...1= (2.3.5)

0≥jiC iJjIi ...1,...1 == (2.3.6)

enteroC ji iJjIi ...1,...1 == (2.3.7)

En el modelo la restricción (2.3.1) implica minimizar la cantidad total de

camiones a emplear, (2.3.2) asegura que para cada materia prima i se transporte


41

el tamaño del lote en los días disponibles iJ . Las restricciones (2.3.3) y (2.3.4)

posibilitan distribuir lo más homogéneamente la cantidad de camiones a utilizar

para cada materia prima en cada día disponible para la transportación, de esta

forma se posibilita utilizar menor cantidad de camiones, los corchetes [ ] empleados representan la parte entera de la expresión que está dentro de los

mismos. Las restricciones expresadas en (2.3.5) posibilitan controlar el número de

camiones a utilizar diariamente cuando hay intersecciones en la transportación por

camiones, el término independiente M de dichas restricciones en nuestro caso es

9=M , pues es el resultado de utilizar una cota global impuesta por el proceso

más crítico del sistema, que consiste en descargar 20 000 t desde un barco en

sólo 4 días (por exigencia del puerto). Se concluyó que para realizar esta tarea

crítica se necesitan sólo 9 camiones (se utilizó la expresión 2.3.2 para realizar los

cálculos), por lo tanto, si el problema tuviese solución admisible para todas las

intersecciones en el periodo a planificar, entonces el mínimo de camiones sería

9=M , en caso contrario hay que relajar más esta restricción. Finalmente, (2.3.6)

implica la no negatividad de las variables y (2.3.7) que la solución obtenida debe

ser entera (cantidad de camiones).

Conclusiones del Capítulo En el desarrollo del capítulo se formularon dos modelos matemáticos

pertenecientes a la teoría de inventario que permiten determinar el tamaño óptimo

del lote, el punto de reorden y el inventario de seguridad para cada una de las

materias primas de interés. Dichos modelos están condicionados a los datos y

restricciones propias del sistema, y a la inferencia de los datos faltantes.

Finalmente, se construyó el PPLE, el cual permite la distribución mínima de

camiones para transportar las materias primas, tomando en consideración las

restricciones impuestas por los modelos de inventarios, cuya solución se obtendrá

en el capítulo siguiente.


42

CAPÍTULO 3. Planificación del reaprovisionamiento de las materias primas en la cadena de suministro Introducción al Capítulo En este capítulo se da cumplimiento a las etapas 3, 4 y 5 de la metodología de

la investigación de operaciones empleada. Se obtienen las soluciones de los

modelos de inventarios descritos en el capítulo anterior. Posteriormente, se

obtiene una solución óptima a partir del PPLE construido para la planificación y

organización de la transportación en la cadena de suministro, empleando ciertos

algoritmos de Programación Lineal Entera y apoyados por el software PLEC++. Se

brindan evidencias de la estabilidad de la solución obtenida mediante el análisis de

sensibilidad y mediante una simulación de las demandas en los modelos de

inventarios. Finalmente, se le propone a la empresa la implementación de la

solución obtenida a partir de un conjunto de recomendaciones.

3.1 Obtención de una solución a partir de los modelos, prueba del modelo y de su solución

Para determinar el tamaño óptimo del lote para cada materia prima (cuánto

pedir) se empleó la expresión (2.2.4.10), los resultados de los cálculos realizados

se muestran en la Tabla 3.1.1. En dicha tabla, la primera columna muestra las

materias primas que intervienen en la cadena de suministro (ver anexo 1), en la

segunda columna aparecen los valores de los parámetros utilizados para el

cálculo del tamaño del lote, definidos en el capítulo anterior, dichos valores están

expresados en los anexos 3 y 4. En el caso de bC se obtuvo a partir de

estimaciones de los especialistas teniendo en cuenta experiencias obtenidas en la

fabricación de cemento en nuestro país. En el caso de 1α , se determinó en el

capítulo anterior mediante la aproximación 36506.0

≈K , mientras que 2α como se

dijo anteriormente, se infirió a partir de las recomendaciones que brinda Marco

Antonio Dell`Agnolo en [11]. Mientras que la tercera columna brinda el valor

numérico del tamaño del lote.


