Trabajo de Concreto Armado i.

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Introduccin las columnas consiste bsicamente en seleccionar una seccin transversal adecuada para la misma, con armadura para soportar las combinaciones requeridas de cargas axiales mayoradas Pu y momentos (de primer orden) mayor a dos Mu, incluyendo la consideracin de los efectos de la esbeltez de la columna (momentos de segundo orden). La esbeltez de una columna se expresa en trminos de su relacin de esbeltez ku/r, donde k es un factor de longitud efectiva (que depende de las condiciones de vnculo de los extremos de la columna), u es la longitud de la columna entre apoyos y r es el radio de giro de la seccin transversal de la columna. En general, una columna es esbelta si las dimensiones de su seccin transversal son pequeas en relacin con su longitud.

A los fines del diseo, el trmino "columna corta" se usa para designar una columna que tiene una resistencia igual a la calculada para su seccin transversal, usando las fuerzas y los momentos obtenidos de un anlisis para combinacin de flexin y carga axial. Una "columna esbelta" se define como una columna cuya resistencia se reduce debido a las deformaciones de segundo orden (momentos de segundo orden). Segn estas definiciones, una columna con una determinada relacin de esbeltez se puede considerar como columna corta bajo un determinado conjunto de restricciones, y como columna esbelta bajo otro conjunto de restricciones. Con el empleo de hormigones y armaduras de mayor resistencia, y con mtodos de anlisis y diseo ms precisos, es posible disear secciones de menores dimensiones, lo cual da origen a elementos ms esbeltos. En consecuencia, la necesidad de contar con procedimientos de diseo confiables y racionales para las columnas esbeltas se convierte as en una consideracin importante en el diseo de columnas. Una columna corta puede fallar a causa de una combinacin de momento y carga axial que supere la resistencia de la seccin transversal. Este tipo de falla se conoce como "falla del material."

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CAPITULO I 1.1 Flexo compresin biaxial:

ESTUDIO DE LA FLEXO COMPRESION BIAXIAL

Las columnas en estructuras espaciales presentan simultneamente cargas axiales y momentos flectores en dos direcciones ortogonales, dando lugar a la flexo compresin biaxial. De manera similar a la flexo compresin uniaxial, es posible determinar diagramas de interaccin para distintas orientaciones del momento flector resultante, los que integrados en un diagrama tridimensional conforman superficies de interaccin como laque se presenta en la siguiente figura:

Figura 1a: Superficies de interaccin para columnas sometidas a flexo compresin biaxial.

Mtodo Exactos -Diagramas de interaccin biaxial

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-Software 1.1.1 Mtodos Aproximados (requieren diagrama interaccin uniaxial) - Mtodo del contorno de carga (curva de falla a Pn cte) - Mtodo de la carga inversa (superficie de falla a ey=ex=0, ex=0, ey=0)

1.2. Mtodo de la carga inversa

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Un mtodo de diseo simple y aproximado, desarrollado por Bresler, se verific satisfactoriamente mediante comparacin con resultados de gran cantidad de ensayos y clculos.Es preciso observar que la superficie de interaccin de la columna de la figura d puede dibujarsealternativamente como una funcin de la carga axial Pn y de las excentricidades. ex = Mny/Pn y ey = Mnx/Pn, como aparece en la figura. La superficie S, de la figura a puede transformarse enuna superficie de falla equivalente S, como se ilustra en la figura b, donde ex y ey se dibujan contra l/Pn en vez de P . As que, ex = ey = O corresponde al inverso de la capacidad de lacolumna si sta se cargara concntricamente, Po; esta situacin se representa con el punto C.Para ey = O y para cualquier valor determinado de e, existe una carga Pnyo (correspondiente almomento Mnyo ) que producir la falla. El inverso de este valor de carga es el punto A. En formasimilar, para e, = O y para cualquier valor de ey, existe algn valor de la carga Pnxo (correspondiente al momento Mnxo) que producir la falla; el inverso de ste es el punto B.Los valores de Pnxo yPnyo se determinan para excentricidades conocidas de la carga aplicada adeterminada columna, utilizando los mtodos establecidos anteriormente para flexin uniaxial ocon las grficas de diseo para flexin uniaxial.

