INTRDUCCION

¿PARA QUÉ PUEDE SER USADO EL PÉNDULO INVERTIDO?

El péndulo invertido es un tradicional ejemplo de un sistema controlado. Así, puede ser usado en simulaciones y experimentos para mostrar la respuesta de diferentes controladores ( p.e., controladores PID, controladores de variables de estado, controladores de lógica difusa “fuzzycontrollers”...).

El péndulo Invertido puede ser usado también como banco de pruebas de sistemas de tiempo real, para comprobar la validez tanto del algoritmo de control como del sistema operativo que lo implemente.

El algoritmo de control está formado por un conjunto de tareas, que son activadas periódicamente por el sistema operativo, y que realizan operaciones diferentes.

En la realidad, se pueden encontrar problemas que se modelan como un péndulo invertido, como pueden ser el control sísmico de estructuras de edificación, diversos métodos de regulación fiscal o el control de posicionamiento de antenas de radar situadas sobre plataformas móviles.

MARCO TEORICO

Péndulo Invertido:

Este sistema constituye un caso concreto de sistema físico en el que se ponen de manifiesto importantes problemas, lo que ha hecho de él un banco de pruebas para sistemas de control.

El interés en el estudio de este tipo de sistema radica en que, salvando las particularidades de cada caso, su modelo matemático presenta una formulación basada en ecuaciones diferenciales, que guarda cierta analogía con procesos reales de mayor complejidad, como por ejemplo: el generador sincrónico conectado a un bus infinito y el sistema de control de vuelo para aeronaves. Por tanto, su estudio sirve como una primera aproximación a los problemas que plantean sistemas de mayor complejidad.

El control del péndulo invertido presenta una enorme variedad de problemas que han hecho de él uno de los sistemas concretos para el ensayo de leyes de control más analizados en estos últimos tiempos. Los primeros péndulos invertidos se construyeron en los años 70, y aún hoy, treinta años después, se sigue experimentando con el péndulo invertido y tratando de analizarlo desde un punto de vista teórico.

Es notable que después de tantos años aún no se haya conseguido un estudio unitario y satisfactorio de dicho problema.

En el control del péndulo invertido se presentan básicamente dos problemas: el problema de la estabilidad local en torno a la posición de equilibrio, que es análogo al problema del malabarista que pretende mantener un palo en la punta de un dedo; y el problema de levantar el péndulo desde su posición de reposo hasta la posición en la que se mantiene erguido hacia arriba. Este último problema se conoce con su denominación inglesa de problema del swing up.

El primero de los problemas, el de la estabilización local, puede resolverse satisfactoriamente mediante la linealización en torno a la posición de equilibrio. Sin embargo, la ley de control así obtenida tiene un carácter exclusivamente local. Para perturbaciones de una cierta magnitud el control del péndulo se pierde.

En el problema del swing up es necesario considerar todo el espacio de estados, de modo que el problema no puede abordarse con una perspectiva local. Se trata, por tanto, de un problema relativo a la imposibilidad de linealizar el sistema y de tratarlo exclusivamente en forma local.

El problema del swing up es, por su propia naturaleza, un problema no lineal que se desenvuelve en una amplia región del espacio y que, por tanto, no admite una reducción local y hay que abordarlo con toda la problemática inherente a su globalidad y a su no linealidad.

Por último, para terminar esta sección sobre el problema de control del péndulo invertido, conviene resaltar que se puede considerar como un problema arquetipo de lo que es la ingeniería. No existe un método universal para resolverlo, y ante él el ingeniero tiene que desarrollar sus facultades imaginativas y creativas, combinando diferentes métodos para resolver los distintos aspectos del complejo problema que representa el control de este sistema, aparentemente simple, pero en realidad muy complejo en sus formas de comportamiento.

MODELADO:

1. Identificar las variables continuas y discretas que integran el proceso.

2. Modelado de la parte continua: esto implica seleccionar el modelo matemático que más se ajuste a las propiedades físicas del comportamiento continuo a modelar. Hay que recordar que se pueden utilizar desde ecuaciones diferenciales simples hasta muy complejas para representar las dinámicas continuas.