43

Es importante señalar que a la materia prima petcoke se le implantó una

cantidad invariable de reaprovisionamiento en periodos fijos, ya que como este

material es importado se tiene establecido 5 viajes al año, según la planificación

de la empresa, lo cual implica, como es natural, traer la capacidad completa del

barco (20 000 toneladas). De esta forma se satisface la necesidad de consumo

anual de esta materia prima, tal como se muestra en el anexo 2. El

reaprovisionamiento del carbón, por su parte, es una vez al año, ya que su

necesidad anual coincide con la capacidad del barco (20 000 toneladas), por lo

que se decidió planificar su único reaprovisionamiento anual al inicio de la

producción.

Parámetros Materias Primas )(tonN )(CUCCb )(díasφ (%)1α )(CUCCa (%)2α

Tamaño del lote

)(tonn Hierro 25 000 700 313 0.0002 17.7 1 788 Toba 40 000 600 313 0.0002 15.75 1 978 Yeso 70 000 1 400 313 0.0002 23.57 1 1616

Petcoke 100 000 ---- 313 ---- ---- ---- 20 000 Carbón 20 000 ---- 313 ---- ---- ---- 20 000

Tabla 3.1.1. CÁLCULO DEL TAMAÑO DEL LOTE ( CUÁNTO PEDIR )

Para determinar el punto de reorden (cuándo pedir), se utilizó la expresión

(2.2.3.1), previamente se utilizó (2.2.3.2) para establecer el inventario de

seguridad que permitirá que cualquier retraso estadísticamente permisible no

rompa el inventario. Lo expuesto anteriormente se visualiza en la Tabla 3.1.2, en

su primera columna principal se exponen las mismas materias primas de la Tabla

3.1.1, en la segunda se encuentran los valores de los parámetros ( Z y σ )

definidos en el epígrafe 2.2.3, que son necesarios para calcular el inventario de

seguridad (los valores numéricos se muestra en la tercera columna).

Los parámetros para determinar el punto de reorden (el tiempo de entrega ( eT )

definido en el epígrafe 2.2.3 y la demanda promedio diaria ( d ) que viene dada en

el anexo 2,) se presentan en la cuarta columna principal. En la quinta se muestra

el valor numérico (en toneladas) del punto de reorden, y en la sexta, la


44

equivalencia aproximada (en días) que demora el tamaño del lote reaprovisionado

en alcanzar el punto de reorden. Los materiales petcoke y carbón no se incluyen

en esta tabla porque, como se explicó anteriormente, su reaprovisionamiento se

lleva a cabo en periodos constantes con reaprovisionamientos fijos que obedecen

a otras restricciones del sistema, y por tanto, se realizan con otra lógica.

parámetros Inventario

de Seguridad

parámetros Punto

de reorden Materias

Primas Z )(tonσ )( tonB )(díasTe )(tond )(tonR

Equivalencias en días con relación al punto de reorden

Hierro 2.326348 12 27.96 6 80 808 3 Toba 2.326348 19.2 44.736 6 128 813 1 Yeso 2.326348 33.6 78.288 6 224 1423 0

Tabla 3.1.2. CÁLCULO DEL PUNTO DE REORDEN ( CUÁNDO PEDIR )

La Tabla 3.1.3 fue confeccionada a través de los diferentes parámetros que

intervienen en la restricción (2.3.2) del modelo de PPLE, esta restricción asegura

que para cada materia prima i se transporte el tamaño del lote en los días

disponibles iJ .

Parámetro

Materias Primas )(tonni )(hTvi )(hTcdi )(tonCt )(hTtdi (%)Efic

Mínimo de camiones requeridos

≥∑=

iJ

jjiC

1

Hierro 788 1 0.5 30 12 85 4 Toba 978 3.2 0.5 30 12 85 12 Yeso 1616 1 0.5 30 12 85 8

Petcoke 20 000 0.6 0.5 30 24 85 36 Carbón 20 000 0.6 0.5 30 24 85 36

Tabla 3.1.3. REQUERIMIENTOS DE LA CANTIDAD DE CAMIONES PARA LA TRANSPORTACIÓN DE LOTES

En la primera columna principal se muestran las diferentes materias primas que

intervienen en el PPLE. En la segunda, se exponen las cantidades de toneladas a

pedir para cada una de las materias primas (obtenidas mediante la ecuación

2.2.4.10), el tiempo de viaje (incluye ida y vuelta, la distancia desde el origen hasta

el destino, la velocidad promedio de los camiones), el tiempo de carga y descarga

de las materias primas y la capacidad técnica del camión; todos estos datos se


45

muestran en el anexo 2. En esta columna principal se presenta además el tiempo

de trabajo diario y la eficiencia de dicho trabajo, datos brindados por la empresa.