superficie de falla a: ey=ex=0, ex=0, ey=0

1.2.1Mtodo de la carga inversa (Bresler) - Vlido para Pn>0.1P0 ex/ey>0.2 o ey/ex>0.2 Puesto que los diagramas de interaccin estn estructurados en trminos de _Pn, entonces

Pn = valor aproximado de la carga ltima en flexin biaxial con excentricidad ex y ey Pny0 = carga ltima en flexin con excentricidad ex (ey=0) Pnx0 = carga ltima en flexin con excentricidad ey (ex=0) P0 = carga ltima en compresin concntrica (ey=ex=0) -El lmite que define ACI 318, __P0, slo se considera en el clculo final de Pn y no en los trminos parciales (Pny0, P0, etc)

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Es indudable que las curvas de interaccin respecto de los ejes principales (x, y) pueden ser determinadas con relativa facilidad, pero las curvas de interaccin respecto a ejes diagonales guardan cierto grado de complejidad. Las investigaciones realizadas con columnas cuadradas, armadas de la manera tradicional, demuestran que existe una considerable disminucin de la capacidad resistente a flexin de tales columnas cuando las solicitaciones se producen aproximadamente a 45de los ejes principales. Esta disminucin puede llegar a ser del orden de un 30% con relacin a la flexin sobre los ejes principales, por lo que la utilizacin exclusiva de las curvas de interaccin principales, para modelar la flexo compresin biaxial, puede conducir a errores importantes. Con el objeto de mejorar la precisin en el resultado del diseo de columnas sometidas a flexo compresin biaxial, el ACI ha publicado Diagramas de Interaccin para Columnas Cuadradas, Uniformemente Armadas en sus Cuatro Caras, con Flexin a 45 Respecto a los Ejes Principales. Estas curvas de interaccin a 45, junto con Las Curvas de Interaccin Respecto a los Ejes Principales permiten una interpolacin angular bastante ms confiable para cualquier ngulo de flexin en columnas cuadradas. Existen autores como Row y Pauley que recomiendan diagramas de interaccin para ms ngulos de flexin intermedios (15, 30y 45), con el objeto de tener una mayor precisin en la interpolacin. Se anexan a esta publicacin familias de Curvas de Interaccin de Columnas Rectangulares para Flexin Diagonal(un caso particular son las columnas cuadradas con flexin a 45), con diferentes cuantas de armado en caras con distinta orientacin y armadura idntica en caras opuestas, lo que ampla el campo de utilizacin de las curvas propuestas por el ACI, y parcialmente mejora las curvas propuestas por Row y Pauley. 1.3 EJEMPLO DE APLICASION Diseo de una columna a flexin biaxial. La columna de 12 x 20 pulg que aparece en la figuraest reforzada con ocho barras No. 9 distribuidas alrededor del permetro de la columna quesuministran un rea total de A = 8.00 pulg2. Se va a aplicar una carga mayor a La P de 275 klb con excentricidades ey = 3 pulg y e = 6 pulg como se ilustra. Las resistencias de los materiales son f c = 4 klb/pulg2 y fy = 60 klb/pulg2. Verifique si el diseo tentativo es adecuado: (a) con elmtodo de carga inversa, y (b) con el mtodo del contorno de carga.