3. Modelado de la parte discreta: aquí se determinan el número de estados discretos necesarios basado en los diferentes modos de comportamiento físico, las entradas y las salidas discontinuas.

4. Analizar las acciones de control.

Péndulo Invertido Con el Método de Espacio de Estado

1. Modelo matemático:

M masa del carro 0.5 kg

m masa del péndulo 0.5 kg

b fricción del carro 0.1 N/m/seg

l longitud al centro de masa del péndulo 0.3 m

I inercia del péndulo 0.006 kg*m^2

F fuerza aplicada al carro

x coordenadas de posición del carro

θ ángulo del péndulo respecto de la vertical

Requerimientos:

Tiempo de establecimiento de x y θ menor que 5 segundos.

Tiempo de Subida para x menor que 0.5 segundos.

Sobrepico de θ menor que 20 grados (0.35 radianes).

∑ Fx= M xM x+b x+N=F 1ra ecuación

Del carro podemos sacar las siguientes ecuaciones:

Ecuaciones del péndulo:

a t=Rα=L θ

ac=w2 R=θ2 L

Fc=mac=mL { θ

2

¿ F t=mat=mL { θ ¿ ¿¿

Para obtener la segunda ecuación del movimiento:

∑ F=ma=m xm x=N+F t cosθ−Fc senθ

m x=N+mL { θ

cosθ−mL { θ

2

senθ ¿N=m x−mL { θ ¿2 sen θ+mL { θ ¿cosθ ¿2da ecuacion ¿¿

N=m x+ml { θ cosθ -ml { θ

2

sin θ 2da ecuacion ¿M x+b x+N=F 1ra ecuacion ¿Sustituyendo esa ecuacion en la anterior 1ra ecuacion ¿ M x+b x+m x+ml { θ ¿cosθ -ml { θ ¿2sin θ=F ¿ Factorisando: ¿( M +m) x+b x+ml {θ ¿cosθ -ml { θ¿2 sin θ=F ¿ Ecuacion del movimiento del sistema ¿¿

∑ Fx '= M x cosθPsenθ+Ncosθ-mgsenθ-Ft=M xcos θ

F t=mL { θ

reemplazamos ¿Psenθ+Ncosθ-mgsenθ=ml { θ¿+m { x¿ cosθ ¿¿

Debemos librarnos de P y N en la ecuación anterior, sume los momentos sobre el cancroide del péndulo para obtener la siguiente ecuación:

M=I θ−Plsenθ−Nlcosθ=I θ

−Psenθ−Ncosθ=I θl

3ra ecuacion

sumando 3 y 4

-mgsenθ=I θl

+ml { θ +m { x

cosθ xl ¿ -lmgsenθ=I θ+ml2θ +m { x lcosθ ¿ ¿ θ( I +ml2 )+ lmgsenθ=-m { x ¿ lcosθ ¿ ¿ ¿¿

( M +m) x+b x+ml { θ cos θ -ml { θ2sin θ=F ¿ θ( I +ml2 )+ lmgsenθ=-m { x ¿ lcosθ ¿ Linealizando ¿θ=π+φ (representa pequeño angulo ) ¿ cos θ=-1, sen θ=−φ ,

dθdt

2

=0 ¿ (I +ml2 )φ−mgl φ=ml { x ¿ ¿ (M +m) x+b x−ml { φ ¿=u ¿u representa la entrada ¿¿

2. Función de Transferencia

Para obtener analíticamente la función de transferencia de las ecuaciones del sistema linealizado, debemos tomar primero la transformada de Laplace de las ecuaciones del sistema. Las transformadas de Laplace son:

Como como estamos mirando al ángulo Phi como la salida de interés, resuelva la primera ecuación para X(s),

y entonces sustitúyala en la segunda ecuación:

Ordenando, la función de transferencia es:

Donde,

De la función de transferencia de arriba puede verse que hay un polo y un cero en el origen. Estos puede ser cancelados y la función de transferencia será:

( I+ml2 )ϕ (s )s2−mgl ϕ (s )=mlX ( s )s2

( M +m) X ( s )s2+bX (s ) s−ml ϕ ( s )s2=U ( s )

X ( s )=[ (I +ml2 )ml

− g

s2 ]ϕ ( s )