La tercera columna ofrece los términos independientes de (2.3.2), que es la

cantidad total mínima de camiones a utilizar para transportar el tamaño del lote

obtenido. Debe destacarse que se consideró que 3..1=j para las tres primeras

materias primas que se muestran en la Tabla 3.1.3, pues 3 es la mayor cantidad

de días permisibles de un lote en el Dajao, de acuerdo al criterio de los

especialistas (para el caso del yeso y el hierro), y se decidió para el caso de la

transportación de la toba emplear el mismo tiempo para tener los tiempos

homogéneos. Como se explicó anteriormente en el capítulo 2, se utilizó una cota

global para la cantidad de camiones .9=M Para determinar si realmente la

cantidad óptima de camiones es igual a la cota global anteriormente señalada, se

procedió a sustituir toda la información obtenida y las condiciones de los modelos

de inventario en los diferentes parámetros obtenidos en el epígrafe 2.3. del PPLE

genérico, lográndose el PPLE concreto que se muestra a continuación.

Función objetivo:

0 33231332221312111 CCCCCCCCCZMin ++++++++= 2

s.a. (restricciones):

1 4312111 ≥++ CCC 13 211 ≤C 25 9132211 ≤++ CCC 37 9133221 ≤++ CCC

2 1232221 ≥++2 CCC 14 221 ≤C 26 9232211 ≤++ CCC 38 9233221 ≤++ CCC

3 8332313 ≥++ CCC 15 231 ≤C 27 93.32211 ≤++ CCC 39 9333221 ≤++ CCC

4 111 ≥C 16 512 ≤C 28 9133211 ≤++ CCC 40 9131231 ≤++ CCC

5 121 ≥C 17 522 ≤C 29 9233211 ≤++ CCC 41 9231231 ≤++ CCC

6 131 ≥C 18 532 ≤C 30 9333211 ≤++ CCC 42 9331231 ≤++ CCC

7 412 ≥C 19 313 ≤C 31 9131221 ≤++ CCC 43 9132231 ≤++ CCC

8 422 ≥C 20 323 ≤C 32 9231221 ≤++ CCC 44 9232231 ≤++ CCC

9 432 ≥C 21 333 ≤C 33 9231221 ≤++ CCC 45 9332231 ≤++ CCC

10 213 ≥C 22 9131211 ≤++ CCC 34 9132221 ≤++ CCC 46 9133231 ≤++ CCC

11 223 ≥C 23 9231211 ≤++ CCC 35 9232221 ≤++ CCC 47 9233231 ≤++ CCC

12 233 ≥C 24 9331211 ≤++ CCC 36 9332221 ≤++ CCC 48 9333231 ≤++ CCC


46

Debe notarse que las restricciones del PPLE genérico planteado en el epígrafe

2.3 se relacionan con las del PPLE concreto de la siguiente forma:

Restricción 2.3.1 con la 0 Restricción 2.3.2 con la 1, 2, 3 Restricción 2.3.3 con la 4,…, 12 Restricción 2.3.4 con la 13,…, 21 Restricción 2.3.5 con las restricciones 22,…, 48.

Para encontrar la solución del PPLE anterior, se empleó el software PLEC++

“Programación Lineal y Entera en C++”, desarrollado por el Dr. Mijail Borges

Quintana (profesor del Departamento de Matemática de la Universidad de

Oriente). Este software es un sistema computacional que trabaja con aritmética

racional exacta para resolver problemas de Programación Lineal y Lineal Entera.

Cuenta con varios métodos, los de mayor interés para nuestro propósito son el

Gomory I y el Branch and Bound.

La tabla señalada en el anexo 6 muestra una salida correspondiente a la

solución del PPLE concreto mediante el software PLEC++, una vez empleado el

algoritmo Gomory I, y debe especificarse que las variables que se muestran en

dicho anexo se relacionan con las variables de dicho PPLE de la siguiente forma:

111 xC = 412 xC = 713 xC =

221 xC = Hierro 522 xC = Toba 823 xC = Yeso

331 xC = 632 xC = 933 xC =

Debe notarse que las restricciones 22,…, 48 del PPLE concreto, no sólo

evalúan las intersecciones de transportación por camiones en ciertos días

específicos, más bien, evalúan todas las posibles intersecciones en las que

pudieran intervenir las tres materias primas en cualquier situación de la práctica.