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CAPITULO 2

EFECTOS DE ESBELTEZ EN ELEMENTOS SOMETIDOS A COMPRESIN

2.1 Definicin de efectos de esbeltez Los efectos de esbeltez o efectos de segundo orden se presentan en mayor o menor grado en casi todas las estructuras de concreto reforzado y acero sin importar qu tan bajas o altas sean. Pueden afectadas globalmente como conjunto o en particular a uno o varios de sus elementos. Se aclara que el trmino global>, empleado aqu se refiere a unoo a varios niveles de la estructura comprometidos con este problema. El fenmeno de esbeltez se presenta cuando una estructura es sometida a la accin de las fuerzas gravitatorias muer-tas y vivas con o sin la contribucin de las fuerzas laterales causadas por el empuje esttico de tierras yIo las fuerzas de carcter dinmico de origen natural, como son las fuerzas ssmicas o de viento. La permanencia de las cargas sobre la estructura elsticamente deformada, ms la contribucin de los fenmenos geolgicos del concreto, y disminucin de la rigidez de los elementos causada por la progresiva fisuracin de sus secciones transversales, entre otras causas, originan nuevas deformaciones e incrementos en las fuerzas internas de los elementos. 2.2 Columnas esbeltas Sepuede definir una "columna esbelta coma aquella cuya resistencia depende fundamentalmente de su capacidad para ser estable lateralmente, adems de la resistencia intrnseca de su seccin transversal. En ella, la capacidad a la carga axial P se reduce por la deformacin lateral provocada por la flexin. En la figura 1 se ilustra el fenmeno para el caso particular de una columna cargada en flexo compresin unixica en la que la carga P acta a una distancia e del centroide de la seccin en cada extremo.

Figura 2a.

Columna esbelta cargada excntricamente.

Si la columna es muy esbelta, podra llegar a una deformacin debida a carga axial P y momento Pe tal que la deformacin aumente indefinidamente sin que aumente la carga P. Este tipo de falla se conoce como "falla de estabilidad," como se indica en la curva de interaccin de resistencias.

Figura 2b Interaccin de las resistencias en columnas esbeltas

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El concepto bsico del comportamiento de las columnas esbeltas rectas con carga axial concntrica fue desarrollado originalmente por Euler, hace ya ms de 200 aos. El concepto establece que un elemento fallar por pandeo bajo la carga crtica Pc = 2EI/(e)2, siendo EI la rigidez flexional de la seccin transversal del elemento y e la longitud efectiva, que es igual a ku. Para las columnas cortas "robustas," el valor de la carga de pandeo ser mayor que la resistencia al aplastamiento por compresin directa (correspondiente a la falla del material). con la carga de pandeo disminuyendo a medida que aumenta la esbeltez (ver Figura 2c).

Figura 2c Carga de falla en funcin de la esbeltez de una columna Como se puede observar, es imposible representar los efectos de la esbeltez y los momentos amplificados en una tpica curva de interaccin de resistencias. En consecuencia, se puede desarrollar una "familia" de diagramas de interaccin de resistencias para columnas esbeltas con diferentes relaciones de esbeltez, como se ilustra en la Figura 2d.

Figura 2d Diagramas de interaccin de resistencias para columnas esbeltas

2.3. Factores que influyen en los efectos de esbeltez Entre los aspectos ms sobresalientes que intervienen en la magnitud de los fenmenos de esbeltez de las columnas se mencionan los siguientes: - Rigidez global de la estructura. - Relacin entre la longitud no soportada del elemento y su seccin transversal. - Magnitud y permanencia de las cargas sobre la estructura. - Lamagnitud de los desplazamientos laterales. - Curvatura elstica de los elementos. - La relacin Momento-Curvatura. - Cuantas de refuerzo y resistencia de materiales. - El flujo plstico y la retraccin de fraguado del concreto. - Interaccin suelo-estructura.

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2.4 Consideracin de los efectos de la esbeltez Se establecen lmites para la esbeltez tanto de prticos indesplazables como para prticos desplazables, incluyendo mtodos de diseo permitidos para cada rango de esbeltez. Se establecen lmites inferiores para la esbeltez, por debajo de los cuales los momentos de segundo orden se pueden despreciar y slo es necesario considerar la carga axial y los momentos de primer orden para seleccionar la seccin transversal y la armadura de las columnas (diseo de columnas cortas). Se debe observar que, para las vigas y columnas de dimensiones habituales y las alturas de piso tpicas de los sistemas de hormign, los efectos de la esbeltez se pueden despreciar en ms del 90 por ciento de las columnas de los prticos indesplazables y en alrededor del 40 por ciento de las columnas de los prticos desplazables.