( M +m)[ ( I+ml2 )ml

+ gs ]ϕ (s )s2+b [ (I +ml2 )

ml+ g

s ]ϕ ( s )s−ml ϕ ( s )s2=U ( s )

ϕ (s )U (s )

=

mlq

s2

s4+b( I +ml2 )

qs3−

( M +m)mglq

s2−bmglq

s

q=[(M +m)(I +ml2 )−(ml )2 ]

3. Espacio de Estado

Luego de un poco de álgebra, las ecuaciones linealizadas del sistema pueden también representarse en la forma espacio de estado:

θ Indica la rotación de la varilla del péndulo y x es la posición del carro

La matriz C es de 2 por 4, porque la posición del carro y la posición del péndulo son parte de la salida. Para el problema de diseño en espacio de estado estaremos controlando un sistema de salida múltiple por lo que observaremos la posición del carro en el primer renglón de salida y la del péndulo en el segundo renglón.

ϕ (s )U (s )

=

mlq

s

s3+b (I +ml2 )

qs2−

(M +m)mglq

s−bmglq

χ1=θ

χ2=θχ3=X

χ 4=X

y=[ y1

y2]=[ θ

X ]=[ χ1

χ3]

[ xxϕϕ]=[

0 1 0 0

0−( I+ml2 )b

I ( M+m)+Mml2

m2 gl2

I ( M+m)+Mml20

0 0 0 1

0−mlb

I ( M+m)+Mml2

mgl( M +m)I ( M+m)+Mml2

0 ] [xxϕϕ ]+[0

I +ml2

I ( M+m)+Mml2

0ml

I (M +m )+Mml 2]u

y=[1 0 0 00 0 1 0 ][ x

xϕϕ]+[00 ]u

4. Requerimiento de estados:

Modelo matemático en espacio de estado discreto:

Los requerimientos de diseño son

Tiempo de establecimiento para x y phi menores que 5 segundos

Tiempo de Subida para x menor que 1 segundo

Sobrepico de phi menor que 0.35 rad (20 grados)

error de estado estacionario de x y phi menor que el 2%

hecho en matlab:

Controlabilidad y observabilidad:

El paso siguiente es verificar la controlabilidad y la observabilidad del sistema.

Para que el sistema sea de estado completamente controlable, la matriz de controlabilidad debe ser de rango n.

Análogamente, para que el sistema sea de estado completamente observable, la matriz de observabilidad también debe tener rango n.

Diseño del Controlador via Ubicación de Polos

El paso siguiente es asumir que los cuatro estados son medibles, y encontrar la matriz de control (K).

En esta versión digital, usaremos el método LQR (Regulador Linear Cuadrático). Este método le permite hallar la matriz de control óptima que resulta de algún

balance entre los errores del sistema y el esfuerzo de control. Para usar el Método LQR, necesitamos hallar tres parámetros: la matriz índice de

performance (R), la matriz de costo de estado (Q), y factores de peso.  Por simplicidad, elegiremos la matriz índice de performance igual a 1 (R=1), y la

matriz de costo de estado (Q) igual a H' x H. Los factores de peso serán elegidos por prueba-error.

La matriz de costo de estado (Q) posee la estructura siguiente:

el elemento en la posición 1,1 se usará para pesar la posición del carro y el elemento en la posición 3,3 se usará para pesar el ángulo del péndulo. Los factores de peso para la posición del carro y el ángulo del péndulo serán elegidos individualmente.

Incrementemos los factores de peso (x e y) y veamos si decrecen los tiempos de trepada y asentamiento.

Hacemos x e y a x=5000 e y=100.

Entrada de referencia:

Diferente a otros métodos de diseño, el sistema con realimentación completa de estados no compara la salida con la referencia; en su lugar, compara todos los estados multiplicados por la matriz de control (K*x) con la referencia (vea el esquema de abajo). Por lo que, no debiéramos esperar ver que la salida sea igual a la entrada.

Para obtener la salida deseada, necesitamos escalar la entrada de referencia de modo que la salida sea igual a la referencia. Esto puede hacerse sencillamente introduciendo el factor de escala de alimentación directa llamado Nbar. Abajo se muestra el esquema básico con Nbar.