Existe una alternativa para reducir el número de restricciones si se utilizan algunas

ideas básicas de postoptimización, se puede resolver el PPLE concreto para una

intersección cualquiera, utilizando la solución óptima encontrada para determinar

si la nueva restricción asociada mantiene (conserva) o no dicha solución. Debe

señalarse que el análisis de sensibilidad no sólo logra encontrar la nueva solución


47

óptima partiendo de la solución óptima actual, sino que muchas veces ayuda a

profundizar en los efectos sobre la solución óptima actual a partir de cambios

realizados en el problema.

Desde la perspectiva anterior, la Tabla 3.1.4 muestra la solución obtenida para

el PPLE concreto para un caso extremo (se utilizaron solamente las restricciones

1,…22, 35 y 48) en el cual existe intersección en los tres días disponibles en que

serán transportadas por camiones las materias primas hierro, toba y yeso, para

este caso son suficientes 9 camiones. Puede chequearse fácilmente que la

solución óptima hallada de esta forma satisface las restricciones del PPLE

concreto (de la 1 a la 48), por lo tanto, la solución encontrada es estable. Debe

señalarse además que cualquier otra intersección posible en la transportación de

materias primas también puede resolverse a partir de esta solución encontrada

(siempre que se mantenga el conjunto de restricciones actual sobre los

parámetros esenciales del sistema), lo que hace a la solución aún más estable.

El análisis anterior sirvió de base para realizar la planificación dinámica para la

cadena de suministros (ver anexos 7 y 8), más adelante, se brindan más detalles

de esta planificación.

Cantidad de camiones por día de transportación Materias Primas día 1 día 2 día 3

Total de Camiones por materia prima

Hierro 2 1 1 4 Toba 4 4 4 12 Yeso 3 3 2 8

Cantidad máxima de camiones a utilizar por día de transportación

9 8 7 ---

Tabla 3.1.4. SOLUCIONES OBTENIDAS PARA EL PPLE

3.1.1 Establecimiento de controles sobre la solución del modelo matemático

Como se analizó anteriormente, la solución encontrada es estable, en el

sentido de posibilitar que cualquier intersección en la transportación por camiones

de las materias primas hierro, yeso y toba puede ser resuelta con 9 camiones.


48

En este sentido, con el objetivo de profundizar en el análisis de la solución

encontrada, se generaron las demandas aleatorias con distribución normal para

cada una de las materias primas hierro, yeso y toba, y con ayuda del software

MATLAB 6.5. La desviación estándar de las demandas de dichas materias primas

están dadas en la segunda columna principal de la Tabla 3.1.2, y la

representación gráfica de las mismas se muestra en los anexos 9, 10 y 11.

Lo anterior permitió simular la evolución del inventario dentro de la cadena de

suministro, para corroborar si en la planificación realizada existe o no la posibilidad

de ruptura del inventario. Se emplearon para esto, los tamaños de los lotes

mostrados en la Tabla 3.1.1, así como de los puntos de reordenes y del tiempo de

entrega para las materias primas hierro, yeso y toba.

En los anexos 12, 13 y 14 se puede apreciar una de las corridas para cada

una de las materias primas bajo estudio. En las diferentes corridas que se

realizaron, de acuerdo a la planificación concebida, no ocurrieron faltantes de

materias primas en los almacenes, lo cual brinda evidencia a favor de una política

acertada con relación a la posibilidad de una producción continua de cemento.

Debe señalarse que para realizar la simulación, como no se tienen datos

empíricos, se asumió que la demanda de las materias primas hierro, yeso y toba

se distribuyen normal, pues en varias de las literaturas consultadas esa es la

distribución empleada [27], [21]. Lo anterior no garantiza que cuando se empiece

la producción de cemento las demandas posean un comportamiento de tal

naturaleza, por lo tanto, el análisis realizado sólo tendría sentido en el caso que

dichas demandas sí tengan tal comportamiento.