Figura 2e Consideracin de la esbeltez de las columnas 2.5 EFECTOS DE LA ESBELTEZ EN ELEMENTOS COMPRIMIDOS 2.5.1 Anlisis de segundo orden El cdigo alienta el uso de anlisis de segundo orden o anlisis P- para considerar los efectos de la esbeltez en los elementos comprimidos. En general, los resultados de un anlisis de segundo orden permiten obtener valores ms realistas para los momentos que los que se obtienen usando un anlisis aproximado de acuerdo con las secciones 10.12 10.13. En el caso de los prticos desplazables, utilizando anlisis de segundo orden generalmente se obtendrn diseos ms econmicos. Si por algn motivo no resulta prctico realizar un anlisis ms exacto, la seccin 10.10.2 permite considerar los efectos de la esbeltez mediante un mtodo aproximado de amplificacin de momentos. Sin embargo, se debe observar que para todos los elementos comprimidos en los cuales la relacin de esbeltez (ku/r) es mayor que 100 para considerar los efectos de la es beltez se debe utilizar un anlisis ms exacto segn lo definido 2.6 EVALUACIN APROXIMADA DE LOS EFECTOS DE LA ESBELTEZ Se usa el factor de amplificacin de momentos para amplificar los momentos de primer orden y as tomar en cuenta el aumento de los momentos provocado por la curvatura y el desplazamiento lateral del elemento. El factor de amplificacin de momentos depende de la relacin entre la carga axial aplicada y la carga crtica o de pandeo de la columna, de la relacin entre los momentos aplicados en los extremos de la columna, y de la geometra deformada de la columna. 2.6.1 Propiedades de la seccin para el anlisis del prtico

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las cargas axiales mayoradas (Pu), los momentos mayorados en los extremos de la columna (M1 y M2) y las deformaciones laterales de piso, o, se debern calcular usando un anlisis elstico de primer orden del prtico, considerando la presencia de regiones fisuradas a lo largo del elemento. Es evidente que realizar estos clculos no es factible desde el punto de vista econmico, an para estructuras pequeas. Por lo tanto, para considerar la fisuracin en el anlisis se pueden usar las propiedades de la seccin dada. Tabla 2-1 Propiedades de las secciones para el anlisis de prticos

2.7 Radio de giro En general el radio de giro, r, es Ig /Ag . En particular, para los elementos de seccin rectangular r se puede tomar igual a 0,30 por la dimensin en la direccin en la cual se est considerando la estabilidad, mientras que para los elementos de seccin circular se puede tomar igual a 0,25 por el dimetro de la seccin, como se ilustra en la Figura 2f.

Figura 2f Radio de giro, r 2.8 Factor de amplificacin de momentos para flexin biaxial Cuando en una columna hay flexin biaxial, se deben amplificar los momentos calculados para cada eje principal. Los factores de amplificacin de momentos, , se calculan considerando la carga de pandeo, Pc, respecto de cada eje en forma separada, en base a las longitudes efectivas correspondientes y a la rigidez relativa de la columna y las vigas en cada direccin. En consecuencia, si las capacidades de pandeo respecto de los dos ejes son diferentes, los factores de amplificacin de momentos en ambas direcciones tambin sern diferentes. Los momentos respecto de los dos ejes se amplifican de forma separada, y luego la seccin transversal se dimensiona para una carga axial Pu y los momentos biaxiales amplificados. 2.8.1 Momentos amplificados Prticos indesplazables Las ecuaciones para el diseo aproximado de columnas esbeltas indicadas en 10.12.3 para prticos indesplazables se basan en el concepto de un factor de amplificacin de momentos, ns,

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que se aplica al mayor de los momentos mayorados, M2, de ambos extremos del elemento comprimido. Luego la columna se disea para la carga axial mayorada Pu y el momento amplificado Mc, siendo Mc: Mc = nsM2 donde: Ec. (2.8.1a)

Ec.(2.8.1b)

