TRABAJO COLABORATIVO TRES

ECUACIONES DIFERENCIALES

MIGUEL FERNANDO BUITRAGO

TUTOR

ANDRÉS ORLANDO PÁEZ

GRUPO 28

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD”ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA

INGENIERIA INDUSTRIALECUACIONES DIFERENCIALES

INTRODUCCION

En el presente trabajo se presenta el proceso práctico de la unidad tres del modulo ecuaciones diferenciales el cual consta de los siguientes temas:

Generalidades del estudio de series..Técnicas para resolver ecuaciones diferenciales mediante series matemáticas.Solución de ecuaciones diferenciales mediante serie de potencias.Funciones especiales y series matemáticas.Series de taylor.Solución de ecuaciones diferenciales mediante series de taylor.

Con el presente trabajo se busca la interacción grupal, para aclarar dudas, compartir y debatir conceptos alrededor de los temas vistos en la unidad tres.

OBJETIVOS

Luego de realizar la lectura de la unidad, realizar los ejercicios propuestos para apropiar los conocimientos adquiridos.

Realizar un trabajo grupal para que con la ayuda de otros compañeros se resuelvan las dudas presentadas.

2. Hallar el radio de convergencia de la siguiente serie:

∑n=1

∞ ( x−4)n

n4

Simplifiquemos( x−4 )n

(n+1 ) 4

( x−4 )n

n4

=¿

( x−4 )n (x−4 )n4

( x−4 )n (n+1 )4=¿

(x−4)n4

(n+1)4

Por lo tanto

1R

=limn→∞

¿| n4

(n+1)4|=limn→∞

¿| n4

n4

( nn + 1n )|

1R

= 1

(1+0 )4=1

Obtenemos el radio de la convergencia que es 1

R=1

3. Hallar la solución general de la siguiente ecuación como una serie de potencial alrededor del punto x=0:

y ' '− y=0

y '=∑n=0

∞

cn xn

y '=∑n=1

∞

n cn xn−1

y ' '=∑n=2

∞

n(c−1)cn xn−2

∑n=2

∞

n(c−1)cn xn−2−∑

n=0

∞

cn xn=0

∑n=d

(n+1 ) (n+2 ) cn+2xn=0

∑ [ (n+1 ) (n+2 ) cn+2−cn ] xn=0

(n+1 ) (n+2 )cn+2=0

cn+2=cn

(n+1 ) (n+2 )

n=0 , c2=c0

1∗2=c0

1∗2=c0

2,

n=1 ,c3=c0

1∗2=c1

2∗3=c1

23

n=2 , c4=c2

3∗4=

c0

2∗3∗4=c0

4

n=3 , c5=c3

4∗5=

c1

3∗4∗5=c1

5

n=4 , c6=c4

5∗6=

c0

4∗5∗6=c0

6

n=5 , c7=c5

6∗7=

c1

5∗6∗7=c1

7

y=∑n=0

∞

cn xn=c0+c1 x+c2 x

2+c3 x3+c4 x

4+c5 x5+c6 x

6+c7 x7

¿c0+c1 x+c0 x

2

21=c1

31x3+

c0 x4

41+c1 x

5

5+c0 x

6

6+c1 x

7

7

c0=c2+c3 y c1=c2−c3

4. Mediante las series de potencias podemos desarrollar las ecuaciones diferenciales en

forma aproximada por medio de dos métodos: el método de general de solución por

series de potencias donde se representa Una función f en un intervalo de

convergencia, permitiendo así encontrar la solución general y un segundo método

donde permite resolver la ecuación diferencial con condiciones iníciales haciendo

uso de las series de Taylor. Usando el teorema de Taylor en el intervalo [0,1] para la

ecuación diferencial 𝑦′ = 𝑦2 − 𝑥 con condición inicial (0) = 1 Identifique el tercero

y cuarto término de la serie que permite la solución de la ecuación diferencial.

Un desarrollo en serie de Taylor, en torno al punto x a

Con x=0 tenemos:

y= y (0 )+ y ´ (0 ) x+ y ´ ´ (0)x2

2 !+y ´ ´ ´ (0) x3

3!+…

Con las condiciones iniciales y la ecuación 𝑦′ = 𝑦2 – 𝑥 derivamos sucesivamente:

y (0 )=1

y ´= y2−x y ´ (0 )=1

y ´ ´=2 yy ´−1 y´´(0)=2(1)-1=1

y ´ ´ ´=2 y . y ´ ´+2 y2 y ´ ´ ´ (0 )=2 (1 ) (1 )+2 (1 )=4

y ´ ´ ´ ´=2 y . y ´ ´ ´+6 y ´ . y ´ ´ y ´ ´ ´ ´ (0 )=8+6=14

y(5 )=2 y . y ´ ´ ´ ´+8 y ý ´ ´ ´+6( y ´ )2 y ( 5) (0 )=28+32+6=66

Reemplazando

y= y (0 )+ y ´ (0 ) x+ y ´ ´ (0)x2

2 !+y ´ ´ ´ (0) x3

3!+y ´ ´ ´ ´ (0)x4

4 !+y ´ ´ ´ ´ ´ (0)x5

5 !

y=1+x+ x2

2!+ 4 x3

3!+ 14 x4

4 !+ 66 x5

5 !

El tercer y cuarto término sonx2

2!+ 4 x3

3 !