Es significativo señalar, como se había comentado anteriormente, que una

estimación preeliminar realizada por los especialistas de la Empresa Mixta

“Cemento Santiago de Cuba S.A.” arrojó que era necesario disponer de un total de

30 camiones para el reaprovisionamiento de las materias primas hacia la fábrica

de cemento, mientras que la solución que se propone en el presente trabajo sólo

necesita de 9 camiones en disponibilidad técnica (DT), que es la cantidad óptima

para transportar cualquiera de las materias según la planificación realizada y bajo

las restricciones permisibles del sistema. Además, no siempre deben trabajar los 9


49

camiones en DT los días que hay que transportar materias primas, lo que brinda

posibilidades para el mantenimiento de los mismos, o para su uso en otras

actividades, como podría ser el caso de la transportación de cemento elaborado.

Se utilizó el término disponibilidad técnica para los camiones, pues hay

momentos en la planificación de la transportación de materias primas que

demandan de los 9 camiones, y en el caso de una rotura en uno de ellos, no se

cumplirían las exigencias de reaprovisionamiento. Por esta razón, al consultar a

los especialistas en transportación del CIT, se arribó a la conclusión de que era

necesario disponer de un camión más, es decir, un total de 10 camiones.

Debe señalarse que en el anexo especial confeccionado en el software

Microsoft Excel, se brinda la planificación dinámica para la cadena de suministros

que se divide en dos etapas fundamentales, la primera antes de comenzar la

producción, se basa en el aprovisionamiento de los almacenes de la fábrica para

poder iniciar la producción, esta etapa se puede llevar a cabo sólo en 16 días,

como se muestra en el anexo 7; la segunda y de mayor peso, comprende 313

días de producción, por ser la cantidad de días de producción de la fábrica

anualmente, como se muestra parcialmente en el anexo 8, y es en esta etapa

donde se tiene concebido que se implementen los resultados obtenidos y

probados en los modelos, es decir, son utilizados para poder llevar a cabo la

planificación del reaprovisionamiento de los materiales en la cadena de

suministros.

Es preciso señalar que en el anexo especial se muestra que en los últimos

cuatro reaprovisionamientos de petcoke, y tomando como referencia a los

modelos de inventarios utilizados, se esperaba que hubiese intersecciones con al

menos una de las materias primas hierro, yeso y toba. Es por esta razón, que

hubo que desplazar en el tiempo (hacia adelante o atrás) la transportación por

camiones de estas últimas materias primas mencionadas, de esta forma se logró

hacer una planificación que respetara los márgenes de tiempos para realizar los

procesos críticos de transportación por camiones. Por ejemplo, en el anexo 8 (esta situación está contenida también en el anexo especial), se muestra que el

día 64 sólo debe transportar se por camiones la materia prima petcoke, y de


50

acuerdo a los modelos de inventarios, debió haberse planificado además la

transportación de yeso y toba, esta situación se resolvió haciendo un corrimiento

de un día hacia delante con relación a la transportación de dichas materias primas,

y trajo consigo que el día 67 hubiese un reordenamiento y transportación por

camiones para las mismas. Con heurísticas análogas fueron resueltas las otras

tres intersecciones, posibilitando que las restricciones fundamentales del sistema

se cumplieran.

3.1.2 Implantación de la solución del modelo matemático

Al considerar la política de reaprovisionamiento empleada en la cadena de

suministro y los parámetros descritos en la Tabla 3.1.1, se pudo evaluar el costo

de esta política mediante la ecuación (2.2.4.9), como se muestra en la Tabla 3.1.5.

En esta última tabla se exponen las diferentes materias primas que intervienen en

la cadena de suministro y sus costos relacionados con la política empleada, los

mismos son: el de almacenamiento, su expresión analítica se muestra en la

ecuación (2.2.4.3); la de compra de cada tonelada de materia prima, los valores

numéricos están en el anexo 3; el de transportación, empleando ferrocarril,

cabotaje, o transporte automotor, aparece en el anexo 4; y el costo fijo de un lote

independiente del tamaño del lote, que incluye la preparación para la

transportación, que comprende las formas de comunicación de información, así

como la recepción, carga y descarga, movimiento de materias primas y otros

aspectos independientes de la cantidad a reaprovisionar, es decir, el costo total de

emisión del lote.