Ec.(2.8.2c) La carga crtica Pc se calcula para condicin indesplazable usando un factor de longitud efectiva, k, menor o igual que 1,0. Cuando k se determina usando los nomogramas o las ecuaciones de R10.12, en los clculos se deben usar los valores de E e I de (2.8.2c). Observar que el factor 0,75 de la Ecuacin (2.8.1b) es un factor de reduccin de la rigidez Para definir la carga crtica de una columna, la principal dificultad radica en elegir un parmetro de rigidez EI que aproxime razonablemente las variaciones de la rigidez debidas a la fisuracin, la fluencia lenta y la no linealidad de de la curva tensindeformacin del hormign. Si no se realiza un anlisis ms exacto, EI se deber tomar como:

Ec.(2.8.1d) o bien. Ec.(2.8.2e)

La segunda ecuacin es una aproximacin simplificada de la primera. Ambas ecuaciones aproximan los lmites inferiores de EI para las secciones habituales y, por lo tanto, son conservadoras. La Figura 2g ilustra la naturaleza aproximada de las ecuaciones para determinar EI, comparndolas con valores obtenidos de diagramas momento-curvatura para el caso que no hay carga sostenida (d = 0).

EC.

EC.

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Figura 2g Comparacin de EI obtenido mediante las ecuaciones con valores de EI obtenidos de diagramas momento-curvatura 2.9 Momentos amplificados Prticos desplazables El diseo de los prticos desplazables considerando los efectos de la esbeltez consiste esencialmente en tres pasos: 1. Se calculan los momentos amplificados debidos al desplazamiento lateral, mMs, de una de las tres manera siguientes: a. Un anlisis elstico de segundo orden del prtico (10.13.4.1) b. Un anlisis de segundo orden aproximado (10.13.4.2) c. Un mtodo aproximado en base a un factor de amplificacin de los cdigos ACI anteriores (10.13.4.3) 2. Los momentos amplificados debidos al desplazamiento lateral, mMs, se suman a los momentos Mns, no amplificados y sin considerar el desplazamiento lateral, en cada extremo de la columna (10.13.3): M1 = M1ns + sM1s M2 = M2ns + sM2s Ec. (2.9a) Ec. (2.9b)

Los momentos que no consideran el desplazamiento lateral, M1ns y M2ns, se calculan usando un anlisis elstico de primer orden. 3. Si la columna es esbelta y las cargas axiales que actan sobre la misma son elevadas, se debe verificar si los momentos en los puntos entre los extremos de la columna son mayores que los momentos en dichos extremos. De acuerdo con 10.13.5, esta verificacin se realiza usando el factor de amplificacin ns para prticos indesplazables, calculando Pc en base a k = 1,0 o menor. 2.10 Ubicacin del mximo momento Al sumar los momentos no amplificados y sin considerar el desplazamiento lateral en los extremos de la columna con los momentos amplificados debidos al desplazamiento lateral, uno de los momentos totales resultantes obtenidos generalmente es el mximo momento de la columna. Sin embargo, en las columnas esbeltas con elevadas cargas axiales, el mximo momento puede ocurrir en un punto ubicado entre ambos extremos de la columna. En 10.13.5 se indica una manera sencilla de determinar si esto ocurre: si en un elemento individual comprimido

Ec. (2.10a) el mximo momento ocurrir en un punto ubicado entre ambos extremos de la columna. En este caso, M2 debe amplificar aplicando el factor de amplificacin de momentos para prticos indesplazables Luego la columna se disea para la carga axial mayorada Pu y el momento Mc, donde Mc se calcula de la siguiente manera: Mc = nsM2

Ec. (2.10b)

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CONCLUSIONES: Las columnas son elementos que estn sometidos principalmente a esfuerzos de flexo

compresin. Los efectos de esbeltez de las columnas, y la consiguiente reduccin de su capacidad de carga se evalan en forma independiente al diseo propiamente dicho, mediante la consideracin de los momentos generados por las deformaciones transversales de las columnas (momentos de 2do. orden) o mediante procesos aproximados que comprenden la estimacin de factores que corrigen a los momentos del anlisis estructural (momentos de 1er orden). Adems, adicionalmente se presenta el problema de la flexin biaxial, el cual siempre existe si se consideran momentos de sismo en una direccin y simultneamente momentos de cargas

verticales en la otra Se pudo aprender a utilizar las formulas del ACI en los diferentes mtodos para resolver columnas biaxiales

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