En la Tabla 3.1.5 se presenta además el costo total de comprar los 10

camiones que se emplearán para la transportación de las materias primas, donde

el costo de cada camión fue dado por la empresa y fue mostrado en el epígrafe

2.1. Finalmente, se muestra el costo total de la política de reaprovisionamiento,

este costo resulta de gran valor para tomar decisiones importantes por parte de la

directiva de la empresa con relación a la política subyacente.

Una vez inferidos los costos de la política de la cadena de suministros,

podemos asegurar que dicha política reduce la estimación realizada por los


51

especialistas de la Empresa Mixta “Cemento Santiago de Cuba S.A.” de 30

camiones a sólo 10, dejándose de invertir innecesariamente 3 864 324.00 CUC,

este capital podría ser utilizado en otras inversiones de la nueva fábrica de

cemento.

Materias Primas y Camiones Costo Política de la Reaprovisionamiento Hierro 618204.11 CUC Toba 823885.25 CUC Yeso 2144996.49 CUC

Petcoke 8989103.82 CUC Carbón 1566621.91 CUC

total de camiones 1 497 800.00 €4 (1932162.00 CUC) Costo Total 16 074 973.58 CUC

Tabla 3.1.5. COSTOS RELEVANTES DE LA POLÍTICA DE REAPROVISIONAMIENTO.

A continuación se brindan recomendaciones a la Empresa Mixta “Cemento

Santiago de Cuba S.A.” para viabilizar la eficiencia del funcionamiento de las

cadenas de suministro.

I. Se sugiere comprar 10 camiones semirremolque con volteo y capacidad técnica de 30 toneladas o levemente superior.

II. Emplear la planificación que aparece en el anexo especial en Microsoft Excel para llevar a cabo el reaprovisionamiento preeliminar para iniciar la producción (16 días) y durante la producción (313 días) que incluye: Cuánto pedir, cuándo pedir y cuándo reordenar con relación a las

materias primas corrector de hierro, yeso y toba. La cantidad mínima diaria de camiones a utilizar para la transportación

de cada materia prima. Así como, cuántos camiones no se utilizan diariamente, lo que permite emplear los mismos en otras actividades,

4 Para obtener el costo total se convirtió el € en CUC a una tasa de 1€ equivalente a 1.2921 CUC, se consultó el 22 de mayo de 2009 el sitio web oficial del Banco Central de Cuba disponible en: http://www.bc.gov.cu/Espanol/billetes_convertibles.asp


52

por ejemplo, en la transportación de cemento y clínker5, o en prestaciones de servicios a otras empresas del territorio.

III. Recoger información al comenzar la producción de cemento con relación a:

Los tiempo de carga y descarga de las diferentes materias primas, los tiempos de transportación de los camiones y trenes desde cada uno de los orígenes hasta los correspondientes destinos. Dichos tiempos permitirán estimar con mayor exactitud los tiempos de reaprovisionamiento y el punto de reorden para cada materia prima.

El costo de almacenamiento para cada materia prima, teniendo en cuenta todos los factores que intervienen en este costo, así como el costo de emisión de un lote ( independiente del tamaño del lote ), para cada una de las materias primas que intervienen en la cadena de suministro. Dichos costos permiten precisar el tamaño de los lotes de forma más cercana al valor óptimo teórico.

El comportamiento de la demanda diaria para cada una de las materias primas, permite estimar con mayor precisión el punto de reorden.

La eficiencia real del aprovechamiento de la jornada laboral con relación al empleo de los camiones. Esta información es necesaria para determinar la cantidad de viajes máximos que puede dar un camión a cualquiera de los destinos.

IV. La evaluación general de la política de planificación de la cadena de suministros para cada materia prima, donde se describan las fortalezas y debilidades de la misma.

Conclusiones del Capítulo En este capítulo se mostraron las soluciones del modelo de inventario y del

PPLE, determinando la cantidad mínima de camiones para transportar las

materias primas (un total de 10 camiones). Se asumió el supuesto de normalidad

para las demandas de las materias primas hierro, yeso y toba, lo que posibilitó 5 El clínker es una mezcla intermedia que se obtiene en el proceso de elaboración de cemento que puede ser exportado.


53

mediante la simulación analizar el comportamiento de las mismas y obtener

evidencias de no ruptura de los inventarios. Además, se brindaron evidencias de la

estabilidad de la solución obtenida mediante el análisis de sensibilidad y la

simulación de las demandas en los modelos de inventarios. Asimismo, se estimó

el costo de la política empleada en la cadena de reaprovisionamiento y se redujo

la cantidad de camiones estimada por los especialistas de la Empresa Mixta

“Cemento Santiago de Cuba S.A.” de 30 camiones a sólo 10, dejándose de invertir

innecesariamente 3 864 324.00 CUC, lo que puede ser utilizado en otras

inversiones. Finalmente, se le propone a la empresa la implementación de la

solución obtenida a partir de un conjunto de recomendaciones para viabilizar la

política que se sugiere y darle seguimiento a la misma con mayor eficiencia y

racionalidad.


54

CONCLUSIONES

En el presente trabajo se estudiaron los fundamentos matemáticos básicos de

la Investigación de Operaciones y su metodología como base para la modelación

matemática realizada en las cadenas de suministro de materias primas de la

nueva fábrica de cemento. En esta dirección, se presentaron algunos elementos

básicos de la Teoría de Inventarios y de Programación Lineal Entera (PLE) que

posibilitan una mejor comprensión de la lógica empleada en dicha modelación, y

en la investigación en general.

Se formuló un modelo matemático perteneciente a la Teoría de Inventarios que

permite determinar el tamaño óptimo del lote, el punto de reorden y el inventario

de seguridad para cada una de las materias primas de interés. Dicho modelo está

condicionado a los datos y restricciones propias del sistema, y a la inferencia de

los datos faltantes. Posteriormente, se construyó un PPLE que permite la

distribución mínima de camiones para transportar las materias primas (un total de 10 camiones), tomando en consideración las restricciones impuestas por los

modelos de inventarios y otros parámetros del sistema.

Son encontradas las soluciones de los modelos de inventarios y del PPLE

construido con ayuda del software PLEC++. Se asumió el supuesto de normalidad

para las demandas de las materias primas hierro, toba y yeso lo que posibilitó

realizar simulaciones del comportamiento de las mismas y obtener evidencias

favorables a la no ruptura de los inventarios. Además, se estudia la estabilidad de

la solución obtenida mediante el PPLE y se analizan elementos de su sensibilidad.

Asimismo, se estimó el costo de la política empleada en la cadena de

reaprovisionamiento y se redujo la estimación realizada por los especialistas de la

Empresa Mixta “Cemento Santiago de Cuba S.A.” de 30 camiones a sólo 10,

dejándose de invertir innecesariamente 3 864 324. 00 CUC que pueden ser

utilizados en otras inversiones. Se propuso a la empresa la implementación de la

solución obtenida a partir de un conjunto de recomendaciones para viabilizar la

política que se sugiere y darle seguimiento a la misma con mayor eficiencia y

racionalidad.


55

De forma general puede concluirse que la metodología empleada y las

herramientas matemáticas utilizadas, para el estudio de las cadenas de

suministros de materias primas en la nueva fábrica de cemento que se instalará en

Santiago de Cuba, brindan un soporte científico a las decisiones que deben

tomarse en niveles tácticos y operativos del sistema.


56

RECOMENDACIONES Se propone emplear por parte de la Empresa Mixta “Cemento Santiago de

Cuba S.A” la planificación para la cadena de suministros que se adjunta en el

anexo especial en Microsoft Excel.

Los modelos matemáticos obtenidos podrían emplearse contextualizadamente

en otras industrias, lo que podría favorecer la reducción de costos de

reaprovisionamiento en sus respectivas cadenas de suministro de materias

primas.

Debe de recolectarse la información de las variables relevantes que se

exponen en el epígrafe 3.1.2 para lograr una mayor exactitud y precisión en los

resultados de los modelos empleados, lo que posibilitaría que dentro de un año o

antes se lleven a cabo mejores estimaciones de los parámetros críticos del

sistema.

Finalmente, se propone en futuros trabajos automatizar los modelos obtenidos

para facilitar los cálculos y ciertos análisis de interés, así como una mayor rapidez

en la toma de decisiones.

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ANEXOS ANEXO 1. Muestra el sistema de la cadena de suministro que se modela.

ANEXO 2. Restricciones fundamentales de las materias primas en el proceso de producción de cemento.

ANEXO 3. Muestra los costos de cada una de las materias primas.

ANEXO 4. Muestra la tarifa de transportación de cada una de las materias primas.

ANEXO 5. Lógica empleada para la modelación matemática

ANEXO 6.Solución del modelo de PPLEP mediante el PLEC++, por el algoritmo GomoryI.

ANEXO 7. Planificación para la cadena de suministro antes de comenzar la producción. Se incluyen 16 días.

ANEXO 8. Planificación para la cadena de suministro para la producción. Se incluye una muestra de los

313 días.

ANEXO 9.Distribución normal de la demanda para la materia prima hierro

ANEXO 10. Distribución normal de la demanda para la materia prima toba.

ANEXO 11. Distribución normal de la demanda para la materia prima yeso.

ANEXO 12. Comportamiento de la demanda para la materia prima hierro.

Día Demanda Demanda

acumulada Existencia Día Demanda

Demanda acumulada

Existencia

0 0 0 788 26 73 612 260 1 91 91 697 27 73 685 187 2 74 164 623 28 82 767 893 3 83 247 541 29 75 75 818 4 80 327 461 30 73 148 745 5 89 416 372 31 68 216 677 6 86 502 286 32 86 302 591 7 79 581 207 33 79 381 512 8 68 649 139 34 90 471 422 9 88 737 839 35 79 550 343 10 79 79 760 36 78 628 265 11 83 162 677 37 88 716 177 12 87 249 590 38 80 796 97 13 90 339 500 39 73 869 812 14 86 425 414 40 84 84 728 15 72 497 342 41 88 172 640 16 78 575 264 42 68 240 572 17 90 665 174 43 84 324 488 18 90 755 872 44 77 401 411 19 78 78 794 45 88 489 323 20 89 167 705 46 80 569 243 21 69 236 636 47 85 654 158 22 76 312 560 48 78 732 868 23 88 400 472 49 75 75 793 24 68 468 404 50 73 148 720 25 71 539 333

ANEXO 13. Comportamiento de la demanda para la materia prima toba



Demanda acumulada

Existencia

0 0 0 978 26 140 535 538 1 111 111 867 27 141 676 397 2 146 257 721 28 135 811 262 3 145 402 576 29 116 927 146 4 132 534 444 30 119 1046 1005 5 118 652 326 31 133 133 872 6 143 795 183 32 129 262 743 7 129 924 1032 33 110 372 633 8 137 137 895 34 112 484 521 9 125 262 770 35 119 603 402 10 146 408 624 36 124 727 278 11 111 519 513 37 127 854 1129 12 130 649 383 38 144 144 985 13 120 769 263 39 132 276 853 14 142 911 1099 40 121 397 732 15 121 121 978 41 127 524 605 16 135 256 843 42 132 656 473 17 110 366 733 43 114 770 359 18 122 488 611 44 141 911 218 19 128 616 483 45 146 1057 1050 20 125 741 358 46 132 132 918 21 130 871 228 47 109 241 809 22 133 1004 1073 48 140 381 669 23 113 113 960 49 132 513 537 24 144 257 816 50 136 649 401 25 138 395 678

ANEXO 14. Comportamiento de la demanda para la materia prima yeso



Demanda acumulada

Existencia

0 202 202 1616 26 220 1147 601 1 192 394 1424 27 223 1370 378 2 240 634 1184 28 231 1601 1763 3 226 860 958 29 202 202 1561 4 209 1069 749 30 190 392 1371 5 215 1284 534 31 244 636 1127 6 191 1475 343 32 225 861 902 7 250 1725 1709 33 204 1065 698 8 249 249 1460 34 197 1262 501 9 207 456 1253 35 201 1463 1916 10 229 685 1024 36 218 218 1698 11 201 886 823 37 218 436 1480 12 230 1116 593 38 194 630 1286 13 213 1329 380 39 254 884 1032 14 235 1564 1761 40 200 1084 832 15 249 249 1512 41 216 1300 616 16 229 478 1283 42 211 1511 405 17 257 735 1026 43 201 1712 1820 18 244 979 782 44 251 251 1569 19 200 1179 582 45 212 463 1357 20 247 1426 335 46 240 703 1117 21 203 1629 1748 47 218 921 899 22 233 233 1515 48 217 1138 682 23 235 468 1280 49 224 1362 458 24 243 711 1037 50 240 1602 1834 25 216 927 821 26 220 1147 601

Trabajo de Diploma (Departamento de Matemática Universidad de Oriente, Cuba)

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